Sphärische Trigonometrie - Spherical trigonometry

Dreieck dreieck

Die sphärische Trigonometrie ist der Zweig der sphärischen Geometrie , der sich mit den Beziehungen zwischen trigonometrischen Funktionen der Seiten und Winkeln der sphärischen Polygone (insbesondere sphärischer Dreiecke ) befasst, die durch eine Anzahl von sich schneidenden Großkreisen auf der Kugel definiert werden . Die sphärische Trigonometrie ist für Berechnungen in Astronomie , Geodäsie und Navigation von großer Bedeutung .

Die Ursprünge der sphärischen Trigonometrie in der griechischen Mathematik und die wichtigsten Entwicklungen in der islamischen Mathematik werden ausführlich in Geschichte der Trigonometrie und Mathematik im mittelalterlichen Islam diskutiert . Das Thema kam zum Tragen in der frühen Neuzeit mit wichtigen Entwicklungen von John Napier , Delambre und anderen, und erreichte eine im Wesentlichen vollständige Form bis zum Ende des neunzehnten Jahrhunderts mit der Veröffentlichung von Todhunter Lehrbuch der sphärische Trigonometrie für den Einsatz von Hochschulen und Schulen . Wesentliche Entwicklungen sind seither die Anwendung von Vektormethoden und der Einsatz numerischer Methoden.

Vorrunde

Acht sphärische Dreiecke, die durch den Schnittpunkt von drei Großkreisen definiert werden.

Sphärische Polygone

Ein sphärischer Vieleck ist ein Vieleck auf der Oberfläche der Kugel durch eine Anzahl von definierten Großkreisbögen , die der Schnittpunkt der Oberfläche mit Ebenen durch das Zentrum der Kugel sind. Solche Polygone können eine beliebige Anzahl von Seiten haben. Zwei Ebenen definieren einen Mond , auch " Digon " oder Bi-Winkel genannt, das zweiseitige Analogon des Dreiecks: Ein bekanntes Beispiel ist die gekrümmte Oberfläche eines Orangensegments. Drei Ebenen definieren ein kugelförmiges Dreieck, das Hauptthema dieses Artikels. Vier Ebenen definieren ein kugelförmiges Viereck: Eine solche Figur und höherseitige Polygone können immer als eine Anzahl kugelförmiger Dreiecke behandelt werden.

Ein kugelförmiges Polygon mit interessanten Eigenschaften ist das Pentagramma mirificum , ein kugelförmiges 5-seitiges Sternpolygon mit allen rechten Winkeln.

Ab diesem Punkt beschränkt sich der Artikel auf kugelförmige Dreiecke, die einfach als Dreiecke bezeichnet werden .

Notation

Das Grunddreieck auf einer Einheitskugel.
  • Sowohl Scheitelpunkte als auch Winkel an den Scheitelpunkten werden mit den gleichen Großbuchstaben A , B und C bezeichnet .
  • Die Winkel A , B , C des Dreiecks sind gleich den Winkeln zwischen den Ebenen, die die Kugeloberfläche schneiden, oder äquivalent den Winkeln zwischen den Tangentenvektoren der Großkreisbögen, wo sie sich an den Scheitelpunkten treffen. Winkel sind im Bogenmaß angegeben. Die Winkel der richtigen sphärischen Dreiecke sind (durch Konvention) von weniger als π , so dass π  <  A  +  B  +  C  <3 π . (Todhunter, Art.22,32).
  • Die Seiten werden mit Kleinbuchstaben a , b und c bezeichnet . Auf der Einheitskugel sind ihre Längen numerisch gleich dem Bogenmaß der Winkel, die die Großkreisbögen im Zentrum bilden. Die Seiten des richtigen sphärischen Dreiecke sind (durch Konvention) von weniger als π , so daß 0 <  a  +  b  +  c  <2 π . (Todhunter, Art.22,32).
  • Der Radius der Kugel wird als Einheit angenommen. Für spezielle praktische Probleme auf einer Kugel mit Radius R müssen die gemessenen Längen der Seiten durch R geteilt werden, bevor die unten angegebenen Identitäten verwendet werden. Ebenso müssen nach einer Berechnung auf der Einheitskugel die Seiten a , b , c mit R multipliziert werden  .

Polardreiecke

Das Polardreieck A'B'C'

Das einem Dreieck ABC zugeordnete Polardreieck ist wie folgt definiert. Betrachten Sie den Großkreis, der die Seite BC enthält  . Dieser Großkreis wird durch den Schnittpunkt einer diametralen Ebene mit der Oberfläche definiert. Zeichnen Sie die Normale zu dieser Ebene in der Mitte: Sie schneidet die Fläche an zwei Punkten und der Punkt, der auf derselben Seite der Ebene wie A liegt, wird (konventionell) als Pol von A bezeichnet und mit A ′ bezeichnet. Die Punkte B und C sind ähnlich definiert.

Das Dreieck A′B′C ′ ist das dem Dreieck ABC entsprechende Polardreieck  . Ein sehr wichtiger Satz (Todhunter, Art.27) beweist, dass die Winkel und Seiten des Polardreiecks gegeben sind durch

Wenn also eine Identität für das Dreieck ABC bewiesen ist, können wir sofort eine zweite Identität ableiten, indem wir die erste Identität auf das Polardreieck anwenden, indem wir die obigen Substitutionen vornehmen. Auf diese Weise werden die ergänzenden Kosinusgleichungen aus den Kosinusgleichungen abgeleitet. Ebenso lassen sich die Identitäten für ein quadrantales Dreieck aus denen für ein rechtwinkliges Dreieck ableiten. Das Polardreieck eines Polardreiecks ist das ursprüngliche Dreieck.

Kosinusregeln und Sinusregeln

Kosinusregeln

Die Kosinusregel ist die grundlegende Identität der sphärischen Trigonometrie: Alle anderen Identitäten, einschließlich der Sinusregel, können aus der Kosinusregel abgeleitet werden:

Diese Identitäten verallgemeinern die Kosinusregel der ebenen Trigonometrie , zu der sie im Grenzwert kleiner Innenwinkel asymptotisch äquivalent sind. (Auf der Einheitskugel, wenn Satz und etc .; siehe Spherical Kosinussatz .)

Sinusregeln

Das sphärische Sinusgesetz ist gegeben durch die Formel

Diese Identitäten nähern sich der Sinusregel der ebenen Trigonometrie an, wenn die Seiten viel kleiner als der Radius der Kugel sind.

Herleitung der Kosinusregel

Sphärische Trigonometrie vectors.svg

Die Kugelkosinusformeln wurden ursprünglich durch die elementare Geometrie und die planare Kosinusregel (Todhunter, Art.37) bewiesen. Er gibt auch eine Herleitung mit einfacher Koordinatengeometrie und der planaren Kosinusregel (Art.60). Der hier skizzierte Ansatz verwendet einfachere Vektormethoden. (Diese Methoden werden auch unter Sphärisches Kosinusgesetz besprochen .)

Betrachten Sie drei Einheitsvektoren OA , OB und OC, die vom Ursprung zu den Eckpunkten des Dreiecks (auf der Einheitskugel) gezogen werden. Der Bogen BC schließt im Zentrum einen Winkel der Größe a ein und daher OB · OC  = cos a . Führen Sie eine kartesische Basis ein, wobei OA entlang der z- Achse und OB in der xz- Ebene einen Winkel c mit der z- Achse bilden. Der Vektor OC projiziert auf ON in der xy- Ebene und der Winkel zwischen ON und der x- Achse ist A . Daher haben die drei Vektoren Komponenten:

OA OB OC .          

Das Skalarprodukt OB · OC bezogen auf die Komponenten ist

OB · OC .

Die Gleichsetzung der beiden Ausdrücke für das Skalarprodukt ergibt

Diese Gleichung kann umgestellt werden, um explizite Ausdrücke für den Winkel in Bezug auf die Seiten zu geben:

Die anderen Kosinusregeln werden durch zyklische Permutationen erhalten.

Herleitung der Sinusregel

Diese Ableitung findet sich in Todhunter, (Art.40). Aus der Identität und dem expliziten Ausdruck für unmittelbar oben gegeben

Da die rechte Seite unter einer zyklischen Permutation invariant ist, folgt sofort die Kugelsinusregel.

Alternative Ableitungen

Es gibt viele Möglichkeiten, die grundlegenden Kosinus- und Sinusregeln und die anderen in den folgenden Abschnitten entwickelten Regeln abzuleiten. Todhunter führt beispielsweise zwei Beweise für die Kosinusregel (Artikel 37 und 60) und zwei Beweise für die Sinusregel (Artikel 40 und 42). Die Seite über das Kugelgesetz des Kosinus gibt vier verschiedene Beweise für die Kosinusregel. Lehrbücher über Geodäsie (wie Clarke) und Kugelastronomie (wie Smart) liefern verschiedene Beweise und die Online-Ressourcen von MathWorld liefern noch mehr. Es gibt noch exotischere Ableitungen, wie die von Banerjee, der die Formeln mit der linearen Algebra von Projektionsmatrizen herleitet und auch Methoden der Differentialgeometrie und der Gruppentheorie der Rotationen zitiert.

Die oben dargestellte Ableitung der Kosinusregel hat den Vorteil der Einfachheit und Direktheit und die Ableitung der Sinusregel unterstreicht die Tatsache, dass außer der Kosinusregel kein gesonderter Beweis erforderlich ist. Die obige Geometrie kann jedoch verwendet werden, um einen unabhängigen Beweis der Sinusregel zu geben. Die Spatprodukt , OA · ( OB  ×  OC ) den Wert in der Basis gezeigt. In ähnlicher Weise wird in einer Basis, die mit der z- Achse entlang OB orientiert ist , das Tripelprodukt OB ·( OC  ×  OA ) zu ausgewertet . Daher ergibt die Invarianz des Tripelprodukts unter zyklischen Permutationen die erste der Sinusregeln. Siehe gekrümmte Variationen des Sinusgesetzes , um Details dieser Ableitung zu sehen.

Identitäten

Ergänzende Kosinusregeln

Die Anwendung der Kosinusregeln auf das Polardreieck ergibt (Todhunter, Art.47), dh Ersetzen von A durch π  –  aa durch π  –  A usw.,

Kotangens vierteilige Formeln

Die sechs Teile eines Dreiecks können in zyklischer Reihenfolge als ( aCbAcB ) geschrieben werden. Die Kotangens- oder vierteiligen Formeln beziehen sich auf zwei Seiten und zwei Winkel, die vier aufeinanderfolgende Teile um das Dreieck bilden, zum Beispiel ( aCbA ) oder ( BaCb ). In einem solchen Set gibt es innere und äußere Teile: zum Beispiel im Set ( BaCb ) ist der Innenwinkel C , die Innenseite ist a , der Außenwinkel ist B , die Außenseite ist b . Die Kotangensregel kann geschrieben werden als (Todhunter, Art.44)

und die sechs möglichen Gleichungen lauten (mit dem entsprechenden Satz rechts):

Um die erste Formel zu beweisen, beginne mit der ersten Kosinusregel und setze auf der rechten Seite für die dritte Kosinusregel ein:

Das Ergebnis folgt beim Teilen durch . Ähnliche Techniken mit den anderen beiden Kosinusregeln ergeben CT3 und CT5. Die anderen drei Gleichungen folgen, indem die Regeln 1, 3 und 5 auf das Polardreieck angewendet werden.

Halbwinkel- und Halbseitenformeln

Mit und

Weitere zwölf Identitäten folgen durch zyklische Permutation.

Der Beweis (Todhunter, Art.49) der ersten Formel beginnt mit der Identität 2sin 2 ( A /2) = 1 – cos A , wobei die Kosinusregel verwendet wird, um A in Bezug auf die Seiten auszudrücken und die Summe von zwei Kosinus durch . zu ersetzen Ein Produkt. (Siehe Summen-zu-Produkt-Identitäten .) Die zweite Formel geht von der Identität 2cos 2 ( A /2) = 1 + cos A aus , die dritte ist ein Quotient und der Rest folgt durch Anwendung der Ergebnisse auf das Polardreieck.

Delambre (oder Gauß) Analogien

Weitere acht Identitäten folgen durch zyklische Permutation.

Beweis durch Erweiterung der Zähler und Verwendung der Halbwinkelformeln. (Todhunter, Art. 54 und Delambre)

Napiers Analogien

Weitere acht Identitäten folgen durch zyklische Permutation.

Diese Identitäten folgen durch Teilung der Delambre-Formeln. (Todhunter, Art.52)

Napiers Regeln für rechtwinklige sphärische Dreiecke

Sphärische Trigonometrie Napier rechtwinklig.svg

Wenn einer der Winkel, sagen wir C , eines sphärischen Dreiecks ist gleich & pi; / 2 oben erheblich vereinfacht werden gegeben , um die verschiedenen Identitäten. Es gibt zehn Identitäten, die sich auf drei Elemente beziehen, die aus der Menge a , b , c , A , B ausgewählt sind .

Napier lieferte eine elegante Gedächtnishilfe für die zehn unabhängigen Gleichungen: Die Gedächtnisstütze heißt Napiers Kreis oder Napier's Fünfeck (wenn der Kreis in der obigen Abbildung rechts durch ein Fünfeck ersetzt wird).

Schreiben Sie zuerst die sechs Teile des Dreiecks (drei Scheitelwinkel, drei Bogenwinkel für die Seiten) in der Reihenfolge, in der sie um einen beliebigen Kreis des Dreiecks auftreten: für das oben links gezeigte Dreieck im Uhrzeigersinn, beginnend mit a, ergibt aCbAcB . Als nächstes ersetzen Sie die Teile, die nicht an C angrenzen (also A, c, B ) durch ihre Komplemente und löschen Sie dann den Winkel C aus der Liste. Die restlichen Teile können dann als fünf geordnete, gleiche Scheiben eines Pentagramms oder Kreises gezeichnet werden, wie in der obigen Abbildung (rechts) gezeigt. Bei jeder Auswahl von drei aneinandergrenzenden Teilen liegt einer (der mittlere Teil) neben zwei Teilen und gegenüber den anderen beiden Teilen. Die zehn Napier's Rules werden gegeben von

  • Sinus des Mittelteils = das Produkt der Tangenten der benachbarten Teile
  • Sinus des Mittelteils = das Produkt der Kosinus der gegenüberliegenden Teile

Als Beispiel, beginnend mit dem Sektor, der enthält , haben wir:

Das vollständige Regelwerk für das rechtwinklige sphärische Dreieck ist (Todhunter, Art.62)

Napiers Regeln für quadrantale Dreiecke

Ein quadrantales sphärisches Dreieck zusammen mit dem Napier-Kreis zur Verwendung in seiner Gedächtnisstütze

Ein Quadrant sphärisches Dreieck ist definiert als ein sphärisches Dreieck, in dem eine der Seiten einen Winkel von π / 2 Radian in der Mitte der Kugel: auf der Einheitskugel die Seitenlänge hat π / 2. Für den Fall, dass die Seite c auf der Einheitskugel die Länge π /2 hat, können die Gleichungen für die restlichen Seiten und Winkel erhalten werden, indem die Regeln für das rechtwinklige Dreieck des vorherigen Abschnitts auf das Polardreieck A'B'C' angewendet werden. mit den Seiten a 'b', c ' so daß A' = π  -  einerein‘π  -  A usw. Die Ergebnisse sind:

Fünfteilige Regeln

Einsetzen der zweiten Kosinusregel in die erste und Vereinfachen ergibt:

Aufheben des Faktors von Gives

Ähnliche Substitutionen in den anderen Kosinus- und ergänzenden Kosinusformeln ergeben eine große Vielfalt von 5-teiligen Regeln. Sie werden selten verwendet.

Cagnolis Gleichung

Multiplizieren der ersten Kosinusregel mit ergibt

In ähnlicher Weise multipliziert man die erste ergänzende Kosinusregel mit Ausbeuten

Subtrahiere die beiden und beachte, dass dies aus den Sinusregeln folgt, die die Cagnoli-Gleichung erzeugen

das ist eine Beziehung zwischen den sechs Teilen des sphärischen Dreiecks.

Lösung von Dreiecken

Schräge Dreiecke

Die Lösung von Dreiecken ist der Hauptzweck der sphärischen Trigonometrie: Bestimmen Sie bei gegebenen drei, vier oder fünf Elementen des Dreiecks die anderen. Der Fall von fünf gegebenen Elementen ist trivial und erfordert nur eine einzige Anwendung der Sinusregel. Für vier gegebene Elemente gibt es einen nicht-trivialen Fall, der weiter unten diskutiert wird. Für drei gegebene Elemente gibt es sechs Fälle: drei Seiten, zwei Seiten und ein eingeschlossener oder gegenüberliegender Winkel, zwei Winkel und eine eingeschlossene oder gegenüberliegende Seite oder drei Winkel. (Der letzte Fall hat kein Analogon in der planaren Trigonometrie.) Keine einzelne Methode löst alle Fälle. Die folgende Abbildung zeigt die sieben nicht-trivialen Fälle: Die angegebenen Seiten sind jeweils mit einem Querstrich und die angegebenen Winkel mit einem Bogen gekennzeichnet. (Die angegebenen Elemente sind auch unterhalb des Dreiecks aufgeführt). In der zusammenfassenden Notation hier wie ASA bezieht sich A auf einen gegebenen Winkel und S auf eine gegebene Seite, und die Abfolge von A und S in der Notation bezieht sich auf die entsprechende Abfolge im Dreieck.

Sphärische Trigonometrie Dreieck Fälle.svg
  • Fall 1: Drei Seiten angegeben (SSS). Die Kosinusregel kann verwendet werden, um die Winkel A , B und C anzugeben, aber um Mehrdeutigkeiten zu vermeiden, werden die Halbwinkelformeln bevorzugt.
  • Fall 2: zwei Seiten und ein eingeschlossener Winkel gegeben (SAS). Die Kosinusregel ergibt a und dann sind wir wieder bei Fall 1.
  • Fall 3: zwei Seiten und ein entgegengesetzter Winkel gegeben (SSA). Die Sinusregel liefert C und dann haben wir Fall 7. Es gibt entweder eine oder zwei Lösungen.
  • Fall 4: Zwei Winkel und eine eingeschlossene Seite gegeben (ASA). Die vierteiligen Kotangensformeln für Mengen ( cBaC ) und ( BaCb ) ergeben c und b , dann folgt A aus der Sinusregel .
  • Fall 5: zwei Winkel und eine gegenüberliegende Seite gegeben (AAS). Die Sinusregel liefert b und dann haben wir Fall 7 (gedreht). Es gibt entweder eine oder zwei Lösungen.
  • Fall 6: drei Winkel angegeben (AAA). Die ergänzende Kosinusregel kann verwendet werden, um die Seiten a , b und c anzugeben, aber um Mehrdeutigkeiten zu vermeiden, werden die Halbseitenformeln bevorzugt.
  • Fall 7: zwei Winkel und zwei gegenüberliegende Seiten angegeben (SSAA). Verwenden Sie die Analogien von Napier für a und A ; oder verwenden Sie Fall 3 (SSA) oder Fall 5 (AAS).

Die hier aufgeführten Lösungsmethoden sind nicht die einzigen möglichen Wahlen, viele andere sind möglich. Im Allgemeinen ist es besser, Methoden zu wählen, die wegen der möglichen Mehrdeutigkeit zwischen einem Winkel und seiner Ergänzung die Berechnung eines inversen Sinus vermeiden. Die Verwendung von Halbwinkel Formeln ist oft ratsam , da der Halbwinkel geringer sein wird als π / 2 und daher frei von Mehrdeutigkeit. Es gibt eine vollständige Diskussion in Todhunter. Der Artikel Lösung von Dreiecken#Sphärische Dreiecke lösen stellt Varianten dieser Methoden mit einer etwas anderen Schreibweise vor.

Es gibt eine vollständige Diskussion der Lösung von schrägen Dreiecken in Todhunter. Siehe auch die Diskussion bei Ross.

Sphärische Trigonometrie Lösungskonstruktion.svg

Lösung durch rechtwinklige Dreiecke

Ein anderer Ansatz besteht darin, das Dreieck in zwei rechtwinklige Dreiecke aufzuteilen. Nehmen wir zum Beispiel das Beispiel von Fall 3, in dem b, c, B gegeben sind. Konstruieren Sie den Großkreis von A , der im Punkt D senkrecht zur Seite BC steht . Verwenden Sie die Regeln von Napier, um das Dreieck ABD zu lösen : Verwenden Sie c und B , um die Seiten AD , BD und den Winkel BAD zu finden . Dann verwenden Sie die Regeln von Napier, um das Dreieck ACD zu lösen : das heißt, verwenden Sie AD und b , um die Seite DC und die Winkel C und DAC zu finden . Der Winkel A und die Seite a folgen durch Addition.

Numerische Überlegungen

Nicht alle Regeln erhalten sind numerisch robust in Extrembeispiele, zum Beispiel , wenn ein Winkel Null oder nähert sich  π . Probleme und Lösungen müssen möglicherweise sorgfältig geprüft werden, insbesondere wenn Code geschrieben wird, um ein beliebiges Dreieck zu lösen.

Flächen- und Kugelüberschuss

Betrachten Sie ein N- seitiges sphärisches Polygon und lassen Sie A n den n- ten Innenwinkel bezeichnen. Die Fläche eines solchen Polygons ist gegeben durch (Todhunter, Art.99)

Für den Fall eines Dreiecks reduziert sich dies auf

wobei E der Betrag ist, um den die Summe der Winkel π Radiant überschreitet . Die Größe E wird als sphärischer Überschuss des Dreiecks bezeichnet. Dieser Satz ist nach seinem Autor Albert Girard benannt . Ein früherer Beweis wurde vom englischen Mathematiker Thomas Harriot abgeleitet, aber nicht veröffentlicht . Auf einer Kugel des Radius R werden beide der obigen Flächenausdrücke mit R 2 multipliziert . Die Definition des Überschusses ist unabhängig vom Kugelradius.

Das umgekehrte Ergebnis kann geschrieben werden als

Da die Fläche eines Dreiecks nicht negativ sein kann, ist der sphärische Überschuss immer positiv. Es ist nicht unbedingt klein, weil die Summe des Winkels erreichen kann 5 π (3 π für richtige Winkel). Ein Oktant einer Kugel ist beispielsweise ein kugelförmiges Dreieck mit drei rechten Winkeln, so dass der Überschuss π /2 beträgt . In der Praxis es ist oft klein: zum Beispiel der Dreiecken der geodätischen Vermessung haben typischerweise einen sphärischen Überschuss viel weniger als 1' des Bogens. (Rapp Clarke, Theorem von Legendre über sphärische Dreiecke ). Auf der Erde beträgt der Überschuss eines gleichseitigen Dreiecks mit Seiten 21,3 km (und Fläche 393 km 2 ) ungefähr 1 Bogensekunde.

Es gibt viele Formeln für den Überschuss. Todhunter (Art.101—103) gibt zum Beispiel zehn Beispiele, darunter das von L'Huilier :

wo . Da manche Dreiecke durch ihre Kanten schlecht charakterisiert sind (z. B. wenn ), ist es oft besser, die Formel für den Überschuss in Bezug auf zwei Kanten und ihren eingeschlossenen Winkel zu verwenden

Das Winkeldefizit wird ähnlich für die hyperbolische Geometrie definiert .

Von Breiten- und Längengrad

Ein Beispiel für ein sphärisches Viereck, das von einem Segment eines Großkreises, zwei Meridianen und dem Äquator begrenzt wird, ist

wobei Breiten- und Längengrad bezeichnen. Dieses Ergebnis wird aus einer der Analogien von Napier gewonnen. Im Grenzbereich, wo alle klein sind, reduziert sich dies auf die bekannte trapezförmige Fläche, .

Die Fläche eines Polygons kann aus einzelnen Vierecke der oben genannten Art berechnet werden, aus (analog) einzelnen Dreiecken, die durch ein Segment des Polygons und zwei Meridiane begrenzt werden, durch ein Linienintegral mit dem Greenschen Theorem oder wie üblich über eine flächengleiche Projektion im GIS gemacht. Die anderen Algorithmen können weiterhin mit den mit einer Großkreis-Abstandsformel berechneten Seitenlängen verwendet werden .

Siehe auch

Verweise

Externe Links