Raum der Richtungen - Space of directions

In der metrischen Geometrie beschreibt der Raum der Richtungen an einem Punkt die Richtungen der Kurven, die am Punkt beginnen. Es verallgemeinert den Tangentenraum in einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit .

Definitionen

Sei ( M , d ) ein metrischer Raum . Zuerst definieren wir die oberen Winkel für zwei Kurven an der gleichen Stelle in Ausgang M . Sei also zwei Kurven mit . Der obere Winkel zwischen ihnen bei p ist ${\ displaystyle \ alpha, \ beta: [0, \ varepsilon) \ to M}$${\ displaystyle \ alpha (0) = \ beta (0) = p}$

${\ displaystyle \ angle _ {U} (\ alpha, \ beta): = \ varlimsup _ {s, t \ bis 0} \ arccos {\ frac {d (\ alpha (s), p) ^ {2} + d (\ beta (t), p) ^ {2} -d (\ alpha (s), \ beta (t)) ^ {2}} {2d (\ alpha (s), p) d (\ beta ( t), p)}}.}$

Der obere Winkel erfüllt die Dreiecksungleichung : Für drei Kurven ab p , ${\ displaystyle \ alpha _ {1}, \ alpha _ {2}, \ alpha _ {3}}$

${\ displaystyle \ angle _ {U} (\ alpha _ {1}, \ alpha _ {3}) \ leq \ angle _ {U} (\ alpha _ {1}, \ alpha _ {2}) + \ angle _ {U} (\ alpha _ {2}, \ alpha _ {3}).}$

Eine Kurve hat eine Richtung, wenn der obere Winkel von zwei Kopien von sich selbst am Startpunkt Null ist. Für Kurven, die Richtungen an einem Punkt haben, definieren wir eine Äquivalenzbeziehung , indem wir sagen, dass zwei Kurven äquivalent sind, wenn der obere Winkel zwischen ihnen am Punkt Null ist. Zwei äquivalente Kurven sollen am Punkt die gleiche Richtung haben.

Die Menge der Äquivalenzklassen von Kurven mit Richtungen am Punkt p, die mit dem oberen Winkel ausgestattet sind, ist ein metrischer Raum, der als Richtungsraum am Punkt bezeichnet wird und als bezeichnet wird . Die metrische Vervollständigung des Richtungsraums wird als abgeschlossener Richtungsraum bezeichnet und bezeichnet als . ${\ displaystyle \ Omega _ {p} (M)}$${\ displaystyle {\ overline {\ Omega _ {p} (M)}}}$

Für einen Alexandrov-Raum mit einer Krümmung, die entweder oben oder unten begrenzt ist, gibt es auch eine ähnliche Definition, bei der kürzeste Wege, die immer Richtungen haben, verwendet werden. Der Richtungsraum an einem Punkt wird dann als die metrische Vervollständigung des Satzes von Äquivalenzklassen von kürzesten Pfaden definiert, die am Punkt beginnen.

Verweise

• Igor Nikolaev (1995). "Der Tangentenkegel eines Aleksandrov-Krümmungsraums ≤ K". Manuskripta Mathematica (86): 137–147.
• Dmitri Burago; Yuri Burago ; Sergei Ivanov (2001). Ein Kurs in metrischer Geometrie . Amerikanische Mathematische Gesellschaft. ISBN 0-8218-2129-6.
• V. Berestovskii; I. Nikolaev (1993). "Mehrdimensionale verallgemeinerte Riemannsche Räume". Geometrie IV. Nicht reguläre Riemannsche Geometrie . Enzyklopädie der mathematischen Wissenschaften. Berlin: Springer-Verlag. S. 165–244.