Stirling verwandeln - Stirling transform

In der kombinatorischen Mathematik ist die Stirling-Transformation einer Folge { a _n  : n = 1, 2, 3, ...} von Zahlen die Folge { b _n  : n = 1, 2, 3, ...}, die durch gegeben ist

${\ displaystyle b_ {n} = \ sum _ {k = 1} ^ {n} \ left \ {{\ begin {matrix} n \\ k \ end {matrix}} \ right \} a_ {k},}$

wo ist die Stirling-Zahl der zweiten Art, auch bezeichnet als S ( n , k ) (mit einem Großbuchstaben S ), die die Anzahl der Partitionen einer Menge der Größe n in k Teile ist. ${\ displaystyle \ left \ {{\ begin {matrix} n \\ k \ end {matrix}} \ right \}}$

Die inverse Transformation ist

${\ displaystyle a_ {n} = \ sum _ {k = 1} ^ {n} s (n, k) b_ {k},}$

wobei s ( n , k ) (mit einem Kleinbuchstaben s ) eine Stirling-Zahl der ersten Art ist.

Berstein und Sloane (unten zitiert) geben an: "Wenn a _n die Anzahl von Objekten in einer Klasse mit Punkten ist, die mit 1, 2, ..., n bezeichnet sind (wobei alle Bezeichnungen unterschiedlich sind, dh gewöhnliche markierte Strukturen), dann ist b _n die Anzahl von Objekten mit den Punkten 1, 2, ..., n (mit erlaubten Wiederholungen). "

Wenn

${\ displaystyle f (x) = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {a_ {n} \ over n!} x ^ {n}}$

ist eine formale Potenzreihe , und

${\ displaystyle g (x) = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {b_ {n} \ over n!} x ^ {n}}$

dann mit a _n und b _n wie oben

${\ displaystyle g (x) = f (e ^ {x} -1). \,}$

Ebenso die inverse Transformation führt zu der Erzeugungsfunktion Identität

${\ displaystyle f (x) = g (\ log (1 + x)).}$

Siehe auch

• Binomialtransformation
• Funktionstransformation generieren
• Liste der faktoriellen und binomialen Themen

Verweise

• Bernstein, M.; Sloane, NJA (1995). "Einige kanonische Folgen von ganzen Zahlen". Lineare Algebra und ihre Anwendungen . 226/228: 57–72. arXiv : math / 0205301 . doi : 10.1016 / 0024-3795 (94) 00245-9 . .
• Khristo N. Boyadzhiev, Anmerkungen zur Binomialtransformation, Theorie und Tabelle, mit Anhang zur Stirlingtransformation (2018), World Scientific.