Reale projektive Ebene - Real projective plane

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Das Fundamentalpolygon der projektiven Ebene.
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Die Möbius-Leiste mit einer einzigen Kante kann durch Zusammenkleben gegenüberliegender offener Kanten zu einer projektiven Ebene geschlossen werden.
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Im Vergleich dazu ist die Klein-Flasche ein zu einem Zylinder geschlossener Möbius-Streifen.

In der Mathematik ist die reelle projektive Ebene ein Beispiel für eine kompakte nicht orientierbare zweidimensionale Mannigfaltigkeit ; mit anderen Worten, eine einseitige Oberfläche . Es kann nicht in einen dreidimensionalen Standardraum eingebettet werden, ohne sich selbst zu schneiden. Es hat grundlegende Anwendungen in der Geometrie , da die gängige Konstruktion der reellen projektiven Ebene als Raum von Linien in R 3 ist, die durch den Ursprung gehen.

Die Ebene wird auch oft topologisch beschrieben, im Sinne einer Konstruktion nach dem Möbius-Streifen : Könnte man die (Einzel-)Kante des Möbius-Streifens in der richtigen Richtung mit sich selbst verkleben, so erhält man die projektive Ebene. (Dies ist im dreidimensionalen Raum nicht möglich, ohne dass sich die Oberfläche selbst schneidet.) Entsprechend ergibt das Kleben einer Scheibe entlang der Grenze des Möbius-Streifens die projektive Ebene. Topologisch hat es das Euler-Merkmal 1, also einen Demigenus (nicht orientierbare Gattung, Euler-Gattung) von 1.

Da der Möbiusstreifen wiederum aus einem Quadrat konstruiert werden kann, indem zwei seiner Seiten zusammengeklebt werden, kann die reelle projektive Ebene somit als Einheitsquadrat dargestellt werden (also [0, 1] × [0,1] ) mit seinen durch die folgenden Äquivalenzrelationen identifizierten Seiten :

(0, y ) ~ (1, 1 − y ) für 0 ≤  y  ≤ 1

und

( x , 0) ~ (1 − x , 1) für 0 ≤  x  ≤ 1,

wie in dem hier ganz links gezeigten Diagramm.

Beispiele

Die projektive Geometrie beschäftigt sich nicht unbedingt mit der Krümmung und die reale projektive Ebene kann auf viele verschiedene Arten verdreht und in der Euklidischen Ebene oder im 3-Raum platziert werden. Einige der wichtigeren Beispiele werden im Folgenden beschrieben.

Die projektive Ebene kann nicht (also ohne Schnitt) in den dreidimensionalen euklidischen Raum eingebettet werden . Der Beweis, dass die projektive Ebene nicht in den dreidimensionalen euklidischen Raum einbettet, geht so: Unter der Annahme, dass sie einbettet, würde sie durch den verallgemeinerten Jordan-Kurvensatz eine kompakte Region im dreidimensionalen euklidischen Raum begrenzen . Das nach außen zeigende Einheitsnormalenvektorfeld würde dann eine Orientierung der Randmannigfaltigkeit liefern , aber die Randmannigfaltigkeit wäre die projektive Ebene , die nicht orientierbar ist. Dies ist ein Widerspruch, und daher muss unsere Annahme, dass es eingebettet ist, falsch gewesen sein.

Die projektive Kugel

Betrachten Sie eine Kugel und lassen Sie die Großkreise der Kugel "Linien" und Paare von antipodalen Punkten "Punkte" sein. Es ist leicht zu überprüfen, ob dieses System die für eine projektive Ebene geforderten Axiome erfüllt :

  • jedes Paar unterschiedlicher Großkreise trifft sich an einem Paar antipodischer Punkte; und
  • Zwei beliebige Paare von Antipodenpunkten liegen auf einem einzigen Großkreis.

Wenn wir jeden Punkt auf der Kugel mit seinem Antipodenpunkt identifizieren, erhalten wir eine Darstellung der realen projektiven Ebene, in der die "Punkte" der projektiven Ebene wirklich Punkte sind. Dies bedeutet, dass die projektive Ebene der Quotientenraum der Kugel ist, der durch Unterteilung der Kugel in Äquivalenzklassen unter der Äquivalenzrelation ~ erhalten wird, wobei x ~ y wenn y = x oder y = −x ist. Dieser Quotientenraum der Kugel ist homöomorph mit der Sammlung aller Linien, die durch den Ursprung in R 3 gehen .

Die Quotientenabbildung von der Kugel auf die reale projektive Ebene ist tatsächlich eine zweischichtige (dh zwei-zu-eins) überdeckende Abbildung . Daraus folgt, dass die Fundamentalgruppe der reellen projektiven Ebene die zyklische Gruppe der Ordnung 2 ist; dh ganze Zahlen modulo 2. Man kann die Schleife AB aus der obigen Abbildung als Generator nehmen.

Die projektive Hemisphäre

Da die Kugel die reale projektive Ebene zweimal überdeckt, kann die Ebene als geschlossene Halbkugel dargestellt werden, um deren Rand gegenüberliegende Punkte auf ähnliche Weise identifiziert werden.

Jungenoberfläche – ein Eintauchen

Die projektive Ebene kann in den 3-Raum eingetaucht werden (lokale Nachbarschaften des Quellraums haben keine Selbstschnittpunkte). Die Oberfläche des Jungen ist ein Beispiel für ein Eintauchen.

Polyedrische Beispiele müssen mindestens neun Seiten haben.

Römische Oberfläche

Eine Animation der römischen Oberfläche

Die römische Oberfläche von Steiner ist eine entartetere Karte der projektiven Ebene in den 3-Raum, die eine Kreuzkappe enthält .

Das Tetrahemihexaeder ist eine polyedrische Darstellung der reellen projektiven Ebene.

Eine polyedrische Darstellung ist das Tetrahemihexaeder , das die gleiche allgemeine Form wie die hier gezeigte römische Oberfläche von Steiner hat.

Halbpolyeder

In die entgegengesetzte Richtung blickend , können bestimmte abstrakte regelmäßige PolytopeHalbwürfel , Halbdodekaeder und Halbikosaeder – als regelmäßige Figuren in der projektiven Ebene konstruiert werden ; siehe auch projektive Polyeder .

Planare Projektionen

Es wurden verschiedene planare (flache) Projektionen oder Abbildungen der projektiven Ebene beschrieben. 1874 beschrieb Klein die Kartierung:

Die zentrale Projektion der projektiven Hemisphäre auf eine Ebene ergibt die übliche unendliche projektive Ebene, die unten beschrieben wird.

Cross-Caped-Festplatte

Eine geschlossene Oberfläche wird durch Verkleben einer Scheibe mit einer Kreuzkappe erzielt . Diese Fläche kann parametrisch durch die folgenden Gleichungen dargestellt werden:

wo sowohl u und v Bereich von 0 bis 2 π .

Diese Gleichungen sind denen eines Torus ähnlich . Abbildung 1 zeigt eine geschlossene Scheibe mit Kreuzkappe.

CrossCapTwoViews.PNG
Abbildung 1. Zwei Ansichten einer kreuzverschlossenen Scheibe.

Eine Scheibe mit Kreuzkappe hat eine Symmetrieebene, die durch ihr Liniensegment aus Doppelpunkten verläuft. In Abbildung 1 ist die Scheibe mit Kreuzkappe von oberhalb ihrer Symmetrieebene z = 0 zu sehen, aber von unten würde sie genauso aussehen.

Eine Scheibe mit Kreuzkappe kann entlang ihrer Symmetrieebene aufgeschnitten werden, wobei darauf zu achten ist, dass sie nicht entlang einer ihrer Doppelpunkte geschnitten wird. Das Ergebnis ist in Abbildung 2 dargestellt.

CrossCapSlicedOpen.PNG
Abbildung 2. Zwei Ansichten einer aufgeschnittenen Scheibe mit Kreuzkappe.

Sobald diese Ausnahme gemacht wurde, ist ersichtlich, dass die geschnittene Scheibe mit Kreuzkappe zu einer sich selbst schneidenden Scheibe homöomorph ist , wie in Abbildung 3 gezeigt.

SelfIntersectingDisk.PNG
Abbildung 3. Zwei alternative Ansichten einer sich selbst schneidenden Scheibe.

Die sich selbst schneidende Scheibe ist homöomorph zu einer gewöhnlichen Scheibe. Die parametrischen Gleichungen der sich selbst schneidenden Scheibe lauten:

wobei u im Bereich von 0 bis 2 π und v im Bereich von 0 bis 1.

Projiziert man die sich selbst schneidende Scheibe auf die Symmetrieebene ( z = 0 in der oben angegebenen Parametrisierung), die nur durch die Doppelpunkte geht, erhält man eine gewöhnliche Scheibe, die sich wiederholt (auf sich selbst verdoppelt).

Die Ebene z = 0 schneidet das selbstschneidende Scheibe in ein Paar von Scheiben , die Spiegel sind Reflexionen voneinander. Die Scheiben haben Zentren im Ursprung .

Betrachten Sie nun die Ränder der Scheiben (mit v = 1). Die Punkte auf dem Rand der sich selbst schneidenden Scheibe kommen paarweise vor, die Spiegelungen voneinander in Bezug auf die Ebene z = 0 sind.

Eine Scheibe mit Kreuzkappe wird gebildet, indem diese Punktpaare identifiziert werden, wodurch sie einander äquivalent gemacht werden. Dies bedeutet, dass ein Punkt mit Parametern ( u , 1) und Koordinaten mit dem Punkt ( u + π, 1) identifiziert wird , dessen Koordinaten sind . Dies bedeutet jedoch, dass Paare von gegenüberliegenden Punkten am Rand der (äquivalenten) gewöhnlichen Scheibe miteinander identifiziert werden; So entsteht aus einer Scheibe eine reale projektive Ebene. Daher ist die in Abbildung 1 dargestellte Fläche (Kreuzkappe mit Scheibe) topologisch äquivalent zur realen projektiven Ebene RP 2 .

Homogene Koordinaten

Die Punkte in der Ebene können durch homogene Koordinaten dargestellt werden . Ein Punkt hat homogene Koordinaten [ x  :  y  :  z ], wobei die Koordinaten [ x  :  y  :  z ] und [ tx  :  ty  :  tz ] für alle Werte von t ungleich Null als denselben Punkt gelten . Die Punkte mit den Koordinaten [ x  :  y  : 1] sind die übliche reelle Ebene , der endliche Teil der projektiven Ebene , und die Punkte mit den Koordinaten [ x  :  y  : 0] , die Punkte im Unendlichen oder Idealpunkte genannt werden , bilden eine Gerade namens die Linie im Unendlichen . (Die homogenen Koordinaten [0 : 0 : 0] stellen keinen Punkt dar.)

Die Linien in der Ebene können auch durch homogene Koordinaten dargestellt werden. Eine der Ebene ax + by + cz = 0 im R 3 entsprechende projektive Linie hat die homogenen Koordinaten ( a  :  b  :  c ). Somit haben diese Koordinaten die Äquivalenzbeziehung ( a  :  b  :  c ) = ( da  :  db  :  dc ) für alle von Null verschiedenen Werte von d . Daher ergibt eine andere Gleichung der gleichen Geraden dax  +  dby  +  dcz  = 0 die gleichen homogenen Koordinaten. Ein Punkt [ x  :  y  :  z ] liegt auf einer Geraden ( a  :  b  :  c ) wenn ax  +  by  +  cz  = 0. Also Linien mit Koordinaten ( a  :  b  :  c ) wo ab nicht beide 0 entsprechen zu den Linien in der üblichen reellen Ebene , weil sie Punkte enthalten, die nicht im Unendlichen liegen. Die Gerade mit Koordinaten (0 : 0 : 1) ist die Gerade im Unendlichen, da die einzigen Punkte auf ihr die mit  z  = 0 sind.

Punkte, Linien und Ebenen

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Eine Linie in P 2 kann durch die Gleichung ax + by + cz = 0 dargestellt werden. Wenn wir a , b und c als den Spaltenvektor ℓ behandeln und x , y , z als den Spaltenvektor x, dann kann die obige Gleichung lauten in Matrixform geschrieben als:

x T = 0 oder T x = 0.

In der Vektorschreibweise können wir stattdessen x = 0 oder x = 0 schreiben .

Die Gleichung k ( x T l ) = 0 (wobei k einem von Null verschiedenen Skalare) Sweeps aus einer Ebene, die durch Null geht in R 3 und k ( x ) Sweeps aus einer Linie, wieder durch Null gehen. Ebene und Gerade sind lineare Unterräume im R 3 , die immer durch Null gehen.

Idealpunkte

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In P 2 ist die Gleichung einer Linie ax + by + cz = 0 und diese Gleichung kann eine Linie auf jeder Ebene parallel zur x , y- Ebene darstellen, indem die Gleichung mit k multipliziert wird .

Für z = 1 haben wir eine normierte homogene Koordinate. Alle Punkte mit z = 1 bilden eine Ebene. Nehmen wir an, wir blicken auf diese Ebene (von einer Position weiter außen entlang der z- Achse und zurück zum Ursprung) und es sind zwei parallele Linien auf der Ebene gezeichnet. Von unserem Standort aus können wir (angesichts unserer Sehfähigkeiten) nur so viel von der Ebene sehen, die wir als den rot umrandeten Bereich im Diagramm darstellen. Wenn wir entlang der z- Achse von der Ebene weggehen (immer noch rückwärts zum Ursprung schauen), können wir mehr von der Ebene sehen. In unserem Blickfeld haben sich ursprüngliche Punkte verschoben. Wir können diese Bewegung widerspiegeln, indem wir die homogene Koordinate durch eine Konstante teilen. Im nebenstehenden Bild haben wir durch 2 geteilt, sodass der z- Wert jetzt 0,5 wird. Wenn wir weit genug weggehen, wird das, was wir sehen, zu einem Punkt in der Ferne. Beim Weggehen sehen wir immer mehr parallele Linien. Die Linien treffen sich auf einer Linie im Unendlichen (eine Linie, die in der Ebene bei z = 0 durch Null geht ). Geraden auf der Ebene bei z = 0 sind ideale Punkte. Die Ebene bei z = 0 ist die Gerade im Unendlichen.

Der homogene Punkt (0, 0, 0) ist der Punkt , an dem sich alle reellen Punkte befinden, wenn Sie die Ebene aus unendlicher Entfernung betrachten, eine Linie auf der z = 0- Ebene ist der Schnittpunkt paralleler Linien.

Dualität

Projektives Geometriediagramm 2.svg

In der Gleichung x T = 0 gibt es zwei Spaltenvektoren . Sie können das eine konstant halten und das andere variieren. Wenn wir den Punkt x konstant halten und die Koeffizienten variieren, erzeugen wir neue Linien, die durch den Punkt gehen. Wenn wir die Koeffizienten konstant halten und die Punkte variieren, die die Gleichung erfüllen, erstellen wir eine Linie. Wir betrachten x als einen Punkt, weil die von uns verwendeten Achsen x , y und z sind . Wenn wir stattdessen die Koeffizienten Achse aufgetragen markiert a , b , c Punkte Linien werden würde und Linien würden Punkte geworden. Wenn Sie etwas mit den Daten beweisen, die auf den mit x , y und z gekennzeichneten Achsen aufgetragen sind , kann das gleiche Argument für die Daten verwendet werden, die auf den mit a , b und c gekennzeichneten Achsen aufgetragen sind . Das ist Dualität.

Linien, die Punkte und Schnittpunkte von Linien verbinden (unter Verwendung der Dualität)

Die Gleichung x T = 0 berechnet das innere Produkt zweier Spaltenvektoren. Das innere Produkt zweier Vektoren ist Null, wenn die Vektoren orthogonal sind . In P 2 kann die Linie zwischen den Punkten x 1 und x 2 als ein Spaltenvektor ℓ dargestellt werden , der die Gleichungen x 1 T = 0 und x 2 T = 0 erfüllt , oder anders ausgedrückt ein Spaltenvektor , der . ist orthogonal zu x 1 und x 2 . Das Kreuzprodukt findet einen solchen Vektor: Die Linie, die zwei Punkte verbindet, hat homogene Koordinaten, die durch die Gleichung x 1 × x 2 gegeben sind . Der Schnittpunkt zweier Geraden kann in gleicher Weise unter Verwendung der Dualität als Kreuzprodukt der die Geraden darstellenden Vektoren 1 × 2 gefunden werden .

Einbettung in 4-dimensionalen Raum

Die projektive Ebene bettet sich in den 4-dimensionalen euklidischen Raum ein. Die reelle projektive Ebene P 2 ( R ) ist der Quotient der Zweisphäre

S 2 = {( x , y , z ) R 3  : x 2 + y 2 + z 2 = 1}

durch die antipodale Beziehung ( x , y , z ) ~ (− x , − y , − z ) . Betrachten Sie die Funktion R 3R 4 gegeben durch ( x , y , z ) ↦ ( xy , xz , y 2z 2 , 2 yz ) . Diese Abbildung beschränkt sich auf eine Abbildung, deren Bereich S 2 ist, und da jede Komponente ein homogenes Polynom geraden Grades ist, nimmt sie dieselben Werte in R 4 an jedem von zwei beliebigen antipodalen Punkten auf S 2 an . Dies ergibt eine Abbildung P 2 ( R ) → R 4 . Darüber hinaus ist diese Karte eine Einbettung. Beachten Sie, dass diese Einbettung eine Projektion in R 3 zulässt, das die römische Fläche ist .

Höhere nicht orientierbare Oberflächen

Durch sukzessives Zusammenkleben projektiver Ebenen erhalten wir nicht-orientierbare Flächen höheren Demigenus . Der Klebeprozess besteht darin, aus jeder Oberfläche eine kleine Scheibe auszuschneiden und deren Begrenzungskreise zu identifizieren (zu kleben ). Durch das Verkleben zweier projektiver Ebenen entsteht die Klein-Flasche .

Der Artikel über das Fundamentalpolygon beschreibt die höheren nicht-orientierbaren Flächen.

Siehe auch

Verweise

  • Coxeter, HSM (1955), The Real Projective Plane , 2. Aufl. Cambridge: Bei der Universitätspresse.
  • Reinhold Baer, ​​Lineare Algebra und projektive Geometrie, Dover, 2005 ( ISBN  0-486-44565-8 )
  • Richter, David A., Two Models of the Real Projective Plane , abgerufen 2010-04-15

Externe Links