Semiperfekte Zahl - Semiperfect number

Semiperfekte Zahl
Cuisenaire-Ruten in Perfect Number 6.png
Demonstration der Perfektion der Nummer 6 mit Cuisenaire-Ruten .
Gesamtnr . von Begriffen Unendlichkeit
Erste Begriffe 6 , 12 , 18 , 20 , 24 , 28 , 30
OEIS- Index

In der Zahlentheorie ist eine semiperfekte Zahl oder pseudoperfekte Zahl eine natürliche Zahl n , die gleich der Summe aller oder einiger ihrer echten Teiler ist . Eine halbperfekte Zahl, die gleich der Summe aller ihrer echten Teiler ist, ist eine perfekte Zahl .

Die ersten paar semiperfekten Zahlen sind: 6 , 12 , 18 , 20 , 24 , 28 , 30 , 36 , 40 , ... (Sequenz A005835 im OEIS )

Eigenschaften

  • Jedes Vielfache einer semiperfekten Zahl ist semiperfekt. Eine semiperfekte Zahl, die nicht durch eine kleinere semiperfekte Zahl teilbar ist, heißt primitiv .
  • Jede Zahl der Form 2 m p für einen natürliche Zahl m und ein ungeradeer Primzahl p , so dass p <2 m  +1 auch semi - perfekt ist.
    • Insbesondere ist jede Zahl der Form 2 m (2 m  +1  − 1) semiperfekt, und zwar perfekt, wenn 2 m  +1  − 1 eine Mersenne-Primzahl ist .
  • Die kleinste ungerade halbperfekte Zahl ist 945 (siehe zB Friedman 1993).
  • Eine semiperfekte Zahl ist notwendigerweise entweder perfekt oder reichlich . Eine häufig vorkommende Zahl, die nicht semiperfekt ist, wird als seltsame Zahl bezeichnet .
  • Mit Ausnahme von 2 sind alle primären pseudoperfekten Zahlen semiperfekt.
  • Jede praktische Zahl , die keine Zweierpotenz ist, ist semiperfekt.
  • Die natürliche Dichte der Menge der semiperfekten Zahlen existiert.

Primitive semiperfekte Zahlen

Eine primitive semiperfekte Zahl (auch primitive pseudoperfect number , irreduzible semiperfect number oder irreduzible pseudoperfect number genannt ) ist eine semiperfekte Zahl, die keinen semiperfekten echten Teiler hat.

Die ersten paar primitiven semiperfekten Zahlen sind 6 , 20 , 28 , 88 , 104 , 272, 304, 350, ... (Sequenz A006036 im OEIS )

Es gibt unendlich viele solcher Zahlen. Alle Zahlen der Form 2 m p , mit p a Prim zwischen 2 m und 2 m  +1 , sind primitiv semiperfekt, aber das ist nicht die einzige Form: zum Beispiel 770. Es gibt unendlich viele ungerade primitive semiperfekte Zahlen, die kleinsten 945, ein Ergebnis von Paul Erdős : Es gibt auch unendlich viele primitive semiperfekte Zahlen, die keine harmonischen Teilerzahlen sind .

Jede semiperfekte Zahl ist ein Vielfaches einer primitiven semiperfekten Zahl.

Siehe auch

Anmerkungen

Verweise

  • Friedman, Charles N. (1993). "Summen von Teilern und ägyptischen Brüchen" . Zeitschrift für Zahlentheorie . 44 (3): 328–339. doi : 10.1006/jnth.1993.1057 . MR  1.233.293 . Zbl  0781.11015 . Archiviert vom Original am 10.02.2012.
  • Guy, Richard K. (2004). Ungelöste Probleme der Zahlentheorie . Springer-Verlag . ISBN 0-387-20860-7. OCLC-  54611248 . Zbl  1058.11001 . Abschnitt B2.
  • Sierpiński, Wacław (1965). "Sur les nombres pseudoparfaits". Matte. Vesn . Nouvelle Série (auf Französisch). 2 (17): 212–213. MR  0.199.147 . Zbl  0161.04402 .
  • Zachariou, Andreas; Zachariou, Eleni (1972). "Perfekte, semiperfekte und Erzzahlen". Stier. Soz. Mathematik. Griechenland . Nouvelle Serie. 13 : 12–22. MR  0.360.455 . Zbl  0266.10012 .

Externe Links