Raster-Helium-Mikroskopie - Scanning helium microscopy

Ein Diagramm, das zeigt, wie ein Raster-Helium-Mikroskop funktioniert. Ein Strahl wird durch eine Gasexpansion und Kollimation durch einen Skimmer und ein Pinhole gebildet. Der Strahl trifft dann auf die Probe, wo das Gas gestreut und durch eine Detektoröffnung gesammelt wird. Das gestreute Gas wird dann mit einem Massenspektrometer nachgewiesen. Durch anschließendes Rastern der Probe kann ein Bild der Probe erzeugt werden.

Das Raster-Helium-Mikroskop (SHeM) ist eine neuartige Form der Mikroskopie, die neutrale Heliumatome mit niedriger Energie (5-100 meV) verwendet , um die Oberfläche einer Probe abzubilden, ohne dass die Probe durch den Abbildungsprozess beschädigt wird. Da Helium inert und neutral ist, kann es verwendet werden, um empfindliche und isolierende Oberflächen zu untersuchen. Bilder werden erzeugt, indem eine Probe unter einem Atomstrahl gerastert wird und der Fluss von Atomen überwacht wird, die an jedem Punkt in einen Detektor gestreut werden.

Die Technik unterscheidet sich von einem Raster-Helium-Ionen-Mikroskop , das geladene Helium-Ionen verwendet, die eine Oberfläche beschädigen können.

Motivation

Mikroskope können in zwei allgemeine Klassen eingeteilt werden: solche, die die Probe mit einem Strahl beleuchten, und solche, die eine physikalische Abtastsonde verwenden. Rastersondenmikroskope rasten eine kleine Sonde über die Oberfläche einer Probe und überwachen die Wechselwirkung der Sonde mit der Probe. Die Auflösung von Rastersonden-Mikroskopien wird durch die Größe des Wechselwirkungsbereichs zwischen der Sonde und der Probe festgelegt, der ausreichend klein sein kann, um eine atomare Auflösung zu ermöglichen. Die Verwendung einer physikalischen Spitze (z. B. AFM oder STM ) hat einige Nachteile, jedoch einschließlich eines relativ kleinen Abbildungsbereichs und Schwierigkeiten beim Beobachten von Strukturen mit einer großen Höhenvariation über einen kleinen seitlichen Abstand.

Mikroskope, die einen Strahl verwenden, haben eine grundlegende Grenze für die minimal auflösbare Strukturgröße , die durch die Abbe-Beugungsgrenze gegeben ist. ${\displaystyle d_{A}}$

${\displaystyle d_{A}={\frac {\lambda }{2n\sin {\theta}}},}$

Dabei ist die Wellenlänge der Sondierungswelle der Brechungsindex des Mediums, in dem sich die Welle ausbreitet und die Welle konvergiert zu einem Punkt mit einem Halbwinkel von . Während es möglich ist , die Beugungsgrenze auf Auflösung zu überwinden , indem eine mit Nahfeld - Technik , ist es in der Regel recht schwierig. Da der Nenner der obigen Gleichung für die Abbe-Beugungsgrenze bestenfalls ungefähr zwei beträgt, ist die Wellenlänge der Sonde der Hauptfaktor bei der Bestimmung des minimal auflösbaren Merkmals, das typischerweise etwa 1 um für die optische Mikroskopie beträgt. ${\displaystyle \lambda}$${\displaystyle n}$${\displaystyle\theta}$

Um die Beugungsgrenze zu überwinden, wird eine Sonde mit einer kleineren Wellenlänge benötigt, die entweder durch Licht mit einer höheren Energie oder durch die Verwendung einer Materiewelle erreicht werden kann.

Röntgenstrahlen haben eine viel kleinere Wellenlänge als sichtbares Licht und können daher im Vergleich zu optischen Techniken überlegene Auflösungen erzielen. Projektions-Röntgenbildgebung wird herkömmlicherweise in medizinischen Anwendungen verwendet, aber eine hochauflösende Bildgebung wird durch Rastertransmissions-Röntgenmikroskopie (STXM) erreicht. Durch Fokussieren der Röntgenstrahlen auf einen kleinen Punkt und Rasterung über eine Probe kann mit Licht eine sehr hohe Auflösung erreicht werden. Die kleine Wellenlänge der Röntgenstrahlen geht auf Kosten einer hohen Energie, sodass Röntgenstrahlen Strahlenschäden verursachen können. Darüber hinaus wechselwirken Röntgenstrahlen nur schwach, sodass sie hauptsächlich mit dem Großteil der Probe wechselwirken, was die Untersuchung einer Oberfläche erschwert.

Materiewellen haben eine viel kürzere Wellenlänge als sichtbares Licht und können daher verwendet werden, um Merkmale unter etwa 1 µm zu untersuchen. Das Aufkommen der Elektronenmikroskopie eröffnete eine Vielzahl neuer Materialien, die aufgrund der enormen Verbesserung der Auflösung im Vergleich zur optischen Mikroskopie untersucht werden konnten.

Die de Broglie-Wellenlänge , , einer Materiewelle in Bezug auf ihre kinetische Energie, , und Teilchenmasse, , ist gegeben durch ${\displaystyle \lambda}$${\displaystyle E}$${\displaystyle m}$

${\displaystyle \lambda ={\frac {h}{\sqrt {2mE}}}.}$

Damit ein Elektronenstrahl die Atomstruktur auflösen kann, müsste die Wellenlänge der Materiewelle also mindestens = 1 sein und daher müsste die Strahlenergie mit > 100 eV angegeben werden. ${\displaystyle \lambda}$${\displaystyle E}$

Da Elektronen geladen sind, können sie mit elektromagnetischer Optik manipuliert werden, um extrem kleine Fleckgrößen auf einer Oberfläche zu erzeugen. Da die Wellenlänge eines Elektronenstrahls niedrig ist, kann die Abbe-Beugungsgrenze unter die atomare Auflösung gedrückt werden und elektromagnetische Linsen können verwendet werden, um sehr intensive Flecken auf der Oberfläche eines Materials zu bilden. Die Optik in einem Rasterelektronenmikroskop erfordert normalerweise eine Strahlenergie von mehr als 1 keV, um den Elektronenstrahl bester Qualität zu erzeugen.

Die hohe Energie der Elektronen führt dazu, dass der Elektronenstrahl nicht nur mit der Oberfläche eines Materials wechselwirkt, sondern unter der Oberfläche ein Tropfen-Wechselwirkungsvolumen bildet. Während die Fleckgröße auf der Oberfläche extrem gering sein kann, wandern die Elektronen in das Volumen und interagieren weiterhin mit der Probe. Die Transmissionselektronenmikroskopie vermeidet die Bulk-Wechselwirkung, indem nur dünne Proben verwendet werden, jedoch begrenzt normalerweise der mit dem Bulk wechselwirkende Elektronenstrahl die Auflösung eines Rasterelektronenmikroskops.

Der Elektronenstrahl kann auch das Material beschädigen und die zu untersuchende Struktur aufgrund der hohen Strahlenergie zerstören. Elektronenstrahlschäden können durch eine Vielzahl unterschiedlicher probenspezifischer Prozesse auftreten. Beispiele für Strahlschäden sind das Aufbrechen von Bindungen in einem Polymer, um die Struktur zu verändern, Schlagschäden in Metallen, die eine Leerstelle im Gitter erzeugen, und Veränderungen der Oberflächenchemie. Außerdem wird der Elektronenstrahl aufgeladen, was bedeutet, dass die Oberfläche der Probe leitend sein muss, um Ladungsartefakte in den Bildern zu vermeiden. Eine Methode, um das Problem bei der Abbildung isolierender Oberflächen zu mildern, ist die Verwendung eines Umgebungsrasterelektronenmikroskops (ESEM).

Daher sind Elektronen im Allgemeinen aufgrund der hohen Strahlenergie und des Mangels an exklusiver Oberflächenempfindlichkeit oft nicht besonders geeignet, um empfindliche Oberflächen zu untersuchen. Stattdessen ist für die Untersuchung von Oberflächen bei niedriger Energie ein alternativer Strahl erforderlich, ohne die Struktur zu stören.

Mit der obigen Gleichung für die de Broglie-Wellenlänge kann die gleiche Wellenlänge eines Strahls bei niedrigeren Energien erreicht werden, indem ein Strahl mit höherer Masse verwendet wird. Wenn daher das Ziel besteht, die Oberfläche eines Materials mit einer Auflösung zu untersuchen, die unter der liegt, die mit optischer Mikroskopie erreicht werden kann, kann es angebracht sein, stattdessen Atome als Sonde zu verwenden. Während Neutronen als Sonde verwendet werden können, wechselwirken sie schwach mit Materie und können nur die Volumenstruktur eines Materials untersuchen . Die Neutronenabbildung erfordert auch einen hohen Neutronenfluss, der normalerweise nur von einem Kernreaktor oder Teilchenbeschleuniger bereitgestellt werden kann.

Ein Strahl von Heliumatomen mit einer Wellenlänge = 1 hat eine Energie von 20 meV, was ungefähr der thermischen Energie entspricht. Die Verwendung einer höheren Masse als Elektronen bedeutet, dass es möglich ist, einen Strahl mit einer Wellenlänge zu erhalten, die geeignet ist, um Längenskalen bis zum atomaren Niveau mit einer viel niedrigeren Energie zu untersuchen. ${\displaystyle \lambda}$${\displaystyle E\approx }$

Heliumatomstrahlen mit thermischer Energie sind ausschließlich oberflächenempfindlich, was der Heliumstreuung einen Vorteil gegenüber anderen Techniken wie der Elektronen- und Röntgenstreuung für Oberflächenstudien verleiht. Für die verwendeten Strahlenergien werden die Heliumatome klassische Wendepunkte 2-3 Å von den Oberflächenatomkernen entfernt haben. Der Wendepunkt liegt deutlich über den Atomkernen an der Oberfläche, was bedeutet, dass der Strahl nur mit den äußersten Elektronen wechselwirkt.

Geschichte

Die erste Diskussion über das Erhalten eines Bildes einer Oberfläche unter Verwendung von Atomen stammt von King und Bigas. King und Bigas zeigten, dass man ein Bild einer Oberfläche erhalten kann, indem man eine Probe erhitzt und die Atome beobachtet, die von der Oberfläche verdampfen. King und Bigas schlagen vor, dass es möglich sein könnte, ein Bild durch Streuen von Atomen von der Oberfläche zu erzeugen, obwohl es einige Zeit dauerte, bis dies demonstriert wurde

Die Idee der Bildgebung mit Atomen anstelle von Licht wurde anschließend in der Literatur breit diskutiert. Der ursprüngliche Ansatz zur Herstellung eines Heliummikroskops ging davon aus, dass ein Fokussierelement erforderlich ist, um einen hochintensiven Atomstrahl zu erzeugen. Ein früher Ansatz war die Entwicklung eines Atomspiegels , der attraktiv ist, da die Fokussierung unabhängig von der Geschwindigkeitsverteilung der einfallenden Atome ist. Die Materialherausforderungen zur Herstellung einer geeigneten Oberfläche, die makroskopisch gekrümmt und auf einer atomaren Längenskala frei von Defekten ist, haben sich jedoch bisher als zu anspruchsvoll erwiesen . King und Bigas zeigten, dass man ein Bild einer Oberfläche erhalten kann, indem man eine Probe erhitzt und die Atome beobachtet, die von der Oberfläche verdampfen. King und Bigas schlagen vor, dass es möglich sein könnte, ein Bild durch Streuen von Atomen von der Oberfläche zu erzeugen, obwohl es einige Zeit dauerte, bis dies demonstriert wurde.

Metastabile Atome sind Atome, die aus dem Grundzustand heraus angeregt wurden, aber über einen längeren Zeitraum in einem angeregten Zustand verbleiben. Es hat sich gezeigt, dass Mikroskopie mit metastabilen Atomen möglich ist, bei der die metastabilen Atome gespeicherte innere Energie an die Oberfläche abgeben und Elektronen freisetzen, die Informationen über die elektronische Struktur liefern . Die kinetische Energie der metastabilen Atome bedeutet, dass nur die elektronische Oberflächenstruktur untersucht wird, aber der große Energieaustausch, wenn das metastabile Atom entregt wird, wird immer noch empfindliche Probenoberflächen stören.

Die ersten zweidimensionalen Bilder von neutralem Helium wurden unter Verwendung einer herkömmlichen Fresnel-Zonenplatte von Koch et al. in einer Übertragungseinrichtung. Helium durchdringt kein festes Material, daher wird eine große Änderung des gemessenen Signals erhalten, wenn eine Probe zwischen der Quelle und dem Detektor platziert wird. Durch die Maximierung des Kontrasts und die Verwendung des Transmissionsmodus war es viel einfacher, die Machbarkeit der Technik zu überprüfen. Der von Koch et al. mit einer Zonenplatte erzeugte zu diesem Zeitpunkt kein ausreichend hohes Signal, um das von der Oberfläche reflektierte Signal zu beobachten. Dennoch bietet die mit einer Zonenplatte erzielte Fokussierung in Zukunft das Potenzial für eine verbesserte Auflösung aufgrund der kleinen Strahlfleckgröße. Die Erforschung neutraler Heliummikroskope, die eine Fresnelzonenplatte verwenden, ist ein aktiver Bereich in Holsts Gruppe an der Universität Bergen.

Da sich die Verwendung einer Zonenplatte aufgrund der geringen Fokussierungseffizienz als schwierig erwies, wurden alternative Methoden zur Bildung eines Heliumstrahls zur Erzeugung von Bildern mit Atomen untersucht.

Neuere Bemühungen haben Fokussierungselemente vermieden und stattdessen einen Strahl direkt mit einer Lochblende kollimiert. Durch das Fehlen einer Atomoptik wird der Strahl deutlich größer als in einem Elektronenmikroskop . Die erste veröffentlichte Demonstration eines zweidimensionalen Bildes, das durch von der Oberfläche reflektiertes Helium erzeugt wurde, stammt von Witham und Sánchez, die ein Loch zur Bildung des Heliumstrahls verwendeten. Eine kleine Lochblende wird sehr nahe an einer Probe platziert und das in einem großen Raumwinkel gestreute Helium wird einem Detektor zugeführt. Bilder werden gesammelt, indem die Probe unter dem Strahl herumbewegt und überwacht wird, wie sich der gestreute Heliumfluss ändert.

Parallel zu den Arbeiten von Witham und Sánchez wurde in Cambridge in Zusammenarbeit mit Dastoors Gruppe von der University of Newcastle eine Proof-of-Concept-Maschine namens Raster-Helium-Mikroskop (SHeM) entwickelt. Der gewählte Ansatz bestand darin, frühere Versuche mit einem Atomspiegel durch die Verwendung einer Lochblende zu vereinfachen, aber immer noch eine konventionelle Heliumquelle zu verwenden, um einen qualitativ hochwertigen Strahl zu erzeugen. Andere Unterschiede zum Design von Witham und Sánchez sind die Verwendung eines größeren Abstands von Probe zu Lochblende, sodass eine größere Vielfalt von Proben verwendet werden kann, und die Verwendung eines kleineren Raumwinkels der Sammlung, damit möglicherweise subtilere Kontraste beobachtet werden können. Diese Änderungen verringerten auch den Gesamtfluss im Detektor, was bedeutet, dass Detektoren mit höherer Effizienz erforderlich sind (was an sich ein aktives Forschungsgebiet ist .

Bildentstehungsprozess

Ein Heliumatombild eines Fliegenauges

SHeM-Kontrastmechanismusbaum

Der Atomstrahl wird durch eine Überschallexpansion gebildet, die eine Standardtechnik ist, die bei der Heliumatomstreuung verwendet wird . Die Mittellinie des Gases wird von einem Skimmer ausgewählt, um einen Atomstrahl mit einer engen Geschwindigkeitsverteilung zu bilden. Das Gas wird dann durch eine Lochblende weiter kollimiert, um einen schmalen Strahl zu bilden, der typischerweise zwischen 1-10 um liegt. Durch die Verwendung eines Fokussierelements (wie einer Zonenplatte) können Strahlfleckgrößen unter 1 µm erreicht werden, die jedoch derzeit noch mit geringer Signalintensität ausgestattet sind.

Das Gas streut dann von der Oberfläche und wird in einem Detektor gesammelt. Um den Fluss der neutralen Heliumatome zu messen, müssen diese zunächst ionisiert werden. Die Trägheit von Helium, die es zu einer sanften Sonde macht, bedeutet, dass es schwierig zu ionisieren ist und daher normalerweise ein einigermaßen aggressiver Elektronenbeschuss verwendet wird, um die Ionen zu erzeugen. Ein Massenspektrometeraufbau wird dann verwendet, um nur die Heliumionen zur Detektion auszuwählen.

Sobald der Fluss von einem bestimmten Teil der Oberfläche gesammelt wurde, wird die Probe unter den Strahl bewegt, um ein Bild zu erzeugen. Durch Erhalten des Wertes des Streuflusses über ein Gitter von Positionen können dann Werte in ein Bild umgewandelt werden.

Der beobachtete Kontrast in Heliumbildern wurde typischerweise durch die Variation der Topographie der Probe dominiert. Da die Wellenlänge des Atomstrahls klein ist, erscheinen Oberflächen für den einfallenden Atomstrahl typischerweise extrem rau. Daher werden die Atome diffus gestreut und folgen grob dem Knudsen-Gesetz [Zitat?] (das Atomäquivalent des Lambertschen Kosinusgesetzes in der Optik). In jüngerer Zeit wurde jedoch eine Abweichung von der diffusen Streuung aufgrund von Effekten wie Beugung und chemischen Kontrasteffekten festgestellt. Die genauen Mechanismen der Kontrastbildung in einem Heliummikroskop sind jedoch ein aktives Forschungsgebiet. In den meisten Fällen gibt es eine komplexe Kombination mehrerer Kontrastmechanismen, die es schwierig machen, die verschiedenen Beiträge zu entwirren.

Optimale Konfigurationen

Die optimalen Konfigurationen von Raster-Helium-Mikroskopen sind geometrische Konfigurationen, die die Intensität des Abbildungsstrahls innerhalb einer gegebenen lateralen Auflösung und unter bestimmten technologischen Einschränkungen maximieren .

Bei der Entwicklung eines Raster-Helium-Mikroskops bemühen sich die Wissenschaftler, die Intensität des Abbildungsstrahls zu maximieren und gleichzeitig seine Breite zu minimieren. Der Grund dafür ist, dass die Breite des Strahls die Auflösung des Mikroskops angibt, während seine Intensität proportional zu seinem Signal-Rausch-Verhältnis ist. Aufgrund ihrer Neutralität und hohen Ionisationsenergie sind neutrale Heliumatome schwer zu erkennen. Dies macht hochintensive Strahlen zu einer entscheidenden Voraussetzung für ein brauchbares Raster-Helium-Mikroskop.

Um einen hochintensiven Strahl zu erzeugen, sind Raster-Helium-Mikroskope so konzipiert, dass sie eine Überschallexpansion des Gases ins Vakuum erzeugen, die neutrale Heliumatome auf hohe Geschwindigkeiten beschleunigt. Helium-Rastermikroskope gibt es in zwei verschiedenen Konfigurationen: der Pinhole-Konfiguration und der Zonenplatten-Konfiguration. In der Pinhole-Konfiguration wählt eine kleine Öffnung (das Pinhole) einen Abschnitt der Überschallausdehnung weit entfernt von seinem Ursprung aus, der zuvor von einem Skimmer (im Wesentlichen ein weiteres kleines Pinhole) kollimiert wurde. Dieser Abschnitt wird dann zum Abbildungsstrahl. In der Zonenplattenanordnung eine Fresnel - Zonenplatte fokussiert die Atome von einem Skimmer in einen kleinen Brennpunkt kommen.

Jede dieser Konfigurationen hat unterschiedliche optimale Designs, da sie durch unterschiedliche Optikgleichungen definiert sind.

Pinhole-Konfiguration

Geometrie eines Raster-Helium-Mikroskops in seiner Pinhole-Konfiguration mit den in diesem Artikel verwendeten Variablen. Bild entnommen (vom Autor hochgeladen).

Bei der Pinhole-Konfiguration wird die Breite des Strahls (deren Minimierung angestrebt wird) weitgehend durch die geometrische Optik vorgegeben . Die Strahlgröße in der Probenebene wird durch die Linien gegeben, die die Skimmerkanten mit den Pinholekanten verbinden. Wenn die Fresnelzahl sehr klein ist ( ), wird die Strahlbreite auch durch die Fraunhofer-Beugung beeinflusst (siehe Gleichung unten). ${\displaystyle F\ll 1}$

${\displaystyle \Phi =2{\sqrt {2\ln 2/3}}{\sqrt {\delta ^{2}+3\sigma_{A}^{2}(1-\theta (F)) }}.}$

In dieser Gleichung ist die volle Breite beim halben Maximum des Strahls, die geometrische Projektion des Strahls und der Airy-Beugungsterm . ist die Heaviside- Stufenfunktion, die hier verwendet wird, um anzuzeigen, dass das Vorhandensein des Beugungsterms vom Wert der Fresnel-Zahl abhängt. Beachten Sie, dass es Variationen dieser Gleichung gibt, je nachdem, was als "Strahlbreite" definiert ist (für Details vergleiche und ). Aufgrund der kleinen Wellenlänge des Heliumstrahls kann meist auf den Fraunhofer-Beugungsterm verzichtet werden. ${\displaystyle \Phi}$${\displaystyle\delta}$${\displaystyle \sigma_{A}}$${\displaystyle\theta}$

Die Intensität des Strahls (die wir maximieren wollen) ergibt sich aus der folgenden Gleichung (nach dem Modell von Sikora und Andersen):

${\displaystyle I=I_{0}{\frac {r_{ph}^{2}}{(R_{F}+a)^{2}}}\left(1-\exp \left[-S^ {2}\left({\frac{r_{S}(R_{F}+a)}}{R_{F}(R_{F}-x_{S}+a)}}\right)^{2} \richtig richtig).}$

Wobei ist die Gesamtintensität der Überschall-Expansionsdüse (als Konstante im Optimierungsproblem genommen), ist der Radius der Lochblende, S ist das Geschwindigkeitsverhältnis des Strahls, ist der Radius des Skimmers, ist der Radius des die Überschallausdehnungs-Austrittsfläche (der Punkt in der Ausdehnung, von dem aus angenommen werden kann, dass sich Atome in einer geraden Linie bewegen), ist der Abstand zwischen der Düse und dem Skimmer und ist der Abstand zwischen dem Skimmer und der Lochblende. Es gibt mehrere andere Versionen dieser Gleichung, die vom Intensitätsmodell abhängen, aber alle zeigen eine quadratische Abhängigkeit vom Pinhole-Radius (je größer das Pinhole, desto mehr Intensität) und eine inverse quadratische Abhängigkeit vom Abstand zwischen dem Skimmer und dem Pinhole (je mehr sich die Atome ausbreiten, desto weniger Intensität). ${\displaystyle I_{0}}$${\displaystyle r_{ph}}$${\displaystyle r_{S}}$${\displaystyle R_{F}}$${\displaystyle x_{S}}$${\displaystyle a}$

Durch Kombination der beiden oben gezeigten Gleichungen kann man erhalten, dass für eine gegebene Strahlbreite für den geometrischen Optikbereich die folgenden Werte Intensitätsmaxima entsprechen: ${\displaystyle \Phi}$

${\displaystyle r_{S}^{max}={\frac {\Phi a}{2W_{D}K}},\qquad r_{ph}^{max}={\frac {\Phi a}{2K (a+W_{D})}}.}$

Stellt hier den Arbeitsabstand des Mikroskops dar und ist eine Konstante, die sich aus der Definition der Strahlbreite ergibt. Beachten Sie, dass beide Gleichungen in Bezug auf den Abstand zwischen dem Skimmer und der Lochblende angegeben sind, a. Das globale Intensitätsmaximum kann dann numerisch erhalten werden, indem diese Werte in der obigen Intensitätsgleichung ersetzt werden. Im Allgemeinen werden kleinere Skimmerradien bei gleichzeitig kleineren Abständen zwischen dem Skimmer und der Lochblende bevorzugt, was in der Praxis zu immer kleineren Lochmikroskopen führt. ${\displaystyle W_{D}}$${\displaystyle K=2{\sqrt {2\ln 2/3}}}$

Konfiguration der Zonenplatte

Geometrie eines Raster-Helium-Mikroskops in seiner Zonenplattenkonfiguration mit den in diesem Artikel verwendeten Variablen. Bild entnommen (vom Autor hochgeladen).

Das Zonenplattenmikroskop verwendet eine Zonenplatte (die ungefähr wie eine klassische Linse wirkt ) anstelle einer Lochblende, um den Atomstrahl in einen kleinen Brennfleck zu fokussieren. Dies bedeutet, dass sich die Strahlbreitengleichung signifikant ändert (siehe unten).

${\displaystyle \Phi =K{\sqrt {\sigma_{cm}^{2}+\sigma_{A}^{2}+\left({\frac {Mr_{S}}{\sqrt {3 }}}\right)^{2}}}\sim K{\sqrt {\left({\frac {r_{ZP}}{S{\sqrt {2}}}}\right)^{2}+ 0,42\Delta r+\left({\frac{Mr_{S}}{\sqrt {3}}}\right)^{2}}}.}$

Hier ist die Zonenplatte Vergrößerung und ist die Breite der kleinsten Zone. Beachten Sie das Vorhandensein von chromatischen Aberrationen ( ). Das Näherungszeichen gibt den Bereich an, in dem der Abstand zwischen der Zonenplatte und dem Skimmer viel größer ist als seine Brennweite. ${\displaystyle M}$${\displaystyle \Delta r}$${\displaystyle \sigma_{cm}}$

Der erste Term in dieser Gleichung ähnelt dem geometrischen Beitrag im Pinhole-Fall: Eine größere Zonenplatte (bei konstanten Parametern) entspricht einer größeren Brennfleckgröße. Der dritte Term unterscheidet sich von der Pinhole-Konfigurationsoptik dadurch, dass er eine quadratische Beziehung zur Skimmergröße (die durch die Zonenplatte abgebildet wird) und eine lineare Beziehung zur Zonenplattenvergrößerung umfasst, die gleichzeitig von ihrem Radius abhängt. ${\displaystyle\delta}$

Die zu maximierende Gleichung, die Intensität, ist die gleiche wie im Pinhole-Fall mit der Substitution . Durch Einsetzen der Vergrößerungsgleichung: ${\displaystyle r_{ph}\leftrightarrow r_{ZP}}$

${\displaystyle M={\frac {f}{af}}={\frac {2r_{ZP}\Updelta r}{\lambda (a-2r_{ZP}\Updelta r/\lambda)}}.}$

Wo ist die durchschnittliche de-Broglie-Wellenlänge des Strahls. Nimmt man eine Konstante , die gleich dem kleinsten erreichbaren Wert gemacht werden sollte, können die Maxima der Intensitätsgleichung bezüglich des Zonenplattenradius und des Skimmer-Zonenplattenabstandes analytisch erhalten werden. Die Ableitung der Intensität nach dem Zonenplattenradius kann durch folgende kubische Gleichung reduziert werden (nachdem sie gleich Null gesetzt wurde): ${\displaystyle \lambda}$${\displaystyle \Delta r}$${\displaystyle a}$

${\displaystyle a^{3}+2a^{2}\left(R_{F}-{\sqrt {3\Gamma}}r_{ZP}\right)+aR_{F}(R_{F}-4r_ {ZP}{\sqrt {3\Gamma}})=r_{ZP}{\sqrt {3\Gamma}})R_{F}^{2}\left[{\frac {2S^{2}\Phi '^{2}+r_{ZP}^{2}(\Gamma -1)}{S^{2}\Phi '^{2}-0.5r_{ZP}^{2}}}\right]. }$

Hier werden einige Gruppierungen verwendet: ist eine Konstante, die die relative Größe der kleinsten Apertur der Zonenplatte im Vergleich zur durchschnittlichen Wellenlänge des Strahls angibt und ist die modifizierte Strahlbreite, die durch die Ableitung verwendet wird, um nicht explizit mit der Konstanten . zu arbeiten luftiger Begriff: . ${\displaystyle \Gamma}$${\displaystyle \Phi '}$${\displaystyle \Phi '^{2}=\sigma_{cm}^{2}+\left({\frac {Mr_{S}}{\sqrt {3}}}\right)^{2}}$

Diese kubische Gleichung wird unter einer Reihe geometrischer Annahmen erhalten und hat eine geschlossene analytische Lösung, die in der Originalarbeit zu Rate gezogen oder mit einer modernen Algebra-Software erhalten werden kann. Die praktische Konsequenz dieser Gleichung ist, dass Zonenplattenmikroskope optimal ausgelegt sind, wenn die Abstände zwischen den Komponenten klein sind und auch der Radius der Zonenplatte klein ist. Dies stimmt mit den für die Pinhole-Konfiguration erhaltenen Ergebnissen überein und hat als praktische Konsequenz die Konstruktion kleinerer Raster-Helium-Mikroskope.

Siehe auch

• Heliumatomstreuung
• Atomoptik
• Atomspiegel
• Materiewelle

Verweise