Schnittmenge (Mengentheorie) - Intersection (set theory)
In der Mathematik ist der Schnittpunkt zweier Mengen und bezeichnet mit die Menge, die alle Elemente enthält , die auch zu gehören, oder äquivalent alle Elemente , die auch zu gehören
Notation und Terminologie
Kreuzung wird mit dem Symbol " " zwischen den Begriffen geschrieben; das heißt, in Infix-Notation . Zum Beispiel:
Eine Erläuterung der in diesem Artikel verwendeten Symbole finden Sie in der Tabelle der mathematischen Symbole .
Definition
Der Schnittpunkt zweier Mengen und bezeichnet mit ist die Menge aller Objekte, die sowohl Mitglieder der Mengen als auch der In-Symbole sind:
Das heißt, ist ein Element der Schnittmenge genau dann, wenn sowohl ein Element von als auch ein Element von . ist
Zum Beispiel:
- Der Schnittpunkt der Mengen {1, 2, 3} und {2, 3, 4} ist {2, 3}.
- Die Zahl 9 liegt nicht im Schnittpunkt der Menge der Primzahlen {2, 3, 5, 7, 11, ...} und der Menge der ungeraden Zahlen {1, 3, 5, 7, 9, 11, .. .}, weil 9 keine Primzahl ist.
Sich überschneidende und disjunkte Mengen
Wir sagen das intersects (trifft) falls es einigedie ein Element der beiden istundin diesem Fallwir auch sagendassintersects (erfüllt) an . Äquivalent,schneidet sich,wenn ihr Schnittpunkteine bewohnte Menge ist , was bedeutet, dass es einige gibt, die
Wir sagen das und sind unzusammenhängend, wenn sich nicht schneidet Im Klartext haben sie keine gemeinsamen Elemente. und sind disjunkt, wenn ihr Schnittpunkt leer ist , bezeichnet mit
Zum Beispiel sind die Mengen und disjunkt, während die Menge der geraden Zahlen die Menge der Vielfachen von 3 bei den Vielfachen von 6 schneidet .
Algebraische Eigenschaften
Binärer Schnitt ist eine assoziative Operation; das heißt, für beliebige Mengen und man hat
Schnittmenge verteilt über Vereinigung und Vereinigung verteilt über Schnittmenge. Das heißt, für alle Sätze und man hat
Beliebige Kreuzungen
Der allgemeinste Begriff ist der Schnittpunkt einer beliebigen nichtleeren Menge von Mengen. Wenn eine
nichtleere Menge ist, deren Elemente selbst Mengen sind, dann ist ein Element der Schnittmenge von genau dann, wenn für jedes Element von ein Element von In-Symbolen ist:Die Notation für dieses letzte Konzept kann erheblich variieren. Mengentheoretiker schreiben manchmal " ", während andere stattdessen " " schreiben . Die letztgenannte Notation kann zu " " verallgemeinert werden , was sich auf den Schnittpunkt der Sammlung bezieht. Here is a nonleer set, and is a set for every
Für den Fall, dass die Indexmenge die Menge der
natürlichen Zahlen ist , kann die Notation analog der eines unendlichen Produkts gesehen werden:Wenn die Formatierung schwierig ist, kann dies auch " " geschrieben werden. Dieses letzte Beispiel, eine Schnittmenge von abzählbar vielen Mengen, ist tatsächlich sehr verbreitet; ein Beispiel finden Sie im Artikel über
σ-Algebren .Nullärer Schnittpunkt
Beachten Sie, dass wir im vorherigen Abschnitt den Fall ausgeschlossen haben, in dem die
leere Menge ( ) war. Der Grund ist folgender: Die Schnittmenge der Sammlung ist als Menge definiert (siehe Set-Builder-Notation )In Typ Theorie jedoch ist von einem vorgeschriebenen Typ so dass der Schnittpunkt der Art zu verstehen ist (die Art von Sätzen , deren Elemente in ), und wir können definieren , der universelle Satz zu sein (die Reihe , dessen Elemente genau alle Bedingungen Typ ).
Siehe auch
- Algebra von Mengen – Identitäten und Beziehungen mit Mengen
- Kardinalität – Maß für die Anzahl der Elemente einer Menge
- Komplement – Teilmenge der Elemente, die nicht in einer bestimmten Teilmenge enthalten sind
- Schnittmenge (Euklidische Geometrie) – Geometrische Objekte, die anderen geometrischen Objekten gemeinsam sind
- Schnittpunktdiagramm
- Schnitttheorie – Zweig der algebraischen Geometrie
- Iterierte binäre Operation
- Liste der Mengenidentitäten und -beziehungen – Gleichungen und Beziehungen, die Mengen und Funktionen beinhalten
- Logische Konjunktion – Logisches verbindendes UND
- MinHash
- Naive Mengenlehre – Informelle Mengentheorien
- Symmetrische Differenz – Teilmenge der Elemente, die zu genau einer von zwei Mengen gehören
- Union – Mathematische Operation, bei der sich Mengen kombinieren oder in Beziehung setzen
Verweise
Weiterlesen
- Devlin, KJ (1993). The Joy of Sets: Fundamentals of Contemporary Set Theory (Zweite Aufl.). New York, NY: Springer-Verlag. ISBN 3-540-94094-4.
- Munkres, James R. (2000). "Mengentheorie und Logik". Topologie (Zweite Aufl.). Oberer Saddle River: Prentice Hall. ISBN 0-13-181629-2.
- Rosen, Kenneth (2007). „Grundstrukturen: Mengen, Funktionen, Sequenzen und Summen“. Diskrete Mathematik und ihre Anwendungen (Sechste Aufl.). Boston: McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-322972-0.