Neigung - Slope

Neigung: ${\displaystyle m=\left({\frac {\Updelta y}{\Updelta x}}\right)=\tan(\theta)}$

In der Mathematik ist die Steigung oder Steigung einer Linie eine Zahl, die sowohl die Richtung als auch die Steilheit der Linie beschreibt. Steigung wird oft mit dem Buchstaben m bezeichnet ; Es gibt keine klare Antwort auf die Frage, warum der Buchstabe m für Steigung verwendet wird, aber seine früheste Verwendung im Englischen erscheint bei O'Brien (1844), der die Gleichung einer geraden Linie als " y = mx + b " schrieb und es kann findet sich auch bei Todhunter (1888), der es als „ y = mx + c “ schrieb.

Die Steigung wird berechnet, indem das Verhältnis der "vertikalen Änderung" zur "horizontalen Änderung" zwischen (beliebigen) zwei unterschiedlichen Punkten auf einer Linie ermittelt wird. Manchmal wird das Verhältnis als Quotient ("Rise over Run") ausgedrückt, wobei die gleiche Zahl für jeweils zwei verschiedene Punkte auf derselben Linie angegeben wird. Eine fallende Linie hat einen negativen "Anstieg". Die Linie kann praktisch sein - wie von einem Straßenvermesser festgelegt oder in einem Diagramm, das eine Straße oder ein Dach entweder als Beschreibung oder als Plan modelliert.

Die Steilheit , Neigung oder Neigung einer Linie wird durch den absoluten Wert der Neigung gemessen . Eine Steigung mit einem größeren Absolutwert zeigt eine steilere Linie an. Die Richtung einer Linie ist entweder steigend, fallend, horizontal oder vertikal.

• Eine Linie wird ansteigend, wenn sie von links nach rechts nach oben geht . Die Steigung ist positiv , dh .${\displaystyle m>0}$
• Eine Linie wird abnimmt , wenn es geht nach unten von links nach rechts. Die Steigung ist negativ , dh .${\displaystyle m<0}$
• Wenn eine Linie horizontal ist, ist die Steigung Null . Dies ist eine konstante Funktion .
• Wenn eine Linie vertikal ist, ist die Neigung undefiniert (siehe unten).

Die Steigung einer Straße zwischen zwei Punkten ist der Höhenunterschied der Straße an diesen beiden Punkten, sagen wir y ₁ und y ₂ , oder anders ausgedrückt, die Steigung ist ( y ₂ − y ₁ ) = Δ y . Für relativ kurze Distanzen, bei denen die Erdkrümmung vernachlässigt werden kann, ist der Lauf die Entfernungsdifferenz von einem Fixpunkt, gemessen entlang einer waagerechten Linie, oder anders ausgedrückt, der Lauf ist ( x ₂ − x ₁ ) = Δ x . Hier wird die Steigung der Straße zwischen den beiden Punkten einfach als das Verhältnis der Höhenänderung zum horizontalen Abstand zwischen zwei beliebigen Punkten auf der Linie beschrieben.

In mathematischer Sprache ist die Steigung m der Geraden

${\displaystyle m={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}.}$

Das Konzept der Steigung gilt unmittelbar für Noten oder Steigungen in Geographie und Tiefbau . Durch die Trigonometrie wird die Steigung m einer Geraden mit ihrem Neigungswinkel θ durch die Tangensfunktion

${\displaystyle m=\tan(\theta)}$

Somit hat eine 45° ansteigende Linie eine Steigung von +1 und eine 45° fallende Linie eine Steigung von –1.

Als Verallgemeinerung dieser praktischen Beschreibung definiert die Mathematik der Differentialrechnung die Steigung einer Kurve an einem Punkt als Steigung der Tangente an diesem Punkt. Wenn die Kurve durch eine Reihe von Punkten in einem Diagramm oder in einer Liste von Punktkoordinaten gegeben ist, kann die Steigung nicht an einem Punkt, sondern zwischen zwei beliebigen gegebenen Punkten berechnet werden. Wenn die Kurve als stetige Funktion, vielleicht als algebraische Formel, angegeben wird, dann liefert die Differentialrechnung Regeln, die eine Formel für die Steigung der Kurve an einem beliebigen Punkt in der Mitte der Kurve liefern.

Diese Verallgemeinerung des Neigungsbegriffs ermöglicht die Planung und den Bau sehr komplexer Konstruktionen, die weit über statische oder horizontale Strukturen hinausgehen, sich jedoch mit der Zeit ändern, sich in Kurven bewegen und sich abhängig von der Änderungsrate anderer Faktoren ändern können . Dadurch wird die einfache Idee der Neigung zu einer der wichtigsten Grundlagen der modernen Welt, sowohl in Bezug auf die Technik als auch auf die gebaute Umwelt.

Definition

Steigung dargestellt für y  = (3/2) x  − 1. Zum Vergrößern anklicken

Steigung einer Linie im Koordinatensystem, von f(x)=-12x+2 bis f(x)=12x+2

Die Steigung einer Linie in der die x- und y- Achse enthaltenden Ebene wird allgemein durch den Buchstaben m dargestellt und ist definiert als die Änderung der y- Koordinate geteilt durch die entsprechende Änderung der x- Koordinate zwischen zwei verschiedenen Punkten auf der Linie. Dies wird durch die folgende Gleichung beschrieben:

${\displaystyle m={\frac {\Delta y}{\Delta x}}={\frac {{\text{vertikal}}\,{\text{change}}}{{\text{horizontal}}\ ,{\text{change}}}}={\frac {\text{rise}}{\text{run}}}.}$

(Der griechische Buchstabe delta , Δ, wird in der Mathematik häufig verwendet, um „Unterschied“ oder „Veränderung“ zu bedeuten.)

Gegeben seien zwei Punkte und die Änderung von einem zum anderen ist ( Lauf ), während die Veränderung ist ( Anstieg ). Das Einsetzen beider Größen in die obige Gleichung erzeugt die Formel: ${\displaystyle (x_{1},y_{1})}$${\displaystyle (x_{2},y_{2})}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x_{2}-x_{1}}$${\displaystyle y}$${\displaystyle y_{2}-y_{1}}$

${\displaystyle m={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}.}$

Die Formel versagt für eine senkrechte Linie parallel zur Achse (siehe Division durch Null ), bei der die Steigung als unendlich angenommen werden kann , sodass die Steigung einer senkrechten Linie als undefiniert angesehen wird. ${\displaystyle y}$

Beispiele

Angenommen, eine Linie verläuft durch zwei Punkte: P  = (1, 2) und Q  = (13, 8). Indem man die Differenz der -Koordinaten durch die Differenz der -Koordinaten dividiert , erhält man die Steigung der Geraden: ${\displaystyle y}$${\displaystyle x}$

${\displaystyle m={\frac {\Delta y}{\Delta x}}={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}={\frac {8-2}{13-1}}={\frac {6}{12}}={\frac {1}{2}}}$.

Da die Steigung positiv ist, nimmt die Richtung der Linie zu. Da |m|<1 ist, ist die Steigung nicht sehr steil (Neigung <45°).

Betrachten Sie als weiteres Beispiel eine Linie, die durch die Punkte (4, 15) und (3, 21) verläuft. Dann ist die Steigung der Geraden

${\displaystyle m={\frac {21-15}{3-4}}={\frac {6}{-1}}=-6.}$

Da die Steigung negativ ist, nimmt die Richtung der Linie ab. Da |m|>1 ist, ist dieser Rückgang ziemlich steil (Gefälle >45°).

Algebra und Geometrie

• Wenn ' eine lineare Funktion von ' ist, ist der Koeffizient von die Steigung der durch Auftragen der Funktion erzeugten Linie. Wenn also die Geradengleichung in der Form${\displaystyle y}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$

${\displaystyle y=mx+b}$

dann ist die Steigung. Diese Form einer Geradengleichung wird als Steigungs- Schnittpunkt -Form bezeichnet , da sie als y- Schnittpunkt der Geraden interpretiert werden kann, dh als -Koordinate, wo die Gerade die -Achse schneidet .${\displaystyle m}$${\displaystyle b}$${\displaystyle y}$${\displaystyle y}$

• Wenn sowohl die Steigung einer Geraden als auch ein Punkt auf der Geraden bekannt sind, kann die Geradengleichung mit der Punkt-Steigungs-Formel ermittelt werden :${\displaystyle m}$${\displaystyle (x_{1},y_{1})}$

${\displaystyle y-y_{1}=m(x-x_{1}).}$

• Die Steigung der Linie definiert durch die lineare Gleichung

${\displaystyle ax+by+c=0}$

ist

${\displaystyle -{\frac {a}{b}}}$.

• Zwei Linien sind genau dann parallel, wenn sie nicht dieselbe Linie sind (zusammenfallend) und entweder ihre Steigungen gleich sind oder beide vertikal sind und daher beide undefinierte Steigungen haben. Zwei Geraden sind senkrecht, wenn das Produkt ihrer Steigungen −1 ist oder eine eine Steigung von 0 (eine horizontale Linie) und die andere eine undefinierte Steigung (eine vertikale Linie) hat.
• Der Winkel θ zwischen −90° und 90°, den eine Linie mit der x- Achse bildet, hängt wie folgt mit der Steigung m zusammen :

${\displaystyle m=\tan(\theta)}$

und

${\displaystyle \theta =\arctan(m)}$   (Dies ist die Umkehrfunktion der Tangente; siehe inverse trigonometrische Funktionen ).

Beispiele

Betrachten Sie zum Beispiel eine Linie, die durch die Punkte (2,8) und (3,20) verläuft. Diese Gerade hat eine Steigung m von

${\displaystyle {\frac {(20-8)}{(3-2)}}\;=12.}$

Man kann dann die Gleichung der Linie in Punkt-Steigungs-Form schreiben:

${\displaystyle y-8=12(x-2)=12x-24}$

oder:

${\displaystyle y=12x-16.}$

Der Winkel θ zwischen -90° und 90°, den diese Linie mit der x- Achse bildet, ist

${\displaystyle \theta =\arctan(12)\approx 85,2^{\circ}\,.}$

Betrachten Sie die beiden Linien: y = −3 x + 1 und y = −3 x − 2 . Beide Linien haben die Steigung m = −3 . Sie sind nicht dieselbe Linie. Sie sind also parallele Linien.

Betrachten Sie die beiden Geraden y = −3 x + 1 und y = x/3− 2 . Die Steigung der ersten Geraden ist m ₁ = −3 . Die Steigung der zweiten Geraden ist m ₂ =1/3. Das Produkt dieser beiden Steigungen ist −1. Diese beiden Linien sind also senkrecht.

Statistiken

In Statistiken , die Steigung der Regression der kleinsten Quadrate am besten passende Linie für eine gegebene Probe von Daten geschrieben werden kann:

${\displaystyle m={\frac {rs_{y}}{s_{x}}}}$,

Diese Größe m wird als Regressionssteigung für die Gerade bezeichnet . Die Größe ist der Korrelationskoeffizient nach Pearson , ist die Standardabweichung der y-Werte und ist die Standardabweichung der x-Werte. Dies kann auch als Verhältnis der Kovarianzen geschrieben werden : ${\displaystyle y=mx+c}$${\displaystyle r}$${\displaystyle s_{y}}$${\displaystyle s_{x}}$

${\displaystyle m={\frac {\operatorname {cov} (Y,X)}{\operatorname {cov} (X,X)}}}$

Gefälle einer Straße oder Eisenbahn

Hauptartikel: Grad (Neigung) , Gradtrennung

Es gibt zwei gängige Methoden, um die Steilheit einer Straße oder Eisenbahn zu beschreiben . Einer ist der Winkel zwischen 0° und 90° (in Grad) und der andere die Steigung in Prozent. Siehe auch Steilbahn und Zahnradbahn .

Die Formeln zur Umrechnung einer prozentualen Steigung in einen Winkel in Grad und umgekehrt sind:

${\displaystyle {\text{Winkel}}=\arctan \left({\frac {\text{Steigung}}{100\%}}\right)}$  , (das ist die Umkehrfunktion der Tangente; siehe Trigonometrie )

und

${\displaystyle {\mbox{Steigung}}=100\%\cdot \tan({\mbox{Winkel}}),}$

wobei der Winkel in Grad angegeben ist und die trigonometrischen Funktionen in Grad arbeiten. Eine Neigung von 100 % oder 1000 ‰ ist beispielsweise ein Winkel von 45°.

Eine dritte Möglichkeit besteht darin, eine Steigungseinheit in beispielsweise 10, 20, 50 oder 100 horizontalen Einheiten anzugeben, zB 1:10. 1:20, 1:50 oder 1:100 (oder "1 in 10" , "1 in 20" usw.) Beachten Sie, dass 1:10 steiler ist als 1:20. Eine Steilheit von 20 % bedeutet beispielsweise 1:5 oder eine Steigung mit einem Winkel von 11,3°.

Straßen und Eisenbahnen haben sowohl Längsneigungen als auch Querneigungen.

• 

  Pistenwarnschild in den Niederlanden

• 

  Pistenwarnschild in Polen

• 

  Ein 1371-Meter - Abstand von einer Eisenbahn mit einer 20 ‰ Steigung. Tschechien

• 

  Dampfzeit-Eisenbahn-Gefällepfosten, der eine Steigung in beide Richtungen am Bahnhof Meols , Großbritannien, anzeigt

Infinitesimalrechnung

An jedem Punkt ist die Ableitung die Steigung einer Linie , die an diesem Punkt tangential zur Kurve ist. Hinweis: Die Ableitung am Punkt A ist positiv bei Grün und Strichpunkt, negativ bei Rot und Strich und Null bei Schwarz und Vollton.

Das Konzept einer Steigung ist von zentraler Bedeutung für die Differentialrechnung . Bei nichtlinearen Funktionen variiert die Änderungsrate entlang der Kurve. Die Ableitung der Funktion an einem Punkt ist die Steigung der Tangente an die Kurve an diesem Punkt und ist somit gleich der Änderungsrate der Funktion an diesem Punkt.

Wenn wir Δ x und Δ y die Abstände (entlang der x- bzw. y- Achse) zwischen zwei Punkten auf einer Kurve sind, dann ist die durch die obige Definition gegebene Steigung

${\displaystyle m={\frac {\Delta y}{\Delta x}}}$,

ist die Steigung einer Sekantenlinie zur Kurve. Bei einer Linie ist die Sekante zwischen zwei beliebigen Punkten die Linie selbst, aber bei anderen Kurventypen ist dies nicht der Fall.

Zum Beispiel ist die Steigung der Sekante, die y = x ² bei (0,0) und (3,9) schneidet 3. (Die Steigung der Tangente bei x = 3 ⁄ 2 ist auch 3 – eine Folge des Mittelwerts Satz .)

Durch Annähern der beiden Punkte, so dass y und Δ x abnehmen, nähert sich die Sekantenlinie einer Tangente an die Kurve stärker an, und als solche nähert sich die Neigung der Sekante der der Tangente an. Unter Verwendung der Differentialrechnung können wir den Grenzwert oder den Wert bestimmen , dem sich y /Δ x nähert, wenn Δ y und Δ x sich Null nähern ; Daraus folgt, dass dieser Grenzwert die exakte Steigung der Tangente ist. Wenn y von x abhängig ist, reicht es aus, den Grenzwert zu nehmen, bei dem nur Δ x gegen Null geht. Daher ist die Steigung der Tangente die Grenze von y /Δ x , wenn x gegen Null geht, oder dy / dx . Wir nennen diesen Grenzwert die Ableitung .

${\displaystyle {\frac{dy}{dx}}=\lim_{\Updelta x\to 0}{\frac{\Updelta y}{\Updelta x}}}$

Sein Wert an einem Punkt der Funktion gibt uns die Steigung der Tangente an diesem Punkt. Sei zum Beispiel y = x ² . Ein Punkt dieser Funktion ist (-2,4). Die Ableitung dieser Funktion ist ^{d y} / _{d x} = 2 x . Die Steigung der Tangente an y bei (-2,4) beträgt also 2·(-2) = -4. Die Gleichung dieser Tangente lautet: y -4=(-4)( x -(-2)) oder y = -4 x - 4.

Unterschied der Pisten

Eine Erweiterung des Winkelbegriffs ergibt sich aus der Steigungsdifferenz. Betrachten Sie die Scherabbildung

${\displaystyle (u,v)=(x,y){\begin{pmatrix}1&v\\0&1\end{pmatrix}}.}$

Dann wird (1,0) auf (1, v ) abgebildet . Die Steigung von (1,0) ist null und die Steigung von (1, v ) ist v. Die Scherabbildung fügte eine Steigung von v hinzu . Für zwei Punkte auf {(1, y ): y in R } mit Steigungen m und n ist das Bild

${\displaystyle (1,y){\begin{pmatrix}1&v\\0&1\end{pmatrix}}=(1,y+v)}$

hat die Steigung um v zugenommen , aber die Differenz n − m der Steigungen ist vor und nach der Scherung gleich. Diese Invarianz der Neigungsunterschiede macht die Neigung zu einem winkelinvarianten Maß , das dem Kreiswinkel (invariant unter Rotation) und dem hyperbolischen Winkel mit Invarianzgruppe von Squeeze-Mappings gleichgestellt ist .

Siehe auch

Verweise

Externe Links

• "Steigung einer Linie (Koordinatengeometrie)" . Math Open Referenz. 2009 . Abgerufen am 30. Oktober 2016 . interaktiv