Freizeit -Spacetime

In der Physik ist Raumzeit ein mathematisches Modell , das die drei Dimensionen des Raums und eine Dimension der Zeit zu einer einzigen vierdimensionalen Mannigfaltigkeit kombiniert . Raum-Zeit- Diagramme können verwendet werden, um relativistische Effekte zu visualisieren, z. B. warum verschiedene Beobachter unterschiedlich wahrnehmen, wo und wann Ereignisse auftreten.

Bis ins 20. Jahrhundert ging man davon aus, dass die dreidimensionale Geometrie des Universums (sein räumlicher Ausdruck in Form von Koordinaten, Entfernungen und Richtungen) unabhängig von der eindimensionalen Zeit sei. Der Physiker Albert Einstein hat die Idee der Raumzeit als Teil seiner Relativitätstheorie mitentwickelt . Vor seiner Pionierarbeit hatten Wissenschaftler zwei getrennte Theorien zur Erklärung physikalischer Phänomene: Isaac Newtons Gesetze der Physik beschrieben die Bewegung massiver Objekte, während James Clerk Maxwells elektromagnetische Modelle die Eigenschaften von Licht erklärten. 1905 stützte Einstein jedoch eine Arbeit über die spezielle Relativitätstheorie auf zwei Postulate:

Die logische Konsequenz aus der Zusammenfassung dieser Postulate ist die untrennbare Verbindung der bisher als unabhängig angenommenen vier Dimensionen von Raum und Zeit. Es ergeben sich viele kontraintuitive Konsequenzen: Die Lichtgeschwindigkeit ist nicht nur unabhängig von der Bewegung der Lichtquelle, sondern unabhängig vom Bezugsrahmen, in dem sie gemessen wird, konstant; die Abstände und sogar die zeitliche Reihenfolge von Ereignispaaren ändern sich, wenn sie in verschiedenen Trägheitsbezugssystemen gemessen werden (das ist die Relativität der Gleichzeitigkeit ); und die lineare Additivität der Geschwindigkeiten gilt nicht mehr.

Einstein formulierte seine Theorie in Begriffen der Kinematik (der Untersuchung sich bewegender Körper). Seine Theorie war ein Fortschritt gegenüber der Theorie elektromagnetischer Phänomene von Lorentz aus dem Jahr 1904 und der elektrodynamischen Theorie von Poincaré . Obwohl diese Theorien Gleichungen enthielten, die mit denen identisch waren, die Einstein eingeführt hatte (dh die Lorentz-Transformation ), handelte es sich im Wesentlichen um Ad-hoc-Modelle, die vorgeschlagen wurden, um die Ergebnisse verschiedener Experimente zu erklären – einschließlich des berühmten Michelson-Morley-Interferometer-Experiments –, die extrem schwierig einzufügen waren bestehende Paradigmen.

1908 präsentierte Hermann Minkowski – einst einer der Mathematikprofessoren des jungen Einstein in Zürich – eine geometrische Interpretation der speziellen Relativitätstheorie, die die Zeit und die drei räumlichen Dimensionen des Raums zu einem einzigen vierdimensionalen Kontinuum verschmolz, das heute als Minkowski-Raum bekannt ist . Ein Schlüsselmerkmal dieser Interpretation ist die formale Definition des Raumzeitintervalls. Obwohl Abstands- und Zeitmessungen zwischen Ereignissen für Messungen unterschiedlich sind, die in verschiedenen Referenzrahmen durchgeführt wurden, ist das Raumzeitintervall unabhängig von dem Trägheitsbezugssystem, in dem sie aufgezeichnet werden.

Minkowskis geometrische Interpretation der Relativitätstheorie sollte sich als entscheidend für Einsteins Entwicklung seiner allgemeinen Relativitätstheorie von 1915 erweisen , in der er zeigte, wie Masse und Energie die flache Raumzeit in eine pseudo-riemannsche Mannigfaltigkeit krümmen .

Einführung

Definitionen

Die nicht-relativistische klassische Mechanik behandelt die Zeit als eine universelle Messgröße, die im gesamten Raum einheitlich und vom Raum getrennt ist. Die klassische Mechanik geht davon aus, dass die Zeit eine konstante Geschwindigkeit hat, unabhängig vom Bewegungszustand des Beobachters oder irgendetwas Äußerem. Außerdem nimmt es an, dass der Raum euklidisch ist ; es geht davon aus, dass der Raum der Geometrie des gesunden Menschenverstandes folgt.

Im Zusammenhang mit der speziellen Relativitätstheorie kann die Zeit nicht von den drei Dimensionen des Raums getrennt werden, da die beobachtete Geschwindigkeit, mit der die Zeit für ein Objekt vergeht, von der Geschwindigkeit des Objekts relativ zum Beobachter abhängt . Die Allgemeine Relativitätstheorie liefert auch eine Erklärung dafür, wie Gravitationsfelder das Vergehen der Zeit für ein Objekt verlangsamen können, wie es von einem Beobachter außerhalb des Feldes gesehen wird.

Im gewöhnlichen Raum wird eine Position durch drei Zahlen angegeben, die als Dimensionen bekannt sind . Im kartesischen Koordinatensystem heißen diese x, y und z. Eine Position in der Raumzeit wird als Ereignis bezeichnet und erfordert die Angabe von vier Zahlen: die dreidimensionale Position im Raum plus die Position in der Zeit (Abb. 1). Ein Ereignis wird durch einen Satz von Koordinaten x , y , z und t dargestellt . Die Raumzeit ist also vierdimensional . Mathematische Ereignisse haben eine Dauer von Null und repräsentieren einen einzelnen Punkt in der Raumzeit.

Der Weg eines Teilchens durch die Raumzeit kann als eine Abfolge von Ereignissen betrachtet werden. Die Reihe von Ereignissen kann miteinander verbunden werden, um eine Linie zu bilden, die den Fortschritt eines Teilchens durch die Raumzeit darstellt. Diese Linie wird die Weltlinie des Teilchens genannt .

Mathematisch gesehen ist die Raumzeit eine Mannigfaltigkeit , das heißt, sie erscheint in der Nähe jedes Punktes lokal "flach", so wie ein Globus bei ausreichend kleinen Maßstäben flach erscheint. Ein Skalierungsfaktor (üblicherweise als Lichtgeschwindigkeit bezeichnet ) setzt räumlich gemessene Entfernungen mit zeitlich gemessenen Entfernungen in Beziehung. Die Größe dieses Skalierungsfaktors (fast 300.000 Kilometer oder 190.000 Meilen im Weltraum entsprechen einer Zeitsekunde) zusammen mit der Tatsache, dass die Raumzeit ein Vielfaches ist, impliziert dies bei gewöhnlichen, nicht-relativistischen Geschwindigkeiten und im gewöhnlichen menschlichen Maßstab Entfernungen gibt es wenig, was Menschen beobachten könnten, das sich merklich von dem unterscheidet, was sie beobachten könnten, wenn die Welt euklidisch wäre. Erst mit dem Aufkommen empfindlicher wissenschaftlicher Messungen Mitte des 18. Jahrhunderts, wie dem Fizeau-Experiment und dem Michelson-Morley-Experiment , wurden rätselhafte Diskrepanzen zwischen Beobachtung und Vorhersagen auf der Grundlage der impliziten Annahme des euklidischen Raums festgestellt.

Abbildung 1-1. Jeder Ort in der Raumzeit ist durch vier Zahlen gekennzeichnet, die durch einen Bezugsrahmen definiert sind : die Position im Raum und die Zeit (die als Ablesen einer Uhr visualisiert werden kann, die sich an jeder Position im Raum befindet). Der „Beobachter“ synchronisiert die Uhren nach seinem eigenen Bezugssystem.

In der speziellen Relativitätstheorie bedeutet ein Beobachter in den meisten Fällen einen Bezugsrahmen, von dem aus eine Reihe von Objekten oder Ereignissen gemessen wird. Diese Verwendung unterscheidet sich erheblich von der gewöhnlichen englischen Bedeutung des Begriffs. Referenzrahmen sind von Natur aus nichtlokale Konstrukte, und gemäß dieser Verwendung des Begriffs macht es keinen Sinn, von einem Beobachter als ortsgebunden zu sprechen. Stellen Sie sich in Abb. 1-1 vor, dass das betrachtete System mit einem dichten Gitter von Uhren ausgestattet ist, die innerhalb dieses Referenzsystems synchronisiert sind und sich unendlich über die drei Dimensionen des Raums erstrecken. Irgendein spezifischer Ort innerhalb des Gitters ist nicht wichtig. Das Gitterwerk von Uhren wird verwendet, um die Zeit und Position von Ereignissen zu bestimmen, die innerhalb des gesamten Rahmens stattfinden. Der Begriff Beobachter bezieht sich auf das gesamte Ensemble von Uhren, die einem Trägheitsbezugssystem zugeordnet sind. In diesem idealisierten Fall ist jedem Punkt im Raum eine Uhr zugeordnet, und somit registrieren die Uhren jedes Ereignis sofort, ohne Zeitverzögerung zwischen einem Ereignis und seiner Aufzeichnung. Ein echter Beobachter wird jedoch aufgrund der Lichtgeschwindigkeit eine Verzögerung zwischen dem Aussenden eines Signals und seiner Erkennung feststellen. Um die Uhren zu synchronisieren, wird bei der Datenreduktion nach einem Experiment die Zeit, zu der ein Signal empfangen wird, korrigiert, um seine tatsächliche Zeit widerzuspiegeln, wenn sie von einem idealisierten Uhrengitter aufgezeichnet worden wäre.

In vielen Büchern über spezielle Relativitätstheorie, insbesondere in älteren, wird das Wort „Beobachter“ im gewöhnlicheren Sinne des Wortes verwendet. Aus dem Zusammenhang geht meist klar hervor, welche Bedeutung übernommen wurde.

Physiker unterscheiden zwischen dem, was man misst oder beobachtet (nachdem man Signallaufzeiten herausgerechnet hat) und dem, was man ohne solche Korrekturen visuell sieht. Den Unterschied zwischen dem, was man misst/beobachtet, und dem, was man sieht , nicht zu verstehen , ist die Quelle vieler Fehler unter Anfängern der Relativitätstheorie.

Geschichte

Abbildung 1-2. Michelson und Morley erwarteten, dass die Bewegung durch den Äther eine unterschiedliche Phasenverschiebung zwischen dem Licht verursachen würde, das die beiden Arme ihres Apparats durchquert. Die logischste Erklärung für ihr negatives Ergebnis, Ätherschleppen, stand im Widerspruch zu der Beobachtung von Sternaberration.

Mitte des 19. Jahrhunderts wurde angenommen, dass verschiedene Experimente wie die Beobachtung des Arago-Flecks und Differenzmessungen der Lichtgeschwindigkeit in Luft und Wasser die Wellennatur des Lichts im Gegensatz zu einer Korpuskulartheorie bewiesen hätten . Es wurde damals angenommen, dass die Ausbreitung von Wellen die Existenz eines Wellenmediums erfordert ; im Fall von Lichtwellen wurde dies als hypothetischer leuchtender Äther angesehen . Die verschiedenen Versuche, die Eigenschaften dieses hypothetischen Mediums festzustellen, führten jedoch zu widersprüchlichen Ergebnissen. Zum Beispiel zeigte das Fizeau-Experiment von 1851, das von dem französischen Physiker Hippolyte Fizeau durchgeführt wurde, dass die Lichtgeschwindigkeit in fließendem Wasser um einen von der Wassergeschwindigkeit abhängigen Betrag kleiner war als die Summe der Lichtgeschwindigkeit in Luft plus der Geschwindigkeit des Wassers Brechungsindex. Unter anderem führte die Abhängigkeit des partiellen Ätherschleppens , das dieses Experiment impliziert, vom Brechungsindex (der wellenlängenabhängig ist), zu der unangenehmen Schlussfolgerung, dass Äther gleichzeitig mit unterschiedlichen Geschwindigkeiten für unterschiedliche Lichtfarben fließt. Das berühmte Michelson-Morley-Experiment von 1887 (Abb. 1-2) zeigte keinen unterschiedlichen Einfluss der Erdbewegungen durch den hypothetischen Äther auf die Lichtgeschwindigkeit, und die wahrscheinlichste Erklärung, vollständiges Ätherschleppen, stand im Widerspruch zur Beobachtung von Sternen Aberration .

George Francis FitzGerald im Jahr 1889 und Hendrik Lorentz im Jahr 1892 schlugen unabhängig voneinander vor, dass materielle Körper, die durch den festen Äther reisen, durch ihren Durchgang physikalisch beeinflusst werden und sich in Bewegungsrichtung um einen Betrag zusammenziehen, der genau das ist, was notwendig ist, um die negativen Ergebnisse zu erklären das Michelson-Morley-Experiment. (Quer zur Bewegungsrichtung treten keine Längenänderungen auf.)

Bis 1904 hatte Lorentz seine Theorie so erweitert, dass er zu Gleichungen gelangte, die formal mit denen identisch waren, die Einstein später herleiten sollte (dh die Lorentz-Transformation ), aber mit einer grundlegend anderen Interpretation. Als Theorie der Dynamik (die Lehre von Kräften und Drehmomenten und deren Wirkung auf die Bewegung) ging seine Theorie von tatsächlichen physikalischen Deformationen der physikalischen Bestandteile der Materie aus. Lorentz' Gleichungen sagten eine Größe voraus, die er Ortszeit nannte , mit der er die Aberration des Lichts , das Fizeau-Experiment und andere Phänomene erklären konnte. Lorentz betrachtete die Ortszeit jedoch nur als ein mathematisches Hilfswerkzeug, sozusagen als Trick, um die Transformation von einem System in ein anderes zu vereinfachen.

Andere Physiker und Mathematiker kamen um die Jahrhundertwende dem nahe, was heute als Raumzeit bekannt ist. Einstein selbst bemerkte, dass mit so vielen Menschen, die einzelne Teile des Puzzles enträtselten, "die spezielle Relativitätstheorie, wenn wir ihre Entwicklung im Nachhinein betrachten, 1905 reif für die Entdeckung war".

Hendrik Lorenz
Henri Poincaré
Albert Einstein
Hermann Minkowski
Abbildung 1-3.

Ein wichtiges Beispiel ist Henri Poincaré , der 1898 argumentierte, dass die Gleichzeitigkeit zweier Ereignisse eine Frage der Konvention sei. Im Jahr 1900 erkannte er, dass die „Ortszeit“ von Lorentz tatsächlich das ist, was durch sich bewegende Uhren angezeigt wird, indem er eine explizit operative Definition der Uhrensynchronisation unter der Annahme konstanter Lichtgeschwindigkeit anwendete. 1900 und 1904 deutete er die dem Äther innewohnende Nichtnachweisbarkeit an, indem er die Gültigkeit dessen betonte, was er das Relativitätsprinzip nannte , und 1905/1906 perfektionierte er die Elektronentheorie von Lorentz mathematisch, um sie mit dem Relativitätspostulat in Einklang zu bringen . Während er verschiedene Hypothesen zur Lorentz-invarianten Gravitation diskutierte, führte er das innovative Konzept einer 4-dimensionalen Raumzeit ein, indem er verschiedene vier Vektoren definierte , nämlich vier Positionen , vier Geschwindigkeiten und vier Kräfte . Er verfolgte den 4-dimensionalen Formalismus jedoch nicht in späteren Artikeln und erklärte, dass diese Forschungsrichtung "großen Schmerz für begrenzten Gewinn mit sich zu bringen" schien, und kam schließlich zu dem Schluss, "dass die dreidimensionale Sprache am besten zur Beschreibung unserer Welt geeignet zu sein scheint ". Darüber hinaus glaubte Poincaré noch 1909 an die dynamische Interpretation der Lorentz-Transformation. Aus diesen und anderen Gründen argumentieren die meisten Wissenschaftshistoriker, Poincaré habe nicht erfunden, was man heute spezielle Relativitätstheorie nennt.

1905 führte Einstein die spezielle Relativitätstheorie (allerdings ohne die Techniken des Raumzeitformalismus zu verwenden) in ihrem modernen Verständnis als Theorie von Raum und Zeit ein. Während seine Ergebnisse mathematisch denen von Lorentz und Poincaré entsprechen, zeigte Einstein, dass die Lorentz-Transformationen nicht das Ergebnis von Wechselwirkungen zwischen Materie und Äther sind, sondern die Natur von Raum und Zeit selbst betreffen. Er erzielte alle seine Ergebnisse, indem er erkannte, dass die gesamte Theorie auf zwei Postulaten aufgebaut werden kann: dem Relativitätsprinzip und dem Prinzip der Konstanz der Lichtgeschwindigkeit.

Einstein führte seine Analyse eher in Bezug auf Kinematik (die Untersuchung sich bewegender Körper ohne Bezugnahme auf Kräfte) als auf Dynamik durch. Seine Arbeit, die das Thema einführte, war voller lebhafter Bilder, die den Austausch von Lichtsignalen zwischen sich bewegenden Uhren, sorgfältige Messungen der Längen sich bewegender Stäbe und andere solche Beispiele beinhalteten.

Darüber hinaus ersetzte Einstein 1905 frühere Versuche einer elektromagnetischen Masse- Energie-Beziehung, indem er die allgemeine Äquivalenz von Masse und Energie einführte , was maßgeblich für seine spätere Formulierung des Äquivalenzprinzips im Jahr 1907 war, das die Äquivalenz von träger und schwerer Masse erklärt. Durch die Verwendung der Masse-Energie-Äquivalenz zeigte Einstein außerdem, dass die schwere Masse eines Körpers proportional zu seinem Energieinhalt ist, was eines der frühen Ergebnisse bei der Entwicklung der Allgemeinen Relativitätstheorie war . Während es den Anschein hat, dass er zunächst nicht geometrisch über die Raumzeit nachgedacht hat, hat Einstein in der Weiterentwicklung der Allgemeinen Relativitätstheorie den Raumzeit-Formalismus vollständig integriert.

Als Einstein 1905 veröffentlichte, hatte ein anderer seiner Konkurrenten, sein ehemaliger Mathematikprofessor Hermann Minkowski , ebenfalls die meisten Grundelemente der speziellen Relativitätstheorie erreicht. Max Born erzählte von einem Treffen, das er mit Minkowski gemacht hatte, um Minkowskis Schüler/Mitarbeiter zu werden:

Ich ging nach Köln, traf Minkowski und hörte seinen berühmten Vortrag „Raum und Zeit“, der am 2. September 1908 gehalten wurde. […] Er erzählte mir später, dass es für ihn ein großer Schock war, als Einstein seine Arbeit veröffentlichte, in der die Äquivalenz der unterschiedlichen Ortszeiten von sich relativ zueinander bewegenden Beobachtern war ausgeprägt; denn er war unabhängig davon zu denselben Ergebnissen gekommen, veröffentlichte sie aber nicht, weil er zuerst die mathematische Struktur in ihrer ganzen Pracht ausarbeiten wollte. Er erhob nie einen Prioritätsanspruch und gab Einstein immer seinen vollen Anteil an der großen Entdeckung.

Minkowski beschäftigte sich mindestens seit dem Sommer 1905 mit dem Stand der Elektrodynamik nach Michelsons disruptiven Experimenten, als Minkowski und David Hilbert ein fortgeschrittenes Seminar leiteten, an dem namhafte Physiker der damaligen Zeit teilnahmen, um die Arbeiten von Lorentz, Poincaré et al. Es ist jedoch keineswegs klar, wann Minkowski begann, die geometrische Formulierung der speziellen Relativitätstheorie zu formulieren, die seinen Namen tragen sollte, oder inwieweit er von Poincarés vierdimensionaler Interpretation der Lorentz-Transformation beeinflusst wurde. Es ist auch nicht klar, ob er Einsteins kritischen Beitrag zum Verständnis der Lorentz-Transformationen jemals voll gewürdigt hat, da er Einsteins Arbeit als eine Erweiterung von Lorentz' Arbeit betrachtete.

Abbildung 1–4. Handkolorierte Dias, die Minkowski 1908 in seinem Raum und Zeit - Vortrag vorstellte

Am 5. November 1907 (etwas mehr als ein Jahr vor seinem Tod) stellte Minkowski seine geometrische Interpretation der Raumzeit in einem Vortrag vor der Göttinger Mathematischen Gesellschaft mit dem Titel Das Relativitätsprinzip vor . Am 21. September 1908 hielt Minkowski seinen berühmten Vortrag Raum und Zeit vor der Deutschen Gesellschaft der Naturforscher und Ärzte. Die Eröffnungsworte von Raum und Zeit beinhalten Minkowskis berühmte Aussage, dass „Von nun an der Raum für sich selbst und die Zeit für sich selbst vollständig zu einem bloßen Schatten reduziert werden und nur eine Art Vereinigung der beiden die Unabhängigkeit bewahren wird.“ Space and Time beinhaltete die erste öffentliche Präsentation von Raum-Zeit-Diagrammen (Abb. 1-4) und beinhaltete eine bemerkenswerte Demonstration, die das Konzept des invarianten Intervalls ( unten diskutiert ) zusammen mit der empirischen Beobachtung, dass die Lichtgeschwindigkeit endlich ist, ermöglicht Ableitung der Gesamtheit der speziellen Relativitätstheorie.

Das Raumzeitkonzept und die Lorentzgruppe sind eng mit bestimmten , bereits im 19. Jahrhundert entwickelten Arten von sphärischen , hyperbolischen oder konformen Geometrien und deren Transformationsgruppen verbunden, in denen invariante Intervalle analog zum Raumzeitintervall verwendet werden.

Einstein seinerseits lehnte Minkowskis geometrische Interpretation der speziellen Relativitätstheorie zunächst ab und betrachtete sie als überflüssige Gelehrsamkeit. Um jedoch seine 1907 begonnene Suche nach der Allgemeinen Relativitätstheorie abzuschließen, erwies sich die geometrische Interpretation der Relativitätstheorie als unerlässlich, und 1916 bekannte sich Einstein voll und ganz zu Minkowski, dessen Interpretation den Übergang zur Allgemeinen Relativitätstheorie erheblich erleichterte. Da es andere Arten von Raumzeit gibt, wie zum Beispiel die gekrümmte Raumzeit der Allgemeinen Relativitätstheorie, ist die Raumzeit der Speziellen Relativitätstheorie heute als Minkowski-Raumzeit bekannt.

Raumzeit in der speziellen Relativitätstheorie

Raumzeitintervall

In drei Dimensionen kann der Abstand zwischen zwei Punkten mit dem Satz des Pythagoras definiert werden :

Obwohl zwei Betrachter die x- , y- und z -Position der beiden Punkte mit unterschiedlichen Koordinatensystemen messen können, ist der Abstand zwischen den Punkten für beide gleich (unter der Annahme, dass sie mit denselben Einheiten messen). Der Abstand ist "invariant".

In der speziellen Relativitätstheorie ist der Abstand zwischen zwei Punkten jedoch aufgrund der Lorentz-Kontraktion nicht mehr gleich, wenn er von zwei verschiedenen Beobachtern gemessen wird, wenn sich einer der Beobachter bewegt . Die Situation wird noch komplizierter, wenn die beiden Punkte sowohl zeitlich als auch räumlich getrennt sind. Wenn zum Beispiel ein Beobachter zwei Ereignisse am selben Ort, aber zu unterschiedlichen Zeiten sieht, wird eine Person, die sich in Bezug auf den ersten Beobachter bewegt, die beiden Ereignisse an verschiedenen Orten sehen, weil sie (aus ihrer Sicht) stationär sind , und die Position des Ereignisses entfernt oder nähert sich. Daher muss ein anderes Maß verwendet werden, um den effektiven "Abstand" zwischen zwei Ereignissen zu messen.

In der vierdimensionalen Raumzeit ist das Analogon zum Abstand das Intervall. Obwohl die Zeit als vierte Dimension hinzukommt, wird sie anders behandelt als die räumlichen Dimensionen. Der Minkowski-Raum unterscheidet sich daher in wichtigen Punkten vom vierdimensionalen euklidischen Raum . Der grundlegende Grund für die Verschmelzung von Raum und Zeit in der Raumzeit ist, dass Raum und Zeit getrennt voneinander nicht invariant sind, was bedeutet, dass verschiedene Beobachter unter den richtigen Bedingungen über die Zeitdauer zwischen zwei Ereignissen (aufgrund der Zeitdilatation ) uneins sind der Abstand zwischen den beiden Ereignissen (wegen Längenkontraktion ). Aber die spezielle Relativitätstheorie liefert eine neue Invariante, das sogenannte Raum-Zeit- Intervall , das räumliche und zeitliche Entfernungen kombiniert. Alle Beobachter, die die Zeit und Entfernung zwischen zwei beliebigen Ereignissen messen, werden am Ende dasselbe Raumzeitintervall berechnen. Angenommen, ein Beobachter misst zwei zeitlich und räumlich getrennte Ereignisse. Dann ist das Raumzeitintervall zwischen den beiden räumlich und in der -Koordinate getrennten Ereignissen:

oder für drei Raumdimensionen,

Die Konstante der Lichtgeschwindigkeit wandelt Zeiteinheiten (wie Sekunden) in Raumeinheiten (wie Meter) um. Das quadrierte Intervall ist ein Maß für die Trennung zwischen den Ereignissen A und B, die zeitlich und zusätzlich räumlich getrennt sind, entweder weil es zwei separate Objekte gibt, die Ereignisse durchlaufen, oder weil sich ein einzelnes Objekt im Raum zwischen seinen Ereignissen träge bewegt. Das Trennungsintervall wird abgeleitet, indem die räumliche Entfernung, die das Ereignis B von Ereignis A trennt, quadriert und von dem Quadrat der räumlichen Entfernung subtrahiert wird, die von einem Lichtsignal in demselben Zeitintervall zurückgelegt wird . Wenn die Ereignistrennung auf ein Lichtsignal zurückzuführen ist, dann verschwindet diese Differenz und .

Wenn das betrachtete Ereignis unendlich nahe beieinander liegt, können wir schreiben

In einem anderen Inertialsystem, beispielsweise mit Koordinaten , kann das Raumzeitintervall in derselben Form wie oben geschrieben werden. Wegen der Konstanz der Lichtgeschwindigkeit gehören die Lichtereignisse in allen Inertialsystemen zum Nullintervall, . Für jedes andere infinitesimale Ereignis, bei dem man das beweisen kann, was wiederum nach Integration führt . Die Invarianz des Intervalls jedes Ereignisses zwischen allen intertialen Bezugssystemen ist eines der grundlegenden Ergebnisse der speziellen Relativitätstheorie.

Obwohl man der Kürze halber Intervallausdrücke häufig ohne Deltas ausgedrückt sieht, einschließlich in den meisten der folgenden Diskussionen, sollte verstanden werden, dass im Allgemeinen usw. und da es keinen bevorzugten Ursprung gibt, haben einzelne Koordinatenwerte keine wesentliche Bedeutung.

Abbildung 2–1. Raum-Zeit-Diagramm, das zwei Photonen, A und B, darstellt, die bei demselben Ereignis entstehen, und ein Objekt, das langsamer als Lichtgeschwindigkeit ist, C

Die obige Gleichung ähnelt dem Satz des Pythagoras, außer mit einem Minuszeichen zwischen den Termen und . Das Raumzeitintervall ist die Größe, nicht selbst. Der Grund dafür ist, dass Intervalle in der Minkowski-Raumzeit im Gegensatz zu Entfernungen in der euklidischen Geometrie negativ sein können. Anstatt sich mit Quadratwurzeln negativer Zahlen zu befassen, betrachten Physiker sie gewöhnlich als eigenständiges Symbol und nicht als das Quadrat von etwas.

Im Allgemeinen kann die reelle Zahl beliebige Werte annehmen. Wenn positiv, wird das Raumzeitintervall als zeitähnlich bezeichnet . Da die räumliche Entfernung, die von einem massiven Objekt zurückgelegt wird, immer kleiner ist als die Entfernung, die das Licht für dasselbe Zeitintervall zurücklegt, sind reale Intervalle immer zeitähnlich. Wenn negativ ist, wird das Raumzeitintervall als raumartig bezeichnet, wobei das Raumzeitintervall imaginär ist. Raumzeitintervalle sind gleich Null, wenn Mit anderen Worten, das Raumzeitintervall zwischen zwei Ereignissen auf der Weltlinie von etwas, das sich mit Lichtgeschwindigkeit bewegt, Null ist. Ein solches Intervall wird als lichtähnlich oder null bezeichnet . Ein Photon, das von einem fernen Stern in unser Auge gelangt, wird nicht gealtert sein, obwohl es (aus unserer Sicht) Jahre auf seinem Weg verbracht hat.

Ein Raum-Zeit-Diagramm wird typischerweise mit nur einer einzigen Raum- und einer einzigen Zeitkoordinate gezeichnet. Abb. 2-1 zeigt ein Raumzeitdiagramm, das die Weltlinien (dh Wege in der Raumzeit) von zwei Photonen, A und B, darstellt, die von demselben Ereignis stammen und in entgegengesetzte Richtungen gehen. Zusätzlich veranschaulicht C die Weltlinie eines Objekts mit geringerer Geschwindigkeit als Lichtgeschwindigkeit. Die vertikale Zeitkoordinate wird so skaliert, dass sie die gleichen Einheiten (Meter) wie die horizontale Raumkoordinate hat. Da sich Photonen mit Lichtgeschwindigkeit fortbewegen, haben ihre Weltlinien eine Steigung von ±1. Mit anderen Worten, jeder Meter, den ein Photon nach links oder rechts zurücklegt, benötigt ungefähr 3,3 Nanosekunden Zeit.

In der Relativitätstheorie werden zwei Vorzeichenkonventionen verwendet:

und

Diese Vorzeichenkonventionen sind den metrischen Signaturen (+−−−) und (−+++) zugeordnet. Eine geringfügige Variation besteht darin, die Zeitkoordinate an letzter statt an erster Stelle zu platzieren. Beide Konventionen sind im Studienbereich weit verbreitet.

Referenzrahmen

Abbildung 2-2. Galileisches Diagramm zweier Referenzrahmen in Standardkonfiguration
Abbildung 2–3. (a) Galileisches Diagramm zweier Bezugsrahmen in Standardkonfiguration, (b) Raumzeitdiagramm zweier Bezugsrahmen, (c) Raumzeitdiagramm, das den Weg eines reflektierten Lichtimpulses zeigt

Um einen Einblick zu erhalten, wie die von Beobachtern in verschiedenen Referenzrahmen gemessenen Raumzeitkoordinaten miteinander verglichen werden, ist es hilfreich, mit einem vereinfachten Aufbau mit Rahmen in einer Standardkonfiguration zu arbeiten. Mit Sorgfalt ermöglicht dies eine Vereinfachung der Mathematik ohne Verlust der Allgemeingültigkeit der erzielten Schlussfolgerungen. In Abb. 2-2 sind zwei galiläische Bezugsrahmen (dh herkömmliche 3-Raum-Rahmen) in Relativbewegung dargestellt. Frame S gehört zu einem ersten Beobachter O, und Frame S' (ausgesprochen "S prime") gehört zu einem zweiten Beobachter O'.

  • Die x- , y- , z -Achsen des Rahmens S sind parallel zu den jeweiligen gestrichenen Achsen des Rahmens S' orientiert.
  • Frame S' bewegt sich in x -Richtung von Frame S mit einer konstanten Geschwindigkeit v , gemessen in Frame S.
  • Die Ursprünge der Rahmen S und S' fallen zusammen, wenn die Zeit t = 0 für den Rahmen S und t ' = 0 für den Rahmen S' ist.

Abb. 2-3a zeichnet Abb. 2-2 in einer anderen Ausrichtung neu. Abb. 2-3b zeigt ein Raum-Zeit-Diagramm aus der Sicht des Beobachters O. Da S und S′ in der Standardkonfiguration sind, fallen ihre Ursprünge zu den Zeiten t  = 0 im Koordinatensystem S und t ′ = 0 im Koordinatensystem S′ zusammen. Die ct ′ -Achse geht durch die Ereignisse in Frame S′, die x ′ = 0 haben. Aber die Punkte mit x ′ = 0 bewegen sich in x -Richtung von Frame S mit der Geschwindigkeit v , so dass sie nicht mit ct zusammenfallen Achse zu einem beliebigen Zeitpunkt ungleich Null. Daher ist die ct' -Achse in Bezug auf die ct -Achse um einen Winkel θ geneigt, der durch gegeben ist

Auch die x' -Achse ist gegenüber der x- Achse geneigt . Um den Winkel dieser Neigung zu bestimmen, erinnern wir uns daran, dass die Steigung der Weltlinie eines Lichtimpulses immer ±1 ist. Abb. 2-3c zeigt ein Raum-Zeit-Diagramm aus der Sicht des Beobachters O′. Ereignis P repräsentiert die Emission eines Lichtpulses bei x ′ = 0, ct ′ = − a . Der Impuls wird von einem Spiegel im Abstand a von der Lichtquelle reflektiert (Ereignis Q) und kehrt bei x ′ = 0,  ct ′ =  a (Ereignis R) zur Lichtquelle zurück.

Dieselben Ereignisse P, Q, R sind in Abb. 2-3b im Koordinatensystem des Beobachters O aufgetragen. Die Lichtwege haben Steigungen = 1 und −1, sodass △PQR ein rechtwinkliges Dreieck bildet, wobei PQ und QR beide 45 Grad haben zur x- und ct- Achse. Da OP = OQ = OR, muss der Winkel zwischen x ′ und x auch θ sein .

Während das Ruhesystem Raum- und Zeitachsen hat, die rechtwinklig aufeinander treffen, wird das Bewegungssystem mit Achsen gezeichnet, die sich in einem spitzen Winkel treffen. Die Frames sind eigentlich gleichwertig. Die Asymmetrie ist auf unvermeidliche Verzerrungen bei der Abbildung von Raumzeitkoordinaten auf eine kartesische Ebene zurückzuführen und sollte nicht als seltsamer angesehen werden als die Art und Weise, in der auf einer Mercator-Projektion der Erde die relativen Größen von Landmassen in der Nähe der Pole (Grönland und Antarktis) sind im Vergleich zu Landmassen in der Nähe des Äquators stark übertrieben.

Lichtkegel

Abbildung 2–4. Der auf ein Ereignis zentrierte Lichtkegel teilt den Rest der Raumzeit in die Zukunft, die Vergangenheit und „anderswo“

In Abb. 2–4 befindet sich das Ereignis O am Ursprung eines Raumzeitdiagramms, und die beiden diagonalen Linien stellen alle Ereignisse dar, die in Bezug auf das Ursprungsereignis ein Raumzeitintervall von null haben. Diese beiden Linien bilden den sogenannten Lichtkegel des Ereignisses O, da das Hinzufügen einer zweiten räumlichen Dimension (Abb. 2-5) den Anschein erweckt, als würden sich zwei gerade Kreiskegel mit ihren Spitzen bei O treffen. Ein Kegel erstreckt sich in die Zukunft (t>0), der andere in die Vergangenheit (t<0).

Abbildung 2–5. Lichtkegel im 2D-Raum plus Zeitdimension

Ein leichter (Doppel-)Kegel teilt die Raumzeit in Bezug auf seine Spitze in getrennte Regionen. Das Innere des zukünftigen Lichtkegels besteht aus allen Ereignissen, die von der Spitze durch mehr Zeit (zeitlicher Abstand) getrennt sind, als nötig ist, um ihre räumliche Entfernung mit Lichtgeschwindigkeit zu überqueren; diese Ereignisse umfassen die zeitliche Zukunft des Ereignisses O. Ebenso umfasst die zeitliche Vergangenheit die inneren Ereignisse des vergangenen Lichtkegels. In zeitartigen Intervallen ist also Δ ct größer als Δ x , was zeitartige Intervalle positiv macht. Der Bereich außerhalb des Lichtkegels besteht aus Ereignissen, die vom Ereignis O durch mehr Raum getrennt sind, als in der gegebenen Zeit mit Lichtgeschwindigkeit durchquert werden kann . Diese Ereignisse umfassen die sogenannte raumähnliche Region des Ereignisses O, die in Abb. 2-4 mit "Anderswo" bezeichnet ist. Ereignisse auf dem Lichtkegel selbst werden als lichtähnlich (oder null-getrennt ) von O bezeichnet. Aufgrund der Invarianz des Raumzeitintervalls werden alle Beobachter jedem gegebenen Ereignis denselben Lichtkegel zuordnen und sich daher auf diese Aufteilung der Raumzeit einigen .

Der Lichtkegel spielt im Konzept der Kausalität eine wesentliche Rolle . Es ist möglich, dass ein nicht-lichtschnelles Signal von der Position und Zeit von O zur Position und Zeit von D wandert (Abb. 2-4). Es ist also möglich, dass Ereignis O einen kausalen Einfluss auf Ereignis D hat. Der Lichtkegel der Zukunft enthält alle Ereignisse, die von O kausal beeinflusst werden könnten Reise von Position und Zeit von A zu Position und Zeit von O. Der vergangene Lichtkegel enthält alle Ereignisse, die einen kausalen Einfluss auf O haben könnten. Im Gegensatz dazu, wenn man davon ausgeht, dass sich Signale nicht schneller als mit Lichtgeschwindigkeit fortbewegen können, überhaupt keine Ereignis, wie z. B. B oder C, in der raumähnlichen Region (Elsewhere), kann weder Ereignis O beeinflussen, noch können sie durch Ereignis O beeinflusst werden, das eine solche Signalisierung verwendet. Unter dieser Annahme ist jeglicher Kausalzusammenhang zwischen Ereignis O und Ereignissen im raumartigen Bereich eines Lichtkegels ausgeschlossen.

Relativität der Gleichzeitigkeit

Abbildung 2–6. Animation zur Veranschaulichung der Relativität der Gleichzeitigkeit

Alle Beobachter werden zustimmen, dass für jedes gegebene Ereignis ein Ereignis innerhalb des zukünftigen Lichtkegels des gegebenen Ereignisses nach dem gegebenen Ereignis auftritt. Ebenso tritt für jedes gegebene Ereignis ein Ereignis innerhalb des vergangenen Lichtkegels des gegebenen Ereignisses vor dem gegebenen Ereignis auf. Die beobachtete Vorher-Nachher-Beziehung für zeitlich getrennte Ereignisse bleibt unverändert, egal in welchem ​​Bezugssystem sich der Beobachter befindet, dh egal, wie sich der Beobachter bewegt. Ganz anders verhält es sich bei raumartig getrennten Ereignissen. Abb. 2-4 wurde aus dem Bezugssystem eines Beobachters gezeichnet, der sich bei v = 0 bewegt. Aus diesem Bezugssystem wird beobachtet, dass Ereignis C nach Ereignis O auftritt, und Ereignis B wird beobachtet, dass es vor Ereignis O auftritt. Aus einer anderen Referenz Rahmen können die Reihenfolgen dieser nicht kausal zusammenhängenden Ereignisse umgekehrt werden. Insbesondere ist anzumerken, dass, wenn zwei Ereignisse in einem bestimmten Referenzrahmen gleichzeitig stattfinden, sie notwendigerweise durch ein raumartiges Intervall getrennt und somit nicht kausal miteinander verbunden sind. Die Beobachtung, dass Gleichzeitigkeit nicht absolut ist, sondern vom Bezugssystem des Beobachters abhängt, wird als Relativität der Gleichzeitigkeit bezeichnet .

Abb. 2-6 veranschaulicht die Verwendung von Raum-Zeit-Diagrammen bei der Analyse der Relativität der Gleichzeitigkeit. Die Ereignisse in der Raumzeit sind unveränderlich, aber die Koordinatenrahmen transformieren sich wie oben für Abb. 2-3 besprochen. Die drei Ereignisse (A, B, C) erfolgen gleichzeitig vom Bezugssystem eines Beobachters, der sich bei v = 0 bewegt. Vom Bezugssystem eines Beobachters, der sich bei v = 0,3 c bewegt , scheinen die Ereignisse in der Reihenfolge C, B aufzutreten , A. Ausgehend vom Bezugssystem eines Beobachters, der sich bei v = −0,5 c bewegt , scheinen die Ereignisse in der Reihenfolge A, B, C aufzutreten . Die weiße Linie stellt eine Gleichzeitigkeitsebene dar , die von der Vergangenheit des Beobachters in die Zukunft des Beobachters verschoben wird, wodurch die darauf befindlichen Ereignisse hervorgehoben werden. Die graue Fläche ist der Lichtkegel des Betrachters, der unveränderlich bleibt.

Ein raumartiges Raum-Zeit-Intervall ergibt die gleiche Entfernung, die ein Beobachter messen würde, wenn die gemessenen Ereignisse für den Beobachter gleichzeitig wären. Ein raumartiges Raum-Zeit-Intervall liefert daher ein Maß für die richtige Entfernung , dh die wahre Entfernung = Ebenso gibt ein zeitartiges Raum-Zeit-Intervall das gleiche Zeitmaß an, das durch das kumulative Ticken einer Uhr dargestellt würde, die sich entlang einer bestimmten Weltlinie bewegt. Ein zeitartiges Raumzeitintervall liefert also ein Maß für die Eigenzeit =

Invariante Hyperbel

Abbildung 2–7. (a) Familien unveränderlicher Hyperbeln, (b) Hyperboloide aus zwei Blättern und einem Blatt

Im euklidischen Raum (der nur räumliche Dimensionen hat) bildet die Menge von Punkten, die (unter Verwendung der euklidischen Metrik) von einem Punkt gleich weit entfernt sind, einen Kreis (in zwei Dimensionen) oder eine Kugel (in drei Dimensionen). In der (1+1)-dimensionalen Minkowski-Raumzeit (mit einer zeitlichen und einer räumlichen Dimension) bilden die Punkte in einem konstanten Raumzeitintervall vom Ursprung entfernt (unter Verwendung der Minkowski-Metrik) Kurven, die durch die beiden Gleichungen gegeben sind

mit einer positiven reellen Konstante. Diese Gleichungen beschreiben zwei Familien von Hyperbeln in einem xct Raum-Zeit- Diagramm, die als invariante Hyperbeln bezeichnet werden .

In Abb. 2-7a verbindet jede magentafarbene Hyperbel alle Ereignisse mit einem festen raumartigen Abstand vom Ursprung, während die grünen Hyperbeln Ereignisse mit gleichem zeitlichem Abstand verbinden.

Die magentafarbenen Hyperbeln, die die x -Achse kreuzen, sind zeitähnliche Kurven, das heißt, diese Hyperbeln stellen tatsächliche Bahnen dar, die von (ständig beschleunigenden) Teilchen in der Raumzeit zurückgelegt werden können: Zwischen zwei beliebigen Ereignissen auf einer Hyperbel ist eine Kausalitätsbeziehung möglich, weil die Umkehrung der Steigung – die die notwendige Geschwindigkeit darstellt – für alle Sekanten kleiner ist als . Andererseits sind die grünen Hyperbeln, die die ct -Achse kreuzen, raumähnliche Kurven, weil alle Intervalle entlang dieser Hyperbeln raumähnliche Intervalle sind: Zwischen zwei beliebigen Punkten auf einer dieser Hyperbeln ist keine Kausalität möglich, weil alle Sekanten Geschwindigkeiten größer als darstellen .

Abb. 2-7b gibt die Situation in der (1+2)-dimensionalen Minkowski-Raumzeit (eine zeitliche und zwei räumliche Dimensionen) mit den entsprechenden Hyperboloiden wieder. Die unveränderlichen Hyperbeln, die um raumartige Intervalle vom Ursprung verschoben sind, erzeugen Hyperboloide aus einer Schicht, während die unveränderlichen Hyperbeln, die um zeitartige Intervalle vom Ursprung verschoben sind, Hyperboloide aus zwei Schichten erzeugen.

Die (1+2)-dimensionale Grenze zwischen raum- und zeitartigen Hyperboloiden, die durch die Ereignisse festgelegt wurde, die ein Null-Raumzeit-Intervall zum Ursprung bilden, wird durch Degenerieren der Hyperboloide zum Lichtkegel hergestellt. In (1+1)-Dimensionen degenerieren die Hyperbeln zu den beiden in Abb. 2-7a dargestellten grauen 45°-Linien.

Zeitdilatation und Längenkontraktion

Abbildung 2–8. Die invariante Hyperbel umfasst die Punkte, die vom Ursprung in einer festen Eigenzeit durch unterschiedlich schnell laufende Uhren erreicht werden können

Abb. 2-8 zeigt die unveränderliche Hyperbel für alle Ereignisse, die vom Ursprung aus in einer Eigenzeit von 5 Metern (ca1,67 × 10 –8  s ). Verschiedene Weltlinien stellen Uhren dar, die sich mit unterschiedlichen Geschwindigkeiten bewegen. Eine Uhr, die in Bezug auf den Beobachter stationär ist, hat eine vertikale Weltlinie, und die vom Beobachter gemessene verstrichene Zeit ist dieselbe wie die Eigenzeit. Für eine Uhr, die mit 0,3  c läuft, beträgt die vom Beobachter gemessene verstrichene Zeit 5,24 Meter (1,75 × 10 −8  s ), während für eine Uhr, die mit 0,7  c läuft, die vom Beobachter gemessene verstrichene Zeit 7,00 Meter beträgt (2,34 × 10 –8  s ). Dies veranschaulicht das Phänomen, das als Zeitdilatation bekannt ist . Uhren, die sich schneller bewegen, brauchen länger (im Beobachterrahmen), um die gleiche Menge an Eigenzeit abzulaufen, und sie bewegen sich innerhalb dieser Eigenzeit weiter entlang der x-Achse als ohne Zeitdilatation. Die Messung der Zeitdilatation durch zwei Beobachter in unterschiedlichen Trägheitsbezugssystemen erfolgt gegenseitig. Wenn Beobachter O die Uhren von Beobachter O' als langsamer in seinem Rahmen misst, wird Beobachter O' seinerseits die Uhren von Beobachter O als langsamer messen.

Abbildung 2–9. In diesem Raum-Zeit-Diagramm ist die 1-m-Länge des beweglichen Stabs, gemessen im grundierten Rahmen, die perspektivisch verkürzte Entfernung OC, wenn sie auf den ungrundierten Rahmen projiziert wird.

Die Längenkontraktion ist wie die Zeitdilatation eine Manifestation der Relativität der Gleichzeitigkeit. Die Längenmessung erfordert die Messung des Raumzeitintervalls zwischen zwei Ereignissen, die im eigenen Bezugssystem gleichzeitig stattfinden. Aber Ereignisse, die in einem Bezugsrahmen simultan ablaufen, sind im Allgemeinen nicht gleichzeitig in anderen Bezugsrahmen.

Abb. 2-9 zeigt die Bewegungen eines 1-m-Stabs, der sich mit 0,5  c entlang der x - Achse bewegt. Die Kanten des blauen Bandes stellen die Weltlinien der beiden Endpunkte des Stabs dar. Die unveränderliche Hyperbel veranschaulicht Ereignisse, die durch ein raumartiges Intervall von 1 m vom Ursprung getrennt sind. Die bei t ' = 0 gemessenen Endpunkte O und B  sind simultane Ereignisse im S'-Rahmen. Aber für einen Beobachter im Rahmen S sind die Ereignisse O und B nicht gleichzeitig. Um die Länge zu messen, misst der Beobachter in Frame S die Endpunkte der Stange, wie sie auf die x -Achse entlang ihrer Weltlinien projiziert werden. Die Projektion des Weltblattes des Stabes auf die x - Achse ergibt die perspektivisch verkürzte Länge OC.

(nicht dargestellt) Das Zeichnen einer vertikalen Linie durch A, so dass sie die x' -Achse schneidet, zeigt, dass selbst wenn OB aus Sicht des Beobachters O perspektivisch verkürzt ist, OA ebenfalls perspektivisch verkürzt ist aus Sicht des Beobachters O'. So wie jeder Beobachter die Uhren des anderen als nachlaufend misst, misst jeder Beobachter die Lineale des anderen als zusammengezogen.

In Bezug auf die gegenseitige Längenkontraktion veranschaulicht Fig. 2-9 , dass die grundierten und die ungrundierten Rahmen gegenseitig um einen hyperbolischen Winkel gedreht sind (analog zu gewöhnlichen Winkeln in der euklidischen Geometrie). Aufgrund dieser Drehung wird die Projektion eines gestrichenen Meterstabs auf die nicht gestrichene x-Achse perspektivisch verkürzt, während die Projektion eines nicht gestrichenen Meterstabs auf die gestrichene x' -Achse ebenfalls perspektivisch verkürzt wird.

Gegenseitige Zeitdilatation und das Zwillingsparadoxon

Gegenseitige Zeitdilatation

Gegenseitige Zeitdilatation und Längenkontraktion erscheinen Anfängern tendenziell als in sich widersprüchliche Konzepte. Wenn ein Beobachter im System S eine im System S' ruhende Uhr als langsamer laufend als seine' misst, während sich S' in S mit der Geschwindigkeit v bewegt , dann verlangt das Relativitätsprinzip, dass ein Beobachter im System S' ebenfalls misst eine Uhr im Rahmen S, die sich mit der Geschwindigkeit − v in S' bewegt, da sie langsamer läuft als ihre. Wie zwei Uhren beide langsamer laufen können als die andere, ist eine wichtige Frage, die „zum Kern des Verständnisses der speziellen Relativitätstheorie führt“.

Dieser scheinbare Widerspruch rührt daher, dass die unterschiedlichen Einstellungen der notwendigen, zusammenhängenden Messungen nicht korrekt berücksichtigt werden. Diese Einstellungen ermöglichen eine konsistente Erklärung des einzigen scheinbaren Widerspruchs. Es geht nicht um das abstrakte Ticken zweier identischer Uhren, sondern darum, in einem Frame den zeitlichen Abstand zweier Ticks einer sich bewegenden Uhr zu messen. Es stellt sich heraus, dass beim gegenseitigen Beobachten der Zeitdauer zwischen Uhrenticks, die sich jeweils in dem jeweiligen Rahmen bewegen, unterschiedliche Uhrensätze beteiligt sein müssen. Um im Rahmen S die Tickdauer einer bewegten Uhr W' (ruhend in S') zu messen, verwendet man zwei zusätzliche, synchronisierte Uhren W 1 und W 2 ruhend an zwei willkürlich festgelegten Punkten in S mit dem räumlichen Abstand d .

Zwei Ereignisse können durch die Bedingung "zwei Uhren sind gleichzeitig an einem Ort" definiert werden, dh wenn W' jeweils W 1 und W 2 passiert . Für beide Ereignisse werden die beiden Ablesungen der zusammengelegten Uhren aufgezeichnet. Die Differenz der beiden Messwerte von W 1 und W 2 ist der zeitliche Abstand der beiden Ereignisse in S, und ihr räumlicher Abstand ist d . Die Differenz der beiden Messwerte von W′ ist der zeitliche Abstand der beiden Ereignisse in S′. In S′ sind diese Ereignisse nur zeitlich getrennt, sie finden in S′ am selben Ort statt. Wegen der Invarianz des von diesen beiden Ereignissen aufgespannten Raumzeitintervalls und der von Null verschiedenen räumlichen Trennung d in S muss der zeitliche Abstand in S′ kleiner sein als der in S: Der kleinere zeitliche Abstand zwischen den beiden Ereignissen ergibt sich aus der Messwerte der laufenden Uhr W′, gehört zur langsamer laufenden Uhr W′.

Umgekehrt benötigt man zur Beurteilung des zeitlichen Abstands zweier Ereignisse auf einer bewegten Uhr W (im Ruhezustand in S) im Rahmen S′ zwei in S′ ruhende Uhren.

In diesem Vergleich läuft die Uhr W mit der Geschwindigkeit − v vorbei . Die erneute Aufzeichnung der vier Messwerte für die Ereignisse, definiert durch "zwei Uhren gleichzeitig an einem Ort", ergibt die analogen zeitlichen Abstände der beiden Ereignisse, jetzt zeitlich und räumlich getrennt in S', und nur zeitlich getrennt, aber zusammengelegt in S. To das Raumzeitintervall unverändert lassen, muss der zeitliche Abstand in S wegen der räumlichen Trennung der Ereignisse in S′ kleiner sein als in S′: Nun wird beobachtet, dass die Uhr W langsamer läuft.

Die notwendigen Aufzeichnungen für die beiden Urteile mit „einer bewegten Uhr“ und „zwei ruhenden Uhren“ in S bzw. S′ sind zwei verschiedene Sets mit jeweils drei Uhren. Da an den Messungen verschiedene Uhrensätze beteiligt sind, besteht keine inhärente Notwendigkeit, dass die Messungen gegenseitig "konsistent" sind, so dass, wenn ein Beobachter die sich bewegende Uhr als langsam misst, der andere Beobachter die eigene Uhr als schnell misst.

Abbildung 2-10. Gegenseitige Zeitdilatation

Abb. 2-10 veranschaulicht die vorherige Diskussion der gegenseitigen Zeitdilatation mit Minkowski-Diagrammen. Das obere Bild gibt die Messungen wieder, wie sie von Rahmen S "in Ruhe" mit ungestrichenen, rechteckigen Achsen und Rahmen S' "bewegt mit v  > 0" gesehen werden, koordiniert durch grundierte, schräge Achsen, die nach rechts geneigt sind; das untere Bild zeigt Rahmen S' "ruhend" mit gestrichenen, rechtwinkligen Koordinaten und Rahmen S "bewegt mit − v  < 0" mit nicht gestrichenen, nach links geneigten schrägen Achsen.

Jede parallel zu einer Raumachse ( x , x ′) gezogene Linie repräsentiert eine Gleichzeitigkeitslinie. Alle Ereignisse auf einer solchen Linie haben denselben Zeitwert ( ct , ct ′). Ebenso repräsentiert jede Linie, die parallel zu einer zeitlichen Achse ( ct , ct' ) gezogen wird, eine Linie mit gleichen räumlichen Koordinatenwerten ( x , x ').

Als Ereignis kann man in beiden Bildern den Ursprung O (= O ) bezeichnen, wobei in beiden Vergleichen die jeweilige „bewegte Uhr“ der „ersten ruhenden Uhr“ zugeordnet ist. Offensichtlich sind für dieses Ereignis die Ablesungen auf beiden Uhren in beiden Vergleichen Null. Folglich sind die Weltlinien der bewegten Uhren die nach rechts geneigte ct ′ -Achse (obere Bilder, Uhr W′) und die nach links geneigte ct -Achse (untere Bilder, Uhr W). Die Weltlinien von W 1 und W′ 1 sind die entsprechenden vertikalen Zeitachsen ( ct in den oberen Bildern und ct ′ in den unteren Bildern).
Im oberen Bild wird die Stelle für W 2 als A x > 0 angenommen, und somit schneidet die Weltlinie (in den Bildern nicht gezeigt) dieser Uhr die Weltlinie der sich bewegenden Uhr (die ct ′-Achse) in dem bezeichneten Ereignis A , wo "zwei Uhren gleichzeitig an einem Ort sind". Im unteren Bild wird die Stelle für W′ 2 als C x < 0 angenommen, und so läuft bei dieser Messung die laufende Uhr W im Ereignis C  an W′ 2 vorbei .
Im oberen Bild ist die ct -Koordinate A t des Ereignisses A (der Messwert von W 2 ) mit B bezeichnet , was die verstrichene Zeit zwischen den beiden Ereignissen, gemessen mit W 1 und W 2 , als OB angibt . Zum Vergleich muss die Länge des Zeitintervalls OA , gemessen mit W′, auf die Skala der ct -Achse transformiert werden. Dies geschieht durch die unveränderliche Hyperbel (siehe auch Abb. 2-8) durch A , die alle Ereignisse mit dem gleichen Raumzeitintervall vom Ursprung wie A verbindet . Das ergibt das Ereignis C auf der ct -Achse, und offensichtlich: OC  <  OB , die „laufende“ Uhr W′ läuft langsamer.

Um die gegenseitige Zeitdilatation sofort im oberen Bild zu zeigen, kann das Ereignis D als das Ereignis bei x ′ = 0 (dem Ort der Uhr W ′ in S ′) konstruiert werden, das gleichzeitig mit C ist ( OC hat das gleiche Raumzeitintervall wie OA ) in S′. Dies zeigt, dass das Zeitintervall OD länger als OA ist, was zeigt, dass die "laufende" Uhr langsamer läuft.

Im unteren Bild bewegt sich das Koordinatensystem S mit der Geschwindigkeit − v im ruhenden Koordinatensystem S′. Die Weltlinie der Uhr W ist die ct -Achse (nach links geneigt), die Weltlinie von W′ 1 ist die vertikale ct ′ -Achse und die Weltlinie von W′ 2 ist die Vertikale durch das Ereignis C mit der ct ′ -Koordinate D. _ Die unveränderliche Hyperbel durch Ereignis C skaliert das Zeitintervall OC auf OA , das kürzer als OD ist ; außerdem ist B (ähnlich wie D in den oberen Bildern) gleichzeitig zu A in S konstruiert, bei x  = 0. Das Ergebnis OB  >  OC entspricht wieder obigem.

Das Wort „Maßnahme“ ist wichtig. In der klassischen Physik kann ein Beobachter ein beobachtetes Objekt nicht beeinflussen, aber der Bewegungszustand des Objekts kann die Beobachtungen des Beobachters des Objekts beeinflussen.

Zwillingsparadoxon

Viele Einführungen in die spezielle Relativitätstheorie veranschaulichen die Unterschiede zwischen der Galileischen Relativitätstheorie und der speziellen Relativitätstheorie, indem sie eine Reihe von "Paradoxien" aufstellen. Diese Paradoxien sind in der Tat schlecht gestellte Probleme, die aus unserer Unvertrautheit mit Geschwindigkeiten resultieren, die mit der Lichtgeschwindigkeit vergleichbar sind. Die Abhilfe besteht darin, viele Probleme der speziellen Relativitätstheorie zu lösen und sich mit ihren sogenannten kontraintuitiven Vorhersagen vertraut zu machen. Der geometrische Ansatz zum Studium der Raumzeit gilt als eine der besten Methoden zur Entwicklung einer modernen Intuition.

Das Zwillingsparadoxon ist ein Gedankenexperiment mit eineiigen Zwillingen, von denen einer mit einer Hochgeschwindigkeitsrakete in den Weltraum fliegt und nach Hause zurückkehrt, um festzustellen, dass der auf der Erde verbliebene Zwilling älter geworden ist. Dieses Ergebnis erscheint rätselhaft, weil jeder Zwilling den anderen Zwilling als sich bewegend beobachtet, und so scheint es auf den ersten Blick, dass jeder den anderen weniger gealtert finden sollte. Das Zwillingsparadoxon umgeht die oben dargestellte Rechtfertigung für die gegenseitige Zeitdilatation, indem es das Erfordernis einer dritten Uhr vermeidet. Trotzdem ist das Zwillingsparadoxon kein echtes Paradoxon, da es im Zusammenhang mit der speziellen Relativitätstheorie leicht zu verstehen ist.

Der Eindruck, dass ein Paradoxon existiert, rührt von einem Missverständnis dessen her, was die spezielle Relativitätstheorie aussagt. Die spezielle Relativitätstheorie erklärt nicht alle Bezugssysteme als gleichwertig, sondern nur Inertialsysteme. Der Körper des reisenden Zwillings ist in Phasen, in denen er beschleunigt, nicht träge. Darüber hinaus ist der Unterschied zwischen den Zwillingen durch Beobachtung feststellbar: Der reisende Zwilling muss seine Raketen abfeuern, um nach Hause zurückkehren zu können, während der zu Hause bleibende Zwilling dies nicht tut.

Abbildung 2-11. Raumzeitliche Erklärung des Zwillingsparadoxons

Diese Unterscheidungen sollten zu einem Unterschied im Alter der Zwillinge führen. Das Raum-Zeit-Diagramm von Abb. 2-11 zeigt den einfachen Fall eines Zwillings, der entlang der x-Achse geradeaus fährt und sofort wieder umkehrt. Vom Standpunkt des zu Hause bleibenden Zwillings ist das Zwillingsparadoxon überhaupt nicht verwirrend. Die entlang der Weltlinie des reisenden Zwillings von O nach C gemessene Eigenzeit plus die von C nach B gemessene Eigenzeit ist geringer als die von O nach A nach B gemessene Eigenzeit des zu Hause bleibenden Zwillings. Komplexere Trajektorien erfordern eine Integration die Eigenzeit zwischen den jeweiligen Ereignissen entlang der Kurve (dh das Pfadintegral ), um die Gesamtmenge an Eigenzeit zu berechnen, die der reisende Zwilling erlebt hat.

Komplikationen entstehen, wenn das Zwillingsparadoxon aus der Sicht des reisenden Zwillings analysiert wird.

Im Folgenden wird die Nomenklatur von Weiss verwendet, die den zu Hause bleibenden Zwilling als Terence und den reisenden Zwilling als Stella bezeichnet.

Stella befindet sich nicht in einem Inertialsystem. Angesichts dieser Tatsache wird manchmal fälschlicherweise behauptet, dass die vollständige Auflösung des Zwillingsparadoxons die allgemeine Relativitätstheorie erfordert:

Eine reine SR-Analyse würde wie folgt aussehen: In Stellas Ruhesystem analysiert, ist sie während der gesamten Reise bewegungslos. Als sie ihre Raketen für die Wende abfeuert, erfährt sie eine Pseudokraft, die einer Gravitationskraft ähnelt. Feigen. 2-6 und 2-11 veranschaulichen das Konzept der Linien (Ebenen) der Gleichzeitigkeit: Linien parallel zur x -Achse des Beobachters ( xy -Ebene) stellen Sätze von Ereignissen dar, die gleichzeitig im Beobachter-Koordinatensystem stattfinden. In Abb. 2-11 verbinden die blauen Linien Ereignisse auf Terences Weltlinie, die aus Stellas Sicht gleichzeitig mit Ereignissen auf ihrer Weltlinie stattfinden. (Terence wiederum würde eine Reihe horizontaler Gleichzeitigkeitslinien beobachten.) Sowohl auf der Hin- als auch auf der Rückreise von Stellas Reise misst sie, dass Terences Uhren langsamer laufen als ihre eigenen. Aber während der Wende (dh zwischen den fetten blauen Linien in der Abbildung) findet eine Verschiebung im Winkel ihrer Gleichzeitigkeitslinien statt, was einem schnellen Überspringen der Ereignisse in Terences Weltlinie entspricht, die Stella für gleichzeitig hält ihr eigenes. Daher stellt Stella am Ende ihrer Reise fest, dass Terence stärker gealtert ist als sie.

Obwohl die allgemeine Relativitätstheorie nicht erforderlich ist, um das Zwillingsparadoxon zu analysieren, bietet die Anwendung des Äquivalenzprinzips der allgemeinen Relativitätstheorie einige zusätzliche Einblicke in das Thema. Stella ist nicht stationär in einem Inertialsystem. In Stellas Ruhebild analysiert, ist sie während der gesamten Fahrt bewegungslos. Wenn sie im Leerlauf fährt, ist ihr Ruhesystem träge und Terences Uhr scheint langsam zu laufen. Aber wenn sie ihre Raketen für die Wende abfeuert, ist ihr Ruherahmen ein beschleunigter Rahmen und sie erfährt eine Kraft, die sie wie in einem Gravitationsfeld antreibt. Terence scheint in diesem Feld hoch oben zu sein, und aufgrund der Gravitationszeitdilatation scheint seine Uhr so ​​schnell zu laufen, dass das Nettoergebnis darin besteht, dass Terence mehr gealtert ist als Stella, wenn sie wieder zusammen sind. Die theoretischen Argumente, die die Zeitdilatation der Gravitation vorhersagen, beziehen sich nicht ausschließlich auf die Allgemeine Relativitätstheorie. Jede Gravitationstheorie wird die Gravitationszeitdilatation vorhersagen, wenn sie das Äquivalenzprinzip respektiert, einschließlich Newtons Theorie.

Gravitation

Dieser einführende Abschnitt hat sich auf die Raumzeit der speziellen Relativitätstheorie konzentriert, da sie am einfachsten zu beschreiben ist. Die Minkowski-Raumzeit ist flach, berücksichtigt die Schwerkraft nicht, ist durchgehend einheitlich und dient nur als statischer Hintergrund für die darin stattfindenden Ereignisse. Das Vorhandensein der Schwerkraft erschwert die Beschreibung der Raumzeit erheblich. In der Allgemeinen Relativitätstheorie ist die Raumzeit kein statischer Hintergrund mehr, sondern interagiert aktiv mit den darin enthaltenen physikalischen Systemen. Raumzeitkurven in Gegenwart von Materie können Wellen ausbreiten, Licht beugen und eine Vielzahl anderer Phänomene aufweisen. Einige dieser Phänomene werden in den späteren Abschnitten dieses Artikels beschrieben.

Grundlegende Mathematik der Raumzeit

Galileische Transformationen

Ein grundlegendes Ziel ist es, Messungen vergleichen zu können, die von Beobachtern in relativer Bewegung gemacht wurden. Wenn es einen Beobachter O im System S gibt, der die Zeit- und Raumkoordinaten eines Ereignisses gemessen hat, ordnet er diesem Ereignis drei kartesische Koordinaten und die auf seinem Gitter aus synchronisierten Uhren ( x , y , z , t ) gemessene Zeit zu (siehe Abb .1-1 ). Ein zweiter Beobachter O′ in einem anderen Koordinatensystem S′ misst das gleiche Ereignis in seinem Koordinatensystem und seinem Gitter aus synchronisierten Uhren ( x , y , z , t ) . Bei Trägheitsrahmen wird keiner der Beobachter beschleunigt, und ein einfacher Satz von Gleichungen ermöglicht es uns, die Koordinaten ( x , y , z , t ) mit ( x , y , z , t ) in Beziehung zu setzen . Vorausgesetzt, dass die beiden Koordinatensysteme in der Standardkonfiguration sind, was bedeutet, dass sie mit parallelen ( x , y , z ) Koordinaten ausgerichtet sind und dass t = 0 ist, wenn t = 0 , ist die Koordinatentransformation wie folgt:

Abbildung 3–1. Galileische Raumzeit und Geschwindigkeitszusammensetzung

Abb. 3-1 zeigt, dass in Newtons Theorie die Zeit universell ist, nicht die Lichtgeschwindigkeit. Betrachten Sie folgendes Gedankenexperiment: Der rote Pfeil zeigt einen Zug, der sich mit 0,4 c zum Bahnsteig bewegt. Innerhalb des Zuges schießt ein Fahrgast eine Kugel mit einer Geschwindigkeit von 0,4 c in den Rahmen des Zuges. Der blaue Pfeil zeigt, dass eine Person, die auf den Gleisen steht, das Geschoss mit einer Geschwindigkeit von 0,8 c misst. Dies entspricht unseren naiven Erwartungen.

Allgemeiner gesagt, unter der Annahme, dass sich der Rahmen S' mit der Geschwindigkeit v in Bezug auf den Rahmen S bewegt, misst der Beobachter O' innerhalb des Rahmens S' ein Objekt, das sich mit der Geschwindigkeit u ' bewegt . Die Geschwindigkeit u in Bezug auf Rahmen S, da x = ut , x = xvt und t = t , kann geschrieben werden als x = utvt = ( uv ) t = ( uv ) t ' . Dies führt zu u = x / t und schließlich

  oder  

das ist das gesunde galileische Gesetz für die Addition von Geschwindigkeiten .

Relativistische Zusammensetzung von Geschwindigkeiten

Abbildung 3–2. Relativistische Zusammensetzung von Geschwindigkeiten

Die Zusammensetzung der Geschwindigkeiten ist in der relativistischen Raumzeit ganz anders. Um die Komplexität der Gleichungen etwas zu reduzieren, führen wir eine gebräuchliche Abkürzung für das Verhältnis der Geschwindigkeit eines Objekts relativ zum Licht ein,

Abb. 3-2a zeigt einen roten Zug, der sich mit einer Geschwindigkeit vorwärts bewegt, die durch v / c = β = s / a gegeben ist . Aus dem grundierten Rahmen des Zuges schießt ein Passagier eine Kugel mit einer Geschwindigkeit ab, die durch u / c = β = n / m gegeben ist, wobei die Entfernung entlang einer Linie gemessen wird, die parallel zur roten x -Achse und nicht parallel zur schwarze x -achse. Wie groß ist die zusammengesetzte Geschwindigkeit u des Geschosses relativ zur Plattform, wie durch den blauen Pfeil dargestellt? Bezugnehmend auf Abb. 3-2b:

  1. Von der Plattform aus ist die zusammengesetzte Geschwindigkeit des Geschosses gegeben durch u = c ( s + r )/( a + b ) .
  2. Die beiden gelben Dreiecke sind ähnlich, weil sie rechtwinklige Dreiecke sind, die einen gemeinsamen Winkel α haben . Im großen gelben Dreieck ist das Verhältnis s / a = v / c = β .
  3. Die Verhältnisse der entsprechenden Seiten der beiden gelben Dreiecke sind konstant, sodass r / a = b / s = n / m = β . Also b = u s / c und r = u a / c .
  4. Setzen Sie die Ausdrücke für b und r in den Ausdruck für u in Schritt 1 ein, um Einsteins Formel für die Addition von Geschwindigkeiten zu erhalten:

Die oben vorgestellte relativistische Formel zur Addition von Geschwindigkeiten weist mehrere wichtige Merkmale auf:

  • Sind u und v beide sehr klein im Vergleich zur Lichtgeschwindigkeit, dann wird das Produkt vu / c 2 verschwindend klein und das Gesamtergebnis nicht mehr von der Galileischen Formel (Newtonsche Formel) für die Addition von Geschwindigkeiten zu unterscheiden: u  =  u  +  v . Die Galileische Formel ist ein Sonderfall der relativistischen Formel, die auf niedrige Geschwindigkeiten anwendbar ist.
  • Wenn u gleich c gesetzt wird, dann ergibt die Formel u  =  c unabhängig vom Startwert von v . Die Lichtgeschwindigkeit ist für alle Beobachter unabhängig von ihrer Bewegung relativ zur emittierenden Quelle gleich.

Zeitdilatation und Längenkontraktion überarbeitet

Abbildung 3-3. Raumzeitdiagramme zur Veranschaulichung von Zeitdilatation und Längenkontraktion

Es ist einfach, quantitative Ausdrücke für Zeitdilatation und Längenkontraktion zu erhalten. Abb. 3-3 ist ein zusammengesetztes Bild, das einzelne Frames aus zwei früheren Animationen enthält, die für die Zwecke dieses Abschnitts vereinfacht und umbenannt wurden.

Um die Komplexität der Gleichungen etwas zu reduzieren, gibt es für ct verschiedene Kurzschreibweisen :

und sind üblich.
Man sieht auch sehr häufig die Verwendung der Konvention
Abbildung 3–4. Lorentzfaktor als Funktion der Geschwindigkeit

In Abb. 3-3a repräsentieren die Segmente OA und OK gleiche Raumzeitintervalle. Die Zeitdilatation wird durch das Verhältnis OB / OK dargestellt . Die unveränderliche Hyperbel hat die Gleichung w = x 2 + k 2 mit k  =  OK , und die rote Linie, die die Weltlinie eines sich bewegenden Teilchens darstellt, hat die Gleichung w  =  x / β  =  xc / v . Ein bisschen algebraische Manipulation ergibt

Der Ausdruck mit dem Quadratwurzelsymbol erscheint sehr häufig in der Relativitätstheorie, und einer über dem Ausdruck wird Lorentzfaktor genannt, der mit dem griechischen Buchstaben Gamma bezeichnet wird :

Wenn v größer oder gleich c ist, wird der Ausdruck for physikalisch bedeutungslos, was impliziert, dass c die maximal mögliche Geschwindigkeit in der Natur ist. Für jedes v größer als Null ist der Lorentz-Faktor größer als eins, obwohl die Form der Kurve so ist, dass der Lorentz-Faktor für niedrige Geschwindigkeiten extrem nahe bei eins liegt.

In Abb. 3-3b repräsentieren die Segmente OA und OK gleiche Raumzeitintervalle. Die Längenkontraktion wird durch das Verhältnis OB / OK dargestellt . Die unveränderliche Hyperbel hat die Gleichung x = w 2 + k 2 , wobei k  =  OK , und die Kanten des blauen Bandes, das die Weltlinien der Endpunkte eines sich bewegenden Stabes darstellt, haben die Steigung 1/ β  =  c / v . Ereignis A hat Koordinaten ( xw ) = ( γkγβk ). Da die Tangente durch A und B die Gleichung w  = ( x  −  OB )/ β hat, haben wir γβk  = ( γk  −  OB )/ β und

Lorentz-Transformationen

Die Galilei-Transformationen und ihr daraus resultierendes gesundes Gesetz der Addition von Geschwindigkeiten funktionieren gut in unserer gewöhnlichen langsamen Welt mit Flugzeugen, Autos und Bällen. Ab Mitte des 18. Jahrhunderts begannen jedoch empfindliche wissenschaftliche Instrumente, Anomalien zu finden, die nicht gut mit der gewöhnlichen Addition von Geschwindigkeiten zusammenpassten.

Lorentz-Transformationen werden verwendet, um die Koordinaten eines Ereignisses von einem Rahmen in einen anderen in der speziellen Relativitätstheorie zu transformieren.

Der Lorentz-Faktor erscheint in den Lorentz-Transformationen:

Die inversen Lorentz-Transformationen sind:

Wenn v  ≪  c und x klein genug ist, nähern sich die Terme v 2 / c 2 und vx / c 2 Null, und die Lorentz-Transformationen nähern sich den Galilei-Transformationen an.

usw., meistens bedeuten sie wirklich usw. Obwohl die Lorentz-Transformationsgleichungen der Kürze halber ohne Deltas geschrieben sind, bedeutet x Δ x usw. Wir sind im Allgemeinen immer mit den räumlichen und zeitlichen Unterschieden zwischen Ereignissen beschäftigt.

Einen Satz von Transformationen die normalen Lorentz-Transformationen und den anderen die inversen Transformationen zu nennen, ist irreführend, da es keinen intrinsischen Unterschied zwischen den Frames gibt. Verschiedene Autoren nennen den einen oder anderen Satz von Transformationen den "inversen" Satz. Die Vorwärts- und Rückwärtstransformation sind trivial miteinander verwandt, da sich das S -Frame in Bezug auf S ' nur vorwärts oder rückwärts bewegen kann . Das Umkehren der Gleichungen bedeutet also einfach, die gestrichenen und nicht gestrichenen Variablen zu vertauschen und v durch − v zu ersetzen .

Beispiel: Terence und Stella nehmen an einem Weltraumrennen von der Erde zum Mars teil. Terence ist ein Offizieller an der Startlinie, während Stella eine Teilnehmerin ist. Zum Zeitpunkt t = t = 0 beschleunigt Stellas Raumschiff augenblicklich auf eine Geschwindigkeit von 0,5  c . Die Entfernung von der Erde zum Mars beträgt 300 Lichtsekunden (ca90,0 × 10 6  km ). Terence beobachtet, wie Stella bei t  = 600,00 s die Ziellinie überquert . Aber Stella beobachtet die Zeit auf ihrem Schiffschronometer, als sie die Ziellinie passiert, und sie berechnet die Entfernung zwischen Start- und Ziellinie, gemessen in ihrem Rahmen, auf 259,81 Lichtsekunden (ca77,9 × 10 6  km ). 1).

Ableitung der Lorentz-Transformationen

Abbildung 3–5. Ableitung der Lorentz-Transformation

Seit Einsteins Originalarbeit im Jahr 1905 gab es viele Dutzend Ableitungen der Lorentz-Transformationen , jede mit ihrem besonderen Schwerpunkt. Obwohl Einsteins Herleitung auf der Invarianz der Lichtgeschwindigkeit basierte, gibt es andere physikalische Prinzipien, die als Ausgangspunkt dienen können. Letztendlich können diese alternativen Ausgangspunkte als unterschiedliche Ausdrücke des zugrunde liegenden Prinzips der Lokalität angesehen werden, das besagt, dass der Einfluss, den ein Teilchen auf ein anderes ausübt, nicht sofort übertragen werden kann.

Die hier gegebene und in Abb. 3-5 dargestellte Herleitung basiert auf einer von Bais vorgestellten und verwendet frühere Ergebnisse aus den Abschnitten Relativistische Geschwindigkeitszusammensetzung, Zeitdilatation und Längenkontraktion. Ereignis P hat Koordinaten ( wx ) im schwarzen „Ruhesystem“ und Koordinaten ( w x ) im roten Rahmen, der sich mit dem Geschwindigkeitsparameter β  =  v / c bewegt . Um w und x durch w und x (oder umgekehrt) zu bestimmen, ist es zunächst einfacher, die inverse Lorentz-Transformation herzuleiten.

  1. Eine Längenausdehnung/-kontraktion in Querrichtung kann es nicht geben. y ' muss gleich y und z ' muss gleich z sein , ansonsten würde es vom Beobachter abhängen, ob eine sich schnell bewegende 1-m-Kugel durch ein 1-m-Kreisloch passen könnte. Das erste Postulat der Relativitätstheorie besagt, dass alle Trägheitssysteme gleichwertig sind und eine transversale Expansion / Kontraktion dieses Gesetz verletzen würde.
  2. Aus der Zeichnung w = a + b und x  =  r  +  s
  3. Aus früheren Ergebnissen mit ähnlichen Dreiecken wissen wir, dass s / a  =  b / r = v / c  =  β .
  4. Wegen Zeitdilatation ist a  =  γw
  5. Einsetzen von Gleichung (4) in s / a  =  β ergibt s  =  γw β .
  6. Längenkontraktion und ähnliche Dreiecke ergeben r  =  γx und b  =  βr = βγx
  7. Das Einsetzen der Ausdrücke für s , a , r und b in die Gleichungen in Schritt 2 ergibt sofort

Die obigen Gleichungen sind alternative Ausdrücke für die t- und x-Gleichungen der inversen Lorentz-Transformation, wie man sieht, wenn man ct für w , ct für w und v / c für β einsetzt . Aus der Rücktransformation lassen sich die Gleichungen der Vorwärtstransformation durch Auflösen nach t ' und x ' ableiten .

Linearität der Lorentz-Transformationen

Die Lorentz-Transformationen haben eine mathematische Eigenschaft namens Linearität, da x und t als lineare Kombinationen von x und t erhalten werden, ohne dass höhere Potenzen beteiligt sind. Die Linearität der Transformation spiegelt eine grundlegende Eigenschaft der Raumzeit wider, die bei der Herleitung stillschweigend vorausgesetzt wurde, nämlich dass die Eigenschaften von Inertialbezugssystemen orts- und zeitunabhängig sind. Ohne Schwerkraft sieht die Raumzeit überall gleich aus. Alle Trägheitsbeobachter werden sich darüber einig sein, was eine beschleunigende und nicht beschleunigende Bewegung ausmacht. Jeder Beobachter kann seine eigenen Messungen von Raum und Zeit verwenden, aber sie haben nichts Absolutes. Die Konventionen eines anderen Beobachters werden genauso gut funktionieren.

Ein Ergebnis der Linearität ist, dass wenn zwei Lorentz-Transformationen nacheinander angewendet werden, das Ergebnis auch eine Lorentz-Transformation ist.

Beispiel: Terence beobachtet, wie Stella bei 0,500 c von ihm wegrast  , und er kann die Lorentz-Transformationen mit β  = 0,500 verwenden, um Stellas Messungen mit seinen eigenen in Beziehung zu setzen. Stella beobachtet in ihrem Rahmen, wie Ursula sich bei 0,250  c von ihr wegbewegt , und sie kann die Lorentz-Transformationen mit β  = 0,250 verwenden , um Ursulas Messungen mit ihren eigenen in Beziehung zu setzen. Wegen der Linearität der Transformationen und der relativistischen Zusammensetzung der Geschwindigkeiten kann Terence die Lorentz-Transformationen mit β  = 0,666 verwenden , um Ursulas Messungen mit seinen eigenen in Beziehung zu setzen.

Doppler-Effekt

Der Doppler-Effekt ist die Änderung der Frequenz oder Wellenlänge einer Welle für einen Empfänger und eine Quelle in Relativbewegung. Der Einfachheit halber betrachten wir hier zwei Grundszenarien: (1) Die Bewegungen der Quelle und/oder des Empfängers erfolgen genau entlang der sie verbindenden Linie (Längsdopplereffekt), und (2) die Bewegungen verlaufen rechtwinklig zu dieser Linie ( Transversal-Doppler-Effekt ). Wir ignorieren Szenarien, in denen sie sich entlang Zwischenwinkeln bewegen.

Längs-Doppler-Effekt

Die klassische Doppler-Analyse beschäftigt sich mit Wellen, die sich in einem Medium ausbreiten, wie Schallwellen oder Wasserkräuseln, und die zwischen Quellen und Empfängern übertragen werden, die sich aufeinander zu oder voneinander weg bewegen. Die Analyse solcher Wellen hängt davon ab, ob sich die Quelle, der Empfänger oder beide relativ zum Medium bewegen. Angesichts des Szenarios, in dem der Empfänger in Bezug auf das Medium stationär ist und sich die Quelle mit einer Geschwindigkeit von v s für einen Geschwindigkeitsparameter von β s direkt vom Empfänger wegbewegt , wird die Wellenlänge erhöht, und die beobachtete Frequenz f ist gegeben durch

Andererseits wird in dem Szenario, in dem die Quelle stationär ist und sich der Empfänger bei einem Geschwindigkeitsparameter von β r mit einer Geschwindigkeit von v r direkt von der Quelle wegbewegt, nicht die Wellenlänge geändert, sondern die Übertragungsgeschwindigkeit der Wellen relativ zum Empfänger verringert, und die beobachtete Frequenz f ist gegeben durch

Abbildung 3–6. Raumzeitdiagramm des relativistischen Dopplereffekts

Anders als Geräusche oder Wasserwellen breitet sich Licht nicht durch ein Medium aus, und es gibt keinen Unterschied zwischen einer Quelle, die sich vom Empfänger wegbewegt, oder einem Empfänger, der sich von der Quelle wegbewegt. Fig. 3-6 veranschaulicht ein relativistisches Raumzeitdiagramm, das eine Quelle zeigt, die sich mit einem Geschwindigkeitsparameter β vom Empfänger trennt , so dass der Abstand zwischen Quelle und Empfänger zur Zeit w gleich βw ist . Aufgrund der Zeitdilatation, . Da die Steigung des grünen Lichtstrahls −1 ist, . Daher ist der relativistische Dopplereffekt gegeben durch

Transversaler Doppler-Effekt

Abbildung 3–7. Transversal-Doppler-Effekt-Szenarien

Angenommen, eine Quelle und ein Empfänger, die sich beide in gleichförmiger Trägheitsbewegung entlang sich nicht schneidender Linien annähern, sind einander am nächsten. Es scheint, dass die klassische Analyse vorhersagt, dass der Empfänger keine Doppler-Verschiebung erfasst. Aufgrund von Feinheiten in der Analyse trifft diese Erwartung nicht unbedingt zu. Nichtsdestotrotz ist die transversale Doppler-Verschiebung, wenn sie richtig definiert ist, ein relativistischer Effekt, der kein klassisches Analogon hat. Die Feinheiten sind diese:

In Szenario (a) ist der Punkt der engsten Annäherung rahmenunabhängig und stellt den Moment dar, in dem es keine Abstandsänderung gegenüber der Zeit gibt (dh dr/dt = 0, wobei r der Abstand zwischen Empfänger und Quelle ist) und daher kein Längsdoppler Wechsel. Die Quelle beobachtet, dass der Empfänger von Licht der Frequenz f ' beleuchtet wird , beobachtet aber auch, dass der Empfänger eine zeitgedehnte Uhr hat. Im Rahmen S wird der Empfänger daher mit blauverschobenem Licht der Frequenz beleuchtet

In Szenario (b) zeigt die Abbildung, dass der Empfänger von Licht beleuchtet wird, als die Quelle dem Empfänger am nächsten war, obwohl sich die Quelle weiterbewegt hat. Da die Uhren der Quelle zeitgedehnt sind, wie in Rahmen S gemessen, und da dr/dt an diesem Punkt gleich Null war, wird das Licht von der Quelle, das von diesem nächstgelegenen Punkt emittiert wird, mit der Frequenz rotverschoben

Die Szenarien (c) und (d) können durch einfache Zeitdilatationsargumente analysiert werden. In (c) beobachtet der Empfänger Licht von der Quelle als um den Faktor blauverschoben , und in (d) ist das Licht rotverschoben. Die einzige scheinbare Komplikation besteht darin, dass sich die umkreisenden Objekte in beschleunigter Bewegung befinden. Wenn jedoch ein Trägheitsbeobachter auf eine sich beschleunigende Uhr blickt, ist nur die momentane Geschwindigkeit der Uhr wichtig, wenn die Zeitdilatation berechnet wird. (Das Gegenteil gilt jedoch nicht.) Die meisten Berichte über die transversale Dopplerverschiebung beziehen sich auf den Effekt als Rotverschiebung und analysieren den Effekt in Bezug auf die Szenarien (b) oder (d).

Energie und Schwung

Ausweitung des Momentums auf vier Dimensionen

Abbildung 3–8. Relativistischer Raumzeit-Impulsvektor

In der klassischen Mechanik wird der Bewegungszustand eines Teilchens durch seine Masse und seine Geschwindigkeit charakterisiert. Der lineare Impuls , das Produkt aus Masse und Geschwindigkeit eines Teilchens, ist eine Vektorgröße , die dieselbe Richtung wie die Geschwindigkeit besitzt: p  =  m v . Es ist eine Erhaltungsgröße , was bedeutet, dass, wenn ein geschlossenes System nicht durch äußere Kräfte beeinflusst wird, sich sein linearer Gesamtimpuls nicht ändern kann.

In der relativistischen Mechanik wird der Impulsvektor auf vier Dimensionen erweitert. Dem Impulsvektor wird eine Zeitkomponente hinzugefügt, die es dem Raumzeit-Impulsvektor ermöglicht, sich wie der Raumzeit-Positionsvektor zu transformieren . Bei der Untersuchung der Eigenschaften des Raumzeit-Impulses beginnen wir in Abb. 3-8a damit, zu untersuchen, wie ein Teilchen im Ruhezustand aussieht. Im Ruhesystem ist die räumliche Komponente des Impulses Null, dh p  = 0 , aber die Zeitkomponente ist gleich mc .

Die transformierten Komponenten dieses Vektors im bewegten Rahmen können wir mit Hilfe der Lorentz-Transformationen erhalten, oder wir können sie direkt aus der Abbildung ablesen, weil wir wissen, dass und da die roten Achsen um Gamma umskaliert sind. Abb. 3-8b veranschaulicht die Situation, wie sie im bewegten Rahmen erscheint. Es ist offensichtlich, dass die Raum- und Zeitkomponenten des Viererimpulses ins Unendliche gehen, wenn sich die Geschwindigkeit des sich bewegenden Rahmens c nähert .

Wir werden diese Informationen in Kürze verwenden, um einen Ausdruck für den Viererimpuls zu erhalten .

Schwung des Lichts

Abbildung 3–9. Energie und Impuls des Lichts in verschiedenen Trägheitssystemen

Lichtteilchen oder Photonen bewegen sich mit der Geschwindigkeit c , der Konstante, die herkömmlicherweise als Lichtgeschwindigkeit bekannt ist . Diese Aussage ist keine Tautologie, da viele moderne Formulierungen der Relativitätstheorie nicht mit konstanter Lichtgeschwindigkeit als Postulat beginnen. Photonen breiten sich also entlang einer lichtähnlichen Weltlinie aus und haben in entsprechenden Einheiten für jeden Beobachter gleiche Raum- und Zeitkomponenten.

Eine Konsequenz aus Maxwells Theorie des Elektromagnetismus ist, dass Licht Energie und Impuls trägt und dass ihr Verhältnis eine Konstante ist: . Umstellen, , und da für Photonen Raum- und Zeitkomponente gleich sind, muss E/c also mit der Zeitkomponente des Raumzeit-Impulsvektors gleichgesetzt werden.

Photonen bewegen sich mit Lichtgeschwindigkeit, haben aber endlichen Impuls und Energie. Dazu muss der Massenterm in γmc Null sein, was bedeutet, dass Photonen masselose Teilchen sind . Unendlich mal Null ist eine schlecht definierte Größe, aber E/c ist wohldefiniert.

Wenn nach dieser Analyse die Energie eines Photons im Ruhesystem gleich E ist, ist sie auch in einem bewegten System gleich. Dieses Ergebnis kann durch Betrachtung von Fig. 3-9 oder durch Anwendung der Lorentz-Transformationen abgeleitet werden und stimmt mit der zuvor gegebenen Analyse des Doppler-Effekts überein.

Masse-Energie-Beziehung

Die Betrachtung der Wechselbeziehungen zwischen den verschiedenen Komponenten des relativistischen Impulsvektors führte Einstein zu mehreren berühmten Schlussfolgerungen.

  • In der niedrigen Geschwindigkeitsgrenze nähert sich β  =  v/c Null, γ nähert sich 1, also nähert sich die räumliche Komponente des relativistischen Impulses mv , dem klassischen Begriff für Impuls. Dieser Perspektive folgend kann γm als relativistische Verallgemeinerung von m interpretiert werden . Einstein schlug vor, dass die relativistische Masse eines Objekts gemäß der Formel mit der Geschwindigkeit zunimmt .
  • Vergleichen Sie ebenso die Zeitkomponente des relativistischen Impulses mit der des Photons, , so dass Einstein zu der Beziehung kam . Vereinfacht auf den Fall der Nullgeschwindigkeit ist dies Einsteins berühmte Gleichung, die Energie und Masse in Beziehung setzt.

Eine andere Möglichkeit, den Zusammenhang zwischen Masse und Energie zu betrachten, besteht darin, eine Reihenentwicklung von γmc 2 bei niedriger Geschwindigkeit zu betrachten:

Der zweite Term ist nur ein Ausdruck für die kinetische Energie des Teilchens. Masse scheint tatsächlich eine andere Form von Energie zu sein.

Das Konzept der relativistischen Masse, das Einstein 1905 einführte, m rel , obwohl es jeden Tag in Teilchenbeschleunigern auf der ganzen Welt (oder tatsächlich in jeder Instrumentierung, deren Verwendung von Hochgeschwindigkeitsteilchen abhängt, wie Elektronenmikroskopen, altmodischen Farbfernsehgeräten, reichlich bestätigt wird , usw.), hat sich dennoch nicht als fruchtbares Konzept in der Physik in dem Sinne erwiesen, dass es kein Konzept ist, das als Grundlage für andere theoretische Entwicklungen gedient hat. Die relativistische Masse beispielsweise spielt in der Allgemeinen Relativitätstheorie keine Rolle.

Aus diesem Grund und aus pädagogischen Gründen bevorzugen die meisten Physiker derzeit eine andere Terminologie, wenn sie sich auf die Beziehung zwischen Masse und Energie beziehen. „Relativistische Masse“ ist ein veralteter Begriff. Der Begriff „Masse“ selbst bezieht sich auf die Ruhemasse oder unveränderliche Masse und ist gleich der unveränderlichen Länge des relativistischen Impulsvektors. Als Formel ausgedrückt,

Diese Formel gilt für alle Teilchen, masselose wie auch massive. Für Photonen, bei denen mrest gleich Null ist, ergibt sich, .

Vier-Schwung

Wegen der engen Beziehung zwischen Masse und Energie wird der Viererimpuls (auch 4er-Impuls genannt) auch als Energie-Impuls-4er-Vektor bezeichnet. Unter Verwendung eines Großbuchstabens P zur Darstellung des Viererimpulses und eines Kleinbuchstabens p zur Bezeichnung des räumlichen Impulses kann der Viererimpuls geschrieben werden als

oder alternativ,
mit der Konvention, dass

Naturschutzgesetze

In der Physik besagen Erhaltungssätze, dass sich bestimmte bestimmte messbare Eigenschaften eines isolierten physikalischen Systems nicht ändern, wenn sich das System im Laufe der Zeit entwickelt. 1915 entdeckte Emmy Noether , dass jedem Erhaltungssatz eine fundamentale Symmetrie der Natur zugrunde liegt. Die Tatsache, dass es physikalischen Prozessen egal ist, wo im Raum sie stattfinden ( Raumtranslationssymmetrie ), ergibt Impulserhaltung , die Tatsache, dass es solchen Prozessen egal ist, wann sie stattfinden ( Zeittranslationssymmetrie ), ergibt Energieerhaltung und so weiter an. In diesem Abschnitt untersuchen wir die Newtonschen Ansichten zur Erhaltung von Masse, Impuls und Energie aus einer relativistischen Perspektive.

Totaler Schwung

Abbildung 3-10. Relativistische Impulserhaltung

Um zu verstehen, wie die Newtonsche Sichtweise der Impulserhaltung in einem relativistischen Kontext modifiziert werden muss, untersuchen wir das Problem zweier kollidierender Körper, die auf eine einzige Dimension beschränkt sind.

In der Newtonschen Mechanik können zwei extreme Fälle dieses Problems unterschieden werden, die eine Mathematik mit minimaler Komplexität ergeben:

(1) Die beiden Körper prallen in einem vollständig elastischen Stoß voneinander ab.
(2) Die beiden Körper haften aneinander und bewegen sich als einzelnes Teilchen weiter. Dieser zweite Fall ist der Fall eines vollständig unelastischen Stoßes.

Für beide Fälle (1) und (2) bleiben Impuls, Masse und Gesamtenergie erhalten. Allerdings bleibt die kinetische Energie bei inelastischen Stößen nicht erhalten. Ein bestimmter Bruchteil der anfänglichen kinetischen Energie wird in Wärme umgewandelt.

Im Fall (2) kollidieren zwei Massen mit Impulsen und kollidieren, um ein einzelnes Teilchen mit konservierter Masse zu erzeugen , das sich mit der Massenmittelpunktsgeschwindigkeit des ursprünglichen Systems bewegt, . Der Gesamtimpuls bleibt erhalten.

Abb. 3-10 veranschaulicht den inelastischen Stoß zweier Teilchen aus relativistischer Sicht. Die Zeitkomponenten und addieren sich zum Gesamt - E/c des resultierenden Vektors, was bedeutet, dass Energie erhalten bleibt. Ebenso addieren sich die Raumkomponenten und zu p des resultierenden Vektors. Der Viererimpuls ist, wie erwartet, eine Erhaltungsgröße. Die unveränderliche Masse des fusionierten Teilchens, gegeben durch den Punkt, an dem die unveränderliche Hyperbel des Gesamtimpulses die Energieachse schneidet, ist jedoch nicht gleich der Summe der unveränderlichen Massen der einzelnen Teilchen, die kollidierten. Sie ist sogar größer als die Summe der einzelnen Massen: .

Wenn wir die Ereignisse dieses Szenarios in umgekehrter Reihenfolge betrachten, sehen wir, dass die Nichterhaltung der Masse ein häufiges Ereignis ist: Wenn ein instabiles Elementarteilchen spontan in zwei leichtere Teilchen zerfällt, bleibt die Gesamtenergie erhalten, die Masse jedoch nicht. Ein Teil der Masse wird in kinetische Energie umgewandelt.

Wahl der Bezugsrahmen

Abbildung 3-11.
(oben) Laborrahmen .
(rechts) Zentrum des Impulsrahmens .

Die Freiheit, jeden Rahmen zu wählen, in dem eine Analyse durchgeführt werden soll, ermöglicht es uns, einen auszuwählen, der besonders bequem sein kann. Für die Analyse von Impuls- und Energieproblemen ist der geeignetste Rahmen normalerweise der „ Mitte-des-Impuls-Rahmens “ (auch Null-Impuls-Rahmen oder COM-Rahmen genannt). Dies ist der Rahmen, in dem die Raumkomponente des Gesamtimpulses des Systems Null ist. Abb. 3-11 zeigt den Zerfall eines Hochgeschwindigkeitsteilchens in zwei Tochterteilchen. Im Laborrahmen werden die Tochterteilchen vorzugsweise in einer Richtung emittiert, die entlang der Flugbahn des ursprünglichen Teilchens orientiert ist. Im COM-System werden die beiden Tochterteilchen jedoch in entgegengesetzte Richtungen emittiert, obwohl ihre Massen und die Größe ihrer Geschwindigkeiten im Allgemeinen nicht gleich sind.

Energie- und Impulserhaltung

Bei einer Newtonschen Analyse wechselwirkender Teilchen ist die Transformation zwischen Frames einfach, da lediglich die Galileische Transformation auf alle Geschwindigkeiten angewendet werden muss. Da , die Dynamik . Wenn beobachtet wird, dass der Gesamtimpuls eines wechselwirkenden Systems von Teilchen in einem Rahmen erhalten bleibt, wird er ebenso in jedem anderen Rahmen erhalten bleiben.

Die Impulserhaltung im COM-Rahmen läuft auf die Anforderung hinaus, dass p  = 0 sowohl vor als auch nach dem Stoß ist. In der Newtonschen Analyse diktiert die Erhaltung der Masse, dass . In den vereinfachten, eindimensionalen Szenarien, die wir betrachtet haben, ist nur eine zusätzliche Einschränkung notwendig, bevor die ausgehenden Impulse der Teilchen bestimmt werden können – eine Energiebedingung. Im eindimensionalen Fall einer vollständig elastischen Kollision ohne Verlust an kinetischer Energie sind die ausgehenden Geschwindigkeiten der zurückprallenden Teilchen im COM-Koordinatensystem genau gleich und entgegengesetzt zu ihren einfallenden Geschwindigkeiten. Bei einem völlig inelastischen Stoß mit totalem Verlust an kinetischer Energie sind die Abgangsgeschwindigkeiten der zurückprallenden Teilchen gleich Null.

Newtonsche Impulse, berechnet als , verhalten sich unter der Lorentzschen Transformation nicht richtig. Die lineare Transformation von Geschwindigkeiten wird durch die stark nichtlineare ersetzt , so dass eine Berechnung, die die Impulserhaltung in einem Rahmen zeigt, in anderen Rahmen ungültig ist. Einstein stand vor der Aufgabe, entweder die Impulserhaltung aufzugeben oder die Impulsdefinition zu ändern. Er entschied sich für diese zweite Option.

Abbildung 3-12a. Energie-Impuls-Diagramm für den Zerfall eines geladenen Pions.
Abbildung 3-12b. Grafische Rechneranalyse des Zerfalls geladener Pionen.

Der relativistische Erhaltungssatz für Energie und Impuls ersetzt die drei klassischen Erhaltungssätze für Energie, Impuls und Masse. Die Masse bleibt nicht mehr unabhängig erhalten, weil sie in die totale relativistische Energie subsumiert wurde. Dies macht die relativistische Energieerhaltung zu einem einfacheren Konzept als in der nichtrelativistischen Mechanik, da die Gesamtenergie ohne Einschränkungen erhalten bleibt. In Wärme umgewandelte kinetische Energie oder innere potentielle Energie zeigt sich als Massenzunahme.

Beispiel: Elementarteilchenmassen werden wegen der Äquivalenz von Masse und Energie üblicherweise in Energieeinheiten angegeben, wobei 1 MeV = 10 6 Elektronenvolt ist. Ein geladenes Pion ist ein Teilchen der Masse 139,57 MeV (ca. 273-fache Elektronenmasse). Es ist instabil und zerfällt in ein Myon der Masse 105,66 MeV (ca. 207-fache Elektronenmasse) und ein Antineutrino, das eine fast vernachlässigbare Masse hat. Die Differenz zwischen der Pion-Masse und der Myon-Masse beträgt 33,91 MeV.

π

μ
+
v
μ

Abb. 3-12a zeigt das Energie-Impuls-Diagramm für diese Zerfallsreaktion im Ruhesystem des Pions. Aufgrund seiner vernachlässigbaren Masse bewegt sich ein Neutrino nahezu mit Lichtgeschwindigkeit fort. Der relativistische Ausdruck für seine Energie ist wie der des Photons auch der Wert der Raumkomponente seines Impulses. Um den Impuls zu erhalten, hat das Myon den gleichen Wert der Raumkomponente des Impulses des Neutrinos, aber in der entgegengesetzten Richtung.

Algebraische Analysen der Energetik dieser Zerfallsreaktion sind online verfügbar, daher zeigt Abb. 3-12b stattdessen eine graphische Taschenrechnerlösung. Die Energie des Neutrinos beträgt 29,79 MeV und die Energie des Myons 33,91 MeV − 29,79 MeV = 4,12 MeV . Die meiste Energie wird durch das nahezu masselose Neutrino abgeführt.

Über die Grundlagen hinausgehend

Die Themen in diesem Abschnitt sind technisch erheblich schwieriger als die in den vorangegangenen Abschnitten und für das Verständnis der Einführung in die gekrümmte Raumzeit nicht unbedingt erforderlich.

Schnelligkeit

Abbildung 4-1a. Ein Strahl durch den Einheitskreis x 2 + y 2 = 1 im Punkt (cos a , sin a ) , wobei a die doppelte Fläche zwischen dem Strahl, dem Kreis und der x -Achse ist.
Abbildung 4-1b. Ein Strahl durch die Einheitshyperbel x 2y 2 = 1 im Punkt (cosh a , sinh a ) , wobei a die doppelte Fläche zwischen dem Strahl, der Hyperbel und der x -Achse ist.
Abbildung 4–2. Diagramm der drei grundlegenden hyperbolischen Funktionen : hyperbolischer Sinus ( sinh ), hyperbolischer Kosinus ( cosh ) und hyperbolischer Tangens ( tanh ). Sinh ist rot, cosh ist blau und tanh ist grün.

Lorentz-Transformationen beziehen Koordinaten von Ereignissen in einem Referenzrahmen auf die eines anderen Rahmens. Die relativistische Zusammensetzung von Geschwindigkeiten wird verwendet, um zwei Geschwindigkeiten zu addieren. Die Formeln zur Durchführung der letzteren Berechnungen sind nichtlinear, was sie komplexer macht als die entsprechenden Galileischen Formeln.

Diese Nichtlinearität ist ein Artefakt unserer Parameterwahl. Wir haben bereits festgestellt, dass in einem x-ct- Raumzeitdiagramm die Punkte in einem konstanten Raumzeitintervall vom Ursprung eine unveränderliche Hyperbel bilden. Wir haben auch festgestellt, dass die Koordinatensysteme zweier Raumzeit-Referenzsysteme in der Standardkonfiguration hyperbolisch gegeneinander gedreht sind.

Die natürlichen Funktionen zum Ausdrücken dieser Beziehungen sind die hyperbolischen Analoga der trigonometrischen Funktionen . Abb. 4-1a zeigt einen Einheitskreis mit sin( a ) und cos( a ), der einzige Unterschied zwischen diesem Diagramm und dem bekannten Einheitskreis der elementaren Trigonometrie besteht darin, dass a interpretiert wird, nicht als Winkel zwischen dem Strahl und dem x -Achse , sondern als doppelte Fläche des Sektors, der vom Strahl von der x -Achse überstrichen wird . (Numerisch sind die Winkel- und 2 × Flächenmaße für den Einheitskreis identisch.) Abb. 4-1b zeigt eine Einheitshyperbel mit sinh( a ) und cosh( a ), wobei a ebenfalls als doppelte getönte Fläche interpretiert wird. Abb. 4-2 zeigt graphische Darstellungen der sinh-, cosh- und tanh-Funktionen.

Für den Einheitskreis ist die Neigung des Strahls gegeben durch

In der kartesischen Ebene ist die Drehung des Punktes ( x , y ) in den Punkt ( x ' , y ' ) um den Winkel θ gegeben durch

In einem Raumzeitdiagramm ist der Geschwindigkeitsparameter das Analogon der Steigung. Die Schnelligkeit , φ , ist definiert durch

wo

Die oben definierte Schnelligkeit ist in der speziellen Relativitätstheorie sehr nützlich, da viele Ausdrücke eine erheblich einfachere Form annehmen, wenn sie in Begriffen davon ausgedrückt werden. Zum Beispiel ist die Schnelligkeit in der kollinearen Geschwindigkeitsadditionsformel einfach additiv;

oder anders gesagt,

Die Lorentz-Transformationen nehmen eine einfache Form an, wenn sie als Schnelligkeit ausgedrückt werden. Der γ -Faktor kann geschrieben werden als

Transformationen, die Relativbewegungen mit gleichförmiger Geschwindigkeit und ohne Rotation der Raumkoordinatenachsen beschreiben, werden als Boosts bezeichnet .

Durch Einsetzen von γ und γβ in die Transformationen, wie zuvor dargestellt, und Umschreiben in Matrixform, kann der Lorentz-Boost in der x - Richtung geschrieben werden als

und der inverse Lorentz-Boost in x -Richtung kann geschrieben werden als

Mit anderen Worten, Lorentz-Boosts repräsentieren hyperbolische Rotationen in der Minkowski-Raumzeit.

Die Vorteile der Verwendung hyperbolischer Funktionen sind derart, dass einige Lehrbücher wie die klassischen von Taylor und Wheeler ihre Verwendung sehr früh einführen.

4‑Vektoren

Vierervektoren wurden oben im Zusammenhang mit dem Energie-Impuls -4er-Vektor erwähnt , aber ohne große Betonung. Tatsächlich erfordert keine der elementaren Ableitungen der speziellen Relativitätstheorie sie. Aber einmal verstanden, vereinfachen 4‑Vektoren und allgemeiner Tensoren die Mathematik und das konzeptionelle Verständnis der speziellen Relativitätstheorie erheblich. Die ausschließliche Arbeit mit solchen Objekten führt zu offensichtlich relativistisch invarianten Formeln, was in nicht-trivialen Kontexten einen erheblichen Vorteil darstellt. Zum Beispiel ist es nicht trivial, die relativistische Invarianz der Maxwell-Gleichungen in ihrer üblichen Form zu demonstrieren , während es lediglich eine Routineberechnung (eigentlich nicht mehr als eine Beobachtung) unter Verwendung der Feldstärke-Tensor- Formulierung ist. Andererseits stützt sich die allgemeine Relativitätstheorie von Anfang an stark auf 4-Vektoren und allgemeiner auf Tensoren, die physikalisch relevante Entitäten darstellen. Diese über Gleichungen in Beziehung zu setzen, die nicht auf bestimmten Koordinaten beruhen, erfordert Tensoren, die in der Lage sind, solche 4‑Vektoren sogar innerhalb einer gekrümmten Raumzeit zu verbinden, und nicht nur innerhalb einer flachen wie in der speziellen Relativitätstheorie. Das Studium der Tensoren liegt außerhalb des Rahmens dieses Artikels, der nur eine grundlegende Diskussion der Raumzeit bietet.

Definition von 4-Vektoren

Ein 4-Tupel ist ein "4-Vektor", wenn sich seine Komponente A i zwischen Frames gemäß der Lorentz-Transformation transformiert.

Bei Verwendung von Koordinaten ist A ein 4–Vektor, wenn er (in x -Richtung ) entsprechend transformiert wird

was aus dem einfachen Ersetzen von ct durch A 0 und x durch A 1 in der früheren Darstellung der Lorentz-Transformation entsteht.

Wie üblich, wenn wir x , t usw. schreiben, meinen wir im Allgemeinen Δx , Δt usw.

Die letzten drei Komponenten eines 4–Vektors müssen ein Standardvektor im dreidimensionalen Raum sein. Daher muss sich ein 4–Vektor wie unter Lorentztransformationen sowie Rotationen transformieren.

Eigenschaften von 4-Vektoren

  • Abschluss unter Linearkombination: Wenn A und B 4er-Vektoren sind , dann ist auch ein 4er-Vektor .
  • Innerprodukt-Invarianz: Wenn A und B 4-Vektoren sind , dann ist ihr inneres Produkt (Skalarprodukt) invariant, dh ihr inneres Produkt ist unabhängig von dem Rahmen, in dem es berechnet wird. Beachten Sie, wie sich die Berechnung des inneren Produkts von der Berechnung des inneren Produkts eines 3-Vektors unterscheidet . Im Folgenden sind und 3 -Vektoren :
Das obige Skalarprodukt ist nicht nur unter der Lorentz-Transformation invariant, sondern auch unter der Rotation im 3-Raum invariant .
Zwei Vektoren heißen orthogonal , wenn im Gegensatz zu 3er-Vektoren orthogonale 4er-Vektoren nicht unbedingt im rechten Winkel zueinander stehen. Die Regel ist, dass zwei 4er-Vektoren orthogonal sind, wenn sie um gleiche und entgegengesetzte Winkel von der 45°-Linie versetzt sind, die die Weltlinie eines Lichtstrahls ist. Dies impliziert, dass ein lichtartiger 4-Vektor zu sich selbst orthogonal ist .
  • Invarianz der Größe eines Vektors: Die Größe eines Vektors ist das innere Produkt eines 4er-Vektors mit sich selbst und eine Frame-unabhängige Eigenschaft. Wie bei Intervallen kann die Größe positiv, negativ oder null sein, sodass die Vektoren als zeitartig, raumartig oder null (lichtartig) bezeichnet werden. Beachten Sie, dass ein Nullvektor nicht dasselbe ist wie ein Nullvektor. Ein Nullvektor ist einer, für den ein Nullvektor einer ist, dessen Komponenten alle Null sind. Sonderfälle, die die Invarianz der Norm veranschaulichen, umfassen das invariante Intervall und die invariante Länge des relativistischen Impulsvektors

Beispiele für 4-Vektoren

  • Verschiebung 4-Vektor: Auch als Raumzeitabstand bekannt , ist dies ( Δt, Δx, Δy, Δz ) oder für infinitesimale Abstände ( dt, dx, dy, dz ) .
  • Geschwindigkeits-4-Vektor: Dies ergibt sich, wenn der Verschiebungs -4-Vektor durch dividiert wird , wobei die Eigenzeit zwischen den beiden Ereignissen ist, die dt, dx, dy und dz ergeben .
Abbildung 4-3a. Die momentan mitbewegten Referenzrahmen eines sich beschleunigenden Teilchens, beobachtet von einem stationären Rahmen aus.
Abbildung 4-3b. Die momentan mitbewegten Referenzrahmen entlang der Trajektorie eines beschleunigenden Beobachters (Mitte).
Die 4-Geschwindigkeit tangiert die Weltlinie eines Teilchens und hat eine Länge, die einer Zeiteinheit im Rahmen des Teilchens entspricht.
Ein beschleunigtes Teilchen hat kein Inertialsystem, in dem es immer ruht. Es findet sich aber immer ein Inertialsystem, das sich momentan mit dem Teilchen mitbewegt. Dieses System, das momentan mitbewegte Referenzsystem (MCRF), ermöglicht die Anwendung der speziellen Relativitätstheorie auf die Analyse beschleunigter Teilchen.
Da sich Photonen auf Nulllinien bewegen, kann für ein Photon und eine 4-Geschwindigkeit nicht definiert werden. Es gibt keinen Rahmen, in dem ein Photon ruht, und entlang des Pfades eines Photons kann kein MCRF eingerichtet werden.
  • Energie–Impuls 4-Vektor:
Wie bereits erwähnt, gibt es unterschiedliche Behandlungen für den Energie-Impuls- 4-Vektor , so dass man ihn auch ausgedrückt sehen kann als oder Die erste Komponente ist die Gesamtenergie (einschließlich Masse) des Teilchens (oder Systems von Teilchen) in einem gegebenen Rahmen , während die verbleibenden Komponenten sein räumlicher Impuls sind. Der Energie-Impuls- 4-Vektor ist eine Erhaltungsgröße.
  • Beschleunigung 4-Vektor: Dies ergibt sich aus der Ableitung des Geschwindigkeits -4-Vektors in Bezug auf
  • Kraft 4-Vektor: Dies ist die Ableitung des Impulses 4-Vektor in Bezug auf

Wie erwartet sind die letzten Komponenten der obigen 4-Vektoren alle Standard -3-Vektoren , die dem räumlichen 3-Impuls , der 3-Kraft usw. entsprechen.

4-Vektoren und physikalisches Gesetz

Das erste Postulat der speziellen Relativitätstheorie erklärt die Äquivalenz aller Inertialsysteme. Ein physikalisches Gesetz, das in einem Frame gilt, muss in allen Frames gelten, da sonst Frames unterschieden werden können. Newtonsche Impulse verhalten sich unter der Lorentzschen Transformation nicht richtig, und Einstein zog es vor, die Definition des Impulses in eine mit 4-Vektoren zu ändern, anstatt die Erhaltung des Impulses aufzugeben.

Physikalische Gesetze müssen auf rahmenunabhängigen Konstrukten beruhen. Dies bedeutet, dass physikalische Gesetze die Form von Gleichungen annehmen können, die Skalare verbinden, die immer rahmenunabhängig sind. Gleichungen mit 4-Vektoren erfordern jedoch die Verwendung von Tensoren mit geeignetem Rang, die selbst als aus 4-Vektoren aufgebaut angesehen werden können .

Beschleunigung

Es ist ein weit verbreiteter Irrglaube, dass die spezielle Relativitätstheorie nur auf Trägheitssysteme anwendbar ist und dass sie nicht in der Lage ist, beschleunigende Objekte oder Referenzsysteme zu verarbeiten. Tatsächlich können beschleunigende Objekte im Allgemeinen analysiert werden, ohne sich überhaupt mit beschleunigenden Frames befassen zu müssen. Nur wenn die Gravitation von Bedeutung ist, ist die allgemeine Relativitätstheorie erforderlich.

Der richtige Umgang mit beschleunigenden Frames erfordert jedoch einige Sorgfalt. Der Unterschied zwischen der speziellen und der allgemeinen Relativitätstheorie besteht darin, dass (1) in der speziellen Relativitätstheorie alle Geschwindigkeiten relativ sind, aber die Beschleunigung absolut ist. (2) In der allgemeinen Relativitätstheorie ist jede Bewegung relativ, ob träge, beschleunigend oder rotierend. Um diesen Unterschied auszugleichen, verwendet die Allgemeine Relativitätstheorie eine gekrümmte Raumzeit.

In diesem Abschnitt analysieren wir mehrere Szenarien mit beschleunigten Referenzrahmen.

Dewan-Beran-Bell-Raumschiff-Paradoxon

Das Dewan-Beran-Bell-Raumschiff-Paradoxon ( Bells Raumschiff-Paradoxon ) ist ein gutes Beispiel für ein Problem, bei dem intuitives Denken ohne Unterstützung durch die geometrische Einsicht des Raumzeit-Ansatzes zu Problemen führen kann.

Abbildung 4-4. Dewan-Beran-Bell-Raumschiff-Paradoxon

In Abb. 4-4 schweben zwei identische Raumschiffe im All und ruhen relativ zueinander. Sie sind durch eine Schnur verbunden, die sich nur begrenzt dehnen kann, bevor sie reißt. Zu einem gegebenen Zeitpunkt in unserem Koordinatensystem, dem Beobachtersystem, beschleunigen beide Raumschiffe in der gleichen Richtung entlang der Linie zwischen ihnen mit der gleichen konstanten Eigenbeschleunigung. Wird die Saite reißen?

Als das Paradoxon neu und relativ unbekannt war, hatten selbst professionelle Physiker Schwierigkeiten, die Lösung zu finden. Zwei Argumentationslinien führen zu gegensätzlichen Schlussfolgerungen. Beide Argumente, die unten dargestellt werden, sind fehlerhaft, obwohl eines von ihnen die richtige Antwort liefert.

  1. Für Beobachter im Ruhesystem starten die Raumschiffe in einem Abstand L voneinander entfernt und bleiben während der Beschleunigung im gleichen Abstand voneinander entfernt. Während der Beschleunigung ist L eine längenkontrahierte Distanz der Distanz L ' = γL im Rahmen der beschleunigenden Raumschiffe. Nach einer ausreichend langen Zeit wird γ auf einen ausreichend großen Faktor ansteigen, dass die Saite reißen muss.
  2. Seien A und B die hinteren und vorderen Raumschiffe. Im Rahmen der Raumschiffe sieht jedes Raumschiff, wie das andere Raumschiff dasselbe tut, was es tut. A sagt, dass B die gleiche Beschleunigung hat wie er, und B sieht, dass A bei jeder Bewegung mit ihr übereinstimmt. So bleiben die Raumschiffe gleich weit voneinander entfernt und die Schnur reißt nicht.

Das Problem mit dem ersten Argument ist, dass es keinen „Rahmen der Raumschiffe“ gibt. Das kann es nicht sein, denn die beiden Raumschiffe messen einen wachsenden Abstand zwischen den beiden. Da es keinen gemeinsamen Rahmen der Raumschiffe gibt, ist die Länge der Schnur schlecht definiert. Trotzdem ist die Schlussfolgerung richtig, und das Argument ist größtenteils richtig. Das zweite Argument ignoriert jedoch vollständig die Relativität der Gleichzeitigkeit.

Abbildung 4–5. Die gekrümmten Linien stellen die Weltlinien zweier Beobachter A und B dar, die in die gleiche Richtung mit der gleichen konstanten Beschleunigungsgröße beschleunigen. Bei A' und B' hören die Beobachter auf zu beschleunigen. Die gestrichelten Linien sind Gleichzeitigkeitslinien für jeden Beobachter, bevor die Beschleunigung beginnt und nachdem die Beschleunigung endet.

Ein Raum-Zeit-Diagramm (Abb. 4-5) macht die richtige Lösung dieses Paradoxons fast sofort ersichtlich. Zwei Beobachter in der Minkowski-Raumzeit beschleunigen mit konstanter Beschleunigung für die Eigenzeit (Beschleunigung und verstrichene Zeit werden von den Beobachtern selbst gemessen, nicht von einem Trägheitsbeobachter). Sie bewegen sich mit und sind vor und nach dieser Phase träge. In der Minkowski-Geometrie erweist sich die Länge entlang der Gleichzeitigkeitslinie als größer als die Länge entlang der Gleichzeitigkeitslinie .

Die Längenzunahme kann mit Hilfe der Lorentz-Transformation berechnet werden. Wenn, wie in Abb. 4-5 dargestellt, die Beschleunigung beendet ist, bleiben die Schiffe in einem Frame bei einem konstanten Offset. Wenn und sind die Positionen der Schiffe in den Positionen im Frame :

Das "Paradoxon" kommt sozusagen von der Art und Weise, wie Bell sein Beispiel konstruiert hat. In der üblichen Diskussion der Lorentz-Kontraktion ist die Ruhelänge festgelegt und die Bewegungslänge verkürzt sich, wie in Frame gemessen . Wie in Abb. 4-5 gezeigt, behauptet das Beispiel von Bell, dass die bewegten Längen und gemessen im Vollbild fixiert sind, wodurch die Rest-Vollbildlänge im Vollbild erhöht wird.

Beschleunigter Beobachter mit Horizont

Bestimmte Problemstellungen der speziellen Relativitätstheorie können zu Erkenntnissen über Phänomene führen, die normalerweise mit der allgemeinen Relativitätstheorie in Verbindung gebracht werden, wie z. B. Ereignishorizonte . Im Begleittext zu Abb. 2-7 stellten die magentafarbenen Hyperbeln tatsächliche Pfade dar, die von einem ständig beschleunigenden Reisenden in der Raumzeit verfolgt werden. Während Perioden positiver Beschleunigung nähert sich die Geschwindigkeit des Reisenden gerade der Lichtgeschwindigkeit, während die Beschleunigung des Reisenden, gemessen in unserem Koordinatensystem, ständig abnimmt.

Abbildung 4–6. Beschleunigter relativistischer Beobachter mit Horizont. Eine weitere gut gezeichnete Illustration zum gleichen Thema kann hier angesehen werden .

Abb. 4-6 zeigt verschiedene Merkmale der Bewegungen des Läufers genauer. Zu jedem gegebenen Zeitpunkt wird ihre Raumachse durch eine Linie gebildet, die durch den Ursprung und ihre aktuelle Position auf der Hyperbel verläuft, während ihre Zeitachse die Tangente an die Hyperbel an ihrer Position ist. Der Geschwindigkeitsparameter nähert sich einem Grenzwert von Eins, wenn er zunimmt. Ebenso nähert sich unendlich.

Die Form der unveränderlichen Hyperbel entspricht einem Pfad konstanter Eigenbeschleunigung. Dies ist wie folgt nachweisbar:

  1. Daran erinnern wir uns
  2. Da schließen wir daraus
  3. Aus dem relativistischen Kraftgesetz
  4. Das Ersetzen aus Schritt 2 und dem Ausdruck für aus Schritt 3 ergibt einen konstanten Ausdruck.

Abb. 4-6 zeigt ein konkret berechnetes Szenario. Terence (A) und Stella (B) stehen zunächst zusammen 100 Lichtstunden vom Ursprung entfernt. Stella hebt zum Zeitpunkt 0 ab, ihr Raumschiff beschleunigt mit 0,01 °C pro Stunde. Alle zwanzig Stunden informiert Terence Stella per Funk über die Situation zu Hause (durchgezogene grüne Linien). Stella empfängt diese regelmäßigen Übertragungen, aber die zunehmende Entfernung (teilweise versetzt durch Zeitdilatation) führt dazu, dass sie Terences Mitteilungen immer später empfängt, gemessen auf ihrer Uhr, und sie erhält nach 100 Stunden auf seiner Uhr keine Mitteilungen von Terence (gestrichelt grün Linien).

Nach 100 Stunden nach Terences Uhr betritt Stella eine dunkle Region. Sie ist außerhalb von Terences zeitähnlicher Zukunft gereist. Auf der anderen Seite kann Terence weiterhin Stellas Nachrichten an ihn auf unbestimmte Zeit erhalten . Er muss nur lange genug warten. Die Raumzeit wurde in verschiedene Regionen unterteilt, die durch einen scheinbaren Ereignishorizont getrennt sind. Solange Stella weiter beschleunigt, kann sie nie wissen, was sich hinter diesem Horizont abspielt.

Einführung in die gekrümmte Raumzeit

Grundlegende Sätze

Newtons Theorien gingen davon aus, dass Bewegung vor dem Hintergrund eines starren euklidischen Bezugssystems stattfindet, das sich über den gesamten Raum und alle Zeiten erstreckt. Die Schwerkraft wird durch eine mysteriöse Kraft vermittelt, die augenblicklich über eine Entfernung hinweg wirkt und deren Aktionen unabhängig vom dazwischenliegenden Raum sind. Im Gegensatz dazu verneinte Einstein, dass es irgendeinen euklidischen Referenzrahmen im Hintergrund gibt, der sich über den ganzen Raum erstreckt. Es gibt auch keine Gravitationskraft, sondern nur die Struktur der Raumzeit selbst.

Abbildung 5–1. Gezeiteneffekte.

In Bezug auf die Raumzeit wird die Bahn eines Satelliten, der die Erde umkreist, nicht durch die fernen Einflüsse von Erde, Mond und Sonne bestimmt. Stattdessen bewegt sich der Satellit nur in Reaktion auf lokale Bedingungen durch den Weltraum. Da die Raumzeit bei hinreichend kleiner Betrachtung überall lokal flach ist, folgt der Satellit in seinem lokalen Inertialsystem immer einer geraden Linie. Wir sagen, dass der Satellit immer der Bahn einer Geodäte folgt . Kein Hinweis auf Gravitation kann entdeckt werden, wenn man den Bewegungen eines einzelnen Teilchens folgt.

Bei jeder Analyse der Raumzeit erfordert der Nachweis der Gravitation, dass man die relativen Beschleunigungen zweier Körper oder zweier getrennter Teilchen beobachtet. In Abb. 5-1 zeigen zwei getrennte Teilchen, die im Gravitationsfeld der Erde frei fallen, Gezeitenbeschleunigungen aufgrund lokaler Inhomogenitäten im Gravitationsfeld, so dass jedes Teilchen einem anderen Weg durch die Raumzeit folgt. Die Gezeitenbeschleunigungen, die diese Teilchen gegeneinander aufweisen, erfordern keine Kräfte zu ihrer Erklärung. Vielmehr beschrieb Einstein sie mit Begriffen der Geometrie der Raumzeit, dh der Krümmung der Raumzeit. Diese Gezeitenbeschleunigungen sind strikt lokal. Es ist der kumulative Gesamteffekt vieler lokaler Manifestationen der Krümmung, die zum Auftreten einer Gravitationskraft führen, die in großer Entfernung von der Erde wirkt.

Zwei zentrale Thesen liegen der Allgemeinen Relativitätstheorie zugrunde.

  • Das erste entscheidende Konzept ist die Koordinatenunabhängigkeit: Die Gesetze der Physik können nicht davon abhängen, welches Koordinatensystem man verwendet. Dies ist eine wesentliche Erweiterung des Relativitätsprinzips gegenüber der in der speziellen Relativitätstheorie verwendeten Version, die besagt, dass die Gesetze der Physik für jeden Beobachter, der sich in nicht beschleunigten (Trägheits-) Referenzrahmen bewegt, gleich sein müssen. In der Allgemeinen Relativitätstheorie, um Einsteins eigene (übersetzte) Worte zu verwenden, „müssen die Gesetze der Physik so beschaffen sein, dass sie für Bezugssysteme in jeder Art von Bewegung gelten“. Dies führt zu einem unmittelbaren Problem: In beschleunigten Frames spürt man Kräfte, die es scheinbar ermöglichen würden, seinen Beschleunigungszustand im absoluten Sinne einzuschätzen. Einstein löste dieses Problem durch das Äquivalenzprinzip.
Abbildung 5–2. Äquivalenzprinzip
  • Das Äquivalenzprinzip besagt, dass in jedem ausreichend kleinen Bereich des Raums die Auswirkungen der Gravitation die gleichen sind wie die der Beschleunigung.
In Abb. 5-2 befindet sich Person A in einem Raumschiff, weit entfernt von massiven Objekten, das einer gleichmäßigen Beschleunigung von g ausgesetzt ist . Person B befindet sich in einer Kiste, die auf der Erde ruht. Vorausgesetzt, das Raumschiff ist ausreichend klein, so dass Gezeiteneffekte nicht messbar sind (angesichts der Empfindlichkeit der derzeitigen Gravitationsmessinstrumente sollten A und B vermutlich Liliputaner sein ), gibt es keine Experimente, die A und B durchführen können, die es ihnen ermöglichen würden, dies zu sagen in welcher Einstellung sie sich befinden.
Ein alternativer Ausdruck des Äquivalenzprinzips ist zu beachten, dass es in Newtons universellem Gravitationsgesetz F = GMm g /r 2 = m g g und in Newtons zweitem Gesetz F = m i a keinen a priori Grund für die Gravitation gibt Masse m g sollte gleich der Trägheitsmasse m i sein . Das Äquivalenzprinzip besagt, dass diese beiden Massen identisch sind.

Um von der obigen elementaren Beschreibung der gekrümmten Raumzeit zu einer vollständigen Beschreibung der Gravitation zu gelangen, sind Tensorrechnung und Differentialgeometrie erforderlich, Themen, die beide ein beträchtliches Studium erfordern. Ohne diese mathematischen Werkzeuge ist es möglich, über die allgemeine Relativitätstheorie zu schreiben, aber es ist nicht möglich, irgendwelche nicht-trivialen Ableitungen zu demonstrieren.

Krümmung der Zeit

Abbildung 5–3. Einsteins Argument, das auf eine gravitative Rotverschiebung hindeutet

In der Diskussion über die spezielle Relativitätstheorie spielten Kräfte nur eine Hintergrundrolle. Die spezielle Relativitätstheorie geht von der Fähigkeit aus, Trägheitssysteme zu definieren, die die gesamte Raumzeit ausfüllen, deren Uhren alle mit der gleichen Geschwindigkeit laufen wie die Uhr am Ursprung. Ist das wirklich möglich? In einem ungleichförmigen Gravitationsfeld diktiert das Experiment, dass die Antwort nein ist. Gravitationsfelder machen es unmöglich, ein globales Inertialsystem zu konstruieren. In ausreichend kleinen Regionen der Raumzeit sind lokale Trägheitssysteme immer noch möglich. Die Allgemeine Relativitätstheorie beinhaltet das systematische Zusammenfügen dieser lokalen Rahmen zu einem allgemeineren Bild der Raumzeit.

Jahre vor der Veröffentlichung der allgemeinen Theorie im Jahr 1916 verwendete Einstein das Äquivalenzprinzip, um die Existenz der gravitativen Rotverschiebung in folgendem Gedankenexperiment vorherzusagen : (i) Nehmen Sie an, dass ein Turm der Höhe h (Abb. 5-3) gebaut wurde. (ii) Lassen Sie ein Teilchen der Ruhemasse m von der Spitze des Turms fallen. Es fällt frei mit der Beschleunigung g und erreicht den Boden mit der Geschwindigkeit v = (2 gh ) 1/2 , so dass seine Gesamtenergie E , gemessen von einem Beobachter am Boden, (iii) Ein Masse-Energie-Konverter wandelt die Gesamtenergie um Energie des Teilchens in ein einzelnes hochenergetisches Photon um, das es nach oben richtet. (iv) An der Spitze des Turms wandelt ein Energie-Masse-Konverter die Energie des Photons E ' zurück in ein Teilchen der Ruhemasse m ' .

Es muss m = m ' sein , da man sonst ein Perpetuum mobile konstruieren könnte . Wir sagen daher voraus, dass E ' = m , so dass

Ein im Gravitationsfeld der Erde aufsteigendes Photon verliert Energie und wird rotverschoben. Frühe Versuche, diese Rotverschiebung durch astronomische Beobachtungen zu messen, waren etwas ergebnislos, aber endgültige Laborbeobachtungen wurden von Pound & Rebka (1959) und später von Pound & Snider (1964) durchgeführt.

Licht hat eine zugeordnete Frequenz, und diese Frequenz kann verwendet werden, um die Funktionsweise einer Uhr anzutreiben. Die gravitative Rotverschiebung führt zu einer wichtigen Schlussfolgerung über die Zeit selbst: Die Schwerkraft lässt die Zeit langsamer laufen. Angenommen, wir bauen zwei identische Uhren, deren Raten durch einen stabilen atomaren Übergang gesteuert werden. Stellen Sie eine Uhr auf den Turm, während die andere Uhr auf dem Boden bleibt. Eine Experimentatorin oben auf dem Turm beobachtet, dass die Frequenz der Signale der Bodenuhr niedriger ist als die der Uhr neben ihr auf dem Turm. Licht, das den Turm hinaufgeht, ist nur eine Welle, und es ist unmöglich, dass Wellenberge auf dem Weg nach oben verschwinden. An der Spitze des Turms treffen genau so viele Lichtschwingungen ein, wie unten abgestrahlt wurden. Der Experimentator schließt daraus, dass die Bodenuhr langsam läuft, und kann dies bestätigen, indem er die Turmuhr nach unten bringt, um sie Seite an Seite mit der Bodenuhr zu vergleichen. Für einen 1-km-Turm würde die Diskrepanz etwa 9,4 Nanosekunden pro Tag betragen, was mit modernen Instrumenten leicht messbar wäre.

Uhren in einem Gravitationsfeld laufen nicht alle gleich schnell. Experimente wie das Pound-Rebka-Experiment haben die Krümmung der Zeitkomponente der Raumzeit fest etabliert. Das Pound-Rebka-Experiment sagt nichts über die Krümmung der Raumkomponente der Raumzeit aus. Aber die theoretischen Argumente, die die Zeitdilatation der Gravitation vorhersagen, hängen überhaupt nicht von den Details der Allgemeinen Relativitätstheorie ab. Jede Gravitationstheorie wird die Gravitationszeitdilatation vorhersagen, wenn sie das Äquivalenzprinzip respektiert. Dazu gehört die Newtonsche Gravitation. Eine Standarddemonstration in der Allgemeinen Relativitätstheorie soll zeigen, wie im " Newtonschen Limit " (dh die Teilchen bewegen sich langsam, das Gravitationsfeld ist schwach und das Feld ist statisch) die Krümmung der Zeit allein ausreicht, um das Newtonsche Gravitationsgesetz abzuleiten .

Die Newtonsche Gravitation ist eine Theorie der gekrümmten Zeit. Die Allgemeine Relativitätstheorie ist eine Theorie der gekrümmten Zeit und des gekrümmten Raums. Wenn G als Gravitationskonstante, M als Masse eines Newtonschen Sterns und umkreisende Körper mit unbedeutender Masse im Abstand r vom Stern gegeben sind, ist das Raumzeitintervall für die Newtonsche Gravitation eines, für das nur der Zeitkoeffizient variabel ist:

Krümmung des Raums

Der Koeffizient vor beschreibt die Zeitkrümmung in der Newtonschen Gravitation, und diese Krümmung erklärt vollständig alle Newtonschen Gravitationseffekte. Dieser Korrekturfaktor ist erwartungsgemäß direkt proportional zu und , und wegen des im Nenner nimmt der Korrekturfaktor zu, wenn man sich dem Gravitationskörper nähert, was bedeutet, dass die Zeit gekrümmt ist.

Aber die allgemeine Relativitätstheorie ist eine Theorie des gekrümmten Raums und der gekrümmten Zeit. Wenn es also Begriffe gibt, die die räumlichen Komponenten des oben dargestellten Raumzeitintervalls modifizieren, sollten ihre Auswirkungen nicht beispielsweise auf Planeten- und Satellitenumlaufbahnen aufgrund von angewendeten Krümmungskorrekturfaktoren zu sehen sein zu den räumlichen Bedingungen?

Die Antwort ist, dass sie gesehen werden , aber die Auswirkungen sind winzig. Der Grund dafür ist, dass die Planetengeschwindigkeiten im Vergleich zur Lichtgeschwindigkeit extrem klein sind, sodass der Begriff für Planeten und Satelliten des Sonnensystems die räumlichen Begriffe in den Schatten stellt.

Trotz der Kleinheit der räumlichen Begriffe wurden die ersten Anzeichen dafür, dass etwas mit der Newtonschen Gravitation nicht stimmte, vor über anderthalb Jahrhunderten entdeckt. Im Jahr 1859 berichtete Urbain Le Verrier in einer Analyse verfügbarer zeitgesteuerter Beobachtungen von Transiten des Merkur über die Sonnenscheibe von 1697 bis 1848, dass die bekannte Physik die Umlaufbahn des Merkur nicht erklären könne, es sei denn, es gebe möglicherweise einen Planeten oder Asteroidengürtel innerhalb des Umlaufbahn des Merkur. Das Perihel der Umlaufbahn von Merkur zeigte eine übermäßige Präzessionsrate gegenüber der, die durch die Schlepper der anderen Planeten erklärt werden konnte. Die Fähigkeit, den winzigen Wert dieser anomalen Präzession (nur 43 Bogensekunden pro tropischem Jahrhundert ) zu erkennen und genau zu messen, zeugt von der Raffinesse der Astrometrie des 19. Jahrhunderts .

Abbildung 5–4. Die Allgemeine Relativitätstheorie ist eine Theorie der gekrümmten Zeit und des gekrümmten Raums. Klicken Sie hier, um zu animieren.

Als berühmter Astronom, der zuvor die Existenz von Neptun „an der Spitze seiner Feder“ entdeckt hatte, indem er Schwankungen in der Umlaufbahn von Uranus analysierte, löste Le Verriers Ankündigung eine zwei Jahrzehnte lange Periode der „Vulkan-Manie“ als Profi und Amateur aus Astronomen suchten gleichermaßen nach dem hypothetischen neuen Planeten. Diese Suche beinhaltete mehrere falsche Sichtungen von Vulcan. Es wurde schließlich festgestellt, dass kein solcher Planet oder Asteroidengürtel existierte.

1916 sollte Einstein zeigen, dass diese anomale Präzession des Merkur durch die räumlichen Terme in der Krümmung der Raumzeit erklärt wird. Die zeitliche Krümmung, die einfach ein Ausdruck der Newtonschen Gravitation ist, hat keinen Anteil an der Erklärung dieser anomalen Präzession. Der Erfolg seiner Berechnung war für Einsteins Kollegen ein starker Hinweis darauf, dass die allgemeine Relativitätstheorie richtig sein könnte.

Die spektakulärste von Einsteins Vorhersagen war seine Berechnung, dass die Krümmungsterme in den räumlichen Komponenten des Raumzeitintervalls in der Lichtbeugung um einen massiven Körper gemessen werden könnten. Licht hat in einem Raumzeitdiagramm eine Steigung von ±1. Seine Bewegung im Raum ist gleich seiner Bewegung in der Zeit. Für den schwachen Feldausdruck des invarianten Intervalls berechnete Einstein eine genau gleiche, aber entgegengesetzte Vorzeichenkrümmung in seinen räumlichen Komponenten.

In Newtons Gravitation sagt der Koeffizient vor die Lichtbeugung um einen Stern voraus. In der Allgemeinen Relativitätstheorie sagt der Koeffizient vor eine Verdopplung der Gesamtbiegung voraus.

Die Geschichte der Eddington-Eclipse-Expedition von 1919 und Einsteins Aufstieg zum Ruhm wird an anderer Stelle gut erzählt.

Quellen der Raumzeitkrümmung

Abbildung 5-5. Kontravariante Komponenten des Spannungs-Energie-Tensors

In Newtons Gravitationstheorie ist die einzige Quelle der Gravitationskraft die Masse .

Im Gegensatz dazu identifiziert die Allgemeine Relativitätstheorie zusätzlich zur Masse mehrere Quellen der Raumzeitkrümmung. In den Einsteinschen Feldgleichungen sind die Gravitationsquellen auf der rechten Seite im Spannungs -Energie-Tensor dargestellt .

Abb. 5-5 klassifiziert die verschiedenen Gravitationsquellen im Spannungs-Energie-Tensor:

  • (rot): Die gesamte Masse-Energie-Dichte, einschließlich aller Beiträge zur potentiellen Energie aus Kräften zwischen den Teilchen sowie kinetischer Energie aus zufälligen thermischen Bewegungen.
  • und (orange): Dies sind Impulsdichteterme. Selbst wenn keine Massenbewegung stattfindet, kann Energie durch Wärmeleitung übertragen werden, und die geleitete Energie trägt Impuls.
  • sind die Fließgeschwindigkeiten der i -Komponente des Impulses pro Flächeneinheit in j -Richtung . Selbst wenn es keine Massenbewegung gibt, führen zufällige thermische Bewegungen der Partikel zu einem Impulsfluss, sodass die Terme i = j (grün) den isotropen Druck darstellen und die Terme ij (blau) Scherspannungen darstellen.

Eine wichtige Schlussfolgerung aus den Gleichungen ist, dass umgangssprachlich die Schwerkraft selbst die Schwerkraft erzeugt . Energie hat Masse. Auch in der Newtonschen Gravitation ist das Gravitationsfeld mit einer Energie verbunden, die als Gravitationspotentialenergie bezeichnet wird . In der allgemeinen Relativitätstheorie koppelt die Energie des Gravitationsfeldes zurück in die Entstehung des Gravitationsfeldes. Dies macht die Gleichungen nichtlinear und in anderen Fällen als in Fällen schwacher Felder schwer zu lösen. Die Numerische Relativitätstheorie ist ein Zweig der Allgemeinen Relativitätstheorie, der numerische Methoden zur Lösung und Analyse von Problemen verwendet und häufig Supercomputer einsetzt, um Schwarze Löcher , Gravitationswellen , Neutronensterne und andere Phänomene im Starkfeldbereich zu untersuchen.

Energie-Impuls

Abbildung 5-6. (links) Masse-Energie verzerrt die Raumzeit. (rechts) Rotierende Masse-Energie-Verteilungen mit Drehimpuls J erzeugen gravitomagnetische Felder H .

In der speziellen Relativitätstheorie ist Masse-Energie eng mit Impuls verbunden . So wie Raum und Zeit unterschiedliche Aspekte einer umfassenderen Einheit namens Raumzeit sind, sind Masse-Energie und Impuls lediglich unterschiedliche Aspekte einer einheitlichen, vierdimensionalen Größe namens Vierimpuls . Wenn also Masse-Energie eine Quelle der Gravitation ist, muss Impuls auch eine Quelle sein. Die Einbeziehung des Impulses als Gravitationsquelle führt zu der Vorhersage, dass sich bewegende oder rotierende Massen Felder erzeugen können, die den Magnetfeldern analog sind, die von sich bewegenden Ladungen erzeugt werden, ein Phänomen, das als Gravitomagnetismus bekannt ist .

Abbildung 5–7. Ursprung des Gravitomagnetismus

Es ist bekannt, dass die Kraft des Magnetismus abgeleitet werden kann, indem man die Regeln der speziellen Relativitätstheorie auf bewegte Ladungen anwendet. (Eine beredte Demonstration davon wurde von Feynman in Band II, Kapitel 13–6 seiner Lectures on Physics präsentiert , online verfügbar.) Analoge Logik kann verwendet werden, um den Ursprung des Gravitomagnetismus zu demonstrieren. In Abb. 5-7a haben zwei parallele, unendlich lange Ströme massiver Teilchen gleiche und entgegengesetzte Geschwindigkeiten − v und + v relativ zu einem Testteilchen, das sich in Ruhe befindet und zwischen den beiden zentriert ist. Aufgrund der Symmetrie des Aufbaus ist die Nettokraft auf das zentrale Teilchen null. Nehmen Sie also an, dass Geschwindigkeiten einfach additiv sind. Abb. 5-7b zeigt genau den gleichen Aufbau, aber im Rahmen des Oberstroms. Das Testteilchen hat eine Geschwindigkeit von + v , und der Sumpfstrom hat eine Geschwindigkeit von +2 v . Da sich die physikalische Situation nicht geändert hat, sondern nur der Rahmen, in dem die Dinge beobachtet werden, sollte das Testteilchen von keinem Strom angezogen werden. Aber es ist keineswegs klar, dass die auf das Testteilchen ausgeübten Kräfte gleich sind. (1) Da sich der untere Strom schneller bewegt als der obere, hat jedes Teilchen im unteren Strom eine größere Massenenergie als ein Teilchen im oberen. (2) Aufgrund der Lorentz-Kontraktion gibt es im Sumpfstrom mehr Partikel pro Längeneinheit als im Kopfstrom. (3) Ein weiterer Beitrag zur aktiven Gravitationsmasse des Bodenstroms stammt von einem zusätzlichen Druckterm, den wir an dieser Stelle nicht ausreichend diskutieren können. Alle diese Wirkungen zusammen würden anscheinend erfordern, dass das Testteilchen in Richtung des Bodenstroms gezogen wird.

Das Testteilchen wird wegen einer geschwindigkeitsabhängigen Kraft, die dazu dient, ein Teilchen abzustoßen , das sich in die gleiche Richtung wie der Bodenstrom bewegt, nicht in den Bodenstrom gezogen. Dieser geschwindigkeitsabhängige Gravitationseffekt ist Gravitomagnetismus.

Materie, die sich durch ein gravitomagnetisches Feld bewegt, unterliegt daher analog zur elektromagnetischen Induktion sogenannten Frame-Dragging- Effekten . Es wurde vermutet, dass solche gravitomagnetischen Kräfte der Erzeugung der relativistischen Jets (Abb. 5-8) zugrunde liegen, die von einigen rotierenden supermassiven Schwarzen Löchern ausgestoßen werden .

Druck und Stress

Größen, die in direktem Zusammenhang mit Energie und Impuls stehen, sollten auch Quellen der Schwerkraft sein, nämlich Innendruck und Spannung . Zusammengenommen dienen Masse-Energie , Impuls, Druck und Spannung alle als Quellen der Schwerkraft: Zusammengenommen sind sie das, was der Raumzeit sagt, wie sie sich krümmen soll.

Die Allgemeine Relativitätstheorie sagt voraus, dass der Druck als Gravitationsquelle mit genau der gleichen Stärke wie die Masse-Energie-Dichte wirkt. Die Einbeziehung des Drucks als Quelle der Gravitation führt zu dramatischen Unterschieden zwischen den Vorhersagen der Allgemeinen Relativitätstheorie und denen der Newtonschen Gravitation. Beispielsweise setzt der Druckterm eine maximale Grenze für die Masse eines Neutronensterns . Je massereicher ein Neutronenstern ist, desto mehr Druck ist erforderlich, um sein Gewicht gegen die Schwerkraft zu tragen. Der erhöhte Druck erhöht jedoch die Schwerkraft, die auf die Masse des Sterns wirkt. Oberhalb einer bestimmten Masse, die durch die Tolman-Oppenheimer-Volkoff-Grenze bestimmt wird, wird der Prozess außer Kontrolle geraten und der Neutronenstern kollabiert zu einem Schwarzen Loch .

Die Spannungsterme werden bei der Durchführung von Berechnungen wie hydrodynamischen Simulationen von Kernkollaps-Supernovae von großer Bedeutung.

Diese Vorhersagen für die Rolle von Druck, Impuls und Spannung als Quellen der Raumzeitkrümmung sind elegant und spielen in der Theorie eine wichtige Rolle. In Bezug auf den Druck war das frühe Universum strahlungsdominiert, und es ist höchst unwahrscheinlich, dass relevante kosmologische Daten (z. B. Nukleosynthesehäufigkeiten usw.) reproduziert werden könnten, wenn der Druck nicht zur Schwerkraft beiträgt oder dies nicht getan hätte gleiche Kraft wie eine Gravitationsquelle wie Masse-Energie. Ebenso würde die mathematische Konsistenz der Einstein-Feldgleichungen gebrochen, wenn die Spannungsterme nicht als Quelle der Schwerkraft beitragen würden.

Experimenteller Test der Quellen der Raumzeitkrümmung

Definitionen: Aktive, passive und träge Masse

Bondi unterscheidet zwischen verschiedenen möglichen Arten von Masse: (1) aktive Masse ( ) ist die Masse, die als Quelle eines Gravitationsfeldes wirkt; (2) passive Masse ( ) ist die Masse, die auf ein Gravitationsfeld reagiert ; (3) Trägheitsmasse ( ) ist die Masse, die auf Beschleunigung reagiert.

In der Newtonschen Theorie

  • Das dritte Gesetz von Aktion und Reaktion schreibt dies vor und muss dasselbe sein.
  • Ob und gleich sind, ist dagegen ein empirisches Ergebnis.

In der allgemeinen Relativitätstheorie

  • Die Gleichheit von und ergibt sich aus dem Äquivalenzprinzip.
  • Es gibt kein "Aktions- und Reaktionsprinzip", das eine notwendige Beziehung zwischen und vorschreibt .

Druck als Gravitationsquelle

Abbildung 5–9. (A) Cavendish-Experiment, (B) Kreuzer-Experiment

Das klassische Experiment zur Messung der Stärke einer Gravitationsquelle (dh ihrer aktiven Masse) wurde erstmals 1797 von Henry Cavendish durchgeführt (Abb. 5-9a). Zwei kleine, aber dichte Kugeln sind an einem feinen Draht aufgehängt, wodurch eine Torsionsbalance entsteht . Bringt man zwei große Testmassen in die Nähe der Kugeln, wird ein nachweisbares Drehmoment eingebracht. Aus den Abmessungen der Apparatur und der messbaren Federkonstante des Torsionsdrahtes lässt sich die Gravitationskonstante G bestimmen.

Die Untersuchung von Druckeffekten durch Komprimieren der Testmassen ist aussichtslos, da die erreichbaren Labordrücke im Vergleich zur Masse-Energie einer Metallkugel unbedeutend sind.

Die abstoßenden elektromagnetischen Drücke, die daraus resultieren, dass Protonen fest in Atomkerne gequetscht werden, liegen typischerweise in der Größenordnung von 10 28  atm ≈ 10 33  Pa ≈ 10 33  kg·s −2 m −1 . Dies entspricht etwa 1 % der Kernmassendichte von etwa 10 18 kg/m 3 (nach Berücksichtigung von c 2 ≈ 9×10 16 m 2 s −2 ).

Abbildung 5-10. Mondlaser-Entfernungsexperiment. (links) Dieser Retroreflektor wurde von Astronauten der Apollo-11 -Mission auf dem Mond zurückgelassen . (rechts) Astronomen auf der ganzen Welt haben Laserlicht von den Retroreflektoren reflektiert, die von Apollo-Astronauten und russischen Mondrovern zurückgelassen wurden, um die Entfernung Erde-Mond genau zu messen.

Wenn der Druck nicht als Gravitationsquelle wirkt, sollte das Verhältnis für Kerne mit höherer Ordnungszahl Z niedriger sein , bei denen die elektrostatischen Drücke höher sind. LB Kreuzer (1968) führte ein Cavendish-Experiment mit einer Teflonmasse durch, die in einer Mischung der Flüssigkeiten Trichlorethylen und Dibromethan mit der gleichen Auftriebsdichte wie das Teflon suspendiert war (Abb. 5-9b). Fluor hat die Ordnungszahl Z = 9 , während Brom Z = 35 hat . Kreuzer fand heraus, dass die Neupositionierung der Teflonmasse keine unterschiedliche Durchbiegung des Torsionsstabs verursachte, wodurch die aktive Masse und die passive Masse mit einer Genauigkeit von 5 × 10 –5 äquivalent wurden .

Obwohl Kreuzer dieses Experiment ursprünglich nur als Test des Verhältnisses von aktiver Masse zu passiver Masse betrachtete, interpretierte Clifford Will (1976) das Experiment als grundlegenden Test der Kopplung von Quellen an Gravitationsfelder um.

1986 stellten Bartlett und Van Buren fest, dass die Mondlaser-Entfernungsmessung einen Versatz von 2 km zwischen dem Mittelpunkt der Mondfigur und seinem Massenzentrum festgestellt hatte. Dies weist auf eine Asymmetrie in der Verteilung von Fe (reichlich im Kern des Mondes) und Al (reichlich in seiner Kruste und seinem Mantel) hin. Wenn der Druck nicht gleichermaßen zur Raumzeitkrümmung beitragen würde wie Masse-Energie, würde sich der Mond nicht in der Umlaufbahn befinden, die von der klassischen Mechanik vorhergesagt wird. Sie nutzten ihre Messungen, um die Grenzen für Abweichungen zwischen aktiver und passiver Masse auf etwa 10 −12 zu verschärfen .

Gravitomagnetismus

Abbildung 5-11. Gravitationssonde B bestätigte die Existenz von Gravitomagnetismus

Die Existenz von Gravitomagnetismus wurde durch Gravity Probe B (GP-B) nachgewiesen , eine satellitengestützte Mission, die am 20. April 2004 gestartet wurde. Die Raumfahrtphase dauerte bis. Ziel der Mission war es, die Raumzeitkrümmung in der Nähe der Erde zu messen, mit besonderem Schwerpunkt auf dem Gravitomagnetismus .

Erste Ergebnisse bestätigten den relativ großen geodätischen Effekt (der auf eine einfache Raumzeitkrümmung zurückzuführen ist und auch als De-Sitter-Präzession bekannt ist) mit einer Genauigkeit von etwa 1 %. Der viel kleinere Frame-Drag- Effekt (der auf Gravitomagnetismus zurückzuführen ist und auch als Lense-Thirring-Präzession bekannt ist ) war aufgrund unerwarteter Ladungseffekte, die eine variable Drift in den Gyroskopen verursachten, schwer zu messen. Trotzdem durchwurde der Frame-Dragging-Effekt innerhalb von 15 % des erwarteten Ergebnisses bestätigt, während der geodätische Effekt auf besser als 0,5 % bestätigt wurde.

Nachfolgende Messungen des Frame Dragging durch Laser-Ranging-Beobachtungen der Satelliten LARES , LAGEOS -1 und LAGEOS-2 haben die GP-B- Messung verbessert , wobei die Ergebnisse (Stand 2016) den Effekt innerhalb von 5% seines theoretischen Werts zeigen. obwohl es einige Meinungsverschiedenheiten über die Genauigkeit dieses Ergebnisses gegeben hat.

Ein weiterer Versuch, das Gyroscopes in General Relativity (GINGER)-Experiment, versucht, drei 6-m -Ringlaser zu verwenden , die 1400 m unter der Erdoberfläche rechtwinklig zueinander montiert sind, um diesen Effekt zu messen.

Technische Themen

Ist die Raumzeit wirklich gekrümmt?

In Poincarés konventionellen Ansichten wären die wesentlichen Kriterien, nach denen man eine euklidische gegenüber einer nicht-euklidischen Geometrie auswählen sollte, Wirtschaftlichkeit und Einfachheit. Ein Realist würde sagen, dass Einstein entdeckt hat, dass die Raumzeit nicht euklidisch ist. Ein Konventionalist würde sagen, dass Einstein es einfach bequemer fand , nicht-euklidische Geometrie zu verwenden. Der Konventionalist würde behaupten, dass Einsteins Analyse nichts darüber aussagt, was die Geometrie der Raumzeit wirklich ist.

So gesagt,

1. Ist es möglich, die Allgemeine Relativitätstheorie in Form einer flachen Raumzeit darzustellen?
2. Gibt es Situationen, in denen eine flache Raumzeit-Interpretation der Allgemeinen Relativitätstheorie bequemer sein kann als die übliche gekrümmte Raumzeit-Interpretation?

Als Antwort auf die erste Frage haben eine Reihe von Autoren, darunter Deser, Grishchuk, Rosen, Weinberg usw., verschiedene Formulierungen der Gravitation als Feld in einer flachen Mannigfaltigkeit geliefert. Diese Theorien werden verschiedentlich als „ bimetrische Gravitation “, der „feldtheoretische Ansatz zur Allgemeinen Relativitätstheorie“ und so weiter bezeichnet. Kip Thorne hat einen populären Überblick über diese Theorien gegeben.

Das Paradigma der flachen Raumzeit geht davon aus, dass Materie ein Gravitationsfeld erzeugt, das Lineale schrumpfen lässt, wenn sie von der Umfangsorientierung in eine radiale Ausrichtung gedreht werden, und die dazu führt, dass sich die Tickraten von Uhren ausdehnen. Das Paradigma der flachen Raumzeit entspricht vollständig dem Paradigma der gekrümmten Raumzeit, da beide dieselben physikalischen Phänomene darstellen. Ihre mathematischen Formulierungen sind jedoch völlig unterschiedlich. Arbeitende Physiker wechseln routinemäßig zwischen der Verwendung gekrümmter und flacher Raumzeittechniken, je nach den Anforderungen des Problems. Das Paradigma der flachen Raumzeit erweist sich als besonders praktisch, wenn Näherungsrechnungen in schwachen Feldern durchgeführt werden. Daher werden flache Raumzeittechniken zur Lösung von Gravitationswellenproblemen verwendet, während gekrümmte Raumzeittechniken bei der Analyse von Schwarzen Löchern verwendet werden.

Asymptotische Symmetrien

Die Raumzeit-Symmetriegruppe für die Spezielle Relativitätstheorie ist die Poincaré-Gruppe , eine zehndimensionale Gruppe aus drei Lorentz-Boosts, drei Rotationen und vier Raumzeit-Translationen. Es ist logisch zu fragen, welche Symmetrien in der Allgemeinen Relativitätstheorie gelten könnten . Ein handhabbarer Fall könnte darin bestehen, die Symmetrien der Raumzeit zu betrachten, wie sie von Beobachtern gesehen werden, die sich weit entfernt von allen Quellen des Gravitationsfeldes befinden. Die naive Erwartung für asymptotisch flache Raumzeitsymmetrien könnte einfach darin bestehen, die Symmetrien der flachen Raumzeit der speziellen Relativitätstheorie zu erweitern und zu reproduzieren, nämlich. , die Poincaré-Gruppe.

1962 befassten sich Hermann Bondi , MG van der Burg, AW Metzner und Rainer K. Sachs mit diesem asymptotischen Symmetrieproblem , um den Energiefluss im Unendlichen aufgrund sich ausbreitender Gravitationswellen zu untersuchen . Ihr erster Schritt bestand darin, einige physikalisch sinnvolle Randbedingungen festzulegen, die sie auf das Gravitationsfeld bei lichtähnlicher Unendlichkeit stellen sollten, um zu charakterisieren, was es bedeutet, zu sagen, dass eine Metrik asymptotisch flach ist, ohne a priori Annahmen über die Natur der asymptotischen Symmetriegruppe zu treffen – nicht einmal die Annahme, dass eine solche Gruppe existiert. Nachdem sie die ihrer Meinung nach sinnvollsten Randbedingungen entworfen hatten, untersuchten sie die Art der resultierenden asymptotischen Symmetrietransformationen, die die Form der Randbedingungen, die für asymptotisch flache Gravitationsfelder geeignet sind, invariant lassen. Sie fanden heraus, dass die asymptotischen Symmetrietransformationen tatsächlich eine Gruppe bilden und die Struktur dieser Gruppe nicht von dem jeweils vorhandenen Gravitationsfeld abhängt. Damit kann man erwartungsgemäß zumindest im räumlichen Unendlichen die Kinematik der Raumzeit von der Dynamik des Gravitationsfeldes trennen. Die rätselhafte Überraschung im Jahr 1962 war ihre Entdeckung einer reichen unendlichdimensionalen Gruppe (der sogenannten BMS-Gruppe) als asymptotische Symmetriegruppe anstelle der endlichdimensionalen Poincaré-Gruppe, die eine Untergruppe der BMS-Gruppe ist. Die Lorentz-Transformationen sind nicht nur asymptotische Symmetrietransformationen, es gibt auch zusätzliche Transformationen, die keine Lorentz-Transformationen, sondern asymptotische Symmetrietransformationen sind. Tatsächlich fanden sie eine zusätzliche Unendlichkeit von Transformationsgeneratoren, die als Supertranslations bekannt sind . Dies impliziert die Schlussfolgerung, dass die Allgemeine Relativitätstheorie (GR) bei schwachen Feldern in großen Entfernungen nicht auf die spezielle Relativitätstheorie reduziert wird.

Riemannsche Geometrie

Die Riemannsche Geometrie ist der Zweig der Differentialgeometrie , der Riemannsche Mannigfaltigkeiten untersucht , glatte Mannigfaltigkeiten mit einer Riemannschen Metrik , dh mit einem inneren Produkt auf dem Tangentenraum an jedem Punkt, das sich von Punkt zu Punkt glatt ändert. Dies ergibt insbesondere lokale Vorstellungen von Winkel , Kurvenlänge , Oberfläche und Volumen . Aus diesen können einige andere globale Größen durch Integration lokaler Beiträge abgeleitet werden.

Die Riemannsche Geometrie entstand aus der Vision von Bernhard Riemann , die in seiner Antrittsvorlesung „ Über die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen “ zum Ausdruck kam . Sie ist eine sehr breite und abstrakte Verallgemeinerung des Differentials Geometrie von Flächen im R 3 . Die Entwicklung der Riemannschen Geometrie führte zur Synthese verschiedener Ergebnisse bezüglich der Geometrie von Oberflächen und dem Verhalten von Geodäten auf ihnen, mit Techniken, die auf die Untersuchung von differenzierbaren Mannigfaltigkeiten höherer Dimensionen angewendet werden können . Sie ermöglichte die Formulierung von Einsteins allgemeiner Relativitätstheorie , hatte einen tiefgreifenden Einfluss auf die Gruppen- und Darstellungstheorie sowie die Analysis und trieb die Entwicklung der algebraischen und differentiellen Topologie voran .

Gebogene Verteiler

Aus physikalischen Gründen wird ein Raum-Zeit-Kontinuum mathematisch als eine vierdimensionale, glatte, zusammenhängende Lorentz-Mannigfaltigkeit definiert . Dies bedeutet, dass die glatte Lorentz-Metrik eine Signatur hat . Die Metrik bestimmt die Geometrie der Raumzeit sowie die Bestimmung derGeodätenvon Teilchen und Lichtstrahlen. Um jeden Punkt (Ereignis) auf dieser Mannigfaltigkeit werdenKoordinatendiagrammeverwendet, um Beobachter in Referenzrahmen darzustellen. Üblicherweise werden kartesische Koordinatenverwendet. Außerdem werden der Einfachheit halber Maßeinheiten meist so gewählt, dass die Lichtgeschwindigkeitgleich 1 ist.

Mit einem dieser Koordinatendiagramme kann ein Bezugssystem (Beobachter) identifiziert werden; Jeder dieser Beobachter kann jedes Ereignis beschreiben . Ein weiterer Bezugsrahmen kann durch ein zweites Koordinatendiagramm um ungefähr identifiziert werden . Zwei Beobachter (einer in jedem Bezugssystem) können dasselbe Ereignis beschreiben, aber unterschiedliche Beschreibungen erhalten.

Normalerweise werden viele überlappende Koordinatendiagramme benötigt, um eine Mannigfaltigkeit abzudecken. Bei zwei Koordinatendiagrammen, von denen eines einen Beobachter enthält und das andere einen anderen Beobachter darstellt, stellt der Schnittpunkt der Diagramme den Bereich der Raumzeit dar, in dem beide Beobachter physikalische Größen messen und daher Ergebnisse vergleichen können. Die Beziehung zwischen den beiden Messreihen ist durch eine nicht-singuläre Koordinatentransformation an diesem Schnittpunkt gegeben. Die Idee von Koordinatenkarten als lokale Beobachter, die Messungen in ihrer Nähe durchführen können, ist auch physikalisch sinnvoll, da man so tatsächlich physikalische Daten sammelt – vor Ort.

Zum Beispiel können zwei Beobachter, von denen einer auf der Erde ist, der andere aber auf einer schnellen Rakete zum Jupiter, einen Kometen beim Einschlag auf Jupiter beobachten (das ist das Ereignis ). Im Allgemeinen werden sie sich über den genauen Ort und Zeitpunkt dieses Aufpralls nicht einig sein, dh sie werden unterschiedliche 4-Tupel haben (da sie unterschiedliche Koordinatensysteme verwenden). Obwohl sich ihre kinematischen Beschreibungen unterscheiden, gelten dynamische (physikalische) Gesetze wie Impulserhaltung und der erste Hauptsatz der Thermodynamik weiterhin. Tatsächlich erfordert die Relativitätstheorie mehr als das in dem Sinne, dass sie vorschreibt, dass diese (und alle anderen physikalischen) Gesetze in allen Koordinatensystemen dieselbe Form annehmen müssen. Dies führt Tensoren in die Relativitätstheorie ein, durch die alle physikalischen Größen repräsentiert werden.

Geodäten werden als zeitähnlich, null- oder raumähnlich bezeichnet, wenn der Tangentenvektor zu einem Punkt der Geodäte von dieser Art ist. Pfade von Teilchen und Lichtstrahlen in der Raumzeit werden durch zeitähnliche bzw. null (lichtähnliche) Geodäten dargestellt.

Privilegierter Charakter der 3+1 Raumzeit

Eigenschaften von n + m -dimensionalen Raumzeiten

Es gibt zwei Arten von Dimensionen: räumlich (bidirektional) und zeitlich (unidirektional). Die Anzahl der räumlichen Dimensionen sei N und die Anzahl der zeitlichen Dimensionen sei T. Dass N = 3 und T = 1, abgesehen von den kompaktierten Dimensionen, die von der Stringtheorie heraufbeschworen werden und bis heute nicht nachweisbar sind, kann erklärt werden, indem auf die physikalischen Konsequenzen verwiesen wird, wenn N von 3 und T von 1 abweichen. Das Argument ist oft ein anthropischen Charakter und möglicherweise der erste seiner Art, allerdings bevor das Gesamtkonzept in Mode kam.

Die implizite Vorstellung, dass die Dimensionalität des Universums etwas Besonderes ist, wird zuerst Gottfried Wilhelm Leibniz zugeschrieben , der im Diskurs über Metaphysik vorschlug, dass die Welt „ diejenige ist, die gleichzeitig die einfachste an Hypothesen und die reichste an Phänomenen ist “. Immanuel Kant argumentierte, dass der dreidimensionale Raum eine Folge des umgekehrten quadratischen Gesetzes der universellen Gravitation sei . Während Kants Argument historisch wichtig ist, sagte John D. Barrow , dass es "die Pointe wieder nach vorne bringt: Es ist die Dreidimensionalität des Raums, die erklärt, warum wir invers-quadratische Kraftgesetze in der Natur sehen, nicht umgekehrt". (Barrow 2002: 204).

1920 zeigte Paul Ehrenfest , dass die Umlaufbahn eines Planeten um seine Sonne nicht stabil bleiben kann , wenn es nur eine Zeitdimension und mehr als drei räumliche Dimensionen gibt . Dasselbe gilt für die Umlaufbahn eines Sterns um das Zentrum seiner Galaxie . Ehrenfest zeigte auch, dass sich bei einer geraden Anzahl räumlicher Dimensionen die verschiedenen Teile eines Wellenimpulses mit unterschiedlichen Geschwindigkeiten ausbreiten. Wenn es räumliche Dimensionen gibt, wobei k eine positive ganze Zahl ist, dann werden Wellenimpulse verzerrt. 1922 zeigte Hermann Weyl , dass Maxwells Theorie des Elektromagnetismus nur mit drei Raum- und einer Zeitdimension funktioniert. Schließlich zeigte Tangherlini 1963, dass Elektronenorbitale um Kerne nicht stabil sein können, wenn es mehr als drei räumliche Dimensionen gibt ; Elektronen würden entweder in den Kern fallen oder sich zerstreuen.

Max Tegmark erweitert das vorhergehende Argument auf folgende anthropische Weise. Wenn T von 1 abweicht, könnte das Verhalten physikalischer Systeme nicht zuverlässig aus der Kenntnis der relevanten partiellen Differentialgleichungen vorhergesagt werden . In einem solchen Universum könnte kein intelligentes Leben entstehen, das in der Lage wäre, Technologie zu manipulieren. Wenn T > 1, behauptet Tegmark außerdem, dass Protonen und Elektronen instabil wären und in Teilchen mit größerer Masse als sie selbst zerfallen könnten. (Dies ist kein Problem, wenn die Partikel eine ausreichend niedrige Temperatur haben.)

Wenn schließlich N < 3 ist, wird Gravitation jeglicher Art problematisch, und das Universum ist wahrscheinlich zu einfach, um Beobachter aufzunehmen. Wenn beispielsweise N < 3 ist, können sich Nerven nicht kreuzen, ohne sich zu schneiden.

Daher schließen anthropische und andere Argumente alle Fälle außer N = 3 und T = 1 aus, was zufällig die Welt um uns herum beschreibt.

Im Jahr 2019 argumentierte James Scargill, dass komplexes Leben mit zwei räumlichen Dimensionen möglich sein könnte. Laut Scargill kann eine rein skalare Gravitationstheorie eine lokale Gravitationskraft ermöglichen, und 2D-Netzwerke können für komplexe neuronale Netzwerke ausreichen.

Siehe auch

Anmerkungen

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Verweise

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