Quasigruppe - Quasigroup

In der Mathematik , insbesondere in der abstrakten Algebra , ist eine Quasigruppe eine algebraische Struktur, die einer Gruppe in dem Sinne ähnelt, dass " Teilung " immer möglich ist. Quasigruppen unterscheiden sich von Gruppen hauptsächlich dadurch, dass sie nicht unbedingt assoziativ sind .

Eine Quasigruppe mit einem Identitätselement wird als Schleife bezeichnet .

Definitionen

Es gibt mindestens zwei strukturell äquivalente formale Definitionen von Quasigruppen. Eine definiert eine Quasigruppe als eine Menge mit einer binären Operation , und die andere definiert aus der universellen Algebra eine Quasigruppe mit drei primitiven Operationen. Das homomorphe Bild einer Quasigruppe, die mit einer einzelnen binären Operation definiert ist, muss jedoch keine Quasigruppe sein. Wir beginnen mit der ersten Definition.

Algebra

Eine Quasigruppe ( Q , ∗) ist eine nicht-leere Menge Q mit einer binären Operation ∗ (d. h. ein Magma , das anzeigt, dass eine Quasigruppe die Abschlusseigenschaft erfüllen muss), die der Eigenschaft des lateinischen Quadrats gehorcht . Dies besagt, dass es für jedes a und b in Q eindeutige Elemente x und y in Q gibt, so dass beide

ax = b ,
ya = b

halt. (Mit anderen Worten: Jedes Element der Menge kommt in jeder Zeile und in jeder Spalte der Multiplikationstabelle der Quasigruppe oder Cayley-Tabelle genau einmal vor . Diese Eigenschaft stellt sicher, dass die Cayley-Tabelle einer endlichen Quasigruppe und insbesondere endlich group, ist ein lateinisches Quadrat .) Die Eindeutigkeitsanforderung kann durch die Anforderung ersetzt werden, dass das Magma löschbar ist .

Die eindeutigen Lösungen dieser Gleichungen werden geschrieben x = a \ b und y = b / a . Die Operationen '\' und '/' werden als linke Division bzw. rechte Division bezeichnet .

Die leere Menge, die mit der leeren binären Operation ausgestattet ist, erfüllt diese Definition einer Quasigruppe. Einige Autoren akzeptieren die leere Quasigruppe, andere schließen sie jedoch explizit aus.

Universelle Algebra

Bei einer gegebenen algebraischen Struktur ist eine Identität eine Gleichung, in der alle Variablen stillschweigend universell quantifiziert werden und in der alle Operationen zu den primitiven Operationen gehören, die der Struktur eigen sind. Algebraische Strukturen, die ausschließlich durch Identitäten axiomatisiert werden, werden Varietäten genannt . Viele Standardergebnisse in der universellen Algebra gelten nur für Varietäten. Quasigruppen sind Varietäten, wenn linke und rechte Teilung als primitiv angesehen werden.

Eine Quasigruppe ( Q , ∗, \, /) ist eine Algebra vom Typ (2,2,2) (dh mit drei binären Operationen ausgestattet), die die Identitäten erfüllt:

y = x ∗ ( x \ y ),
y = x \ ( xy ),
y = ( y / x ) x ,
y = ( y * x ) / x .

Mit anderen Worten: Multiplikation und Division in beliebiger Reihenfolge, nacheinander, auf derselben Seite mit demselben Element haben keinen Nettoeffekt.

Wenn also ( Q , ∗) eine Quasigruppe nach der ersten Definition ist, dann ist ( Q , ∗, \, /) dieselbe Quasigruppe im Sinne der universellen Algebra. Und umgekehrt: Wenn ( Q , ∗, \, /) eine Quasigruppe im Sinne der universellen Algebra ist, dann ist ( Q , ∗) eine Quasigruppe nach der ersten Definition.

Schleifen

Algebraische Strukturen zwischen Magmen und Gruppen.

Eine Schleife ist eine Quasigruppe mit einem Identitätselement ; das heißt, ein Element, e , so dass

x * e = x und e * x = x für alle x in Q .

Daraus folgt, dass das Identitätselement e eindeutig ist und dass jedes Element von Q eindeutige linke und rechte Inverse hat (die nicht gleich sein müssen).

Eine Quasigruppe mit einem idempotenten Element wird als pique ("spitze idempotente Quasigruppe" bezeichnet); dies ist ein schwächerer Begriff als eine Schleife aber häufig dennoch , weil zum Beispiel eine gegebene abelschen Gruppe , ( A , +) , ergibt seine Subtraktion als Quasigruppe Multiplikation Aufnahme eines Piqué ( A , -) wandte sich mit der Gruppenidentität (Null) in einen "spitzen Idempotenten". (Das heißt, es gibt eine Hauptisotopie ( x , y , z ) ↦ ( x , − y , z ) .)

Eine assoziative Schleife ist eine Gruppe. Eine Gruppe kann ein nicht-assoziatives Pique-Isotop haben, aber kein nicht-assoziatives Schleifen-Isotop.

Es gibt schwächere Assoziativitätseigenschaften, denen spezielle Namen gegeben wurden.

Zum Beispiel ist eine Bol-Schleife eine Schleife, die entweder erfüllt:

x ∗ ( y ∗ ( xz )) = ( x ∗ ( yx )) ∗ z      für jedes x , y und z in Q (eine linke Bol-Schleife ),

oder aber

(( Z * x ) * y ) * x = z * (( x * y ) * x ) für jedes x , y und z in Q (a rechten Bol loop ).

Eine Schleife, die sowohl eine linke als auch eine rechte Bol-Schleife ist, ist eine Moufang-Schleife . Dies entspricht einer der folgenden einzelnen Moufang-Identitäten, die für alle x , y , z gelten :

x ∗ ( y ∗ ( xz )) = (( xy ) ∗ x ) ∗ z ,
z ( x ∗ ( yx )) = (( zx ) ∗ y ) ∗ x ,
( X * y ) * ( z * x ) = x * (( y * Z ) * x ) oder
( xy )∗( zx ) = ( x ∗( yz ))∗ x .

Symmetrien

Smith (2007) nennt die folgenden wichtigen Eigenschaften und Unterklassen:

Semisymmetrie

Eine Quasigruppe ist semisymmetrisch, wenn die folgenden äquivalenten Identitäten gelten:

xy = y / x ,
yx = x \ y ,
x = ( yx ) ∗ y ,
x = y ∗ ( xy ).

Obwohl diese Klasse etwas Besonderes erscheinen mag, induziert jede Quasigruppe Q eine semisymmetrische Quasigruppe Q Δ auf dem direkten Produktwürfel Q 3 über die folgende Operation:

wobei "//" und "\\" die durch und gegebenen konjugierten Divisionsoperationen sind .

Trialität

Totale Symmetrie

Eine engere Klasse ist eine total symmetrische Quasigruppe (manchmal abgekürzt TS-Quasigruppe ), in der alle Konjugierten als eine Operation zusammenfallen: xy = x / y = x \ y . Ein anderer Weg (der gleiche Begriff) völlig symmetrische Quasigruppe zu definieren , ist als semisymmetrischen Quasigruppe , die ebenfalls kommutativ ist, dh x * y = y * x .

Idempotente totalsymmetrische Quasigruppen sind genau (dh in einer Bijektion mit) Steiner-Tripeln , daher wird eine solche Quasigruppe auch als Steiner-Quasigruppe bezeichnet , und manchmal wird letztere sogar als Squag abgekürzt ; der Begriff Sloop wird ähnlich für eine Steiner-Quasigruppe definiert, die ebenfalls eine Schleife ist. Ohne Idempotenz entsprechen total symmetrische Quasigruppen dem geometrischen Begriff des erweiterten Steiner-Tripels , auch Generalized Elliptic Cubic Curve (GECC) genannt.

Totale Antisymmetrie

Eine Quasigruppe ( Q , ∗) heißt total antisymmetrisch, wenn für alle c , x , yQ die beiden folgenden Implikationen gelten:

  1. ( cx ) y = ( cy ) x impliziert x = y
  2. x * y = y * x impliziert , dass x = y .

Sie heißt schwach total antisymmetrisch, wenn nur die erste Implikation gilt.

Diese Eigenschaft wird beispielsweise im Damm-Algorithmus benötigt .

Beispiele

  • Jede Gruppe ist eine Schleife, denn ax = b genau dann, wenn x = a −1b , und ya = b genau dann, wenn y = ba −1 .
  • Die ganzen Zahlen Z (oder die rationalen Q oder die reellen Zahlen R ) mit Subtraktion (−) bilden eine Quasigruppe. Diese Quasigruppen sind keine Schleifen, weil es kein Identitätselement gibt (0 ist eine rechte Identität, weil a − 0 = a , aber keine linke Identität, weil im Allgemeinen 0 − aa ).
  • Die von Null verschiedenen rationalen Zahlen Q × (oder die von Null verschiedenen Realen R × ) mit Division (÷) bilden eine Quasigruppe.
  • All Vektorraum über ein Feld der Charakteristik nicht gleich 2 bildet eine idempotent , kommutative Quasigruppe unter dem Betrieb x * y = ( x + y ) / 2 .
  • Jedes Steiner-Tripelsystem definiert eine idempotente , kommutative Quasigruppe: ab ist das dritte Element des Tripels, das a und b enthält . Diese Quasigruppen erfüllen auch ( xy ) ∗ y = x für alle x und y in der Quasigruppe. Diese Quasigruppen werden als Steiner-Quasigruppen bezeichnet .
  • Die Menge {±1, ±i, ±j, ±k} mit ii = jj = kk = +1 und mit allen anderen Produkten wie in der Quaternionengruppe bildet eine nichtassoziative Schleife der Ordnung 8. Siehe hyperbolische Quaternionen für ihre Anwendung. (Die hyperbolischen Quaternionen selbst bilden keine Schleife oder Quasigruppe.)
  • Die Oktonionen ungleich null bilden bei der Multiplikation eine nichtassoziative Schleife. Die Oktonionen sind eine spezielle Art von Schleife, die als Moufang-Schleife bekannt ist .
  • Ein assoziatives Quasigruppe ist entweder leer ist oder eine Gruppe, da , wenn es zumindest ein Element ist, das Invertierbarkeit kombinierte der Quasigruppe binären Operation mit Assoziativität die Existenz eines Identitätselementes beinhaltet , das dann die Existenz inverser Elemente impliziert somit erfüllt all drei Anforderungen einer Gruppe.
  • Der folgende Bau geht auf Hans Zassenhaus zurück . Auf der zugrunde liegenden Menge des vierdimensionalen Vektorraums F 4 über dem 3-elementigen Galoisfeld F = Z /3 Z definiere
( x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ) ∗ ( y 1 , y 2 , y 3 , y 4 ) = ( x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ) + ( y 1 , y 2 , y 3 , y 4 ) + (0, 0, 0, ( x 3y 3 )( x 1 y 2x 2 y 1 )).
Dann ist ( F 4 , ∗) eine kommutative Moufang-Schleife , die keine Gruppe ist.
  • Ganz allgemein bilden die von Null verschiedenen Elemente einer Divisionalgebra eine Quasigruppe.

Eigenschaften

Im Rest des Artikels werden wir Quasigruppenmultiplikation einfach durch Nebeneinanderstellung bezeichnen .

Quasigruppen haben die Aufhebungseigenschaft : wenn ab = ac , dann b = c . Dies folgt aus der Eindeutigkeit der linken Teilung von ab oder ac durch a . In ähnlicher Weise gilt, wenn ba = ca , dann b = c .

Die Eigenschaft des lateinischen Quadrats von Quasigruppen impliziert, dass bei gegebenen zwei der drei Variablen in xy = z die dritte Variable eindeutig bestimmt ist.

Multiplikationsoperatoren

Die Definition einer Quasigruppe kann als Bedingungen für die linken und rechten Multiplikationsoperatoren L x , R x : QQ , definiert durch

Die Definition besagt, dass beide Abbildungen Bijektionen von Q auf sich selbst sind. Ein Magma Q ist genau dann eine Quasigruppe, wenn alle diese Operatoren für jedes x in Q bijektiv sind. Die inversen Abbildungen sind Links- und Rechtsteilung, d.h.

In dieser Notation sind die Identitäten unter den Multiplikations- und Divisionsoperationen der Quasigruppe (angegeben im Abschnitt über die universelle Algebra )

wobei 1 die Identitätsabbildung auf Q bezeichnet .

Lateinische Quadrate

Ein lateinisches Quadrat, das grenzenlose Einmaleins für eine Quasigruppe, deren 10 Elemente die Ziffern 0–9 sind.

Die Multiplikationstabelle einer endlichen Quasigruppe ist ein lateinisches Quadrat : eine n × n- Tabelle, die mit n verschiedenen Symbolen so gefüllt ist , dass jedes Symbol in jeder Zeile und in jeder Spalte genau einmal vorkommt.

Umgekehrt kann jedes lateinische Quadrat in vielerlei Hinsicht als Multiplikationstabelle einer Quasigruppe aufgefasst werden: Die Randzeile (enthält die Spaltenüberschriften) und die Randspalte (enthält die Zeilenüberschriften) können jeweils eine beliebige Permutation der Elemente sein. Siehe kleine lateinische Quadrate und Quasigruppen .

Unendliche Quasigruppen

Für eine abzählbar Quasigruppe Q ist es möglich , eine unendliche Array , in dem ein Element in jeder Zeile und jeder Spalte entspricht , sich vorzustellen , q von Q , und in dem das Element a * b in der Reihe ist , zu den entsprechenden a und die Säule zu reagieren b . Auch in dieser Situation besagt die Latin Square-Eigenschaft, dass jede Zeile und jede Spalte des unendlichen Arrays jeden möglichen Wert genau einmal enthalten wird.

Für eine unabzählbar unendliche Quasigruppe, wie die Gruppe der reellen Zahlen ungleich Null bei der Multiplikation, gilt immer noch die Eigenschaft des lateinischen Quadrats, obwohl der Name etwas unbefriedigend ist, da es nicht möglich ist, die Kombinationsreihe zu erzeugen, zu der die obige Idee von ein unendliches Array erstreckt sich, da die reellen Zahlen nicht alle in einer Folge geschrieben werden können . (Dies ist jedoch etwas irreführend, da die reellen Zahlen unter Annahme des Wohlordnungssatzes in einer Sequenz der Länge geschrieben werden können .)

Inverse Eigenschaften

Die binäre Operation einer Quasigruppe ist in dem Sinne invertierbar, dass sowohl und , der linke als auch der rechte Multiplikationsoperator , bijektiv und damit invertierbar sind .

Jedes Schleifenelement hat eine eindeutige linke und rechte Inverse gegeben durch

Eine Schleife hat ( zweiseitige ) Inverse, wenn für alle x . In diesem Fall wird das inverse Element normalerweise mit bezeichnet .

Es gibt einige stärkere Begriffe von Inversen in Schleifen, die oft nützlich sind:

  • Eine Schleife hat die linke inverse Eigenschaft, wenn für alle und . Äquivalent oder .
  • Eine Schleife hat die richtige inverse Eigenschaft, wenn für alle und . Äquivalent oder .
  • Eine Schleife hat die antiautomorphe inverse Eigenschaft if oder äquivalent if .
  • Eine Schleife hat die schwache inverse Eigenschaft bei , wenn und nur wenn . Dies kann als Umkehrung über oder äquivalent ausgedrückt werden .

Eine Schleife hat die inverse Eigenschaft, wenn sie sowohl die linke als auch die rechte inverse Eigenschaft besitzt. Schleifen mit inversen Eigenschaften haben auch antiautomorphe und schwach inverse Eigenschaften. Tatsächlich hat jede Schleife, die zwei der obigen vier Identitäten erfüllt, die inverse Eigenschaft und erfüllt daher alle vier.

Jede Schleife, die die linken, rechten oder antiautomorphen inversen Eigenschaften erfüllt, hat automatisch zweiseitige Inverse.

Morphismen

Eine Quasigruppe oder eine Schleife Homomorphismus ist eine Karte f  : QP zwischen zwei Quasigruppen derart , dass f ( xy ) = f ( x ) f ( y ) . Quasigruppenhomomorphismen bewahren notwendigerweise die linke und rechte Teilung sowie Identitätselemente (falls vorhanden).

Homotopie und Isotopie

Seien Q und P Quasigruppen. Eine Quasigruppenhomotopie von Q nach P ist ein Tripel (α, β, γ) von Abbildungen von Q nach P mit

für alle x , y in Q . Ein Quasigruppenhomomorphismus ist nur eine Homotopie, für die die drei Abbildungen gleich sind.

Eine Isotopie ist eine Homotopie, für die jede der drei Abbildungen (α, β, γ) eine Bijektion ist . Zwei Quasigruppen sind isotopisch, wenn zwischen ihnen eine Isotopie besteht. In lateinischen Quadraten ausgedrückt, wird eine Isotopie (α, β, γ) durch eine Permutation der Zeilen α, eine Permutation der Spalten β und eine Permutation der zugrunde liegenden Elementmenge γ gegeben.

Eine Autotopie ist eine Isotopie von einer Quasigruppe zu sich selbst. Die Menge aller Autotopien einer Quasigruppe bilden eine Gruppe mit der Automorphismusgruppe als Untergruppe.

Jede Quasigruppe ist isotopisch zu einer Schleife. Wenn eine Schleife isotop zu einer Gruppe ist, dann ist sie isomorph zu dieser Gruppe und somit selbst eine Gruppe. Jedoch muss eine Quasigruppe, die zu einer Gruppe isotop ist, keine Gruppe sein. Zum Beispiel ist die Quasigruppe auf R mit Multiplikation gegeben durch ( x + y )/2 isotop zur additiven Gruppe ( R , +) , aber selbst keine Gruppe. Jede mediale Quasigruppe ist nach dem Bruck-Toyoda-Theorem isotop zu einer abelschen Gruppe .

Konjugation (Parastroph)

Links- und Rechtsteilung sind Beispiele für die Bildung einer Quasigruppe durch Vertauschen der Variablen in der Definitionsgleichung. Von dem ursprünglichen Betrieb * (dh x * y = z ) können wir fünf neue Operationen bilden: x o y  : = y * x (die entgegengesetzte Operation), / und \ und ihre Gegensätze. Das macht insgesamt sechs Quasigruppenoperationen, die Konjugate oder Parastrophen von genannt werden. Beliebige zwei dieser Operationen werden als "konjugiert" oder "parastrophisch" zueinander (und zu sich selbst) bezeichnet.

Isostrophe (Paratopie)

Wenn die Menge Q zwei Quasigruppenoperationen und · hat, und eine davon isotopisch zu einer Konjugierten der anderen ist, nennt man die Operationen isostrophisch zueinander. Es gibt auch viele andere Namen für diese Beziehung der "Isostrophe", zB Paratopie .

Verallgemeinerungen

Polyadische oder multiäre Quasigruppen

Eine n - ary Quasigruppe ist eine Gruppe mit einer n - ary Operation , ( F , f ) mit f : Q nQ , so dass die Gleichung f ( x 1 , ..., x n ) = y eine eindeutige Lösung für eine beliebige Variable, wenn alle anderen n Variablen willkürlich angegeben werden. Polyadisch oder multiär bedeutet n- är für eine nicht negative ganze Zahl n .

Eine 0- äre oder nulläre Quasigruppe ist nur ein konstantes Element von Q . Eine 1-äre oder unäre Quasigruppe ist eine Bijektion von Q mit sich selbst. Eine binäre oder 2-äre Quasigruppe ist eine gewöhnliche Quasigruppe.

Ein Beispiel für eine multiary Quasigruppe ist eine iterierte Gruppenoperation, y = x 1 · x 2 · ··· · x n ; Es ist nicht erforderlich, Klammern zu verwenden, um die Reihenfolge der Operationen anzugeben, da die Gruppe assoziativ ist. Man kann auch eine multiäre Quasigruppe bilden, indem man eine beliebige Folge derselben oder verschiedener Gruppen- oder Quasigruppenoperationen durchführt, wenn die Reihenfolge der Operationen angegeben ist.

Es gibt multiäre Quasigruppen, die auf keine dieser Weisen dargestellt werden können. Eine n- äre Quasigruppe ist irreduzibel, wenn ihre Operation nicht wie folgt in die Zusammensetzung zweier Operationen einbezogen werden kann:

wobei 1 ≤ i < jn und ( i, j ) ≠ (1, n ) . Für alle n > 2 existieren endliche irreduzible n- äre Quasigruppen ; siehe Akivis und Goldberg (2001) für Details.

Eine n- äre Quasigruppe mit einer n- ären Version der Assoziativität wird als n- äre Gruppe bezeichnet .

Rechts- und Linksquasigruppen

Eine rechte Quasigruppe ( Q , ∗, /) ist eine Algebra vom Typ (2,2), die beide Identitäten erfüllt: y = ( y / x ) ∗ x ; y = ( y * x ) / x .

In ähnlicher Weise ist eine linke Quasigruppe ( Q , ∗, \) eine Algebra vom Typ (2,2), die beide Identitäten erfüllt: y = x ∗ ( x \ y ); y = x \ ( x * y ).

Anzahl kleiner Quasigruppen und Schleifen

Die Anzahl der Isomorphismusklassen kleiner Quasigruppen (Sequenz A057991 im OEIS ) und Schleifen (Sequenz A057771 im OEIS ) ist hier angegeben:

Befehl Anzahl Quasigruppen Anzahl Schleifen
0 1 0
1 1 1
2 1 1
3 5 1
4 35 2
5 1.411 6
6 1.130.531 109
7 12.198.455.835 23.746
8 2.697.818.331.680.661 106.228.849
9 15.224.734.061.438.247.321.497 9.365.022.303.540
10 2.750.892.211.809.150.446.995.735.533.513 20.890.436.195.945.769.617
11 19.464.657.391.668.924.966.791.023.043.937.578.299.025 1.478.157.455.158.044.452.849.321.016

Siehe auch

Anmerkungen

Verweise

Externe Links