Raumzeittopologie - Spacetime topology

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Die Topologie der Raumzeit ist die topologische Struktur der Raumzeit , ein Thema, das hauptsächlich in der Allgemeinen Relativitätstheorie untersucht wird . Diese physikalische Theorie modelliert die Gravitation als die Krümmung einer vierdimensionalen Lorentzschen Mannigfaltigkeit (einer Raumzeit) und die Konzepte der Topologie werden daher wichtig bei der Analyse lokaler sowie globaler Aspekte der Raumzeit. Das Studium der Raumzeittopologie ist in der physikalischen Kosmologie besonders wichtig .

Arten der Topologie

Es gibt zwei Haupttypen von Topologien für eine Raumzeit M .

Verteilertopologie

Wie jede Mannigfaltigkeit besitzt auch eine Raumzeit eine natürliche Mannigfaltigkeitstopologie . Hier sind die offenen Mengen das Bild der offenen Mengen in . ${\displaystyle \mathbb{R} ^{4}}$

Pfad- oder Zeeman-Topologie

Definition : Die Topologie , in der eine Teilmenge ist offen , wenn für jede zeitartige Kurve gibt es eine Reihe ist in der Verteilertopologie , so dass . ${\displaystyle \rho}$${\displaystyle E\subset M}$ ${\displaystyle c}$${\displaystyle O}$${\displaystyle E\cap c=O\cap c}$

Es ist die feinste Topologie, die dieselbe Topologie wie bei zeitähnlichen Kurven induziert . ${\displaystyle M}$

Eigenschaften

Streng feiner als die Mannigfaltigkeitstopologie. Es ist daher Hausdorff , trennbar, aber nicht lokal kompakt .

Eine Basis für die Topologie sind Mengen der Form für einen Punkt und eine konvexe Normalumgebung . ${\displaystyle Y^{+}(p,U)\cup Y^{-}(p,U)\cup p}$${\displaystyle p\in M}$${\displaystyle U\subset M}$

( bezeichnet die chronologische Vergangenheit und Zukunft ). ${\displaystyle Y^{\pm}}$

Alexandrov-Topologie

Die Alexandrov-Topologie der Raumzeit ist die gröbste Topologie , bei der sowohl und als auch für alle Teilmengen offen sind . ${\displaystyle Y^{+}(E)}$${\displaystyle Y^{-}(E)}$${\displaystyle E\subset M}$

Die Basis offener Mengen für die Topologie sind hier Mengen der Form für einige Punkte . ${\displaystyle Y^{+}(x)\cap Y^{-}(y)}$${\displaystyle \,x,y\in M}$

Diese Topologie stimmt genau dann mit der Mannigfaltigkeitstopologie überein, wenn die Mannigfaltigkeit stark kausal, aber im Allgemeinen gröber ist.

Beachten Sie, dass in der Mathematik eine Alexandrov-Topologie einer Teilordnung normalerweise als die gröbste Topologie angesehen wird, in der nur die oberen Mengen offen sein müssen. Diese Topologie geht auf Pavel Alexandrov zurück . ${\displaystyle Y^{+}(E)}$

Heutzutage wäre der korrekte mathematische Begriff für die Alexandrov-Topologie über die Raumzeit (der auf Alexandr D. Alexandrov zurückgeht ) die Intervalltopologie , aber als Kronheimer und Penrose den Begriff einführten, war dieser Unterschied in der Nomenklatur nicht so klar und in der Physik der Begriff the Die Alexandrov-Topologie wird weiterhin verwendet.

Siehe auch

• Komplexe Raumzeit
• Gravitationssingularität

Anmerkungen

Verweise

• Zeeman, EG (1964). „Kausalität impliziert die Lorentz-Gruppe“. Zeitschrift für Mathematische Physik . 5 (4): 490–493. Bibcode : 1964JMP.....5..490Z . doi : 10.1063/1.1704140 .
• Zeeman, EG (1967). "Die Topologie des Minkowski-Raumes" . Topologie . 6 (2): 161–170. doi : 10.1016/0040-9383(67)90033-X .
• Hawking, SW; König, AR; McCarthy, PJ (1976). "Eine neue Topologie für gekrümmte Raum-Zeit, die die kausalen, differentiellen und konformen Strukturen enthält" (PDF) . Zeitschrift für Mathematische Physik . 17 (2): 174–181. Bibcode : 1976JMP....17..174H . doi : 10.1063/1.522874 .