Sagitta (Geometrie) - Sagitta (geometry)

In der Geometrie ist die sagitta (manchmal abgekürzt als sag ) eines Kreisbogens der Abstand vom Mittelpunkt des Bogens zum Mittelpunkt seiner Basis. Es wird häufig in der Architektur verwendet, wenn der Bogen berechnet wird, der erforderlich ist, um eine bestimmte Höhe und Entfernung zu überspannen, und auch in der Optik, wo es verwendet wird, um die Tiefe eines sphärischen Spiegels oder einer Linse zu bestimmen. Der Name kommt direkt vom lateinischen sagitta , was Pfeil bedeutet.

Formeln

In den folgenden Gleichungen bezeichnet s die Sagitta (die Tiefe oder Höhe des Bogens), r entspricht dem Radius des Kreises und l die Länge der Sehne, die die Basis des Bogens überspannt. Wie l/2und r − s zwei Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks mit r als Hypotenuse sind , gibt uns der Satz des Pythagoras

${\displaystyle r^{2}=\left({\frac {l}{2}}\right)^{2}+\left(rs\right)^{2}.}$

Dies kann neu angeordnet werden, um einen der anderen drei zu erhalten:

${\displaystyle {\begin{aligned}s&=r-{\sqrt {r^{2}-{\left({\frac {l}{2}}\right)^{2}}}},\\ [5px]l&=2{\sqrt {2rs-s^{2}}},\\[5px]r&={\frac {s^{2}+\left({\frac {l}{2}} \right)^{2}}{2s}}={\frac {s}{2}}+{\frac {l^{2}}{8s}}.\end{aligned}}}$

Die Sagitta kann auch aus der Versine- Funktion für einen Bogen berechnet werden , der einen Winkel von Δ = 2 θ überspannt und mit dem Versine für Einheitskreise übereinstimmt

${\displaystyle s=r\operatorname {versin} \theta =r\left(1-\cos\theta\right)=2r\sin^{2}{\frac {\theta}{2}}.}$

Annäherung

Wenn die Sagitta im Vergleich zum Radius klein ist, kann sie durch die Formel angenähert werden

${\displaystyle s\approx {\frac {l^{2}}{8r}}.}$

Alternativ, wenn die Sagitta klein ist und die Sagitta, der Radius und die Sehnenlänge bekannt sind, können sie verwendet werden, um die Bogenlänge nach der Formel zu schätzen

${\displaystyle a\approx l+{\frac {2s^{2}}{r}}\approx l+{\frac {8s^{2}}{3l}},}$

wobei a die Länge des Bogens ist ; diese Formel war dem chinesischen Mathematiker Shen Kuo bekannt , und eine genauere Formel, die auch die Sagitta einbezog, wurde zwei Jahrhunderte später von Guo Shoujing entwickelt .

Anwendungen

Architekten, Ingenieure und Bauunternehmer verwenden diese Gleichungen, um "abgeflachte" Bögen zu erstellen, die in gekrümmten Wänden, gewölbten Decken, Brücken und zahlreichen anderen Anwendungen verwendet werden.

Die Sagitta wird auch in der Physik verwendet, wo sie zusammen mit der Sehnenlänge verwendet wird, um den Krümmungsradius eines beschleunigten Teilchens zu berechnen. Dies wird insbesondere bei Blasenkammerexperimenten verwendet, wo es verwendet wird, um die Impulse von Zerfallsteilchen zu bestimmen . Ebenso historisch wird die Sagitta auch als Parameter bei der Berechnung von bewegten Körpern in einem zentripetalen System verwendet. Dieses Verfahren wird in Newtons Principia verwendet .

Siehe auch

• Kreissegment
• Versine

Verweise

Externe Links

• Berechnen der Sagitta eines Bogens