Spinglas - Spin glass

Schematische Darstellung der zufälligen Spinstruktur eines Spinglases (oben) und der geordneten eines Ferromagneten (unten)

Glas (amorphes SiO ₂ )

Quarz (kristallines SiO ₂ )

Die magnetische Unordnung von Spinglas im Vergleich zu einem Ferromagneten ist analog zur Lageunordnung von Glas (links) im Vergleich zu Quarz (rechts).

In der Physik der kondensierten Materie ist ein Spinglas ein magnetischer Zustand, der neben dem kooperativen Verhalten beim Einfrieren von Spins bei einer Temperatur namens "Gefriertemperatur" Tf durch Zufall gekennzeichnet ist . Magnetische Spins sind grob gesagt die Orientierung der magnetischen Nord- und Südpole im dreidimensionalen Raum. In ferromagnetischen Festkörpern richten sich die magnetischen Spins der Atomkomponenten alle in die gleiche Richtung aus. Spinglas wird im Gegensatz zu einem Ferromagneten als " ungeordneter " magnetischer Zustand definiert, in dem Spins zufällig oder nicht mit einem regelmäßigen Muster ausgerichtet sind und auch die Kopplungen zufällig sind.

Der Begriff "Glas" kommt von einer Analogie zwischen der magnetischen Unordnung in einem Spinglas und der Positionsfehlordnung eines herkömmlichen chemischen Glases , zB eines Fensterglases. In Fensterglas oder jedem amorphen Festkörper ist die atomare Bindungsstruktur sehr unregelmäßig; im Gegensatz dazu hat ein Kristall ein einheitliches Muster von Atombindungen. In ferromagnetischen Festkörpern richten sich alle magnetischen Spins in die gleiche Richtung aus; dies ist analog zur gitterbasierten Struktur eines Kristalls .

Die einzelnen Atombindungen in einem Spinglas sind eine Mischung aus ungefähr gleicher Anzahl ferromagnetischer Bindungen (bei denen Nachbarn die gleiche Ausrichtung haben) und antiferromagnetischen Bindungen (bei denen Nachbarn genau die entgegengesetzte Ausrichtung haben: Nord- und Südpol sind um 180 Grad gedreht). Diese Muster aus ausgerichteten und falsch ausgerichteten Atommagneten erzeugen sogenannte frustrierte Wechselwirkungen – Verzerrungen in der Geometrie der Atombindungen im Vergleich zu dem, was in einem regulären, vollständig ausgerichteten Festkörper zu sehen wäre. Sie können auch Situationen schaffen, in denen mehr als eine geometrische Anordnung von Atomen stabil ist.

Spingläser und die darin entstehenden komplexen inneren Strukturen werden als „ metastabil “ bezeichnet, weil sie in anderen stabilen Konfigurationen als der niedrigsten Energiekonfiguration (die ausgerichtet und ferromagnetisch wäre) „feststecken“ . Die mathematische Komplexität dieser Strukturen lässt sich nur schwer experimentell oder in Simulationen untersuchen ; mit Anwendungen in Physik, Chemie, Materialwissenschaften und künstlichen neuronalen Netzen in der Informatik.

Magnetisches Verhalten

Es ist die Zeitabhängigkeit, die Spingläser von anderen magnetischen Systemen unterscheidet.

Oberhalb der Spinglas - Übergangstemperatur , T _c zeigt das Spinglas typisches magnetisches Verhalten (wie Paramagnetismus ).

Wird beim Abkühlen der Probe auf die Übergangstemperatur ein Magnetfeld angelegt, nimmt die Magnetisierung der Probe gemäß dem Curie-Gesetz zu . Beim Erreichen von T _c wird die Probe zu einem Spinglas und weiteres Abkühlen führt zu einer geringen Änderung der Magnetisierung. Dies wird als feldgekühlte Magnetisierung bezeichnet.

Wenn das externe Magnetfeld entfernt wird, fällt die Magnetisierung des Spinglases schnell auf einen niedrigeren Wert, der als remanente Magnetisierung bekannt ist.

Die Magnetisierung klingt dann langsam ab, wenn sie sich Null nähert (oder einem kleinen Bruchteil des ursprünglichen Wertes – dies bleibt unbekannt ). Dieser Abfall ist nicht exponentiell und keine einfache Funktion kann die Kurve der Magnetisierung über der Zeit angemessen anpassen. Dieser langsame Zerfall ist spezifisch für Spingläser. Experimentelle Messungen in der Größenordnung von Tagen haben kontinuierliche Veränderungen oberhalb des Geräuschpegels von Instrumenten gezeigt.

Spingläser unterscheiden sich von ferromagnetischen Materialien dadurch, dass die Magnetisierung nach Entfernen des äußeren Magnetfelds von einem ferromagnetischen Stoff unbegrenzt auf dem remanenten Wert verbleibt. Paramagnetische Materialien unterscheiden sich von Spingläsern dadurch, dass die Magnetisierung nach Entfernen des externen Magnetfelds schnell auf Null abfällt, ohne dass eine remanente Magnetisierung vorhanden ist. Der Zerfall ist schnell und exponentiell.

Wenn die Probe in Abwesenheit eines externen Magnetfelds unter T _c abgekühlt wird und nach dem Übergang in die Spinglasphase ein Magnetfeld angelegt wird, kommt es zu einem schnellen anfänglichen Anstieg auf einen Wert, der als nullfeldgekühlte Magnetisierung bezeichnet wird. Dann tritt eine langsame Aufwärtsdrift in Richtung der feldgekühlten Magnetisierung auf.

Überraschenderweise ist die Summe der beiden komplizierten Zeitfunktionen (der feldnullgekühlten und der remanenten Magnetisierung) eine Konstante, nämlich der feldgekühlte Wert, und somit teilen sich beide mit der Zeit zumindest im Grenzbereich von sehr identische Funktionsformen kleine externe Felder.

Edwards-Anderson-Modell

In diesem Modell haben wir Spins, die auf einem -dimensionalen Gitter angeordnet sind, mit nur nächsten Nachbarinteraktionen ähnlich dem Ising-Modell . Dieses Modell kann exakt für die kritischen Temperaturen gelöst werden und es wird beobachtet, dass bei niedrigen Temperaturen eine glasige Phase existiert. Der Hamilton-Operator für dieses Spinsystem ist gegeben durch: $d$

H=-\sum_{\langle ij\rangle}J_{ij}S_{i}S_{j},

wobei bezieht sich auf die Pauli-Spinmatrix für das Spin-Halbe-Teilchen am Gitterpunkt . Ein negativer Wert von bezeichnet eine antiferromagnetische Wechselwirkung zwischen Spins an den Punkten und . Die Summe läuft über alle nächstgelegenen Nachbarpositionen auf einem Gitter beliebiger Dimension. Die Variablen, die die magnetische Natur der Spin-Spin-Wechselwirkungen darstellen, werden als Bindungs- oder Verknüpfungsvariablen bezeichnet. $S_{i}$ $i$ $J_{ij}$ $i$ $j$ $J_{ij}$

Um die Verteilungsfunktion für dieses System zu bestimmen, muss man die freie Energie wo über alle möglichen Werte von mitteln . Die Verteilung der Werte von wird als Gauß mit einem Mittelwert und einer Varianz angenommen : $f\left[J_{ij}\right]=-{\frac {1}{\beta}}\ln {\mathcal {Z}}\left[J_{ij}\right]$ ${\mathcal{Z}}\left[J_{ij}\right]=\operatorname {Tr} _{S}\left(e^{-\beta H}\right)$ $J_{ij}$ $J_{ij}$ $J_{0}$ $J^{2}$

P(J_{ij})={\sqrt {\frac {N}{2\pi J^{2}}}}\exp \left\{-{\frac {N}{2J^{2 }}}\left(J_{ij}-{\frac {J_{0}}{N}}\right)^{2}\right\}.

Beim Auflösen nach der freien Energie mit der Replika-Methode findet man unterhalb einer bestimmten Temperatur eine neue magnetische Phase, die Spinglasphase (oder Glasphase) des Systems genannt wird, die durch eine verschwindende Magnetisierung zusammen mit einem nicht verschwindenden Wert gekennzeichnet ist der Zweipunkt-Korrelationsfunktion zwischen Spins am selben Gitterpunkt, aber an zwei verschiedenen Replikaten: $m=0$

q=\sum_{i=1}^{N}S_{i}^{\alpha}S_{i}^{\beta}\neq 0,

wo sind Replik-Indizes. Der Ordnungsparameter für den Phasenübergang von ferromagnetisch zu Spinglas ist daher , und der von paramagnetischem zu Spinglas ist wieder . Daher besteht der neue Satz von Ordnungsparametern, der die drei magnetischen Phasen beschreibt, sowohl aus als auch aus . ${\displaystyle\alpha,\beta}$ $q$ $q$ $m$ $q$

Unter der Annahme der Replikasymmetrie ist die mittlere freie Feldenergie durch den Ausdruck gegeben:

{\begin{ausgerichtet}\beta f={}&-{\frac {\beta^{2}J^{2}}{4}}(1-q)^{2}+{\frac {\beta J_{0}m^{2}}{2}}\\&-\int \exp \left(-{\frac {z^{2}}{2}}\right)\log \left (2\cosh\left(\beta Jz+\beta J_{0}m\right)\right)\,\mathrm{d} z.\end{aligned}}

Sherrington-Kirkpatrick-Modell

Neben ungewöhnlichen experimentellen Eigenschaften sind Spingläser Gegenstand umfangreicher theoretischer und rechnerischer Untersuchungen. Ein wesentlicher Teil der frühen theoretischen Arbeiten zu Spingläsern beschäftigte sich mit einer Form der Mean-Field-Theorie, die auf einer Reihe von Repliken der Verteilungsfunktion des Systems basiert .

Ein wichtiges, exakt lösbares Modell eines Spinglases wurde 1975 von David Sherrington und Scott Kirkpatrick vorgestellt. Es ist ein Ising-Modell mit weitreichenden frustrierten ferro- und antiferromagnetischen Kopplungen. Sie entspricht einer Mean-Field-Approximation von Spingläsern, die die langsame Dynamik der Magnetisierung und den komplexen nichtergodischen Gleichgewichtszustand beschreibt.

Im Gegensatz zum Edwards-Anderson (EA)-Modell kann im System, obwohl nur Zwei-Spin-Wechselwirkungen berücksichtigt werden, die Reichweite jeder Wechselwirkung potenziell unendlich sein (in der Größenordnung der Größe des Gitters). Daher sehen wir, dass zwei beliebige Spins mit einer ferromagnetischen oder einer antiferromagnetischen Bindung verknüpft werden können und deren Verteilung genau wie im Fall des Edwards-Anderson-Modells gegeben ist. Der Hamiltonian für das SK-Modell ist dem EA-Modell sehr ähnlich:

H=-\sum_{i<j}J_{ij}S_{i}S_{j}

wobei dieselben Bedeutungen wie im EA-Modell haben. Die Gleichgewichtslösung des Modells wurde nach einigen ersten Versuchen von Sherrington, Kirkpatrick und anderen 1979 von Giorgio Parisi mit der Replika-Methode gefunden. Die anschließende Interpretationsarbeit der Parisi-Lösung – von M. Mezard, G. Parisi, MA Virasoro und vielen anderen – enthüllte die komplexe Natur einer glasigen Tieftemperaturphase, die durch Ergodizitätsbrechung, Ultrametrie und Nicht-Selbstmittelwertigkeit gekennzeichnet ist. Weitere Entwicklungen führten zur Entwicklung der Hohlraummethode , die das Studium der Niedertemperaturphase ohne Nachbildungen ermöglichte. Ein rigoroser Beweis für die Pariser Lösung wurde in der Arbeit von Francesco Guerra und Michel Talagrand geliefert . $J_{ij},S_{i},S_{j}$

Der Formalismus der Replika-Mean-Field-Theorie wurde auch bei der Untersuchung neuronaler Netze angewendet , wo er Berechnungen von Eigenschaften wie der Speicherkapazität einfacher neuronaler Netzarchitekturen ermöglicht hat, ohne dass ein Trainingsalgorithmus (wie Backpropagation ) entworfen werden muss oder umgesetzt.

Realistischere Spinglasmodelle mit frustrierten Wechselwirkungen und Unordnung über kurze Entfernungen, wie das Gaußsche Modell, bei dem die Kopplungen zwischen benachbarten Spins einer Gaußschen Verteilung folgen , wurden ebenfalls umfassend untersucht, insbesondere unter Verwendung von Monte-Carlo-Simulationen . Diese Modelle zeigen Spinglasphasen, die von scharfen Phasenübergängen begrenzt sind .

Neben ihrer Relevanz in der Physik der kondensierten Materie hat die Spinglastheorie einen stark interdisziplinären Charakter mit Anwendungen in der neuronalen Netztheorie, der Informatik, der theoretischen Biologie, der Ökonophysik etc.

Modell mit unendlicher Reichweite

Das Modell mit unendlicher Reichweite ist eine Verallgemeinerung des Sherrington-Kirkpatrick-Modells, bei dem wir nicht nur zwei Spin-Wechselwirkungen betrachten, sondern auch -Spin-Wechselwirkungen, wobei und die Gesamtzahl der Spins ist. Anders als beim Edwards-Anderson-Modell, ähnlich dem SK-Modell, ist der Interaktionsbereich immer noch unendlich. Der Hamilton-Operator für dieses Modell wird beschrieben durch: $r$ $r\leq N$ $N$

H=-\sum_{i_{1}<i_{2}<\cdots <i_{r}}J_{i_{1}\dots i_{r}}S_{i_{1}}\cdots Herr}}

wo haben ähnliche Bedeutungen wie im EA-Modell. Die Grenze dieses Modells ist als Zufallsenergiemodell bekannt . An dieser Grenze kann man erkennen, dass die Wahrscheinlichkeit, dass das Spinglas in einem bestimmten Zustand existiert, nur von der Energie dieses Zustands abhängt und nicht von den einzelnen Spinkonfigurationen darin. Zur Lösung dieses Modells wird normalerweise eine Gaußsche Verteilung der magnetischen Bindungen über das Gitter angenommen. Jede andere Verteilung soll aufgrund des zentralen Grenzwertsatzes das gleiche Ergebnis liefern . Die Gaußsche Verteilungsfunktion mit Mittelwert und Varianz lautet: $J_{i_{1}\dots i_{r}},S_{i_{1}},\dots ,S_{i_{r}}$ $r\to\infty$ ${\frac {J_{0}}{N}}$ ${\frac {J^{2}}{N}}$

P\left(J_{i_{1}\cdots i_{r}}\right)={\sqrt {\frac {N^{r-1}}{J^{2}\pi r!} }}\exp \left\{-{\frac {N^{r-1}}{J^{2}r!}}\left(J_{i_{1}\cdots i_{r}}-{\ frac {J_{0}r!}{2N^{r-1}}}\right)\right\}

Die Ordnungsparameter für dieses System werden durch die Magnetisierung und die Zwei-Punkt-Spin-Korrelation zwischen Spins an derselben Stelle in zwei verschiedenen Replikaten gegeben, die denen des SK-Modells entsprechen. Dieses Infinite-Range-Modell kann explizit für die freie Energie im Sinne von und gelöst werden , unter der Annahme von Replikasymmetrie sowie 1-Replica Symmetry Breaking. $m$ $q$ $m$ $q$

{\begin{ausgerichtet}\beta f={}&{\frac {1}{4}}\beta ^{2}J^{2}q^{r}-{\frac {1}{ 2}}r\beta^{2}J^{2}q^{r}-{\frac{1}{4}}\beta^{2}J^{2}+{\frac{1}{ 2}}\beta J_{0}rm^{r}+{\frac {1}{4{\sqrt {2\pi}}}}r\beta^{2}J^{2}q^{r -1}+{}\\&\int \exp \left(-{\frac {1}{2}}z^{2}\right)\log \left(2\cosh \left(\beta Jz{ \sqrt {{\frac {1}{2}}rq^{r-1}}}+{\frac {1}{2}}\beta J_{0}rm^{r-1}\right)\ rechts)\,\mathrm{d} z\end{ausgerichtet}}

Nichtergodisches Verhalten und Anwendungen

Ein thermodynamisches System ist ergodisch, wenn es bei einer gegebenen (Gleichgewichts-)Instanz des Systems schließlich jeden anderen möglichen (Gleichgewichts-)Zustand (der gleichen Energie) besucht. Ein Merkmal von Spinglassystemen ist, dass Instanzen unterhalb der Gefriertemperatur in einem "nicht-ergodischen" Zustandssatz gefangen sind: Das System kann zwischen mehreren Zuständen schwanken, aber nicht in andere Zustände äquivalenter Energie übergehen. Intuitiv kann man sagen, dass das System den tiefen Minima der hierarchisch ungeordneten Energielandschaft nicht entkommen kann; die Abstände zwischen den Minima sind durch eine ultrametrische , mit hohen Energiebarrieren zwischen den Minima gegeben. Die Beteiligungsquote zählt die Anzahl der Staaten, die von einer gegebenen Instanz aus zugänglich sind, d. h. die Anzahl der Staaten, die am Grundzustand teilnehmen . Der ergodische Aspekt von Spinglas war maßgeblich an der Verleihung des halben Physik-Nobelpreises 2021 an Giorgio Parisi beteiligt . $T_{\text{f}}$

Für physikalische Systeme wie verdünntes Mangan in Kupfer beträgt die Gefriertemperatur typischerweise nur 30 Kelvin (−240 °C), sodass der Spin-Glas-Magnetismus im täglichen Leben praktisch ohne Anwendung zu sein scheint. Die nicht-ergodische Staaten und robuste Energielandschaften sind jedoch sehr nützlich , um das Verhalten von bestimmten Verständnis neuronaler Netze , einschließlich Hopfieldnetze sowie viele Probleme in der Informatik Optimierung und Genetik .

Selbstinduziertes Spinglas

Im Jahr 2020 gaben Physikforscher der Radboud University und der Uppsala University bekannt, dass sie in der Atomstruktur von Neodym ein Verhalten beobachtet haben, das als selbstinduziertes Spinglas bekannt ist. Einer der Forscher erklärte: „...wir sind Spezialisten für die Rastertunnelmikroskopie . Sie ermöglicht es uns, die Struktur einzelner Atome zu sehen und die Nord- und Südpole der Atome aufzulösen. Mit diesem Fortschritt in der hochpräzisen Bildgebung , konnten wir das Verhalten in Neodym entdecken, weil wir die unglaublich kleinen Veränderungen in der magnetischen Struktur auflösen konnten." Neodym verhält sich auf eine komplexe magnetische Weise, die zuvor in einem Element des Periodensystems nicht beobachtet wurde.

Geschichte des Feldes

Eine detaillierte Darstellung der Geschichte der Spingläser von den frühen 1960er bis in die späten 1980er Jahre findet sich in einer Reihe populärer Artikel von Philip W. Anderson in Physics Today .

Siehe auch

Anmerkungen

Verweise

Literatur

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