Roche-Grenze - Roche limit

Ein Himmelskörper (gelb) wird von einer durch die Schwerkraft zusammengehaltenen Flüssigkeitsmasse (blau) umkreist, hier von oberhalb der Bahnebene gesehen. Weit entfernt von der Roche-Grenze (weiße Linie) ist die Masse praktisch kugelförmig.

Näher an der Roche-Grenze wird der Körper durch Gezeitenkräfte verformt .

Innerhalb der Roche-Grenze hält die eigene Schwerkraft der Masse den Gezeitenkräften nicht mehr stand und der Körper zerfällt.

Partikel, die sich näher an der Primärseite befinden, bewegen sich schneller als weiter entfernte Partikel, wie durch die roten Pfeile dargestellt.

Die variierende Umlaufgeschwindigkeit des Materials führt schließlich dazu, dass es einen Ring bildet.

In der Himmelsmechanik ist die Roche-Grenze , auch Roche-Radius genannt , der Abstand von einem Himmelskörper, innerhalb dessen ein zweiter Himmelskörper, der nur durch seine eigene Schwerkraft zusammengehalten wird, zerfällt, weil die Gezeitenkräfte des ersten Körpers die Gravitationskräfte des zweiten Körpers übersteigen Selbstanziehung. Innerhalb der Roche-Grenze zerstreut sich umlaufendes Material und bildet Ringe , während außerhalb der Grenze das Material dazu neigt, zusammenzuwachsen . Der Roche-Radius hängt vom Radius des ersten Körpers und vom Verhältnis der Dichten der Körper ab.

Der Begriff ist nach Édouard Roche ( französisch:  [ʁɔʃ] , englisch: / r ɒ ʃ / ROSH ) benannt, dem französischen Astronomen, der 1848 erstmals diese theoretische Grenze berechnete.

Erläuterung

Komet Shoemaker-Levy 9 wurde 1992 von den Gezeitenkräften des Jupiter in eine Reihe kleinerer Körper zerlegt , bevor er 1994 mit dem Planeten kollidierte.

Der Roche-Grenzwert gilt normalerweise für den Zerfall eines Satelliten aufgrund von Gezeitenkräften, die von seinem Primärkörper , dem Körper, um den er kreist, induziert werden . Teile des Satelliten, die näher am Primärteil liegen, werden durch die Schwerkraft stärker vom Primärteil angezogen als weiter entfernte Teile; Diese Disparität zieht die nahen und fernen Teile des Satelliten effektiv auseinander, und wenn die Disparität (in Kombination mit Zentrifugaleffekten aufgrund der Drehung des Objekts) größer ist als die Schwerkraft, die den Satelliten zusammenhält, kann sie den Satelliten ziehen ein Teil. Einige echte Satelliten, sowohl natürliche als auch künstliche , können innerhalb ihrer Roche-Grenzen umkreisen, weil sie durch andere Kräfte als die Gravitation zusammengehalten werden. Gegenstände, die auf der Oberfläche eines solchen Satelliten ruhen, würden durch die Gezeitenkräfte abgehoben. Ein schwächerer Satellit, wie ein Komet , könnte zerbrochen werden, wenn er seine Roche-Grenze überschreitet.

Da innerhalb der Roche-Grenze die Gezeitenkräfte die Gravitationskräfte überwiegen, die den Satelliten sonst zusammenhalten könnten, kann kein Satellit innerhalb dieser Grenze aus kleineren Teilchen gravitativ zusammenwachsen. Tatsächlich befinden sich fast alle bekannten Planetenringe innerhalb ihrer Roche-Grenze. (Bemerkenswerte Ausnahmen sind der E-Ring des Saturn und der Phoebe-Ring . Diese beiden Ringe könnten möglicherweise Überreste der protoplanetaren Akkretionsscheibe des Planeten sein , die nicht zu Mondchen zusammengewachsen ist, oder sich umgekehrt gebildet haben, als ein Mond seine Roche-Grenze überschritten und auseinanderbrach. )

Das Roche-Limit ist nicht der einzige Faktor, der Kometen zum Auseinanderbrechen bringt. Spaltung durch thermische Beanspruchung , interne Gasdruck und Rotations Aufspalten gibt andere Möglichkeiten für einen Kometen Split unter Stress.

Ausgewählte Beispiele

Die folgende Tabelle zeigt die mittlere Dichte und den äquatorialen Radius für ausgewählte Objekte im Sonnensystem .

Die Gleichungen für die Roche-Grenzwerte beziehen den minimalen nachhaltigen Orbitalradius auf das Verhältnis der Dichten der beiden Objekte und dem Radius des Primärkörpers. Somit können anhand der obigen Daten die Roche-Limits für diese Objekte berechnet werden. Dies wurde jeweils zweimal durchgeführt, wobei die Extreme der Fälle von starrem und flüssigem Körper angenommen wurden. Die durchschnittliche Dichte von Kometen wird mit etwa 500 kg/m ^{3 angenommen} .

In der folgenden Tabelle sind die Roche-Grenzwerte in Kilometern und in Primärradien angegeben. Der mittlere Bahnradius kann mit den Roche-Grenzwerten verglichen werden. Der Einfachheit halber listet die Tabelle für jeden den mittleren Radius der Umlaufbahn auf, mit Ausnahme der Kometen, deren Umlaufbahnen extrem variabel und exzentrisch sind.

Diese Körper liegen aufgrund verschiedener Faktoren weit außerhalb ihrer Roche-Grenzen, von 21 für den Mond (über seiner Fluidkörper-Roche-Grenze) als Teil des Erde-Mond-Systems bis zu Hunderten für Erde und Jupiter.

Die folgende Tabelle gibt die engste Annäherung jedes Satelliten in seiner Umlaufbahn dividiert durch sein eigenes Roche-Limit. Auch hier werden sowohl starre als auch flüssige Körperberechnungen angegeben. Beachten Sie, dass insbesondere Pan , Cordelia und Naiad ziemlich nahe an ihren tatsächlichen Aufbruchspunkten liegen können.

In der Praxis sind die Dichten der meisten inneren Satelliten von Riesenplaneten nicht bekannt. In diesen kursiv gedruckten Fällen wurden wahrscheinliche Werte angenommen, deren tatsächliche Roche-Grenze kann jedoch vom angezeigten Wert abweichen.

Entschlossenheit

Die Grenzentfernung, der sich ein Satellit nähern kann, ohne aufzubrechen, hängt von der Steifigkeit des Satelliten ab. Im einen Extrem behält ein völlig starrer Satellit seine Form bei, bis die Gezeitenkräfte ihn auseinanderbrechen. Im anderen Extrem verformt sich ein Satellit mit hoher Fluidität allmählich, was zu erhöhten Gezeitenkräften führt, wodurch sich der Satellit verlängert, die Gezeitenkräfte weiter verstärkt und leichter auseinanderbricht.

Die meisten echten Satelliten würden irgendwo zwischen diesen beiden Extremen liegen, wobei die Zugfestigkeit den Satelliten weder perfekt starr noch perfekt flüssig macht. Zum Beispiel verhält sich ein Asteroid mit Trümmerhaufen eher wie eine Flüssigkeit als ein fester Gestein; ein eisiger Körper verhält sich zunächst ziemlich starr, wird aber flüssiger, wenn sich die Gezeitenwärme ansammelt und sein Eis zu schmelzen beginnt.

Beachten Sie jedoch, dass sich der Roche-Grenzwert, wie oben definiert, auf einen Körper bezieht, der allein durch die Gravitationskräfte zusammengehalten wird, die dazu führen, dass ansonsten nicht verbundene Teilchen zusammenfließen und so den betreffenden Körper bilden. Die Roche-Grenze wird normalerweise auch für den Fall einer kreisförmigen Umlaufbahn berechnet, obwohl es einfach ist, die Berechnung für den Fall (zum Beispiel) eines Körpers zu ändern, der das Primärrad auf einer parabolischen oder hyperbolischen Bahn passiert.

Starre Satellitenberechnung

Der Starrkörper- Roche-Grenzwert ist eine vereinfachte Berechnung für einen kugelförmigen Satelliten. Unregelmäßige Formen wie die von Gezeitendeformationen am Körper oder die primären Umlaufbahnen werden vernachlässigt. Es wird angenommen, dass es sich im hydrostatischen Gleichgewicht befindet . Diese Annahmen sind zwar unrealistisch, vereinfachen jedoch die Berechnungen erheblich.

Der Roche-Grenzwert für einen starren kugelförmigen Satelliten ist der Abstand, , von der Primärwelle, bei dem die Gravitationskraft auf eine Testmasse an der Oberfläche des Objekts genau gleich der Gezeitenkraft ist, die die Masse vom Objekt wegzieht: ${\displaystyle d}$

${\displaystyle d=R_{M}\left(2{\frac {\rho_{M}}{\rho_{m}}}\right)^{\frac {1}{3}}}$

Dabei ist der Radius der Primärwelle, die Dichte der Primärwelle und die Dichte des Satelliten. Dies kann äquivalent geschrieben werden als ${\displaystyle R_{M}}$${\displaystyle \rho_{M}}$${\displaystyle \rho_{m}}$

${\displaystyle d=R_{m}\left(2{\frac {M_{M}}{M_{m}}}\right)^{\frac {1}{3}}}$

Dabei ist der Radius des Sekundärteils, die Masse des Primärteils und die Masse des Sekundärteils. ${\displaystyle R_{m}}$${\displaystyle M_{M}}$${\displaystyle M_{m}}$

Dies hängt nicht von der Größe der Objekte ab, sondern vom Verhältnis der Dichten. Dies ist die Orbitalstrecke, innerhalb derer loses Material (zB Regolith ) auf der Oberfläche des Satelliten, das dem Primärteil am nächsten ist, weggezogen wird, und ebenso wird Material auf der dem Primärteil gegenüberliegenden Seite auch vom Satelliten weg und nicht in Richtung des Satelliten wandern .

Beachten Sie, dass dies ein ungefähres Ergebnis ist, da die Trägheitskraft und die starre Struktur bei ihrer Ableitung ignoriert werden.

Die Umlaufzeit hängt dann nur noch von der Dichte des Sekundärteils ab:

${\displaystyle P=2\pi\left({\frac {d^{3}}{GM_{M}}}\right)^{1/2}=2\pi\left({\frac {d^ {3}}{(4/3)\pi GR_{M}^{3}\rho_{M}}}\right)^{1/2}={\sqrt {\frac {6\pi }{ G\rho_{m}}}}}$

wobei G die Gravitationskonstante ist . Beispielsweise entspricht eine Dichte von 3.346 g/cc (der Dichte unseres Mondes) einer Umlaufzeit von 2.552 Stunden.

Herleitung der Formel

Herleitung des Roche-Limits

Um das Roche-Limit zu bestimmen, betrachten Sie eine kleine Masse auf der Oberfläche des Satelliten, die dem Primärkreis am nächsten ist. Auf diese Masse wirken zwei Kräfte : die Anziehungskraft zum Satelliten und die Anziehungskraft zum Primärteil. Angenommen, der Satellit befindet sich im freien Fall um das Primärteil und die Gezeitenkraft ist der einzige relevante Begriff für die Anziehungskraft des Primärteils. Diese Annahme ist eine Vereinfachung, da der freie Fall wirklich nur für das planetarische Zentrum gilt, aber für diese Ableitung ausreicht. ${\displaystyle u}$${\displaystyle u}$

Die Anziehungskraft auf die Masse zum Satelliten mit Masse und Radius kann nach dem Newtonschen Gravitationsgesetz ausgedrückt werden . ${\displaystyle F_{\text{G}}}$${\displaystyle u}$${\displaystyle m}$${\displaystyle r}$

${\displaystyle F_{\text{G}}={\frac {Gmu}{r^{2}}}}$

die Gezeitenkraft auf die Masse zum Primär mit Radius und Masse , im Abstand zwischen den Mittelpunkten der beiden Körper, kann näherungsweise ausgedrückt werden als ${\displaystyle F_{\text{T}}}$${\displaystyle u}$${\displaystyle R}$${\displaystyle M}$${\displaystyle d}$

${\displaystyle F_{\text{T}}={\frac {2GMur}{d^{3}}}}$.

Um diese Näherung zu erhalten, ermitteln Sie den Unterschied in der Anziehungskraft des Primärteils in der Mitte des Satelliten und am Rand des Satelliten, der dem Primärteil am nächsten ist:

${\displaystyle F_{\text{T}}={\frac {GMu}{(dr)^{2}}}-{\frac {GMu}{d^{2}}}}$

${\displaystyle F_{\text{T}}=GMu{\frac {d^{2}-(dr)^{2}}{d^{2}(dr)^{2}}}}$

${\displaystyle F_{\text{T}}=GMu{\frac {2dr-r^{2}}{d^{4}-2d^{3}r+r^{2}d^{2}} }}$

In der Näherung wo und kann gesagt werden, dass der im Zähler und jeder Term mit im Nenner gegen Null geht, was uns liefert: ${\displaystyle r\ll R}$${\displaystyle R<d}$${\displaystyle r^{2}}$${\displaystyle r}$

${\displaystyle F_{\text{T}}=GMu{\frac {2dr}{d^{4}}}}$

${\displaystyle F_{\text{T}}={\frac {2GMur}{d^{3}}}}$

Die Roche-Grenze ist erreicht, wenn sich Gravitationskraft und Gezeitenkraft ausgleichen.

${\displaystyle F_{\text{G}}=F_{\text{T}}\;}$

oder

${\displaystyle {\frac {Gmu}{r^{2}}}={\frac {2GMur}{d^{3}}}}$,

was das Roche-Limit angibt, , as ${\displaystyle d}$

${\displaystyle d=r\left(2\,{\frac {M}{m}}\right)^{\frac {1}{3}}}$

Der Radius des Satelliten sollte nicht im Ausdruck für die Grenze erscheinen, daher wird er in Dichten umgeschrieben.

Für eine Kugel kann die Masse geschrieben werden als ${\displaystyle M}$

${\displaystyle M={\frac {4\pi\rho_{M}R^{3}}{3}}}$wo ist der radius der primären.${\displaystyle R}$

Und ebenfalls

${\displaystyle m={\frac {4\pi\rho_{m}r^{3}}{3}}}$wo ist der Radius des Satelliten.${\displaystyle r}$

Einsetzen der Massen in der Gleichung für den Roche-Grenzwert und Streichen ergibt ${\displaystyle 4\pi/3}$

${\displaystyle d=r\left({\frac {2\rho_{M}R^{3}}{\rho_{m}r^{3}}}\right)^{1/3}}$,

die auf das folgende Roche-Limit vereinfacht werden kann:

${\displaystyle d=R\left(2\,{\frac {\rho_{M}}{\rho_{m}}}\right)^{\frac {1}{3}}\approx 1,26R \left({\frac{\rho_{M}}{\rho_{m}}}\right)^{\frac{1}{3}}}$.

Roche-Grenze, Hill-Kugel und Radius des Planeten

Vergleich der Hill-Kugeln und Roche-Grenzen des Sonne-Erde-Mond-Systems (nicht maßstabsgetreu) mit schattierten Regionen, die stabile Umlaufbahnen der Satelliten jedes Körpers anzeigen

Betrachten Sie einen Planeten mit einer Dichte von und einem Radius von , der einen Stern umkreist. Dies ist die physikalische Bedeutung von Roche-Grenze, Roche-Lobe und Hill-Kugel. ${\displaystyle \rho_{m}}$${\displaystyle r}$

Formel(2) kann beschrieben werden als: , eine perfekte mathematische Symmetrie. Dies ist die astronomische Bedeutung der Roche-Grenze und der Hill-Sphäre. ${\displaystyle R_{\text{Roche}}=R_{\text{Hill}}{\sqrt[{3}]{\frac {3M}{m}}}=R_{\text{sekundär}}{\ Quadrat[{3}]{\frac {3M}{m}}}}$

Hinweis: Roche limit und Hill sphere sind völlig unterschiedlich, aber beide sind Arbeiten von Édouard Roche .

Die Hügelkugel eines astronomischen Körpers ist der Bereich, in dem er die Anziehungskraft von Satelliten dominiert, während die Roche-Grenze der Mindestabstand ist, bis zu dem sich ein Satellit seinem Primärkörper nähern kann, ohne dass die Gezeitenkraft die innere Schwerkraft überwindet, die den Satelliten zusammenhält.

Flüssige Satelliten

Ein genauerer Ansatz zur Berechnung des Roche-Limits berücksichtigt die Deformation des Satelliten. Ein extremes Beispiel wäre ein durch Gezeiten blockierter flüssiger Satellit, der einen Planeten umkreist, wobei jede Kraft, die auf den Satelliten einwirkt, ihn in ein gestrecktes Sphäroid verformen würde .

Die Berechnung ist komplex und ihr Ergebnis lässt sich nicht in einer exakten algebraischen Formel darstellen. Roche selbst hat folgende Näherungslösung für das Roche-Limit abgeleitet:

${\displaystyle d\approx 2,44R\left({\frac {\rho_{M}}{\rho_{m}}}\right)^{1/3}}$

Eine bessere Näherung, die die Abplattung der Primärwelle und die Masse des Satelliten berücksichtigt, ist jedoch:

${\displaystyle d\approx 2,423R\left({\frac {\rho_{M}}{\rho_{m}}}\right)^{1/3}\left({\frac {(1+ {\frac{m}{3M}})+{\frac{c}{3R}}(1+{\frac{m}{M}})}{1-c/R}}\right)^{ 1/3}}$

wo ist die Abplattung des primären. Der Zahlenfaktor wird mit Hilfe eines Computers berechnet. ${\displaystyle c/R}$

Die flüssige Lösung eignet sich für Körper, die nur lose zusammengehalten werden, wie zum Beispiel einen Kometen. Zum Beispiel passierte die zerfallende Umlaufbahn des Kometen Shoemaker-Levy 9 um Jupiter im Juli 1992 innerhalb seiner Roche-Grenze, was dazu führte, dass er in eine Reihe kleinerer Stücke zerfiel. Bei seinem nächsten Anflug im Jahr 1994 stürzten die Fragmente auf den Planeten. Shoemaker-Levy 9 wurde erstmals 1993 beobachtet, aber seine Umlaufbahn deutete darauf hin, dass es einige Jahrzehnte zuvor von Jupiter eingefangen wurde.

Herleitung der Formel

Da der Fall eines flüssigen Satelliten empfindlicher ist als der Fall eines starren, wird der Satellit mit einigen vereinfachenden Annahmen beschrieben. Angenommen, das Objekt besteht aus einer inkompressiblen Flüssigkeit mit konstanter Dichte und konstantem Volumen , die nicht von äußeren oder inneren Kräften abhängen. ${\displaystyle \rho_{m}}$${\displaystyle V}$

Angenommen, der Satellit bewegt sich auf einer kreisförmigen Umlaufbahn und bleibt in synchroner Rotation . Dies bedeutet, dass die Winkelgeschwindigkeit, mit der es um seinen Massenmittelpunkt rotiert, gleich der Winkelgeschwindigkeit ist, mit der es sich um den Schwerpunkt des Gesamtsystems bewegt . ${\displaystyle \omega}$

Die Winkelgeschwindigkeit ergibt sich aus dem dritten Keplerschen Gesetz : ${\displaystyle \omega}$

${\displaystyle \omega^{2}=G\,{\frac {M+m}{d^{3}}}.}$

Wenn M sehr viel größer als m ist, liegt dies nahe bei

${\displaystyle \omega^{2}=G\,{\frac {M}{d^{3}}}.}$

Die synchrone Rotation impliziert, dass sich die Flüssigkeit nicht bewegt und das Problem als statisch angesehen werden kann. Daher spielen Viskosität und Reibung der Flüssigkeit in diesem Modell keine Rolle, da diese Größen nur für eine bewegte Flüssigkeit eine Rolle spielen würden.

Unter diesen Annahmen sind folgende Kräfte zu berücksichtigen:

• Die Gravitationskraft aufgrund des Hauptkörpers;
• die Zentrifugalkraft im Drehbezugssystem; und
• das Eigengravitationsfeld des Satelliten.

Da alle diese Kräfte konservativ sind, können sie durch ein Potential ausgedrückt werden. Außerdem ist die Oberfläche des Satelliten äquipotentiell. Andernfalls würden die Potentialunterschiede Kräfte und Bewegungen einiger Teile der Flüssigkeit an der Oberfläche hervorrufen, was der statischen Modellannahme widerspricht. Aufgrund des Abstands vom Grundkörper muss die Form der Oberfläche bestimmt werden, die die Äquipotentialbedingung erfüllt.

Radialer Abstand eines Punktes auf der Oberfläche des Ellipsoids zum Massenmittelpunkt

Da die Umlaufbahn kreisförmig angenommen wurde, heben sich die gesamte Gravitationskraft und die Umlaufzentrifugalkraft, die auf den Hauptkörper wirken, auf. Damit bleiben zwei Kräfte übrig: die Gezeitenkraft und die Rotationszentrifugalkraft. Die Gezeitenkraft hängt von der Position in Bezug auf den Massenschwerpunkt ab, die bereits im starren Modell berücksichtigt wurde. Bei kleinen Körpern ist der Abstand der Flüssigkeitspartikel von der Körpermitte klein im Verhältnis zum Abstand d zum Grundkörper. Somit kann die Gezeitenkraft linearisiert werden, was zu der gleichen Formel für F _{T führt} wie oben angegeben.

Während diese Kraft im starren Modell nur vom Radius r des Satelliten abhängt , müssen im Flüssigkeitsfall alle Punkte auf der Oberfläche berücksichtigt werden, und die Gezeitenkraft hängt vom Abstand Δd vom Massenmittelpunkt zu einem gegebenen Teilchen ab auf die Linie projiziert, die den Satelliten und den Hauptkörper verbindet. Wir nennen Δd den radialen Abstand . Da die Gezeitenkraft in Δd linear ist , ist das zugehörige Potential proportional zum Quadrat der Variablen und für wir gilt ${\displaystyle m\ll M}$

${\displaystyle V_{T}=-{\frac {3GM}{2d^{3}}}\Delta d^{2}\,}$

Ebenso hat die Fliehkraft ein Potenzial

${\displaystyle V_{C}=-{\frac {1}{2}}\omega ^{2}\Delta d^{2}=-{\frac {GM}{2d^{3}}}\Delta d^{2}\,}$

für Drehwinkelgeschwindigkeit . ${\displaystyle \omega}$

Wir wollen die Form des Satelliten bestimmen, bei dem die Summe aus Eigengravitationspotential und V _T + V _C auf der Körperoberfläche konstant ist. In der Regel wird ein derartiges Problem ist sehr schwierig zu lösen, aber in diesem speziellen Fall kann es durch eine geschickte Vermutung gelöst wird aufgrund der quadratischen Abhängigkeit des Gezeitenpotentiales auf dem radialen Abstand & Delta; d in erster Näherung können wir die zentrifugale ignorieren Potenzial V _C und betrachten nur das Gezeitenpotenzial V _T .

Da sich das Potential V _T nur in einer Richtung ändert, dh in Richtung zum Hauptkörper, ist eine achsensymmetrische Form des Satelliten zu erwarten. Genauer gesagt können wir annehmen, dass es sich um einen Revolutionskörper handelt . Das Eigenpotential an der Oberfläche eines solchen Rotationskörpers kann nur vom radialen Abstand zum Massenschwerpunkt abhängen. Tatsächlich ist der Schnittpunkt des Satelliten und einer Ebene senkrecht zur Verbindungslinie der Körper eine Scheibe, deren Grenze nach unseren Annahmen ein Kreis konstanten Potentials ist. Sollte die Differenz zwischen dem Eigengravitationspotential und V _T konstant sein, müssen beide Potentiale in gleicher Weise von Δd abhängen . Mit anderen Worten, das Eigenpotential muss proportional zum Quadrat von Δd sein . Dann kann gezeigt werden, dass die Äquipotentiallösung ein Rotationsellipsoid ist. Bei konstanter Dichte und konstantem Volumen hängt das Eigenpotential eines solchen Körpers nur von der Exzentrizität ε des Ellipsoids ab:

${\displaystyle V_{s}=V_{s_{0}}+G\pi\rho_{m}\cdot f(\varepsilon)\cdot \Updelta d^{2},}$

wo ist das konstante Eigenpotential am Schnittpunkt der kreisförmigen Kante des Körpers und der zentralen Symmetrieebene, gegeben durch die Gleichung Δd=0 . ${\displaystyle V_{s_{0}}}$

Die dimensionslose Funktion f ist aus der genauen Lösung für das Potential des Ellipsoids zu bestimmen

${\displaystyle f(\varepsilon)={\frac {1-\varepsilon^{2}}{\varepsilon^{3}}}\cdot \left[\left(3-\varepsilon^{2}\right) \cdot \operatorname {artanh} \varepsilon -3\varepsilon \right]}$

und ist überraschenderweise nicht von der Lautstärke des Satelliten abhängig.

Der Graph der dimensionslosen Funktion f, der angibt, wie die Stärke des Gezeitenpotentials von der Exzentrizität ε des Ellipsoids abhängt .

Obwohl die explizite Form der Funktion f kompliziert aussieht, ist es klar, dass wir den Wert von ε so wählen können , dass das Potenzial V _T gleich V _S plus einer von der Variablen Δd unabhängigen Konstanten ist . Nach Prüfung tritt dies auf, wenn

${\displaystyle {\frac {2G\pi\rho_{M}R^{3}}{d^{3}}}=G\pi\rho_{m}f(\varepsilon)}$

Diese Gleichung kann numerisch gelöst werden. Der Graph zeigt an, dass es zwei Lösungen gibt und somit die kleinere die stabile Gleichgewichtsform darstellt (das Ellipsoid mit der kleineren Exzentrizität). Diese Lösung bestimmt die Exzentrizität des Gezeitenellipsoids als Funktion des Abstands zum Hauptkörper. Die Ableitung der Funktion f hat eine Nullstelle, wo die maximale Exzentrizität erreicht wird. Dies entspricht dem Roche-Limit.

Die Ableitung von f bestimmt die maximale Exzentrizität. Daraus ergibt sich das Roche-Limit.

Genauer gesagt wird der Roche-Limit dadurch bestimmt, dass die Funktion f , die als nichtlineares Maß für die Kraft, die das Ellipsoid in eine Kugelform drückt, betrachtet werden kann, so begrenzt ist, dass es eine Exzentrizität gibt, bei der diese Kontraktionskraft maximal wird . Da die Gezeitenkraft zunimmt, wenn sich der Satellit dem Hauptkörper nähert, ist klar, dass es einen kritischen Abstand gibt, bei dem das Ellipsoid aufgerissen wird.

Die maximale Exzentrizität kann numerisch als Nullpunkt der Ableitung von f' berechnet werden . Man erhält

${\displaystyle \varepsilon_{\text{max}}\approx 0{.}86}$

was dem Verhältnis der Ellipsoidachsen 1:1,95 entspricht. Setzt man dies in die Formel für die Funktion f ein, kann man den minimalen Abstand bestimmen, in dem das Ellipsoid existiert. Dies ist das Roche-Limit,

${\displaystyle d\approx 2{.}423\cdot R\cdot {\sqrt[{3}]{\frac {\rho_{M}}{\rho_{m}}}}\,.}$

Überraschenderweise macht die Einbeziehung des Zentrifugalpotentials bemerkenswert wenig Unterschied, obwohl das Objekt ein Roche-Ellipsoid wird , ein allgemeines dreiachsiges Ellipsoid mit allen Achsen unterschiedlicher Länge. Das Potential wird eine viel kompliziertere Funktion der Achsenlängen, die elliptische Funktionen erfordert . Die Lösung verläuft jedoch ähnlich wie beim Nur-Gezeiten-Fall, und wir finden

${\displaystyle d\approx 2{.}455\cdot R\cdot {\sqrt[{3}]{\frac {\rho_{M}}{\rho_{m}}}}\,.}$

Die Verhältnisse der Polar- zur Orbit-Richtung zu den Hauptrichtungs-Achsen betragen 1:1,06:2,07.

Siehe auch

• Roche-Lappen
• Chandrasekhar-Grenze
• Hügelkugel
• Spaghettifizierung (der Extremfall der Gezeitenverzerrung)
• Schwarzes Loch
• Triton (Mond) (Neptuns Satellit)
• Kometenschuhmacher – Abgabe 9

Verweise

Quellen

• Édouard Roche: "La figure d'une masse fluide soumise à l'attraction d'un point éloigné" (Die Figur einer flüssigen Masse, die der Anziehung eines entfernten Punktes ausgesetzt ist), Teil 1 , Académie des sciences de Montpellier: Mémoires de la section des sciences , Band 1 (1849) 243–262. 2.44 wird auf Seite 258 erwähnt. (auf Französisch)
• Édouard Roche: "La figure d'une masse fluide soumise à l'attraction d'un point éloigné", Teil 2 , Académie des sciences de Montpellier: Mémoires de la section des sciences , Band 1 (1850) 333–348. (auf Französisch)
• Édouard Roche: "La figure d'une masse fluide soumise à l'attraction d'un point éloigné", Teil 3 , Académie des sciences de Montpellier: Mémoires de la section des sciences , Band 2 (1851) 21–32. (auf Französisch)
• George Howard Darwin, "Über die Figur und Stabilität eines flüssigen Satelliten" , Scientific Papers, Band 3 (1910) 436-524.
• James Hopwood Jeans, Probleme der Kosmogonie und stellarer Dynamik , Kapitel III: Ellipsoide Konfigurationen des Gleichgewichts , 1919.
• S. Chandrasekhar, Ellipsoidfiguren des Gleichgewichts (New Haven: Yale University Press, 1969), Kapitel 8: Die Roche-Ellipsoide (189–240).
• Chandrasekhar, S. (1963). "Das Gleichgewicht und die Stabilität der Roche-Ellipsoide" . Astrophysikalische Zeitschrift . 138 : 1182–1213. Bibcode : 1963ApJ...138.1182C . doi : 10.1086/147716 .

Externe Links

• Diskussion über das Roche-Limit
• Audio: Cain/Gay – Astronomy Cast Tidal Forces Across the Universe – August 2007.
• Roche Limit Beschreibung der NASA from