Kugelgeometrie - Spherical geometry

Die Winkelsumme eines Kugeldreiecks ist nicht gleich 180°. Eine Kugel ist eine gekrümmte Fläche, aber lokal sind die Gesetze der flachen (planaren) euklidischen Geometrie gute Näherungen. In einem kleinen Dreieck auf der Erdoberfläche beträgt die Winkelsumme nur wenig mehr als 180 Grad.
Eine Kugel mit einem kugelförmigen Dreieck darauf.

Kugelgeometrie ist die Geometrie der zweidimensionalen Oberfläche einer Kugel . In diesem Zusammenhang bezieht sich das Wort "Kugel" nur auf die 2-dimensionale Oberfläche und andere Begriffe wie "Kugel" oder "feste Kugel" werden für die Oberfläche zusammen mit ihrem 3-dimensionalen Inneren verwendet.

Die sphärische Geometrie wurde lange für ihre praktischen Anwendungen in der Navigation und Astronomie untersucht und weist viele Ähnlichkeiten und Beziehungen sowie wichtige Unterschiede zur euklidischen Ebenengeometrie auf . Die Kugel wurde zum größten Teil als Teil der 3-dimensionalen euklidischen Geometrie (oft als feste Geometrie bezeichnet ) untersucht, wobei die Oberfläche als in einem umgebenden 3-D-Raum platziert angesehen wird. Es kann auch durch "intrinsische" Methoden analysiert werden, die nur die Oberfläche selbst einbeziehen und sich nicht auf einen umgebenden Raum außerhalb oder innerhalb der Kugel beziehen oder sogar dessen Existenz annehmen.

Da sich eine Kugel und eine Ebene geometrisch unterscheiden, weist die (intrinsische) sphärische Geometrie einige Merkmale einer nichteuklidischen Geometrie auf und wird manchmal als eins beschrieben. Die sphärische Geometrie wurde jedoch nicht als vollwertige nichteuklidische Geometrie angesehen, die ausreicht, um das alte Problem zu lösen, ob das parallele Postulat eine logische Konsequenz der restlichen Euklidschen Axiome der ebenen Geometrie ist. Die Lösung wurde stattdessen in der hyperbolischen Geometrie gefunden .

Überblick

In der ebenen (euklidischen) Geometrie sind die Grundkonzepte Punkte und (gerade) Linien . In der Kugelgeometrie sind die Grundbegriffe Punkt und Großkreis . Jedoch schneiden sich zwei Großkreise auf einer Ebene in zwei antipodalen Punkten, im Gegensatz zu koplanaren Linien in der elliptischen Geometrie .

Im extrinsischen dreidimensionalen Bild ist ein Großkreis der Schnittpunkt der Kugel mit einer beliebigen Ebene durch den Mittelpunkt. Im intrinsischen Ansatz ist ein Großkreis eine Geodäte ; ein kürzester Weg zwischen zwei beliebigen seiner Punkte, vorausgesetzt, sie liegen nahe genug beieinander. Oder im (ebenfalls intrinsischen) axiomatischen Ansatz analog zu Euklids Axiomen der ebenen Geometrie, "Großkreis" ist einfach ein undefinierter Begriff, zusammen mit Postulaten, die die grundlegenden Beziehungen zwischen Großkreisen und den ebenfalls undefinierten "Punkten" festlegen. Dies entspricht der Methode von Euklid, Punkt und Linie als undefinierte primitive Begriffe zu behandeln und ihre Beziehungen zu axiomatisieren.

Großkreise spielen in der sphärischen Geometrie in vielerlei Hinsicht die gleiche logische Rolle wie Linien in der euklidischen Geometrie, zB als Seiten von (sphärischen) Dreiecken. Dies ist mehr als eine Analogie; sphärische und ebene Geometrie und andere können alle unter dem Oberbegriff der aus der Distanzmessung erstellten Geometrie vereint werden , wobei "Linien" definiert sind, um kürzeste Wege (Geodäten) zu bedeuten. Viele Aussagen über die Geometrie von Punkten und solchen "Linien" gelten für alle diese Geometrien gleichermaßen, sofern Linien so definiert sind und die Theorie leicht auf höhere Dimensionen erweitert werden kann. Da jedoch ihre Anwendungen und Pädagogik an die feste Geometrie gebunden sind und weil die Verallgemeinerung einige wichtige Eigenschaften von Linien in der Ebene verliert, verwendet die sphärische Geometrie normalerweise den Begriff "Linie" überhaupt nicht, um sich auf etwas auf der Kugel selbst zu beziehen. Bei der Entwicklung als Teil der Volumengeometrie werden Punkte, Geraden und Ebenen (im euklidischen Sinne) im umgebenden Raum verwendet.

In der sphärischen Geometrie werden Winkel zwischen Großkreisen definiert, was zu einer sphärischen Trigonometrie führt , die sich in vielerlei Hinsicht von der gewöhnlichen Trigonometrie unterscheidet; beispielsweise überschreitet die Summe der Innenwinkel eines kugelförmigen Dreiecks 180 Grad.

Beziehung zu ähnlichen Geometrien

Die sphärische Geometrie ist eng mit der elliptischen Geometrie verwandt .

Eine wichtige Geometrie, die mit der der Kugel verwandt ist, ist die der realen projektiven Ebene ; es wird durch die Identifizierung antipodischer Punkte (Paare von gegenüberliegenden Punkten) auf der Kugel erhalten. Lokal hat die projektive Ebene alle Eigenschaften der sphärischen Geometrie, aber sie hat andere globale Eigenschaften. Insbesondere ist es nicht orientierbar oder einseitig und kann im Gegensatz zur Kugel nicht als Fläche im dreidimensionalen Raum gezeichnet werden, ohne sich selbst zu schneiden.

Konzepte der Kugelgeometrie können auch auf die längliche Kugel angewendet werden , obwohl geringfügige Änderungen an bestimmten Formeln vorgenommen werden müssen.

Es existieren höherdimensionale Kugelgeometrien; siehe elliptische Geometrie .

Geschichte

Griechische Antike

Das früheste mathematische Werk der Antike, das bis in unsere Zeit zurückreicht, ist Über die rotierende Kugel (Περὶ κινουμένης σφαίρας, Peri kinoumenes sphairas ) von Autolykos von Pitane , der am Ende des vierten Jahrhunderts v. Chr. lebte.

Die sphärische Trigonometrie wurde von frühen griechischen Mathematikern wie Theodosius von Bithynien , einem griechischen Astronomen und Mathematiker, der die Sphaerics schrieb , ein Buch über die Geometrie der Kugel, und Menelaos von Alexandria , der ein Buch über sphärische Trigonometrie namens Sphaerica schrieb und Menelaos entwickelte, studiert 'Theorem .

Islamische Welt

Das Buch der unbekannten Bögen einer Kugel des islamischen Mathematikers Al-Jayyani gilt als die erste Abhandlung über sphärische Trigonometrie. Das Buch enthält Formeln für rechtshändige Dreiecke, das allgemeine Sinusgesetz und die Lösung eines Kugeldreiecks mit Hilfe des Polardreiecks.

Das um 1463 entstandene Buch Über Dreiecke von Regiomontanus ist das erste rein trigonometrische Werk in Europa. Allerdings Gerolamo Cardano bemerkte ein Jahrhundert später , dass viel von seinem Material auf dem sphärischen Trigonometrie aus der zwölften Jahrhundert Arbeit des genommen wurde Andalusi Gelehrte Jabir ibn Aflah .

Eulers Werk

Leonhard Euler hat eine Reihe wichtiger Memoiren zur Kugelgeometrie veröffentlicht:

  • L. Euler, Principes de la trigonométrie sphérique tirés de la méthode des plus grands et des plus petits, Mémoires de l'Académie des Sciences de Berlin 9 (1753), 1755, p. 233–257; Opera Omnia, Reihe 1, Bd. XXVII, p. 277–308.
  • L. Euler, Eléments de la trigonométrie sphéroïdique tirés de la méthode des plus grands et des plus petits, Mémoires de l'Académie des Sciences de Berlin 9 (1754), 1755, p. 258–293; Opera Omnia, Reihe 1, Bd. XXVII, p. 309–339.
  • L. Euler, De curva rectificabili in superficie sphaerica, Novi Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae 15, 1771, S. 195–216; Opera Omnia, Serie 1, Band 28, S. 142–160.
  • L. Euler, De mensura angulorum solidorum, Acta academiae scientiarum imperialis Petropolitinae 2, 1781, p. 31–54; Opera Omnia, Reihe 1, Bd. XXVI, p. 204–223.
  • L. Euler, Problematis cuiusdam Pappi Alexandrini constructio, Acta academiae scientiarum imperialis Petropolitinae 4, 1783, p. 91-96; Opera Omnia, Reihe 1, Bd. XXVI, p. 237–242.
  • L. Euler, Geometrica et sphaerica quaedam, Mémoires de l'Académie des Sciences de Saint-Pétersbourg 5, 1815, p. 96–114; Opera Omnia, Reihe 1, Bd. XXVI, p. 344–358.
  • L. Euler, Trigonometria sphaerica universa, ex primis principiis breviter et dilucide derivata, Acta academiae scientiarum imperialis Petropolitinae 3, 1782, p. 72–86; Opera Omnia, Reihe 1, Bd. XXVI, p. 224–236.
  • L. Euler, Variae speculationes super area triangulorum sphaericorum, Nova Acta academiae scientiarum imperialis Petropolitinae 10, 1797, p. 47–62; Opera Omnia, Reihe 1, Bd. XXIX, p. 253–266.

Eigenschaften

Kugelgeometrie hat die folgenden Eigenschaften:

  • Zwei beliebige Großkreise schneiden sich in zwei diametral gegenüberliegenden Punkten, die als Antipodenpunkte bezeichnet werden .
  • Zwei beliebige Punkte, die keine antipodalen Punkte sind, bestimmen einen einzigartigen Großkreis.
  • Es gibt eine natürliche Winkelmaßeinheit (basierend auf einer Umdrehung), eine natürliche Längeneinheit (basierend auf dem Umfang eines Großkreises) und eine natürliche Flächeneinheit (basierend auf der Fläche der Kugel).
  • Jeder Großkreis ist mit einem Paar antipodischer Punkte verbunden, die als Pole bezeichnet werden und die gemeinsamen Schnittpunkte der Menge der senkrecht zu ihm stehenden Großkreise sind. Dies zeigt, dass ein Großkreis in Bezug auf die Entfernungsmessung auf der Oberfläche der Kugel ein Kreis ist: der Ort von Punkten, die alle einen bestimmten Abstand von einem Mittelpunkt haben.
  • Jeder Punkt ist mit einem einzigartigen Großkreis verbunden, der als Polarkreis des Punktes bezeichnet wird, der der Großkreis auf der Ebene durch den Mittelpunkt der Kugel und senkrecht zum Durchmesser der Kugel durch den gegebenen Punkt ist.

Da es auf dem von ihnen bestimmten Großkreis zwei Bögen gibt, die durch ein Paar von Punkten bestimmt werden, die nicht antipodal sind, bestimmen drei nicht kollineare Punkte kein eindeutiges Dreieck. Betrachten wir jedoch nur Dreiecke, deren Seiten kleine Bögen von Großkreisen sind, haben wir folgende Eigenschaften:

  • Die Winkelsumme eines Dreiecks ist größer als 180° und kleiner als 540°.
  • Die Fläche eines Dreiecks ist proportional zum Überschuss seiner Winkelsumme über 180°.
  • Zwei Dreiecke mit gleicher Winkelsumme sind flächengleich.
  • Es gibt eine obere Schranke für die Fläche von Dreiecken.
  • Die Zusammensetzung (Produkt) zweier Reflexionen über einen Großkreis kann als Drehung um einen der Schnittpunkte ihrer Achsen betrachtet werden.
  • Zwei Dreiecke sind genau dann kongruent, wenn sie sich unter einem endlichen Produkt solcher Spiegelungen entsprechen.
  • Zwei Dreiecke mit entsprechenden gleichen Winkeln sind kongruent (dh alle ähnlichen Dreiecke sind kongruent).

Bezug zu den Postulaten von Euklid

Wenn mit "Linie" ein Großkreis gemeint ist, gehorcht die sphärische Geometrie zwei von Euklids Postulaten : dem zweiten Postulat ("eine endliche gerade Linie kontinuierlich in einer geraden Linie zu erzeugen [verlängern]") und dem vierten Postulat ("dass alle rechten Winkel sind einander gleich"). Es verstößt jedoch gegen die anderen drei: Im Gegensatz zum ersten Postulat gibt es keinen eindeutigen kürzesten Weg zwischen zwei beliebigen Punkten ( Antipodenpunkte wie der Nord- und Südpol auf einer Kugelkugel sind Gegenbeispiele); im Gegensatz zum dritten Postulat enthält eine Kugel keine Kreise mit beliebig großem Radius; und im Gegensatz zum fünften (parallelen) Postulat gibt es keinen Punkt, durch den eine Linie gezogen werden kann, die niemals eine gegebene Linie schneidet.

Eine dem Parallelpostulat äquivalente Aussage ist, dass es ein Dreieck gibt, dessen Winkel sich zu 180° addieren. Da die Kugelgeometrie das Parallelpostulat verletzt, existiert auf der Oberfläche einer Kugel kein solches Dreieck. Die Winkelsumme eines Dreiecks auf einer Kugel beträgt 180°(1 + 4 f ) , wobei f der Bruchteil der Kugeloberfläche ist, der vom Dreieck eingeschlossen wird. Für jeden positiven Wert von f überschreitet dieser 180°.

Siehe auch

Anmerkungen

Verweise

Externe Links