Richard Dedekind- Richard Dedekind

"Dedekind" leitet hier weiter. Für andere Verwendungen siehe Dedekind (Nachname) .

Richard Dedekind
Richard Dedekind 1900s.jpg
Geboren ( 1831-10-06 )6. Oktober 1831
Braunschweig , Herzogtum Braunschweig
Ist gestorben 12. Februar 1916 (1916-02-12)(84 Jahre)
Braunschweig , Deutsches Reich
Staatsangehörigkeit Deutsch
Alma Mater Collegium Carolinum
Universität Göttingen
Bekannt für Dedekind-Schnitt
Dedekind-Peano-Axiome
Abstrakte Algebra
Algebraische Zahlentheorie
Reelle Zahlen
Logik
Wissenschaftlicher Werdegang
Felder Mathematik
Philosophie der Mathematik
Doktoratsberater Carl Friedrich Gauß

Julius Wilhelm Richard Dedekind (6. Oktober 1831 - 12. Februar 1916) war ein deutscher Mathematiker , der wichtige Beiträge zur Zahlentheorie , abstrakten Algebra (insbesondere Ringtheorie ) und den axiomatischen Grundlagen der Arithmetik leistete . Sein bekanntester Beitrag ist die Definition reeller Zahlen durch den Begriff des Dedekind-Schnitts . Er gilt auch als Pionier in der Entwicklung der modernen Mengenlehre und der als Logikismus bezeichneten Philosophie der Mathematik .

Leben

Dedekinds Vater war Julius Levin Ulrich Dedekind, Administrator des Collegium Carolinum in Braunschweig . Seine Mutter war Caroline Henriette Dedekind (geb. Emperius), die Tochter eines Professors am Collegium. Richard Dedekind hatte drei ältere Geschwister. Als Erwachsener benutzte er nie die Namen Julius Wilhelm. Er wurde in Braunschweig (auf Englisch oft "Brunswick" genannt) geboren, wo er die meiste Zeit seines Lebens lebte und dann auch dort starb.

1848 besuchte er zunächst das Collegium Carolinum, bevor er 1850 an die Universität Göttingen wechselte. Dort wurde Dedekind von Professor Moritz Stern in Zahlentheorie unterrichtet . Gauss unterrichtete immer noch, wenn auch meist im Elementarbereich, und Dedekind wurde sein letzter Schüler. Dedepromovierte 1852 mit einer Arbeit des Titel über die Theorie der Eulerschen Integrale ( „Auf der Theorie der Eulersche Integrale “). Diese Dissertation zeigte nicht die Begabung, die Dedekinds spätere Veröffentlichungen zeigten.

Damals war die Universität Berlin und nicht Göttingen die wichtigste Einrichtung für mathematische Forschung in Deutschland. So ging Dedekind für zwei Studienjahre nach Berlin, wo er und Bernhard Riemann Zeitgenossen waren; beide habilitierten sich 1854. Dedekind kehrte nach Göttingen zurück, um als Privatdozent zu unterrichten und Kurse in Wahrscheinlichkeit und Geometrie zu halten . Er studierte eine Zeitlang bei Peter Gustav Lejeune Dirichlet und sie wurden gute Freunde. Wegen anhaltender Schwächen in seinen mathematischen Kenntnissen studierte er elliptische und abelsche Funktionen . Er war aber auch der Erste in Göttingen, der über Galois-Theorie referierte . Um diese Zeit wurde er einer der ersten Menschen , die Bedeutung des Begriffs zu verstehen Gruppen für Algebra und Arithmetik .

1858 begann er an der Polytechnischen Schule in Zürich (heute ETH Zürich) zu unterrichten. Als das Collegium Carolinum 1862 zur Technischen Hochschule aufgewertet wurde , kehrte Dedekind in seine Heimat Braunschweig zurück, wo er den Rest seines Lebens als Lehrbeauftragter am Institut verbrachte. Er ging 1894 in den Ruhestand, unterrichtete aber gelegentlich und veröffentlichte weiterhin. Er hat nie geheiratet, sondern lebt mit seiner Schwester Julia zusammen.

Dedekind wurde in die Akademien von Berlin (1880) und Rom sowie in die Französische Akademie der Wissenschaften (1900) gewählt. Er erhielt Ehrendoktorwürde der Universitäten Oslo , Zürich und Braunschweig .

Arbeit

Dedekind, vor 1886

Während Dedekind zum ersten Mal an der Polytechnischen Schule Mathematik unterrichtete, entwickelte er den Begriff, der heute als Dedekind-Schnitt (deutsch: Schnitt ) bekannt ist, heute eine Standarddefinition der reellen Zahlen. Die Idee eines Schnitts besteht darin, dass eine irrationale Zahl die rationalen Zahlen in zwei Klassen ( Mengen ) teilt , wobei alle Zahlen einer Klasse (größer) strikt größer sind als alle Zahlen der anderen (kleineren) Klasse. Zum Beispiel definiert die Quadratwurzel von 2 alle nichtnegativen Zahlen, deren Quadrate kleiner als 2 sind, und die negativen Zahlen in die kleinere Klasse und die positiven Zahlen, deren Quadrate größer als 2 sind, in die größere Klasse. Jede Stelle auf dem Zahlengeraden-Kontinuum enthält entweder eine rationale oder eine irrationale Zahl. Somit gibt es keine Leerstellen, Lücken oder Diskontinuitäten. Dedekind veröffentlichte seine Gedanken zu irrationalen Zahlen und Dedekind-Schnitten in seiner Broschüre "Stetigkeit und irrationale Zahlen"; in moderner Terminologie Vollständigkeit , Vollständigkeit .

Dedekind definierte zwei Mengen als "ähnlich", wenn zwischen ihnen eine Eins-zu-Eins-Entsprechung besteht . Er berief sich auf Ähnlichkeit, um die erste genaue Definition einer unendlichen Menge zu geben : Eine Menge ist unendlich, wenn sie "einem echten Teil von sich selbst ähnlich" ist, in der modernen Terminologie einer ihrer echten Teilmengen gleichzahlig ist . Somit kann gezeigt werden, dass die Menge N der natürlichen Zahlen der Teilmenge von N ähnlich ist, deren Mitglieder die Quadrate jedes Mitglieds von N sind , ( N → N 2 ): 

N    1  2  3  4  5  6  7  8  9  10 ...
             ↓           
N2   1  4  9  16 25 36 49 64 81 100 ...

Dedekinds Arbeit auf diesem Gebiet nahm die von Georg Cantor vorweg , der allgemein als Begründer der Mengenlehre gilt . Ebenso nahmen seine Beiträge zu den Grundlagen der Mathematik spätere Werke bedeutender Befürworter der Logik wie Gottlob Frege und Bertrand Russell vorweg .


Dedekind gab die gesammelten Werke von Lejeune Dirichlet , Gauß und Riemann heraus . Dedekinds Studium der Arbeit von Lejeune Dirichlet führte ihn zu seinem späteren Studium algebraischer Zahlenfelder und Ideale . Im Jahr 1863 veröffentlichte er Vorlesungen über die Lejeune Dirichlet Zahlentheorie als Vorlesungen über Zahlentheorie ( „Vorlesungen über Zahlentheorie“) , um die er das geschrieben wurde:

Obwohl das Buch sicherlich auf Dirichlets Vorträgen basiert und obwohl Dedekind selbst das Buch sein Leben lang als Dirichlets bezeichnete, wurde das Buch selbst vollständig von Dedekind geschrieben, zum größten Teil nach Dirichlets Tod.

—  Edwards, 1983

Die Ausgaben der Vorlesungen von 1879 und 1894 enthielten Ergänzungen, die den Begriff einer idealen, fundamentalen Ringtheorie einführten . (Das Wort "Ring", das später von Hilbert eingeführt wurde , taucht in Dedekinds Arbeit nicht auf.) Dedekind definierte ein Ideal als eine Teilmenge einer Menge von Zahlen, die aus algebraischen ganzen Zahlen besteht , die Polynomgleichungen mit ganzzahligen Koeffizienten erfüllen . In den Händen von Hilbert und insbesondere von Emmy Noether wurde das Konzept weiterentwickelt . Ideal verallgemeinert Ernst Eduard Kummer ‚s ideal Zahlen im Rahmen der Kummer 1843 Versuchs erdacht zu beweisen Fermats letzten Satz . (Dedekind kann also als Kummers wichtigster Schüler bezeichnet werden.) In einem Artikel von 1882 wandten Dedekind und Heinrich Martin Weber Ideale auf Riemann-Flächen an und gaben einen algebraischen Beweis des Riemann-Roch-Theorems .

1888 veröffentlichte er eine kurze Monographie mit dem Titel Was sind und was sollen die Zahlen? („Was sind Zahlen und wozu sind sie gut?“ Ewald 1996: 790), die seine Definition einer unendlichen Menge beinhaltet . Er schlug auch eine axiomatische Grundlage für die natürlichen Zahlen vor, deren primitive Begriffe die Zahl Eins und die Nachfolgerfunktion waren . Im nächsten Jahr formulierte Giuseppe Peano unter Berufung auf Dedekind einen gleichwertigen, aber einfacheren Satz von Axiomen , die jetzt die Standardsätze sind.

Dedekind leistete andere Beiträge zur Algebra . So verfasste er um 1900 die ersten Arbeiten über modulare Gitter . 1872 lernte Dedekind während eines Urlaubs in Interlaken Georg Cantor kennen . So begann eine dauerhafte Beziehung gegenseitigen Respekts, und Dedekind wurde einer der ersten Mathematiker, der Cantors Arbeit über unendliche Mengen bewunderte und erwies sich als geschätzter Verbündeter in Cantors Streitigkeiten mit Leopold Kronecker , der Cantors transfinite Zahlen philosophisch ablehnte .

Literaturverzeichnis

Primärliteratur in Englisch:

  • 1890. "Brief an Keferstein" in Jean van Heijenoort , 1967. Ein Quellenbuch in mathematischer Logik, 1879-1931 . Harvard-Uni. Drücken Sie: 98–103.
  • 1963 (1901). Aufsätze zur Zahlentheorie . Bemann, WW, hrsg. und trans. Dover. Enthält englische Übersetzungen von Stetigkeit und irrationale Zahlen und Was sind und was sollen die Zahlen?
  • 1996. Theorie der algebraischen Ganzzahlen . Stillwell, John, Hrsg. und trans. Cambridge-Uni. Drücken Sie. Eine Übersetzung von Über die Theorie der ganzen algebraischen Zahlen .
  • Ewald, William B., Hrsg., 1996. Von Kant bis Hilbert: Ein Quellenbuch in den Grundlagen der Mathematik , 2 Bde. Oxford-Uni. Drücken Sie.
    • 1854. "Über die Einführung neuer Funktionen in der Mathematik", 754-61.
    • 1872. "Kontinuität und irrationale Zahlen", 765-78. (Übersetzung von Stetigkeit... )
    • 1888. Was sind Zahlen und was sollen sie sein? , 787–832. (Übersetzung von Was sind und... )
    • 1872–82, 1899. Korrespondenz mit Cantor, 843–77, 930–40.

Primärliteratur in deutscher Sprache:

Siehe auch

Anmerkungen

Verweise

Weiterlesen

Es gibt eine Online-Bibliographie der Sekundärliteratur zu Dedekind. Siehe auch Stillwells "Introduction" to Dedekind (1996).

Externe Links