Ähnlichkeit (Geometrie) - Similarity (geometry)

Ähnliche Zahlen

In der euklidischen Geometrie sind zwei Objekte ähnlich, wenn sie die gleiche Form haben oder eines die gleiche Form wie das Spiegelbild des anderen hat. Genauer gesagt kann das eine durch gleichmäßiges Skalieren (Vergrößern oder Verkleinern), eventuell mit zusätzlicher Translation , Rotation und Reflexion , aus dem anderen gewonnen werden . Dies bedeutet, dass jedes Objekt neu skaliert, neu positioniert und gespiegelt werden kann, um genau mit dem anderen Objekt zusammenzufallen. Sind zwei Objekte ähnlich, so ist jedes zum Ergebnis einer bestimmten gleichmäßigen Skalierung des anderen deckungsgleich .

Übersetzung

Drehung

Reflexion

Skalierung

Zum Beispiel sind alle Kreise einander ähnlich, alle Quadrate sind einander ähnlich und alle gleichseitigen Dreiecke sind einander ähnlich. Auf der anderen Seite sind Ellipsen nicht alle ähnlich, Rechtecke sind einander nicht ähnlich und gleichschenklige Dreiecke sind nicht alle ähnlich.

Abbildungen in der gleichen Farbe sind ähnlich

Wenn zwei Winkel eines Dreiecks Maße haben, die gleich den Maßen von zwei Winkeln eines anderen Dreiecks sind, dann sind die Dreiecke ähnlich. Entsprechende Seiten ähnlicher Polygone sind proportional, und entsprechende Winkel ähnlicher Polygone haben das gleiche Maß.

Dieser Artikel geht davon aus, dass eine Skalierung einen Skalierungsfaktor von 1 haben kann, sodass alle kongruenten Formen auch ähnlich sind, aber einige Schulbücher schließen kongruente Dreiecke ausdrücklich aus ihrer Definition ähnlicher Dreiecke aus, indem sie darauf bestehen, dass die Größen unterschiedlich sein müssen, wenn die Dreiecke als ähnlich qualifizieren.

Ähnliche Dreiecke

Zwei Dreiecken, △ ABC und △ A'B'C ' , sind ähnlich , wenn und nur wenn die entsprechende Winkel die gleiche Maßnahme hat: dies bedeutet , dass sie ähnlich sind , wenn und nur wenn die Länge der entsprechenden Seiten sind proportional . Es kann gezeigt werden, dass zwei Dreiecke mit kongruenten Winkeln ( gleichwinklige Dreiecke ) ähnlich sind, d. h. die entsprechenden Seiten können als proportional bewiesen werden. Dies ist als AAA-Ähnlichkeitstheorem bekannt. Beachten Sie, dass das "AAA" eine Gedächtnisstütze ist: Jedes der drei A bezieht sich auf einen "Winkel". Aufgrund dieses Satzes vereinfachen mehrere Autoren die Definition ähnlicher Dreiecke, indem sie nur verlangen, dass die entsprechenden drei Winkel kongruent sind.

Es gibt mehrere Aussagen, von denen jede notwendig und ausreichend ist, damit zwei Dreiecke ähnlich sind:

• Die Dreiecke haben zwei kongruente Winkel, was in der euklidischen Geometrie bedeutet, dass alle ihre Winkel kongruent sind. Das ist:

Wenn ∠ BAC in Maßnahme gleich ∠ B'A'C ' und ∠ ABC ist gleich in Maßnahme ∠ A'B'C' , dann bedeutet dies , dass ∠ ACB in Maßnahme gleich ∠ A'C'B ' und die Dreiecke sind ähnlich.

• Alle entsprechenden Seiten haben Längen im gleichen Verhältnis:

AB/A′B′ = BC/B′C′ = AC/A′C′. Dies entspricht der Aussage, dass ein Dreieck (oder sein Spiegelbild) eine Vergrößerung des anderen ist.

• Zwei Seiten haben Längen im gleichen Verhältnis und die zwischen diesen Seiten eingeschlossenen Winkel haben das gleiche Maß. Zum Beispiel:

AB/A′B′ = BC/B′C′und ∠ ABC ist im Maß gleich ∠ A′B′C′ .

Dies wird als SAS-Ähnlichkeitskriterium bezeichnet. Die "SAS" ist eine Gedächtnisstütze: Jedes der beiden S bezieht sich auf eine "Seite"; das A bezieht sich auf einen "Winkel" zwischen den beiden Seiten.

Wenn zwei Dreiecke △ ABC und △ A′B′C′ ähnlich sind, schreibt man

△ ABC ∼ △ A′B′C′ .

Es gibt mehrere elementare Ergebnisse zu ähnlichen Dreiecken in der euklidischen Geometrie:

• Zwei beliebige gleichseitige Dreiecke sind ähnlich.
• Zwei Dreiecke, die beide einem dritten Dreieck ähneln, sind einander ähnlich ( Transitivität der Ähnlichkeit von Dreiecken).
• Entsprechende Höhen ähnlicher Dreiecke haben das gleiche Verhältnis wie die entsprechenden Seiten.
• Zwei rechtwinklige Dreiecke sind ähnlich, wenn die Hypotenuse und eine andere Seite Längen im gleichen Verhältnis haben. In diesem Fall gibt es mehrere äquivalente Bedingungen, wie zum Beispiel, dass die rechtwinkligen Dreiecke einen spitzen Winkel des gleichen Maßes haben oder die Längen der Schenkel (Seiten) im gleichen Verhältnis stehen.

Gegeben ein Dreieck △ ABC und eine Strecke DE kann man mit Lineal und Zirkel einen Punkt F finden, so dass △ ABC ∼ △ DEF . Die Aussage, dass der Punkt F , der diese Bedingung erfüllt, existiert, ist das Postulat von Wallis und entspricht logisch dem Parallelpostulat von Euklid . In der hyperbolischen Geometrie (wo das Postulat von Wallis falsch ist) sind ähnliche Dreiecke kongruent.

In der axiomatischen Behandlung der euklidischen Geometrie von GD Birkhoff (siehe Birkhoffs Axiome ) wurde das oben angegebene SAS-Ähnlichkeitskriterium verwendet, um sowohl Euklids Parallelpostulat als auch das SAS-Axiom zu ersetzen, was die dramatische Verkürzung von Hilberts Axiomen ermöglichte .

Ähnliche Dreiecke bilden die Grundlage für viele synthetische (ohne die Verwendung von Koordinaten) Beweise in der euklidischen Geometrie. Zu den elementaren Ergebnisse , die auf diese Weise nachgewiesen werden können , sind: die Winkelhalbierendensatz , das geometrische Mittel Satz , Satz von Ceva , Menelaos Theorem und der Satz des Pythagoras . Ähnliche Dreiecke bilden auch die Grundlage für die Trigonometrie des rechtwinkligen Dreiecks .

Andere ähnliche Polygone

Der Begriff der Ähnlichkeit erstreckt sich auf Polygone mit mehr als drei Seiten. Bei zwei beliebigen ähnlichen Polygonen sind entsprechende Seiten in derselben Reihenfolge (selbst wenn im Uhrzeigersinn für ein Polygon und gegen den Uhrzeigersinn für das andere Polygon) proportional und entsprechende Winkel in derselben Reihenfolge sind gleich groß. Allerdings reicht die Proportionalität korrespondierender Seiten allein nicht aus, um Ähnlichkeiten für Polygone jenseits von Dreiecken nachzuweisen (sonst wären zum Beispiel alle Rhomben ähnlich). Ebenso reicht die Gleichheit aller aufeinanderfolgenden Winkel nicht aus, um die Ähnlichkeit zu garantieren (sonst wären alle Rechtecke ähnlich). Eine hinreichende Bedingung für die Ähnlichkeit von Polygonen ist, dass entsprechende Seiten und Diagonalen proportional sind.

Für gegebenes n sind alle regulären n -Ecke ähnlich.

Ähnliche Kurven

Mehrere Kurventypen haben die Eigenschaft, dass alle Beispiele dieses Typs einander ähnlich sind. Diese schließen ein:

• Kreise
• Parabeln
• Hyperbeln einer bestimmten Exzentrizität
• Ellipsen einer bestimmten Exzentrizität
• Oberleitungen
• Graphen der Logarithmusfunktion für verschiedene Basen
• Graphen der Exponentialfunktion für verschiedene Basen
• Logarithmische Spiralen sind selbstähnlich

Im euklidischen Raum

Eine Ähnlichkeit (auch Ähnlichkeitstransformation oder Ähnlichkeit genannt ) eines euklidischen Raums ist eine Bijektion f aus dem Raum auf sich selbst, die alle Abstände mit derselben positiven reellen Zahl r multipliziert , so dass für zwei beliebige Punkte x und y gilt:

${\displaystyle d(f(x),f(y))=rd(x,y),\,}$

wobei " d ( x , y ) " der euklidische Abstand von x nach y ist . Der Skalar r hat viele Namen in der Literatur, einschließlich; das Ähnlichkeitsverhältnis , der Streckfaktor und der Ähnlichkeitskoeffizient . Bei r = 1 wird eine Ähnlichkeit als Isometrie ( starre Transformation ) bezeichnet. Zwei Mengen werden als ähnlich bezeichnet, wenn eine das Bild der anderen unter einer Ähnlichkeit ist.

Als Abbildung f  : ℝ ⁿ → ℝ ⁿ hat eine Ähnlichkeit des Verhältnisses r die Form

${\displaystyle f(x)=rAx+t,}$

wobei A ∈ O _n (r) ist ein n × n orthogonale Matrix und t ∈ r ⁿ ein Verschiebungsvektor.

Ähnlichkeiten bewahren Ebenen, Linien, Rechtwinkligkeit, Parallelität, Mittelpunkte, Ungleichheiten zwischen Abständen und Liniensegmenten. Ähnlichkeiten bewahren Winkel, aber nicht unbedingt die Orientierung, direkte Ähnlichkeiten bewahren die Orientierung und entgegengesetzte Ähnlichkeiten ändern sie.

Die Ähnlichkeiten des euklidischen Raums bilden eine Gruppe unter der Operation der Zusammensetzung, die Ähnlichkeitsgruppe S genannt wird . Die direkten Ähnlichkeiten bilden eine normale Untergruppe von S und die euklidische Gruppe E ( n ) von Isometrien bildet ebenfalls eine normale Untergruppe. Die Ähnlichkeitsgruppe S ist selbst eine Untergruppe der affinen Gruppe , also ist jede Ähnlichkeit eine affine Transformation .

Man kann die euklidische Ebene als komplexe Ebene betrachten , dh als zweidimensionalen Raum über den reellen Zahlen . Die 2D-Ähnlichkeitstransformationen können dann durch komplexe Arithmetik ausgedrückt werden und sind gegeben durch f ( z ) = az + b (direkte Ähnlichkeiten) und f ( z ) = a z + b (entgegengesetzte Ähnlichkeiten), wobei a und b komplex sind Zahlen, a 0 . Wann | ein | = 1 , diese Ähnlichkeiten sind Isometrien.

Seiten-, Flächen- und Volumenverhältnisse

Das Verhältnis zwischen den Flächen ähnlicher Figuren ist gleich dem Quadrat des Verhältnisses der entsprechenden Längen dieser Figuren (wenn beispielsweise die Seite eines Quadrats oder der Radius eines Kreises mit drei multipliziert wird, wird seine Fläche mit neun multipliziert — dh um drei zum Quadrat). Die Höhen ähnlicher Dreiecke stehen im gleichen Verhältnis wie die entsprechenden Seiten. Wenn ein Dreieck eine Seite der Länge b und eine Höhe zu dieser Seite der Länge h hat, dann wird ein ähnliches Dreieck mit der entsprechenden Seite der Länge kb eine Höhe zu dieser Seite der Länge kh haben . Die Fläche des ersten Dreiecks ist A =1/2bh , während die Fläche des ähnlichen Dreiecks A′ = . ist1/2( Kb ) ( kh ) = k ² A . Ähnliche Figuren, die in ähnliche Dreiecke zerlegt werden können, haben Bereiche, die auf die gleiche Weise verwandt sind. Die Beziehung gilt auch für Zahlen, die nicht korrigierbar sind.

Das Verhältnis zwischen den Volumina ähnlicher Figuren ist gleich der Kubik des Verhältnisses der entsprechenden Längen dieser Figuren (wenn beispielsweise die Kante eines Würfels oder der Radius einer Kugel mit drei multipliziert wird, wird sein Volumen mit 27 multipliziert — dh durch drei gewürfelt).

Das Quadrat-Würfel-Gesetz von Galileo betrifft ähnliche Körper. Wenn das Ähnlichkeitsverhältnis (Verhältnis der entsprechenden Seiten) zwischen den Festkörpern k ist , dann ist das Flächenverhältnis der Festkörper k ² , während das Volumenverhältnis k ^{3 ist} .

In allgemeinen metrischen Räumen

Sierpiński-Dreieck . Ein Raum mit Selbstähnlichkeitsdimensionlog 3/log 2= log ₂ 3 , was ungefähr 1,58 entspricht. (Aus Hausdorff-Maß .)

In einem allgemeinen metrischen Raum ( X , d ) eine exakte similitude ist eine Funktion f von der metrischen Raum X in sich , daß Multiplikationen alle Entfernungen von der gleichen positiven Skalar r , genannt f ‚s Kontraktionsfaktor, so dass für zwei beliebige Punkte x und y haben wir

${\displaystyle d(f(x),f(y))=rd(x,y).\,\,}$

Bei schwächeren Versionen der Ähnlichkeit wäre beispielsweise f eine Bi- Lipschitz- Funktion und der Skalar r ein Grenzwert

${\displaystyle \lim {\frac {d(f(x),f(y))}{d(x,y)}}=r.}$

Diese schwächere Version gilt, wenn die Metrik ein effektiver Widerstand auf einer topologisch selbstähnlichen Menge ist.

Ein selbstähnliche Teilmenge eines metrischen Raum ( X , d ) ist ein Satz K , für die es eine endliche Menge von similitudes existiert { f _n } _{s ∈ S} mit Kontraktionsfaktoren 0 ≤ r _e <1 , so dass K die einzigartige kompakte Teilmenge von X, für die

Eine selbstähnliche Menge konstruiert mit zwei Ähnlichkeiten z'=0.1[(4+i)z+4] und z'=0.1[(4+7i)z*+5-2i]

${\displaystyle \bigcup_{s\in S}f_{s}(K)=K.\,}$

Diese selbstähnlichen Mengen haben ein selbstähnliches Maß μ ^D mit Dimension D gegeben durch die Formel

${\displaystyle \sum_{s\in S}(r_{s})^{D}=1\,}$

was oft (aber nicht immer) gleich der Hausdorff-Dimension und der Packungsdimension der Menge ist . Wenn die Überlappungen zwischen den f _s ( K ) "klein" sind, haben wir die folgende einfache Formel für das Maß:

${\displaystyle \mu^{D}(f_{s_{1}}\circ f_{s_{2}}\circ \cdots \circ f_{s_{n}}(K))=(r_{s_{1 }}\cdot r_{s_{2}}\cdots r_{s_{n}})^{D}.\,}$

Topologie

In der Topologie kann ein metrischer Raum konstruiert werden, indem eine Ähnlichkeit anstelle einer Entfernung definiert wird . Die Ähnlichkeit ist eine Funktion, deren Wert größer ist, wenn zwei Punkte näher sind (im Gegensatz zum Abstand, der ein Maß für die Unähnlichkeit ist: Je näher die Punkte, desto geringer der Abstand).

Die Definition der Ähnlichkeit kann von Autor zu Autor variieren, je nachdem, welche Eigenschaften gewünscht werden. Die grundlegenden gemeinsamen Eigenschaften sind

1. Positiv definiert:

   ${\displaystyle \forall (a,b),S(a,b)\geq 0}$

2. Bedeutet durch die Ähnlichkeit eines Elements mit sich selbst ( Auto-Ähnlichkeit ):

   ${\displaystyle S(a,b)\leq S(a,a)\quad {\text{und}}\quad \forall (a,b),S(a,b)=S(a,a)\ Pfeil nach links a=b}$

Weitere Eigenschaften können aufgerufen werden, wie z. B. Reflektivität ( ) oder Endlichkeit ( ). Der obere Wert wird oft auf 1 gesetzt (wodurch eine Möglichkeit für eine wahrscheinlichkeitstheoretische Interpretation der Ähnlichkeit geschaffen wird). ${\displaystyle \forall (a,b)\ S(a,b)=S(b,a)}$${\displaystyle \forall (a,b)\ S(a,b)<\infty}$

Beachten Sie, dass Ähnlichkeit im hier verwendeten topologischen Sinne eine Art Maß ist . Diese Verwendung ist nicht identisch mit der Ähnlichkeitstransformation der Abschnitte § Im Euklidischen Raum und § In allgemeinen metrischen Räumen dieses Artikels.

Selbstähnlichkeit

Selbstähnlichkeit bedeutet, dass ein Muster sich selbst nicht-trivial ähnlich ist , zB die Menge {…, 0.5, 0.75, 1, 1.5, 2, 3, 4, 6, 8, 12, …} von Zahlen der Form { 2 ⁱ , 3·2 ⁱ } wobei i über alle ganzen Zahlen reicht. Wenn dieser Satz auf einer logarithmischen Skala aufgetragen wird , hat er eine eindimensionale Translationssymmetrie : Addiert oder subtrahiert man den Logarithmus von zwei zum Logarithmus einer dieser Zahlen, erhält man den Logarithmus einer anderen dieser Zahlen. In der gegebenen Zahlenmenge selbst entspricht dies einer Ähnlichkeitstransformation, bei der die Zahlen mit zwei multipliziert oder dividiert werden.

Psychologie

Die Intuition für den Begriff der geometrischen Ähnlichkeit zeigt sich bereits bei Menschenkindern, wie in ihren Zeichnungen zu sehen ist.

Siehe auch

• Kongruenz (Geometrie)
• Hamming-Distanz (String- oder Sequenzähnlichkeit)
• Helmert-Transformation
• Inversive Geometrie
• Jaccard-Index
• Verhältnismäßigkeit
• Grundlegender Proportionalitätssatz
• Semantische Ähnlichkeit
• Ähnlichkeitssuche
• Ähnlichkeit (Philosophie)
• Ähnlichkeitsraum zur numerischen Taxonomie
• Homöoid (Schale aus konzentrischen, ähnlichen Ellipsoiden)
• Lösung von Dreiecken

Anmerkungen

Verweise

• Henderson, David W.; Taimina, Daina (2005), Geometry/ Euklidean and Non-Euclidean with History (3. Aufl.), Pearson Prentice-Hall, ISBN 978-0-13-143748-7
• Jacobs, Harold R. (1974), Geometrie , WH Freeman und Co., ISBN 0-7167-0456-0
• Pedoe, Dan (1988) [1970], Geometrie/Ein umfassender Kurs , Dover, ISBN 0-486-65812-0
• Sibley, Thomas Q. (1998), The Geometric Viewpoint/A Survey of Geometries , Addison-Wesley, ISBN 978-0-201-87450-1
• Smart, James R. (1998), Moderne Geometrien (5. Aufl.), Brooks/Cole, ISBN 0-534-35188-3
• Stahl, Saul (2003), Geometrie/From Euklid to Knots , Prentice-Hall, ISBN 978-0-13-032927-1
• Venema, Gerard A. (2006), Grundlagen der Geometrie , Pearson Prentice-Hall, ISBN 978-0-13-143700-5
• Yale, Paul B. (1968), Geometrie und Symmetrie , Holden-Day

Weiterlesen

• Judith N. Cederberg (1989, 2001) Ein Kurs in modernen Geometrien , Kapitel 3.12 Ähnlichkeitstransformationen, S. 183–9, Springer ISBN  0-387-98972-2 .
• HSM Coxeter (1961,9) Einführung in die Geometrie , §5 Ähnlichkeit in der euklidischen Ebene, S. 67–76, §7 Isometrie und Ähnlichkeit im euklidischen Raum, S. 96–104, John Wiley & Sons .
• Günter Ewald (1971) Geometrie: Eine Einführung , S. 106, 181, Wadsworth Publishing .
• George E. Martin (1982) Transformation Geometry: An Introduction to Symmetry , Kapitel 13 Ähnlichkeiten in der Ebene, S. 136–46, Springer ISBN  0-387-90636-3 .

Externe Links

• Animierte Demonstration ähnlicher Dreiecke