Regulus (Geometrie) - Regulus (geometry)

Ein String-Modell eines Teils eines Regulus und seines Gegenteils, um die Regeln auf einem Hyperboloid eines Blattes zu zeigen

Im dreidimensionalen Raum ist ein Regulus R eine Menge von Schräglinien , von denen sich jeder Punkt auf einer Querlinie befindet, die ein Element von R nur einmal schneidet , und so, dass jeder Punkt auf einer Querlinie auf einer Linie von R liegt

Die Menge der Transversalen von R bildet eine gegenüberliegende Regulus S . In ℝ ^{3 ist} die Vereinigung R ∪ S die Regelfläche eines Hyperboloids eines Blattes .

Drei Schräglinien bestimmen einen Regulus:

Der Ort der Linien, die auf drei gegebene Schräglinien treffen, wird als Regulus bezeichnet . Galluccis Theorem zeigt, dass die Linien, die die Generatoren des Regulus treffen (einschließlich der ursprünglichen drei Linien), einen anderen "assoziierten" Regulus bilden, so dass jeder Generator eines Regels jeden Generator des anderen trifft. Die beiden Regler sind die beiden Generatorsysteme eines Regelquadrats .

Laut Charlotte Scott "liefert der Regulus äußerst einfache Beweise für die Eigenschaften eines Kegels ... die Sätze von Chasles, Brianchon und Pascal ..."

In einer endlichen Geometrie PG (3, q ) hat ein Regulus q + 1 Linien. Zum Beispiel beschrieb William Edge 1954 in PG (3,3) ein Paar von Reguli mit jeweils vier Zeilen.

Robert JT Bell beschrieb, wie der Regulus durch eine sich bewegende gerade Linie erzeugt wird. Zunächst wird das Hyperboloid als berücksichtigt ${\ displaystyle {\ frac {x ^ {2}} {a ^ {2}}} + {\ frac {y ^ {2}} {b ^ {2}}} - {\ frac {z ^ {2} } {c ^ {2}}} \ = \ 1}$

${\ displaystyle \ left ({\ frac {x} {a}} + {\ frac {z} {c}} \ right) \ left ({\ frac {x} {a}} - {\ frac {z} {c}} \ rechts) \ = \ \ links (1 + {\ frac {y} {b}} \ rechts) \ links (1 - {\ frac {y} {b}} \ rechts).}$

Dann erfüllen zwei durch λ und μ parametrisierte Liniensysteme diese Gleichung:

${\ displaystyle {\ frac {x} {a}} + {\ frac {z} {c}} \ = \ \ lambda \ left (1 + {\ frac {y} {b}} \ right), \ quad {\ frac {x} {a}} - {\ frac {z} {c}} \ = \ {\ frac {1} {\ lambda}} \ left (1 - {\ frac {y} {b}} \Recht)}$ und

${\ displaystyle {\ frac {x} {a}} - {\ frac {z} {c}} \ = \ \ mu \ left (1 + {\ frac {y} {b}} \ right), \ quad {\ frac {x} {a}} + {\ frac {z} {c}} \ = \ {\ frac {1} {\ mu}} \ left (1 - {\ frac {y} {b}} \Recht).}$

Kein Mitglied der ersten Reihe von Zeilen ist Mitglied der zweiten. Wenn λ oder μ variiert, wird das Hyperboloid erzeugt. Die beiden Mengen repräsentieren einen Regulus und sein Gegenteil. Mit Hilfe der analytischen Geometrie beweist Bell, dass sich keine zwei Generatoren in einer Menge schneiden und dass sich zwei Generatoren in entgegengesetzten Regeln schneiden und die Ebene bilden, die an diesem Punkt das Hyperboloid tangiert. (Seite 155).

Siehe auch

• Übersetzungsebene § Reguli und regelmäßige Spreads

Verweise

• HG Forder (1950) Geometry , Seite 118, Hutchinson's University Library.