Responsive Set-Erweiterung - Responsive set extension

In der Gebrauchstheorie ist die RS- Erweiterung ( Responsive Set ) eine Erweiterung einer Präferenzbeziehung für einzelne Elemente zu einer partiellen Präferenzbeziehung für Elementbündel.

Beispiel

Angenommen, es gibt vier Elemente : . Eine Person gibt an, dass sie die Artikel nach der folgenden Gesamtreihenfolge ordnet : ${\ displaystyle w, x, y, z}$

${\ displaystyle w \ prec x \ prec y \ prec z}$

(dh z ist sein bester Gegenstand, dann y, dann x, dann w). Angenommen, die Artikel sind unabhängige Waren , kann man folgendes ableiten:

${\ displaystyle \ {w, x \} \ prec \ {y, z \}}$ - Die Person bevorzugt ihre zwei besten Gegenstände gegenüber seinen zwei schlechtesten Gegenständen.

${\ displaystyle \ {w, y \} \ prec \ {x, z \}}$ - Die Person bevorzugt ihre besten und drittbesten Gegenstände gegenüber ihren zweitbesten und viertbesten Gegenständen.

Über die Bündel kann man jedoch nichts ableiten ; Wir wissen nicht, welche von ihnen die Person bevorzugt. ${\ displaystyle \ {w, z \}, \ {x, y \}}$

Die RS Erweiterung des Rankings ist eine partielle Ordnung auf dem Bündel von Elementen, die alle Beziehungen enthält , die aus der Position ringt und die Unabhängigkeit Annahme abgeleitet werden können. ${\ displaystyle w \ prec x \ prec y \ prec z}$

Definitionen

Sei eine Menge von Objekten und eine Gesamtreihenfolge auf . ${\ displaystyle O}$${\ displaystyle \ preceq}$${\ displaystyle O}$

Die RS-Erweiterung von ist eine Teilbestellung am . Es kann auf verschiedene äquivalente Arten definiert werden. ${\ displaystyle \ preceq}$${\ displaystyle 2 ^ {O}}$

Responsive Set (RS)

Die ursprüngliche RS-Erweiterung ist wie folgt aufgebaut. Nehmen Sie für jedes Bündel , jeden Artikel und jeden Artikel die folgenden Beziehungen: ${\ displaystyle X \ subseteq O}$${\ displaystyle x \ in X}$${\ displaystyle y \ notin X}$

• ${\ displaystyle X \ setminus \ {x \} \ prec ^ {RS} X}$ (- Durch Hinzufügen eines Elements wird das Bundle verbessert.)
• Wenn dann (- das Ersetzen eines Artikels durch einen besseren Artikel verbessert das Bündel).${\ displaystyle x \ preceq y}$${\ displaystyle X \ preceq ^ {RS} (X \ setminus \ {x \}) \ cup \ {y \}}$

Die RS-Erweiterung ist der transitive Abschluss dieser Beziehungen.

Paarweise Dominanz (PD)

Die PD-Erweiterung basiert auf einer Paarung der Elemente in einem Bundle mit den Elementen im anderen Bundle.

Formal, wenn und nur wenn es eine Injective-Funktion von bis gibt, so dass für jeden , . ${\ displaystyle X \ preceq ^ {PD} Y}$ ${\ displaystyle f}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle x \ in X}$${\ displaystyle x \ preceq f (x)}$

Stochastische Dominanz (SD)

Die SD-Erweiterung (benannt nach stochastischer Dominanz ) wird nicht nur für diskrete Bündel definiert, sondern auch für gebrochene Bündel (Bündel, die Bruchteile von Elementen enthalten). Informell ist ein Bündel Y einem Bündel X gegenüber SD bevorzugt, wenn für jedes Element z das Bündel Y mindestens so viele Objekte enthält, die mindestens so gut wie z sind wie das Bündel X.

Formal, iff, für jeden Artikel : ${\ displaystyle X \ preceq ^ {SD} Y}$${\ displaystyle z}$

${\ displaystyle \ sum _ {x \ succeq z} X [x] \ leq \ sum _ {y \ succeq z} Y [y]}$

wobei der Anteil der Artikel in dem Bündel . ${\ displaystyle X [x]}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle X}$

Wenn die Bündel diskret sind, hat die Definition eine einfachere Form. iff, für jeden Artikel : ${\ displaystyle X \ preceq ^ {SD} Y}$${\ displaystyle z}$

${\ displaystyle | \ {x \ in X | x \ succeq z \} | \ leq | \ {y \ in Y | y \ succeq z \} |}$

Additives Dienstprogramm (AU)

Die AU-Erweiterung basiert auf dem Begriff einer additiven Utility- Funktion.

Viele verschiedene Dienstprogrammfunktionen sind mit einer bestimmten Bestellung kompatibel. Beispielsweise ist die Bestellung mit den folgenden Dienstprogrammfunktionen kompatibel: ${\ displaystyle w \ prec x \ prec y \ prec z}$

${\ displaystyle u_ {1} (w) = 0, u_ {1} (x) = 2, u_ {1} (y) = 4, u_ {1} (z) = 7}$

${\ displaystyle u_ {2} (w) = 0, u_ {2} (x) = 2, u_ {2} (y) = 4, u_ {2} (z) = 5}$

Angenommen, die Elemente sind unabhängig, ist die Dienstprogrammfunktion für Bundles additiv. Der Dienstprogramm eines Bundles ist also die Summe der Dienstprogramme seiner Elemente, zum Beispiel:

${\ displaystyle u_ {1} (\ {w, x \}) = 2, u_ {1} (\ {w, z \}) = 7, u_ {1} (\ {x, y \}) = 6 }}$

${\ displaystyle u_ {2} (\ {w, x \}) = 2, u_ {2} (\ {w, z \}) = 5, u_ {2} (\ {x, y \}) = 6 }}$

Das Bundle ist weniger nützlich als gemäß beiden Dienstprogrammfunktionen. Darüber hinaus gilt für jede Dienstprogrammfunktion, die mit der obigen Rangfolge kompatibel ist: ${\ displaystyle \ {w, x \}}$${\ displaystyle \ {wz \}}$${\ displaystyle u}$

${\ displaystyle u (\ {w, x \}) <u (\ {w, z \})}$.

Im Gegensatz dazu kann der Nutzen des Bündels entweder geringer oder höher sein als der Nutzen von . ${\ displaystyle \ {w, z \}}$${\ displaystyle \ {x, y \}}$

Dies motiviert die folgende Definition:

${\ displaystyle X \ preceq ^ {AU} Y}$iff, für jede additive Dienstprogrammfunktion, die kompatibel ist mit : ${\ displaystyle u}$${\ displaystyle \ preceq}$

${\ displaystyle u (X) \ leq u (Y)}$

Gleichwertigkeit

• ${\ displaystyle X \ preceq ^ {SD} Y}$impliziert . ${\ displaystyle X \ preceq ^ {RS} Y}$
• ${\ displaystyle X \ preceq ^ {RS} Y}$und sind gleichwertig. ${\ displaystyle X \ preceq ^ {PD} Y}$
• ${\ displaystyle X \ preceq ^ {PD} Y}$impliziert . Beweis : Wenn , dann gibt es eine Injektion, so dass für alle , . Daher ist für jede Dienstprogrammfunktion, die mit , . Wenn also additiv ist, dann . ${\ displaystyle X \ preceq ^ {AU} Y}$${\ displaystyle X \ preceq ^ {PD} Y}$${\ displaystyle f: X \ bis Y}$${\ displaystyle x \ in X}$${\ displaystyle x \ preceq f (x)}$${\ displaystyle u}$${\ displaystyle \ preceq}$${\ displaystyle u (x) \ leq u (f (x))}$${\ displaystyle u}$${\ displaystyle u (X) \ leq u (Y)}$
• Es ist bekannt, dass und äquivalent sind, siehe z ${\ displaystyle \ preceq ^ {AU}}$${\ displaystyle \ preceq ^ {SD}}$

Daher sind die vier Erweiterungen und und und alle gleichwertig. ${\ displaystyle \ preceq ^ {RS}}$${\ displaystyle \ preceq ^ {PD}}$${\ displaystyle \ preceq ^ {SD}}$${\ displaystyle \ preceq ^ {AU}}$

Empfänglichkeit

Eine Gesamtbestellung für Bundles wird als reaktionsfähig bezeichnet, wenn sie die Responsive-Set-Erweiterung einer Gesamtbestellung für Artikel enthält. Das heißt, es enthält alle Beziehungen, die durch die zugrunde liegende Reihenfolge der Elemente impliziert werden, und fügt einige weitere Beziehungen hinzu, die weder impliziert noch widersprochen werden.

Reaktionsfähigkeit wird durch Additivität impliziert, aber nicht umgekehrt:

• Wenn eine Gesamtreihenfolge additiv ist (dargestellt durch eine additive Funktion ), enthält sie per Definition die AU-Erweiterung , die äquivalent ist , sodass sie reagiert.${\ displaystyle \ preceq ^ {AU}}$${\ displaystyle \ preceq ^ {RS}}$
• Andererseits kann eine Gesamtreihenfolge ansprechen, aber nicht additiv sein: Sie kann die AU-Erweiterung enthalten, die mit allen additiven Funktionen konsistent ist, kann aber auch andere Beziehungen enthalten, die mit einer einzelnen additiven Funktion nicht übereinstimmen.

Angenommen, es gibt vier Elemente mit . Die Reaktionsfähigkeit beschränkt nur die Beziehung zwischen Bündeln derselben Größe, bei denen ein Artikel ersetzt wurde, oder Bündeln unterschiedlicher Größe, bei denen das Kleine im Großen enthalten ist. Es geht nicht um Bündel unterschiedlicher Größe, die keine Teilmengen voneinander sind. So kann beispielsweise eine Antwortreihenfolge sowohl als auch haben . Dies ist jedoch nicht mit der Additivität vereinbar: Es gibt keine additive Funktion für welche Zeit . ${\ displaystyle w \ prec x \ prec y \ prec z}$${\ displaystyle \ {x \} \ prec \ {y, z \}}$${\ displaystyle \ {w, x \} \ succ \ {w, y, z \}}$${\ displaystyle u (\ {x \}) <u (\ {y, z \})}$${\ displaystyle u (\ {w, x \})> u (\ {w, y, z \})}$

Siehe auch

• Schwach additiv

Verweise