Reziprokes Gitter - Reciprocal lattice

Das computergenerierte reziproke Gitter eines fiktiven monoklinen 3D-Kristalls.
Ein zweidimensionaler Kristall und sein reziprokes Gitter

In der Physik repräsentiert das reziproke Gitter die Fourier-Transformation eines anderen Gitters (normalerweise ein Bravais-Gitter ). Im normalen Gebrauch ist das Anfangsgitter (dessen Transformation durch das reziproke Gitter dargestellt wird) normalerweise eine periodische räumliche Funktion im realen Raum und wird auch als direktes Gitter bezeichnet . Während das direkte Gitter im realen Raum existiert und allgemein als physikalisches Gitter (z. B. ein Kristallgitter) verstanden wird, existiert das reziproke Gitter im reziproken Raum (auch bekannt als Impulsraum oder seltener als K-Raum , aufgrund der Beziehung zwischen dem Pontryagin-Dualen Impuls und Position). Das reziproke Gitter eines reziproken Gitters ist äquivalent zum ursprünglichen direkten Gitter, weil die Definitionsgleichungen bezüglich der Vektoren im reziproken und reziproken Raum symmetrisch sind. Mathematisch repräsentieren direkte und reziproke Gittervektoren kovariante bzw. kontravariante Vektoren .

Das reziproke Gitter ist die Menge aller Vektoren , also Wellenvektoren ebener Wellen in der Fourierreihe einer Raumfunktion, deren Periodizität gleich der eines direkten Gitters ist . Jede ebene Welle in dieser Fourier-Reihe hat dieselbe Phase oder Phasen, die sich an jedem direkten Gitterpunkt um ein Vielfaches von unterscheiden (also im Wesentlichen dieselbe Phase an allen direkten Gitterpunkten).

Das reziproke Gitter spielt eine sehr grundlegende Rolle in den meisten analytischen Studien periodischer Strukturen, insbesondere in der Beugungstheorie . In Neutronen und Röntgenbeugung aufgrund der Laue Bedingungen , die Impulsdifferenz zwischen ankommenden und gebeugten Röntgenstrahlen eines Kristalls ist ein reziproker Gittervektor. Das Beugungsmuster eines Kristalls kann verwendet werden, um die reziproken Vektoren des Gitters zu bestimmen. Mit diesem Verfahren kann man auf die atomare Anordnung eines Kristalls schließen.

Die Brillouin-Zone ist eine Wigner-Seitz-Zelle des reziproken Gitters.

Wellenbasierte Beschreibung

Gegenseitiger Raum

Der reziproke Raum (auch k- Raum genannt ) bietet eine Möglichkeit, die Ergebnisse der Fourier-Transformation einer räumlichen Funktion zu visualisieren . Es ist in seiner Rolle dem Frequenzbereich ähnlich, der sich aus der Fourier-Transformation einer zeitabhängigen Funktion ergibt; reziproker Raum ist ein Raum, über dem die Fourier-Transformation einer Raumfunktion bei Ortsfrequenzen oder Wellenvektoren von ebenen Wellen der Fourier-Transformation dargestellt wird. Der Bereich der Raumfunktion selbst wird oft als realer Raum bezeichnet . Bei physikalischen Anwendungen, wie der Kristallographie, sind sowohl der reale als auch der reziproke Raum häufig jeweils zwei- oder dreidimensional. Während die räumlichen Abmessungen dieser beiden zugeordneten Räume gleich sind, unterscheiden sich die Räume in ihren Längeneinheiten, so dass, wenn der reale Raum Längeneinheiten L hat , sein reziproker Raum Einheiten von eins geteilt durch die Länge L hat, also L −1 (der Kehrwert der Länge).

Der reziproke Raum kommt sowohl bei klassischen als auch bei quantenmechanischen Wellen ins Spiel. Da eine sinus ebene Welle mit Einheitsamplitude kann als Schwingungs Begriff geschrieben werden , mit einem anfänglichen Phase , Winkelwellenzahl und Winkelfrequenz , sie kann als Funktion von sowohl angesehen werden , und (und der zeitlich variierenden Teil als eine Funktion von beidem und ) . Diese komplementäre Rolle von und führt zu ihrer Visualisierung in komplementären Räumen (dem realen Raum und dem reziproken Raum). Die räumliche Periodizität dieser Welle wird durch ihre Wellenlänge definiert , wobei ; daher ist die entsprechende Wellenzahl im reziproken Raum .

In drei Dimensionen wird der entsprechende ebene Wellenterm zu , was zu einer festen Zeit vereinfacht wird , wo der Positionsvektor eines Punktes im realen Raum und jetzt der Wellenvektor im dreidimensionalen reziproken Raum ist. (Die Größe eines Wellenvektors ist Wellenzahl bezeichnet.) Die Konstante ist die Phase der Wellenfront (eine Ebene einer konstante Phase) durch den Ursprung zur Zeit , und ein Einheitsvektor senkrecht zu dieser Wellenfront. Die Wellenfronten mit Phasen , wobei jede ganze Zahl repräsentiert, umfassen einen Satz paralleler Ebenen, die gleichmäßig durch die Wellenlänge beabstandet sind .

Reziprokes Gitter

Im Allgemeinen ist ein geometrisches Gitter eine unendliche, regelmäßige Anordnung von Scheitelpunkten (Punkten) im Raum, die vektoriell als Bravais-Gitter modelliert werden können . Einige Gitter können schief sein, was bedeutet, dass ihre Primärlinien nicht unbedingt im rechten Winkel verlaufen. Im reziproken Raum ist ein reziprokes Gitter definiert als die Menge von Wellenvektoren von ebenen Wellen in der Fourier-Reihe einer beliebigen Funktion, deren Periodizität mit der eines anfänglichen direkten Gitters im realen Raum kompatibel ist. Äquivalent ist ein Wellenvektor ein Scheitelpunkt des reziproken Gitters, wenn er einer ebenen Welle im Realraum entspricht, deren Phase zu jedem Zeitpunkt an jedem direkten Gittereckpunkt gleich ist (tatsächlich um eine ganze Zahl abweicht ).

Ein heuristischer Ansatz reziproke Gitter in drei Dimensionen zu konstruieren ist , um den Positionsvektor eines Scheitels des direkten Gitters zu schreiben , wie , wo die ganze Zahlen definiert den Scheitelpunkt und das ist linear unabhängig primitive Translationsvektoren (oder kurz genannt primitive Vektoren), das Charakteristik des Gitters. Es gibt dann eine eindeutige ebene Welle (bis zu einem Faktor von negativ eins), deren Wellenfront durch den Ursprung die direkten Gitterpunkte bei und enthält , und mit ihrer benachbarten Wellenfront (deren Phase sich um oder von der vorherigen Wellenfront, die den Ursprung passiert, unterscheidet) passiert durch . Seine Winkelwellenvektor hat die Form , wobei der Einheitsvektor senkrecht zu diesen beiden benachbarten Wellenfronten und die Wellenlänge erfüllen muss , eine Einrichtung , die auf den Abstand zwischen den beiden Wellenfronten entspricht. Daher durch Konstruktion und .

Beim Durchlaufen der Indizes der Reihe nach ergibt die gleiche Methode drei Wellenvektoren mit , wobei das Kronecker-Delta eins ist, wenn es sonst null ist. Sie umfassen einen Satz von drei primitiven Wellenvektoren oder drei primitiven Translationsvektoren für das reziproke Gitter, von denen jeder die Form hat , wobei die ganzen Zahlen sind. Das reziproke Gitter ist auch ein Bravais-Gitter, da es durch ganzzahlige Kombinationen der primitiven Vektoren, also in diesem Fall , , und gebildet wird. Die einfache Algebra zeigt dann, dass für jede ebene Welle mit einem Wellenvektor auf dem reziproken Gitter die gesamte Phasenverschiebung zwischen dem Ursprung und jedem Punkt auf dem direkten Gitter ein Vielfaches von ist (das möglicherweise Null sein kann, wenn der Multiplikator Null ist), also die Phase der ebenen Welle mit wird für jeden direkten Gitterknoten im Wesentlichen gleich sein, in Übereinstimmung mit der obigen reziproken Gitterdefinition. (Obwohl jeder Wellenvektor auf dem reziproken Gitter immer diese Form annimmt , ist diese Ableitung eher motivierend als rigoros, weil sie den Beweis weggelassen hat, dass keine anderen Möglichkeiten existieren.)

Die Brillouin-Zone ist eine primitive Zelle (genauer eine Wigner-Seitz-Zelle ) des reziproken Gitters, die aufgrund des Bloch-Theorems eine wichtige Rolle in der Festkörperphysik spielt . In der reinen Mathematik, der Dualraum von linearen Formen und die duale Gitter bieten abstraktere Verallgemeinerungen des reziproken Raumes und des reziproken Gitters.

Mathematische Beschreibung

Demonstration der Beziehung zwischen reellem und reziproken Gitter. Ein 2D-Gitter im Realraum (rote Punkte) mit primitiven Vektoren und werden durch blaue bzw. grüne Pfeile angezeigt. Oben sind ebene Wellen der Form aufgetragen. Daraus sehen wir, dass wenn eine ganzzahlige Kombination aus reziproker Gittervektorbasis und (dh jedem reziproken Gittervektor) die resultierenden ebenen Wellen die gleiche Periodizität des Gitters haben - das heißt, dass jede Verschiebung von einem Punkt (orange dargestellt) zu einem Punkt ( rot dargestellt), der Wert der ebenen Welle ist gleich. Diese ebenen Wellen können addiert werden und die obige Beziehung gilt weiterhin.

Unter der Annahme eines dreidimensionalen Bravais-Gitters und Kennzeichnung jedes Gittervektors (ein Vektor, der einen Gitterpunkt anzeigt) durch den Index als 3-Tupel von ganzen Zahlen,

wo

wo ist die Menge von ganzen Zahlen und ist ein primitiver Übersetzungsvektor oder kurz primitiver Vektor. Nimmt man eine Funktion, wobei ein Positionsvektor vom Ursprung zu einer beliebigen Position ist, wenn der Periodizität dieses Gitters folgt, z. B. die Funktion, die die Elektronendichte in einem Atomkristall beschreibt, ist es nützlich, als mehrdimensionale Fourier-Reihe zu schreiben

wo jetzt der tiefgestellte Index ist , also ist dies eine dreifache Summe.

Wie aus der Periodizität des Gitters folgt, erhalten wir bei der Übersetzung durch einen beliebigen Gittervektor den gleichen Wert, also

.

Um das Obige stattdessen in Bezug auf ihre Fourier-Reihen auszudrücken, haben wir

.

Da die Gleichheit zweier Fourier-Reihen die Gleichheit ihrer Koeffizienten impliziert, , die nur gilt, wenn

wo

Mathematisch ist das reziproke Gitter die Menge aller Vektoren , das sind Wellenvektoren von ebenen Wellen in der Fourier-Reihe einer Raumfunktion, deren Periodizität gleich der eines direkten Gitters ist wie die Menge aller direkten Gitterpunkt-Positionsvektoren , und erfüllen diese Gleichberechtigung für alle . Jede ebene Welle in der Fourier-Reihe hat an allen Gitterpunkten die gleiche Phase (kann sich tatsächlich um ein Vielfaches von unterscheiden ) .

Wie im Abschnitt mehrdimensionale Fourier-Reihen gezeigt , kann in der Form wo gewählt werden . Bei dieser Form ist das reziproke Gitter als Menge aller Wellenvektoren für die Fourier-Reihe einer räumlichen Funktion, der die Periodizität folgt , selbst ein Bravais-Gitter, da es aus ganzzahligen Kombinationen seiner eigenen primitiven Translationsvektoren und dem Kehrwert der reziproken Gitter ist das ursprüngliche Gitter, das die Pontryagin-Dualität ihrer jeweiligen Vektorräume offenbart . (Es kann eine andere Form von geben . Jede gültige Form von Ergebnissen im gleichen reziproken Gitter.)

Zwei Dimensionen

Für ein unendliches zweidimensionales Gitter, das durch seine primitiven Vektoren definiert ist , kann sein reziprokes Gitter bestimmt werden, indem seine beiden reziproken primitiven Vektoren durch die folgenden Formeln erzeugt werden:

wo ist eine ganze Zahl und

Hier stellt eine 90 - Grad - Rotationsmatrix , dh eine q uarter Umdrehung. Sowohl die Drehung gegen den Uhrzeigersinn als auch die Drehung im Uhrzeigersinn können verwendet werden, um das reziproke Gitter zu bestimmen: Wenn ist die Drehung gegen den Uhrzeigersinn und die Drehung im Uhrzeigersinn, für alle Vektoren . Mit der Permutation

wir erhalten

Drei Dimensionen

Für ein unendliches dreidimensionales Gitter , das durch seine primitiven Vektoren und den Index der ganzen Zahlen definiert ist , kann sein reziprokes Gitter mit dem ganzzahligen Index bestimmt werden, indem seine drei reziproken primitiven Vektoren erzeugt werden

wo ist das skalare Tripelprodukt . Die Wahl dieser besteht darin, die bekannte Bedingung (es kann andere Bedingung geben.) von primitiven Translationsvektoren für das reziproke Gitter zu erfüllen , die in dem obigen heuristischen Ansatz und dem Abschnitt mehrdimensionale Fourier-Reihen abgeleitet wurden . Diese Wahl erfüllt auch die oben mathematisch abgeleitete Forderung des reziproken Gitters . Unter Verwendung der Spaltenvektordarstellung von (reziproken) primitiven Vektoren können die obigen Formeln mit Matrixinversion umgeschrieben werden :

Diese Methode appelliert an die Definition und erlaubt eine Verallgemeinerung auf beliebige Dimensionen. Die Kreuzproduktformel dominiert die Einführungsmaterialien in die Kristallographie.

Die obige Definition wird als "Physik"-Definition bezeichnet, da der Faktor von natürlich aus dem Studium periodischer Strukturen stammt. Eine im Wesentlichen äquivalente Definition, die Definition des "Kristallographen", kommt von der Definition des reziproken Gitters . was die reziproken primitiven Vektoren zu ändert

und so weiter für die anderen primitiven Vektoren. Die Definition des Kristallographen hat den Vorteil, dass die Definition von nur der reziproke Betrag von in Richtung von ist , wobei der Faktor von sinkt . Dies kann bestimmte mathematische Manipulationen vereinfachen und drückt die reziproken Gitterabmessungen in Einheiten der Ortsfrequenz aus . Es ist Geschmackssache, welche Definition des Gitters verwendet wird, solange die beiden nicht vermischt werden.

wird konventionell als oder geschrieben , genannt Miller-Indizes ; wird ersetzt durch , ersetzt durch und ersetzt durch . Jeder Gitterpunkt im reziproken Gitter entspricht einer Menge von Gitterebenen im Realraumgitter . (Eine Gitterebene ist eine Ebene, die Gitterpunkte kreuzt.) Die Richtung des reziproken Gittervektors entspricht der Normalen zu den reellen Raumebenen. Die Größe des reziproken Gittervektors wird als reziproke Länge angegeben und ist gleich dem Kehrwert des Interplanarabstands der reellen Raumebenen.

Maße

Die Formel für Dimensionen lässt sich unter der Annahme eines -dimensionalen reellen Vektorraums mit Basis und innerem Produkt herleiten . Die reziproken Gittervektoren werden durch die Formel eindeutig bestimmt . Verwendung der Permutation

sie können mit folgender Formel bestimmt werden:

Hier ist die Volumenform , ist die Umkehrung des Vektorraum-Isomorphismus definiert durch und bezeichnet die innere Multiplikation .

Man kann überprüfen , dass diese Formel zu den bekannten Formeln für die Zwei- äquivalent ist und dreidimensionaler Fall durch die folgenden Tatsachen verwenden: In drei Dimensionen und in zwei Dimensionen , wobei die Drehung um 90 Grad (genau wie die Volumenform , der einer Drehung zugeordnete Winkel hängt von der Wahl der Orientierung ab).

Reziproke Gitter verschiedener Kristalle

Reziproke Gitter für das kubische Kristallsystem sind wie folgt.

Einfaches kubisches Gitter

Der einfache kubische Bravaisgitter mit kubischer primitiver Zelle von Seiten , liegt das reziprokes ein einfaches kubisches Gitter mit einer kubischen primitiven Zelle Seite (oder in dem Kristallograph Definition). Das kubische Gitter wird daher als selbstdual bezeichnet und hat im reziproken Raum die gleiche Symmetrie wie im realen Raum.

Kubikflächenzentriertes (FCC) Gitter

Das reziproke Gitter zu einem FCC-Gitter ist das kubisch-raumzentrierte (BCC) Gitter mit einer Würfelseite von .

Betrachten Sie eine FCC-Verbundelementarzelle. Lokalisieren Sie eine primitive Elementarzelle der FCC; dh eine Elementarzelle mit einem Gitterpunkt. Nehmen Sie nun einen der Eckpunkte der primitiven Elementarzelle als Ursprung. Geben Sie die Basisvektoren des reellen Gitters an. Dann können Sie aus den bekannten Formeln die Basisvektoren des reziproken Gitters berechnen. Diese reziproken Gittervektoren der FCC repräsentieren die Basisvektoren eines realen BCC-Gitters. Beachten Sie, dass die Basisvektoren eines reellen BCC-Gitters und des reziproken Gitters eines FCC sich in Richtung, aber nicht in der Größe ähneln.

Körperzentriertes kubisches Gitter (BCC)

Das reziproke Gitter zu einem BCC- Gitter ist das FCC- Gitter mit einer Würfelseite von .

Es lässt sich leicht nachweisen, dass nur die Bravais-Gitter mit 90 Grad dazwischen (kubisch, tetragonal, orthorhombisch) primitive Translationsvektoren für das reziproke Gitter, , parallel zu ihren Realraumvektoren haben.

Einfaches sechseckiges Gitter

Der Kehrwert zu einem einfachen hexagonalen Bravais-Gitter mit Gitterkonstanten und ist ein weiteres einfaches hexagonales Gitter mit Gitterkonstanten und gegenüber dem direkten Gitter um 30° um die c-Achse gedreht. Das einfache hexagonale Gitter wird daher als selbstdual bezeichnet und hat die gleiche Symmetrie im reziproken Raum wie im realen Raum. Primitive Translationsvektoren für diese einfachen hexagonalen Bravais-Gittervektoren sind , , und .

Beliebige Ansammlung von Atomen

Schatten eines facettierten Kohlenstoff-Pentacon-Intensitätsgitters mit 118 Atomen, das bei der Beugung rot aufleuchtet, wenn es die Ewald-Kugel schneidet.

Ein Weg zum reziproken Gitter einer willkürlichen Ansammlung von Atomen kommt von der Idee der Streuwellen im Fraunhofer -Limit (Fern- oder Linsen-Back-Focal-Plane) als Huygenssche Summe der Amplituden von allen Streupunkten (in in diesem Fall von jedem einzelnen Atom). Diese Summe wird in der folgenden Gleichung durch die komplexe Amplitude bezeichnet , da sie auch die Fourier-Transformierte (als Funktion der Ortsfrequenz oder des Kehrabstands) eines effektiven Streupotentials im direkten Raum ist:

Hier ist g = q /(2π) der Streuvektor q in Kristallographeneinheiten, N ist die Anzahl der Atome, f j [ g ] ist der atomare Streufaktor für Atom j und Streuvektor g , während r j die Vektorposition von ist Atom j. Beachten Sie, dass die Fourier-Phase von der Wahl des Koordinatenursprungs abhängt.

Für den Spezialfall eines unendlich periodischen Kristalls ist die Streuamplitude F = MF hkl aus M Elementarzellen (wie in den obigen Fällen) nur für ganzzahlige Werte von ungleich Null , wobei

wenn es j=1,m Atome innerhalb der Elementarzelle gibt, deren Bruchgitterindizes jeweils {u j , v j , w j } sind. Um Effekte aufgrund endlicher Kristallgröße zu berücksichtigen, muss stattdessen natürlich eine Formfaltung für jeden Punkt oder die obige Gleichung für ein endliches Gitter verwendet werden.

Ob die Anordnung der Atome endlich oder unendlich ist, kann man sich auch ein "Intensitätsreziprokengitter" I[ g ] vorstellen , das sich über die übliche Beziehung I = F * F auf das Amplitudengitter F bezieht, wobei F * die komplex Konjugierte von F . ist Da die Fourier-Transformation natürlich reversibel ist, wirft dieser Akt der Umwandlung in die Intensität "alle außer dem 2. Moment" (dh die Phasen-) Information heraus. Für den Fall einer beliebigen Ansammlung von Atomen ist das reziproke Intensitätsgitter daher:

Dabei ist r jk der Vektorabstand zwischen Atom j und Atom k. Dies kann auch verwendet werden, um den Effekt der Nanokristallitform und subtile Änderungen der Strahlorientierung auf detektierte Beugungspeaks vorherzusagen, selbst wenn der Cluster in einigen Richtungen nur ein Atom dick ist. Auf der anderen Seite betrachten Streuberechnungen mit dem reziproken Gitter grundsätzlich eine einfallende ebene Welle. Nach einem ersten Blick auf reziproke Gittereffekte (kinematische Streuung) können daher auch Strahlverbreiterung und Mehrfachstreuungseffekte (dh dynamische ) berücksichtigt werden.

Verallgemeinerung eines dualen Gitters

Tatsächlich gibt es zwei Versionen in Mathematik des abstrakten Doppelgitter Konzept für ein gegebenes Gitter L in einem realen Vektorraum V , von endlicher Dimension .

Die erste, die direkt die reziproke Gitterkonstruktion verallgemeinert, verwendet die Fourier-Analyse . Es kann einfach in Begriffen der Pontryagin-Dualität ausgedrückt werden . Die duale Gruppe V ^ zu V ist wieder ein reeller Vektorraum, und ihre abgeschlossene Untergruppe L ^ dual zu L erweist sich als Gitter in V ^. Daher ist L ^ der natürliche Kandidat für ein duales Gitter in einem anderen Vektorraum (der gleichen Dimension).

Der andere Aspekt wird beim Vorhandensein einer quadratischen Form Q auf V gesehen ; wenn es nicht entartet ist , erlaubt es eine Identifizierung des Dualraums V * von V mit V . Die Beziehung von V * zu V ist nicht intrinsisch; es hängt von einer Wahl des Haar-Maßes (Volumenelement) auf V ab . Aber bei einer Identifizierung der beiden, die auf jeden Fall bis auf einen Skalar wohldefiniert ist, erlaubt die Anwesenheit von Q , mit dem dualen Gitter zu L zu sprechen, während man innerhalb von V bleibt .

In der Mathematik ist das duale Gitter eines gegebenen Gitters L in einer abelschen lokal kompakten topologischen Gruppe G die Untergruppe L der dualen Gruppe von G bestehend aus allen stetigen Zeichen, die an jedem Punkt von L gleich eins sind .

In der diskreten Mathematik ist ein Gitter eine lokal diskrete Menge von Punkten, die durch alle ganzzahligen Linearkombinationen von dim = n linear unabhängigen Vektoren in R n beschrieben wird . Das duale Gitter wird dann durch alle Punkte in der linearen Spanne des ursprünglichen Gitters (typischerweise alle von R^n) mit der Eigenschaft definiert, dass sich aus dem inneren Produkt mit allen Elementen des ursprünglichen Gitters eine ganze Zahl ergibt. Daraus folgt, dass das Dual des dualen Gitters das ursprüngliche Gitter ist.

Wenn wir außerdem der Matrix B erlauben, Spalten als linear unabhängige Vektoren zu haben, die das Gitter beschreiben, dann ist die Matrix

hat Spalten von Vektoren, die das duale Gitter beschreiben.

Siehe auch

Verweise

Externe Links