Verschobene Gompertz-Verteilung - Shifted Gompertz distribution

Gompertz verschoben

Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion
Verteilungsfunktion
Parameter	${\ displaystyle b \ geq 0}$ Skala ( real ) Form (real) ${\ displaystyle \ eta \ geq 0}$
Unterstützung	${\ displaystyle x \ in [0, \ infty) \!}$
PDF	${\ displaystyle be ^ {- bx} e ^ {- \ eta e ^ {- bx}} \ left [1+ \ eta \ left (1-e ^ {- bx} \ right) \ right]}$
CDF	${\ displaystyle \ left (1-e ^ {- bx} \ right) e ^ {- \ eta e ^ {- bx}}}$
Bedeuten	${\ displaystyle (-1 / b) \ {\ mathrm {E} [\ ln (X)] - \ ln (\ eta) \} \,}$ wo und ${\ displaystyle X = \ eta e ^ {- bx} \,}$ ${\ displaystyle {\ begin {align} \ mathrm {E} [\ ln (X)] = & [1 {+} 1 / \ eta] \! \! \ int _ {0} ^ {\ eta} \! \! \! \! e ^ {- X} [\ ln (X)] dX \\ & - 1 / \ eta \! \! \ int _ {0} ^ {\ eta} \! \! \! \ ! Xe ^ {- X} [\ ln (X)] dX \ end {align}}}$
Modus	${\ displaystyle 0 {\ text {for}} 0 <\ eta \ leq 0.5}$ ${\ displaystyle (-1 / b) \ ln (z ^ {\ star}) {\ text {, for}} \ eta> 0.5}$ ${\ displaystyle {\ text {where}} z ^ {\ star} = [3+ \ eta - (\ eta ^ {2} +2 \ eta +5) ^ {1/2}] / (2 \ eta) }}$
Varianz	${\ displaystyle (1 / b ^ {2}) (\ mathrm {E} \ {[\ ln (X)] ^ {2} \} - (\ mathrm {E} [\ ln (X)]) ^ { 2}) \,}$ wo und${\ displaystyle X = \ eta e ^ {- bx} \,}$${\ displaystyle {\ begin {align} \ mathrm {E} \ {[\ ln (X)] ^ {2} \} = & [1 {+} 1 / \ eta] \! \! \ int _ {0 } ^ {\ eta} \! \! \! \! e ^ {- X} [\ ln (X)] ^ {2} dX \\ & - 1 / \ eta \! \! \ int _ {0} ^ {\ eta} \! \! \! \! Xe ^ {- X} [\ ln (X)] ^ {2} dX \ end {align}}}$

Die verschobene Gompertz-Verteilung ist die Verteilung der größeren von zwei unabhängigen Zufallsvariablen, von denen eine eine Exponentialverteilung mit Parameter und die andere eine Gumbel-Verteilung mit Parametern und aufweist . In seiner ursprünglichen Formulierung wurde die Verteilung unter Bezugnahme auf die Gompertz-Verteilung anstelle der Gumbel-Verteilung ausgedrückt, aber da die Gompertz-Verteilung eine umgekehrte Gumbel-Verteilung ist, kann die Kennzeichnung als genau angesehen werden. Es wurde als Modell für die Übernahme von Innovationen verwendet . Es wurde von Bemmaor (1994) vorgeschlagen. Einige seiner statistischen Eigenschaften wurden von Jiménez und Jodrá (2009) sowie Jiménez Torres (2014) weiter untersucht. ${\ displaystyle b}$${\ displaystyle \ eta}$${\ displaystyle b}$

Es wurde verwendet, um das Wachstum und den Rückgang von sozialen Netzwerken und Online-Diensten vorherzusagen, und es hat sich als überlegen gegenüber dem Bass-Modell und der Weibull-Verteilung erwiesen (Bauckhage und Kersting 2014).

Spezifikation

Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion

Die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion der verschobenen Gompertz-Verteilung ist:

${\ displaystyle f (x; b, \ eta) = sei ^ {- bx} e ^ {- \ eta e ^ {- bx}} \ left [1+ \ eta \ left (1-e ^ {- bx} \ right) \ right] {\ text {for}} x \ geq 0. \,}$

Dabei handelt es sich um einen Skalierungsparameter und einen Formparameter . Im Zusammenhang mit der Verbreitung von Innovationen kann dies als Gesamtattraktivität der Innovation interpretiert werden und ist die Neigung zur Übernahme in das Paradigma der Neigung zur Annahme. Je größer ist, desto stärker ist die Attraktivität und je größer ist, desto geringer ist die Neigung zur Annahme. ${\ displaystyle b \ geq 0}$${\ displaystyle \ eta \ geq 0}$${\ displaystyle b}$${\ displaystyle \ eta}$${\ displaystyle b}$${\ displaystyle \ eta}$

Die Verteilung kann gemäß dem Paradigma des externen gegenüber dem internen Einfluss mit dem Koeffizienten des externen Einflusses und dem Koeffizienten des internen Einflusses neu parametrisiert werden . Daher: ${\ displaystyle p = f (0; b, \ eta) = be ^ {- \ eta}}$${\ displaystyle q = bp}$

${\ Anzeigestil f (x; p, q) = (p + q) e ^ {- (p + q) x} e ^ {- \ ln (1 + q / p) e ^ {- (p + q) x}} \ left [1+ \ ln (1 + q / p) \ left (1-e ^ {- (p + q) x} \ right) \ right] {\ text {for}} x \ geq 0 , p, q \ geq 0. \,}$

${\ displaystyle = (p + q) e ^ {- (p + q) x} {(1 + q / p) ^ {- e ^ {- (p + q) x}}} \ left [1+ \ ln (1 + q / p) \ left (1-e ^ {- (p + q) x} \ right) \ right] {\ text {for}} x \ geq 0, p, q \ geq 0. \ ,}$

Wenn sich die verschobene Gompertz-Verteilung auf eine Exponentialverteilung reduziert. Wenn der Anteil der Anwender gleich Null ist: Die Innovation ist ein völliger Misserfolg. Der Formparameter der Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion ist gleich . Ähnlich wie bei dem Modell Bass, die Hazardrate nähert sich so nahe an bekommt . Siehe Bemmaor und Zheng für weitere Analysen. ${\ displaystyle q = 0}$${\ displaystyle p = 0}$${\ displaystyle q / p}$${\ displaystyle z (x; p, q)}$${\ displaystyle p + q}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle \ infty}$

Verteilungsfunktion

Die kumulative Verteilungsfunktion der verschobenen Gompertz-Verteilung ist:

${\ displaystyle F (x; b, \ eta) = \ left (1-e ^ {- bx} \ right) e ^ {- \ eta e ^ {- bx}} {\ text {for}} x \ geq 0. \,}$

Gleichermaßen

${\ Anzeigestil F (x; p, q) = \ links (1-e ^ {- (p + q) x} \ rechts) e ^ {- \ ln (1 + q / p) e ^ {- (p + q) x}} {\ text {for}} x \ geq 0. \,}$

${\ displaystyle = \ left (1-e ^ {- (p + q) x} \ right) {(1 + q / p) ^ {- e ^ {- (p + q) x}}} {\ text {für}} x \ geq 0. \,}$

Eigenschaften

Die verschobene Gompertz-Verteilung ist für alle Werte von rechtsversetzt . Es ist flexibler als die Gumbel-Distribution . Die Gefährdungsrate ist eine konkave Funktion, die von bis zunimmt : Ihre Krümmung ist umso steiler als groß. Im Zusammenhang mit der Verbreitung von Innovationen ist die Auswirkung von Mundpropaganda auf die Wahrscheinlichkeit einer Adoption in den frühen Stadien der Adoption stärker als in den späteren. Der Parameter erfasst das Wachstum der Gefährdungsrate, wenn von bis variiert wird . ${\ displaystyle \ eta}$${\ displaystyle F (x; b, \ eta)}$${\ displaystyle be ^ {- \ eta}}$${\ displaystyle b}$${\ displaystyle \ eta}$${\ displaystyle q = b (1-e ^ {- \ eta})}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle 0}$${\ displaystyle \ infty}$

Formen

Die verschobene Gompertz-Dichtefunktion kann abhängig von den Werten des Formparameters unterschiedliche Formen annehmen : ${\ displaystyle \ eta}$

• ${\ displaystyle 0 <\ eta \ leq 0.5 \,}$ Die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion hat ihren Modus bei 0.
• ${\ displaystyle \ eta> 0.5 \,}$ Die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion hat ihren Modus bei

${\ displaystyle {\ text {mode}} = - {\ frac {\ ln (z ^ {\ star})} {b}} \, \ qquad 0 <z ^ {\ star} <1}$

wo ist die kleinste Wurzel von ${\ displaystyle z ^ {\ star} \,}$

${\ displaystyle \ eta ^ {2} z ^ {2} - \ eta (3+ \ eta) z + \ eta + 1 = 0 \ ,,}$

welches ist

${\ displaystyle z ^ {\ star} = [3+ \ eta - (\ eta ^ {2} +2 \ eta +5) ^ {1/2}] / (2 \ eta).}$

Verwandte Distributionen

Wenn gemäß einer Gammaverteilung mit Formparameter und Skalenparameter (Mittelwert = ) variiert wird , ist die Verteilung von Gamma / Shifted Gompertz (G / SG). Wenn gleich eins ist, reduziert sich der G / SG auf das Bass-Modell (Bemmaor 1994). Das Drei-Parameter-G / SG wurde unter anderem von Dover, Goldenberg und Shapira (2009) sowie Van den Bulte und Stremersch (2004) im Zusammenhang mit der Verbreitung von Innovationen angewendet. Das Modell wird in Chandrasekaran und Tellis (2007) diskutiert. Ähnlich wie bei der verschobenen Gompertz-Verteilung kann das G / SG entweder nach dem Paradigma der Neigung zur Übernahme oder nach dem Paradigma der Innovationsimitation dargestellt werden. Im letzteren Fall enthält es drei Parameter: und mit und . Der Parameter ändert die Krümmung der Gefährdungsrate, ausgedrückt als Funktion von : Wenn sie kleiner als 0,5 ist, nimmt sie auf ein Minimum ab, bevor sie mit zunehmender Geschwindigkeit zunimmt, sie ist konvex, wenn sie kleiner als eins und größer oder gleich ist 0,5, linear, wenn gleich eins ist, und konkav, wenn größer als eins ist. Hier sind einige Sonderfälle der G / SG-Verteilung im Fall von Homogenität (über die Bevölkerung) in Bezug auf die Wahrscheinlichkeit einer Adoption zu einem bestimmten Zeitpunkt: ${\ displaystyle \ eta}$${\ displaystyle \ alpha}$${\ displaystyle \ beta}$${\ displaystyle \ alpha \ beta}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle \ alpha}$${\ displaystyle p, q}$${\ displaystyle \ alpha}$${\ displaystyle p = f (0; b, \ beta, \ alpha) = b / (1+ \ beta) ^ {\ alpha}}$${\ displaystyle q = bp}$${\ displaystyle \ alpha}$${\ displaystyle F (x; p, q, \ alpha)}$${\ displaystyle \ alpha}$${\ Anzeigestil F (x; p, q, \ alpha <1/2)}$${\ displaystyle \ alpha}$${\ displaystyle \ alpha}$${\ displaystyle \ alpha}$

                        ${\displaystyle F(x;p,q,\alpha =0)}$ = Exponential${\displaystyle (p+q)}$
                        ${\displaystyle F(x;p,q,\alpha =1/2)}$ = Left-skewed two-parameter distribution${\displaystyle (p,q)}$
                        ${\displaystyle F(x;p,q,\alpha =1)}$  = Bass model${\displaystyle (p,q)}$
                        ${\displaystyle F(x;p,q,\alpha =\infty )}$ = Shifted Gompertz${\displaystyle (p,q)}$
 

mit:

              ${\displaystyle F(x;p,q,\alpha =1/2)=\left(1-e^{-(p+q)x}\right)/{(1+(q/p)(2+q/p)e^{-(p+q)x})^{1/2}}{\text{ for }}x\geq 0,p,q\geq 0.\,}$

Man kann die Parameter und über die Werte hinweg vergleichen, wenn sie dieselben Begriffe erfassen. In allen Fällen ist die Gefährdungsrate entweder konstant oder eine monoton ansteigende Funktion von (positive Mundpropaganda). Da die Diffusionskurve umso größer wird, je größer sie wird, erwarten wir, dass sie mit zunehmender Neigung nach rechts abnimmt. ${\ displaystyle p}$${\ displaystyle q}$${\ displaystyle \ alpha}$${\ displaystyle F (x; p, q, \ alpha)}$${\ displaystyle \ alpha}$${\ displaystyle q}$

Siehe auch

• Gumbel Distribution
• Verallgemeinerte Extremwertverteilung
• Mischungsmodell
• Bassmodell
• Gompertz-Verteilung

Verweise