Rayleigh-Lorentz-Pendel - Rayleigh–Lorentz pendulum

Das Rayleigh-Lorentz-Pendel (oder Lorentz-Pendel ) ist ein einfaches Pendel , das jedoch aufgrund einer äußeren Einwirkung einer langsam variierenden Frequenz ausgesetzt ist (die Frequenz wird durch Variation der Pendellänge variiert), benannt nach Lord Rayleigh und Hendrik Lorentz . Dieses Problem bildete die Grundlage für das Konzept der adiabatischen Invarianten in der Mechanik. Aufgrund der langsamen Frequenzänderung wird gezeigt, dass das Verhältnis von durchschnittlicher Energie zu Frequenz konstant ist.

Geschichte

Das Pendelproblem wurde erstmals 1902 von Lord Rayleigh formuliert , obwohl einige mathematische Aspekte bereits 1895 von Léon Lecornu erörtert wurden. Hendrik Lorentz schlug auf der ersten Solvay-Konferenz 1911 die Frage vor: Wie funktioniert ein einfaches Pendel? Verhalten, wenn die Länge des hängenden Fadens allmählich verkürzt wird? , um die damalige Quantentheorie zu klären . Darauf antwortete Albert Einstein am nächsten Tag, dass sich sowohl die Energie als auch die Frequenz des Quantenpendels so ändern, dass ihr Verhältnis konstant ist, so dass sich das Pendel im gleichen Quantenzustand wie der Ausgangszustand befindet. Diese beiden getrennten Arbeiten bildeten die Grundlage für das Konzept der adiabatischen Invariante , das auf verschiedenen Gebieten und in der alten Quantentheorie Anwendung fand . 1958 interessierte sich Subrahmanyan Chandrasekhar für das Problem und untersuchte es, so dass ein erneutes Interesse an dem Problem entstand, das anschließend von vielen anderen Forschern wie John Edensor Littlewood usw. untersucht wurde.

Mathematische Beschreibung

Die Gleichung der einfachen harmonischen Bewegung mit der Frequenz für die Verschiebung ist gegeben durch ${\ displaystyle \ omega}$${\ displaystyle x (t)}$

${\ displaystyle {\ frac {d ^ {2} x} {dt ^ {2}}} + \ omega ^ {2} x = 0.}$

Wenn die Frequenz konstant ist, ist die Lösung einfach gegeben durch . Wenn sich die Frequenz jedoch langsam mit der Zeit ändern darf oder genau, wenn die charakteristische Zeitskala für die Frequenzänderung viel kleiner als die Zeitdauer der Schwingung ist, d.h. ${\ displaystyle x = A \ cos (\ omega t + \ phi)}$${\ displaystyle \ omega = \ omega (t)}$

${\ displaystyle \ left | {\ frac {1} {\ omega}} {\ frac {d \ omega} {dt}} \ right | \ ll \ omega,}$

dann kann gezeigt werden, dass

${\ displaystyle {\ frac {\ overline {E}} {\ omega}} = {\ text {Konstante}},}$

wo ist die durchschnittliche Energie gemittelt über eine Schwingung. Da sich die Frequenz aufgrund äußerer Einwirkung mit der Zeit ändert, gilt die Energieerhaltung nicht mehr und die Energie über eine einzelne Schwingung ist nicht konstant. Während einer Schwingung ändert sich die Frequenz (jedoch langsam), ebenso wie ihre Energie. Um das System zu beschreiben, definiert man daher die durchschnittliche Energie pro Masseneinheit für ein gegebenes Potential wie folgt ${\ displaystyle {\ overline {E}}}$${\ displaystyle V (x; \ omega)}$

${\ displaystyle {\ begin {align} {\ overline {E}} = \ oint dt \ left [{\ frac {1} {2}} \ left ({\ frac {dx} {dt}} \ right) ^ {2} + V (x (t); \ omega (t)) \ rechts] / \ oint dt \ end {align}}}$

wobei das geschlossene Integral anzeigt, dass es eine vollständige Schwingung übernimmt. Auf diese Weise definiert ist ersichtlich, dass die Mittelung erfolgt, wobei jedes Element der Umlaufbahn mit dem Zeitanteil gewichtet wird, den das Pendel in diesem Element verbringt. Für einen einfachen harmonischen Oszillator reduziert er sich auf

${\ displaystyle {\ overline {E}} = {\ frac {1} {2}} A ^ {2} \ omega ^ {2}}$

wo sowohl die Amplitude als auch die Frequenz jetzt Funktionen der Zeit sind.

Verweise