Algebraischer Bruch - Algebraic fraction

In der Algebra ist ein algebraischer Bruch ein Bruch, dessen Zähler und Nenner algebraische Ausdrücke sind . Zwei Beispiele für algebraische Brüche sind und . Algebraische Brüche unterliegen denselben Gesetzen wie arithmetische Brüche . ${\displaystyle {\frac {3x}{x^{2}+2x-3}}}$${\displaystyle {\frac {\sqrt {x+2}}{x^{2}-3}}}$

Ein rationaler Bruch ist ein algebraischer Bruch, dessen Zähler und Nenner beide Polynome sind . Also ein rationaler Bruch, aber nicht weil der Zähler eine Quadratwurzelfunktion enthält. ${\displaystyle {\frac {3x}{x^{2}+2x-3}}}$${\displaystyle {\frac {\sqrt {x+2}}{x^{2}-3}},}$

Terminologie

In der algebraischen Fraktion , die Dividende a wird der angerufene Zähler und der Divisor B wird der genannte Nenner . Zähler und Nenner werden Terme des algebraischen Bruchs genannt. ${\displaystyle {\tfrac {a}{b}}}$

Ein komplexer Bruch ist ein Bruch, dessen Zähler oder Nenner oder beides einen Bruch enthält. Ein einfacher Bruch enthält weder im Zähler noch im Nenner einen Bruch. Ein Bruch ist in kleinsten Termen, wenn der einzige Faktor, der Zähler und Nenner gemeinsam haben, 1 ist.

Ein Ausdruck, der nicht in Bruchform vorliegt, ist ein ganzzahliger Ausdruck . Ein ganzzahliger Ausdruck kann immer in Bruchform geschrieben werden, indem man ihm den Nenner 1 gibt. Ein gemischter Ausdruck ist die algebraische Summe von einem oder mehreren ganzzahligen Ausdrücken und einem oder mehreren Bruchtermen.

Rationale Brüche

Wenn die Ausdrücke a und b sind Polynome wird die algebraische Fraktion eine gerufene rationale algebraische Fraktion oder einfach rationalen Bruch . Rationale Brüche werden auch als rationale Ausdrücke bezeichnet. Eine rationale Fraktion heißt richtige , wenn und unsachgemäße anders. Zum Beispiel ist der rationale Bruch richtig, und die rationalen Brüche und sind uneigentlich. Jeder unechte rationale Bruch kann als Summe eines Polynoms (möglicherweise konstant) und eines echten rationalen Bruchs ausgedrückt werden. Im ersten Beispiel eines unechten Bruches hat man ${\displaystyle {\tfrac {f(x)}{g(x)}}}$${\displaystyle \deg f(x)<\deg g(x)}$${\displaystyle {\tfrac {2x}{x^{2}-1}}}$${\displaystyle {\tfrac {x^{3}+x^{2}+1}{x^{2}-5x+6}}}$${\displaystyle {\tfrac {x^{2}-x+1}{5x^{2}+3}}}$

${\displaystyle {\frac {x^{3}+x^{2}+1}{x^{2}-5x+6}}=(x+6)+{\frac {24x-35}{x ^{2}-5x+6}},}$

wobei der zweite Term ein echter rationaler Bruch ist. Auch die Summe zweier echter rationaler Brüche ist ein echter rationaler Bruch. Der umgekehrte Vorgang, einen echten rationalen Bruch als Summe von zwei oder mehr Brüchen auszudrücken, wird als Auflösen in partielle Brüche bezeichnet . Beispielsweise,

${\displaystyle {\frac {2x}{x^{2}-1}}={\frac {1}{x-1}}+{\frac {1}{x+1}}.}$

Hier werden die beiden Terme rechts Partialbrüche genannt.

Irrationale Brüche

Ein irrationaler Bruch ist einer, der die Variable unter einem gebrochenen Exponenten enthält. Ein Beispiel für einen irrationalen Bruch ist

${\displaystyle {\frac {x^{1/2}-{\tfrac {1}{3}}a}{x^{1/3}-x^{1/2}}}.}$

Die Umwandlung eines irrationalen Bruchs in einen rationalen Bruch wird als Rationalisierung bezeichnet . Jeder irrationale Bruch, bei dem die Reste Monome sind, kann rationalisiert werden, indem man das kleinste gemeinsame Vielfache der Indizes der Wurzeln findet und die Variable durch eine andere Variable mit dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen als Exponenten ersetzt. In dem angegebenen Beispiel ist das kleinste gemeinsame Vielfache 6, daher können wir ersetzen , um zu erhalten ${\displaystyle x=z^{6}}$

${\displaystyle {\frac {z^{3}-{\tfrac {1}{3}}a}{z^{2}-z^{3}}}.}$

Verweise

• Brink, Raymond W. (1951). "IV. Brüche" . Hochschulalgebra .