Singularität (Mathematik) - Singularity (mathematics)

In der Mathematik ist eine Singularität ein Punkt, an dem ein bestimmtes mathematisches Objekt nicht definiert ist, oder ein Punkt, an dem sich das mathematische Objekt auf eine bestimmte Weise nicht mehr gut verhält , beispielsweise durch mangelnde Differenzierbarkeit oder Analytizität .

Zum Beispiel die eigentliche Funktion

${\ displaystyle f (x) = {\ frac {1} {x}}}$

hat eine Singularität bei , bei der sich der numerische Wert der Funktion nähert, so dass die Funktion nicht definiert ist. Die Absolutwert - Funktion hat auch eine Singularität bei x = 0 , da es nicht ist differenzierbar da. ${\ displaystyle x = 0}$${\ displaystyle \ pm \ infty}$${\ displaystyle g (x) = | x |}$

Die im Koordinatensystem definierte algebraische Kurve hat eine Singularität ( Höcker genannt ) bei . Für Singularitäten in der algebraischen Geometrie siehe Singularpunkt einer algebraischen Varietät . Für Singularitäten in der Differentialgeometrie siehe Singularitätstheorie . ${\ displaystyle \ left \ {(x, y): y ^ {3} -x ^ {2} = 0 \ right \}}$${\ displaystyle (x, y)}$${\ displaystyle (0,0)}$

Echte Analyse

In der realen Analyse sind Singularitäten entweder Diskontinuitäten oder Diskontinuitäten der Ableitung (manchmal auch Diskontinuitäten von Derivaten höherer Ordnung). Es gibt vier Arten von Diskontinuitäten: Typ I mit zwei Untertypen und Typ II , der auch in zwei Untertypen unterteilt werden kann (obwohl dies normalerweise nicht der Fall ist).

Um die Art und Weise diese beiden Arten von Grenzen zu beschreiben verwendet werden, nehme an, dass eine Funktion eines realen Argument ist , und für jeden Wert des Arguments, sagen wir , dann die linke Hand Grenze , und die rechtshändige Grenze , sind definiert von: ${\ displaystyle f (x)}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle c}$${\ displaystyle f (c ^ {-})}$${\ displaystyle f (c ^ {+})}$

${\ displaystyle f (c ^ {-}) = \ lim _ {x \ bis c} f (x)}$ , eingeschränkt durch und ${\ displaystyle x <c}$

${\ displaystyle f (c ^ {+}) = \ lim _ {x \ bis c} f (x)}$ , eingeschränkt durch . ${\ displaystyle x> c}$

Der Wert ist der Wert, zu dem die Funktion tendiert, wenn sich der Wert von unten nähert , und der Wert ist der Wert, zu dem die Funktion tendiert, wenn sich der Wert von oben nähert , unabhängig vom tatsächlichen Wert, den die Funktion an dem Punkt hat, an dem  . ${\ displaystyle f (c ^ {-})}$${\ displaystyle f (x)}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle c}$${\ displaystyle f (c ^ {+})}$${\ displaystyle f (x)}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle c}$${\ displaystyle x = c}$

Es gibt einige Funktionen, für die diese Grenzwerte überhaupt nicht existieren. Zum Beispiel die Funktion

${\ displaystyle g (x) = \ sin \ left ({\ frac {1} {x}} \ right)}$

neigt nicht zu irgendetwas als Annäherung . Die Grenzen sind in diesem Fall nicht unendlich, sondern undefiniert : Es gibt keinen Wert, der sich einstellt. In Anlehnung an komplexe Analysen wird dies manchmal als wesentliche Singularität bezeichnet . ${\ displaystyle x}$${\ displaystyle c = 0}$${\ displaystyle g (x)}$

Die möglichen Fälle bei einem bestimmten Wert für das Argument sind wie folgt. ${\ displaystyle c}$

• Ein Punkt der Kontinuität ist ein Wert, für den , wie man es für eine reibungslose Funktion erwartet. Alle Werte müssen endlich sein. Wenn es sich nicht um einen Kontinuitätspunkt handelt, tritt bei eine Diskontinuität auf . ${\ displaystyle c}$${\ displaystyle f (c ^ {-}) = f (c) = f (c ^ {+})}$${\ displaystyle c}$${\ displaystyle c}$
• Eine Typ - I - Diskontinuität tritt auf, wenn beide und existiert und endlich ist, aber wenigstens eine der drei folgenden Bedingungen gilt: ${\ displaystyle f (c ^ {-})}$${\ displaystyle f (c ^ {+})}$
  • ${\ displaystyle f (c ^ {-}) \ neq f (c ^ {+})}$ ;;
  • ${\ displaystyle f (x)}$ ist nicht definiert für den Fall von ; oder ${\ displaystyle x = c}$
  • ${\ displaystyle f (c)}$ hat einen definierten Wert, der jedoch nicht mit dem Wert der beiden Grenzwerte übereinstimmt.

  Diskontinuitäten vom Typ I können weiter als einer der folgenden Subtypen unterschieden werden:

  • Eine Sprungdiskontinuität tritt auf, wenn unabhängig davon, ob sie definiert ist, und unabhängig von ihrem Wert, wenn sie definiert ist. ${\ displaystyle f (c ^ {-}) \ neq f (c ^ {+})}$${\ displaystyle f (c)}$
  • Eine entfernbare Diskontinuität tritt auf, wenn , auch unabhängig davon, ob sie definiert ist, und unabhängig von ihrem Wert, wenn sie definiert ist (aber nicht mit dem der beiden Grenzwerte übereinstimmt). ${\ displaystyle f (c ^ {-}) = f (c ^ {+})}$${\ displaystyle f (c)}$
• Eine Typ-II- Diskontinuität tritt auf, wenn eine oder beide nicht vorhanden sind (möglicherweise beide). Dies hat zwei Untertypen, die normalerweise nicht separat betrachtet werden: ${\ displaystyle f (c ^ {-})}$${\ displaystyle f (c ^ {+})}$
  • Eine unendliche Diskontinuität ist der Sonderfall, wenn entweder die linke oder die rechte Grenze nicht existiert, insbesondere weil sie unendlich ist und die andere Grenze entweder ebenfalls unendlich ist oder eine genau definierte endliche Zahl ist. Mit anderen Worten, die Funktion weist eine unendliche Diskontinuität auf, wenn ihr Graph eine vertikale Asymptote aufweist .
  • Eine wesentliche Singularität ist ein Begriff, der aus einer komplexen Analyse entlehnt wurde (siehe unten). Dies ist der Fall, wenn entweder die eine oder die andere Grenze vorhanden ist oder nicht existiert, aber nicht, weil es sich um eine unendliche Diskontinuität handelt . Wesentliche Singularitäten sind unbegrenzt, auch wenn gültige Antworten auf sie ausgedehnt werden . ${\ displaystyle f (c ^ {-})}$${\ displaystyle f (c ^ {+})}$${\ displaystyle \ pm \ infty}$

In der realen Analyse ist eine Singularität oder Diskontinuität eine Eigenschaft einer Funktion allein. Alle Singularitäten, die in der Ableitung einer Funktion vorhanden sein können, gelten als zur Ableitung gehörend, nicht zur ursprünglichen Funktion.

Singularitäten koordinieren

Eine Koordinatensingularität tritt auf, wenn in einem Koordinatenrahmen eine scheinbare Singularität oder Diskontinuität auftritt, die durch Auswahl eines anderen Rahmens entfernt werden kann. Ein Beispiel hierfür ist die scheinbare Singularität bei 90 Grad Breite in sphärischen Koordinaten . Ein Objekt, das sich genau nach Norden (z. B. entlang der Linie 0 Grad Längengrad) auf der Oberfläche einer Kugel bewegt, erfährt plötzlich eine sofortige Längenänderung am Pol (im Fall des Beispiels springt es von 0 Längengrad auf 180 Grad Längengrad). . Diese Diskontinuität ist jedoch nur offensichtlich; Es ist ein Artefakt des gewählten Koordinatensystems, das an den Polen singulär ist. Ein anderes Koordinatensystem würde die scheinbare Diskontinuität beseitigen (z. B. indem die Breiten- / Längengraddarstellung durch eine n- Vektordarstellung ersetzt wird ).

Komplexe Analyse

In der komplexen Analyse gibt es mehrere Klassen von Singularitäten. Dazu gehören die isolierten Singularitäten, die nicht isolierten Singularitäten und die Verzweigungspunkte.

Isolierte Singularitäten

Angenommen, U ist eine offene Teilmenge der komplexen Zahlen C , wobei der Punkt a ein Element von U ist , und f ist eine komplexe differenzierbare Funktion, die in einer Nachbarschaft um a definiert ist , mit Ausnahme von a : U \ { a }, dann:

• Der Punkt a ist eine entfernbare Singularität von f, wenn es eine holomorphe Funktion g gibt, die für alle U definiert ist, so dass f ( z ) = g ( z ) für alle z in U \ { a } ist. Die Funktion g ist ein kontinuierlicher Ersatz für die Funktion f .
• Der Punkt a ist ein Pol oder eine nicht essentielle Singularität von f, wenn eine holomorphe Funktion g existiert, die auf U mit g ( a ) ungleich Null definiert ist, und eine natürliche Zahl n, so dass f ( z ) = g ( z ) / ( z - a ) ⁿ für alle z in U \ { a }. Die kleinste solche Zahl n heißt die Ordnung des Pols . Die Ableitung an einer nicht essentiellen Singularität selbst hat eine nicht essentielle Singularität, wobei n um 1 erhöht wird (außer wenn n 0 ist, so dass die Singularität entfernbar ist).
• Der Punkt a ist eine wesentliche Singularität von f, wenn er weder eine entfernbare Singularität noch ein Pol ist. Der Punkt a ist genau dann eine wesentliche Singularität, wenn die Laurent-Reihe unendlich viele Potenzen von negativem Grad hat.

Nicht isolierte Singularitäten

Anders als isolierte Singularitäten können komplexe Funktionen einer Variablen ein anderes singuläres Verhalten aufweisen. Diese werden als nicht isolierte Singularitäten bezeichnet, von denen es zwei Arten gibt:

• Clusterpunkte : Grenzpunkte isolierter Singularitäten. Wenn sie alle Pole sind, obwohl sie Erweiterungen der Laurent-Serie für jeden von ihnen zulassen , ist eine solche Erweiterung an ihrer Grenze nicht möglich.
• Natürliche Grenzen : Jede nicht isolierte Menge (z. B. eine Kurve), auf der Funktionen nicht analytisch fortgesetzt werden können (oder außerhalb davon, wenn es sich um geschlossene Kurven in der Riemann-Kugel handelt ).

Verzweigungspunkte

Verzweigungspunkte sind im Allgemeinen das Ergebnis einer mehrwertigen Funktion wie oder , die innerhalb einer bestimmten begrenzten Domäne definiert sind, so dass die Funktion innerhalb der Domäne einwertig gemacht werden kann. Der Schnitt ist eine Linie oder Kurve, die aus dem Bereich ausgeschlossen ist, um eine technische Trennung zwischen diskontinuierlichen Werten der Funktion einzuführen. Wenn der Schnitt wirklich erforderlich ist, hat die Funktion auf jeder Seite des Astschnitts deutlich unterschiedliche Werte. Die Form des Astschnitts ist eine Frage der Wahl, obwohl zwei verschiedene Astpunkte (wie und für ) verbunden werden müssen, die an Ort und Stelle fixiert sind. ${\ displaystyle {\ sqrt {z}}}$${\ displaystyle \ log (z)}$${\ displaystyle z = 0}$${\ displaystyle z = \ infty}$${\ displaystyle \ log (z)}$

Endliche Singularität

Die wechselseitige Funktion zeigt hyperbolisches Wachstum .

Eine endliche Singularität tritt auf, wenn eine Eingangsvariable die Zeit ist und eine Ausgangsvariable zu einer endlichen Zeit gegen unendlich ansteigt. Diese sind in der Kinematik und bei PDEs ( Partial Differential Equations ) wichtig - Unendlichkeiten treten physikalisch nicht auf, aber das Verhalten in der Nähe der Singularität ist häufig von Interesse. Mathematisch gesehen sind die einfachsten Singularitäten mit endlicher Zeit Potenzgesetze für verschiedene Exponenten , deren einfachste Form das hyperbolische Wachstum ist , wobei der Exponent (negativ) 1 ist: Genauer gesagt, um mit fortschreitender Zeit eine Singularität zum positiven Zeitpunkt zu erhalten ( so wächst die Ausgabe auf unendlich), verwendet man stattdessen (verwendet t für die Zeit, kehrt die Richtung um, so dass die Zeit auf unendlich ansteigt, und verschiebt die Singularität vorwärts von 0 auf eine feste Zeit ). ${\ displaystyle x ^ {- \ alpha},}$${\ displaystyle x ^ {- 1}.}$${\ displaystyle (t_ {0} -t) ^ {- \ alpha}}$${\ displaystyle -t}$${\ displaystyle t_ {0}}$

Ein Beispiel wäre die Sprungbewegung einer unelastischen Kugel in einer Ebene. Wenn eine idealisierte Bewegung berücksichtigt wird, bei der bei jedem Sprung derselbe Anteil an kinetischer Energie verloren geht, wird die Häufigkeit der Sprünge unendlich, da der Ball in einer endlichen Zeit zur Ruhe kommt. Andere Beispiele für endliche Singularitäten sind die verschiedenen Formen des Painlevé-Paradoxons (zum Beispiel die Tendenz einer Kreide, beim Ziehen über eine Tafel zu überspringen) und wie sich die Präzessionsrate einer auf einer flachen Oberfläche gesponnenen Münze in Richtung unendlich beschleunigt - vor dem plötzlichen Anhalten (wie mit dem Euler's Disk Spielzeug untersucht).

Hypothetische Beispiele sind Heinz von Foersters scherzhafte " Doomsday-Gleichung " (vereinfachende Modelle ergeben eine unendliche menschliche Bevölkerung in endlicher Zeit).

Algebraische Geometrie und kommutative Algebra

In der algebraischen Geometrie ist eine Singularität einer algebraischen Varietät ein Punkt der Varietät, an dem der Tangentenraum möglicherweise nicht regelmäßig definiert wird. Das einfachste Beispiel für Singularitäten sind Kurven, die sich selbst kreuzen. Es gibt aber auch andere Arten von Singularitäten, wie z . B. Höcker . Zum Beispiel definiert die Gleichung y ² - x ³ = 0 eine Kurve, die eine Spitze am Ursprung x = y = 0 hat . Man könnte die x- Achse an dieser Stelle als Tangente definieren , aber diese Definition kann nicht mit der Definition an anderen Punkten identisch sein. Tatsächlich ist in diesem Fall die x- Achse eine "doppelte Tangente".

Bei affinen und projektiven Sorten sind die Singularitäten die Punkte, an denen die Jacobi-Matrix einen niedrigeren Rang hat als an anderen Punkten der Sorte.

Es kann eine äquivalente Definition in Bezug auf die kommutative Algebra gegeben werden, die sich auf abstrakte Varietäten und Schemata erstreckt : Ein Punkt ist singulär, wenn der lokale Ring an diesem Punkt kein regulärer lokaler Ring ist .

Siehe auch

• Katastrophentheorie
• Definiert und undefiniert
• Entartung (Mathematik)
• Durch Null teilen
• Hyperbolisches Wachstum
• Pathologisch (Mathematik)
• Einzigartige Lösung
• Abnehmbare Singularität

Verweise