Refactorable Nummer - Refactorable number

Demonstration mit Cuisenaire-Stäben , dass 1, 2, 8, 9 und 12 umgestaltbar sind

Eine umgestaltbare Zahl oder Tau-Zahl ist eine ganze Zahl n , die durch die Anzahl ihrer Teiler teilbar ist , oder algebraisch ausgedrückt, n ist so, dass . Die ersten refactorable Nummern sind in (Sequenz A033950 im OEIS ) als aufgeführt ${\ displaystyle \ tau (n) \ mid n}$

1 , 2 , 8 , 9 , 12 , 18 , 24 , 36 , 40 , 56 , 60 , 72 , 80 , 84 , 88 , 96 , 104 , 108 , 128 , 132 , 136 , 152 , 156 , 180 , 184 , 204 , 225 , 228 , 232 , 240 , 248 , 252 , 276 , 288 , 296 , ...

Zum Beispiel hat 18 6 Teiler (1 und 18, 2 und 9, 3 und 6) und ist durch 6 teilbar. Es gibt unendlich viele umgestaltbare Zahlen.

Eigenschaften

Cooper und Kennedy haben bewiesen, dass refactorable Zahlen eine natürliche Dichte von Null haben. Zelinsky hat bewiesen, dass keine drei aufeinander folgenden ganzen Zahlen alle umgestaltbar sein können. Colton hat bewiesen, dass keine umgestaltbare Zahl perfekt ist . Die Gleichung hat nur dann Lösungen, wenn es sich um eine umgestaltbare Zahl handelt, bei der die größte gemeinsame Teilerfunktion vorliegt. ${\ displaystyle \ gcd (n, x) = \ tau (n)}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle \ gcd}$

Sei die Anzahl der refactorable Zahlen, die höchstens sind . Das Problem der Bestimmung eines Asymptotikums für ist offen. Spiro hat das bewiesen${\ displaystyle T (x)}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle T (x)}$${\ displaystyle T (x) = {\ frac {x} {{\ sqrt {\ log x}} (\ log \ log x) ^ {o (1)}}}$

Es gibt immer noch ungelöste Probleme in Bezug auf umgestaltbare Zahlen. Colton fragte, ob es dort beliebig große gibt, so dass beide und refactorable sind. Zelinsky fragte sich, ob es eine refactorable Nummer gibt , gibt es notwendigerweise eine solche, die refactorable ist und . ${\ displaystyle n}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle n + 1}$${\ displaystyle n_ {0} \ equiv a \ mod m}$${\ displaystyle n> n_ {0}}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle n \ equiv a \ mod m}$

Geschichte

Zuerst von Curtis Cooper und Robert E. Kennedy definiert, wo sie zeigten, dass die Tau-Zahlen eine natürliche Dichte von Null haben, wurden sie später von Simon Colton mit einem von ihm erstellten Computerprogramm wiederentdeckt , das Definitionen aus verschiedenen Bereichen der Mathematik erfindet und beurteilt, wie z Zahlentheorie und Graphentheorie . Colton nannte solche Zahlen "refactorable". Während Computerprogramme zuvor Beweise entdeckt hatten, war diese Entdeckung eines der ersten Male, dass ein Computerprogramm eine neue oder zuvor undurchsichtige Idee entdeckte. Colton bewies viele Ergebnisse über umgestaltbare Zahlen, zeigte, dass es unendlich viele gab, und bewies eine Vielzahl von Kongruenzbeschränkungen für ihre Verteilung. Colton wurde erst später alarmiert, dass Kennedy und Cooper das Thema zuvor untersucht hatten.

Siehe auch

• Divisor-Funktion

Verweise