Teilmenge - Subset

Euler Diagramm zeigt
A eine Teilmenge von B ,   AB , und umgekehrt , B ist eine Obermenge von A .

In der Mathematik ist eine Menge A eine Teilmenge einer Menge B, wenn alle Elemente von A auch Elemente von B sind ; B ist dann eine Obermenge von A . Es ist möglich, dass A und B gleich sind; sind sie ungleich, dann ist A eine echte Teilmenge von B . Die Beziehung zwischen einer Menge und einer Untermenge einer anderen wird Inklusion (oder manchmal auch Containment ) genannt. A ist eine Teilmenge von Bkann auch ausgedrückt werden als B enthält (oder enthält) A oder A enthalten ist (oder enthält) in B .

Die Teilmengenrelation definiert eine Teilordnung von Mengen. Tatsächlich bilden die Teilmengen einer gegebenen Menge eine Boolesche Algebra unter der Teilmengenrelation, in der Join und Meet durch Schnitt und Vereinigung gegeben sind und die Teilmengenrelation selbst die Boolesche Inklusionsrelation ist .

Definitionen

Wenn A und B Mengen sind und jedes Element von A auch ein Element von B ist , dann:

  • A ist eine Teilmenge von B , bezeichnet mit oder äquivalent
  • B ist eine Obermenge von A , bezeichnet mit

Wenn A eine Teilmenge von B , aber A ist nicht gleich zu B (dh es existiert mindestens ein Element von B , die nicht ein Element ist , A ) ist , dann:

  • A ist eine echte (oder strikte ) Teilmenge von B , bezeichnet mit Or äquivalent,
  • B ist eine echte (oder strenge ) Obermenge von A , bezeichnet mit .
  • Die leere Menge , geschrieben oder ist eine Teilmenge einer beliebigen Menge X und eine echte Teilmenge einer beliebigen Menge außer sich selbst.

Für jede Menge S , die Aufnahme Beziehung ist eine teilweise Ordnung auf dem Satz (die Potenzmenge von S -Der Menge aller Untergruppen von S ) , definiert durch . Wir können auch teilweise durch umgekehrte Mengeninklusion ordnen, indem wir definieren

Wenn quantifiziert, wird dargestellt als

Wir können die Aussage beweisen, indem wir eine Beweistechnik anwenden, die als Elementargument bekannt ist:

Lassen Sie Sätze A und B gegeben werden. Um zu beweisen, dass

  1. Nehmen wir an , a sei ein bestimmtes, aber willkürlich gewähltes Element von A,
  2. Zeigen Sie, dass a ein Element von B ist .

Die Gültigkeit dieser Technik kann als Folge der universellen Verallgemeinerung gesehen werden : Die Technik zeigt für ein willkürlich gewähltes Element c . Universelle Verallgemeinerung impliziert dann, was äquivalent zu dem oben Gesagten ist .

Eigenschaften

  • Eine Menge A ist genau dann eine Teilmenge von B, wenn ihr Durchschnitt gleich A ist.
Formal:
  • Eine Menge A ist genau dann eine Teilmenge von B, wenn ihre Vereinigung gleich B ist.
Formal:
  • Eine endliche Menge A ist genau dann eine Teilmenge von B , wenn die Kardinalität ihres Schnitts gleich der Kardinalität von A ist.
Formal:

⊂- und ⊃-Symbole

Einige Autoren verwenden die Symbole und , um eine Untermenge bzw. eine Obermenge anzuzeigen ; d.h. mit gleicher Bedeutung und anstelle der Symbole, und Zum Beispiel gilt für diese Autoren für jede Menge A , die

Andere Autoren ziehen es vor, die Symbole zu verwenden und die richtige (auch als strikte bezeichnete) Teilmenge bzw. die richtige Obermenge anzugeben ; das heißt, mit der gleichen Bedeutung und anstelle den Symbole, und Diese Verwendung macht und analog zu der Ungleichheit Symbolen und zum Beispiel, wenn dann x oder auch nicht gleich y , aber wenn dann x definitiv nicht gleich y , und ist weniger als j . In ähnlicher Weise wird die Konvention verwendet, die eine richtige Teilmenge ist, wenn dann A gleich B sein kann oder nicht , aber wenn dann A definitiv nicht gleich B ist .

Beispiele für Teilmengen

Die regelmäßigen Polygone bilden eine Teilmenge der Polygone
  • Die Menge A = {1, 2} ist eine echte Teilmenge von B = {1, 2, 3}, also sind beide Ausdrücke und wahr.
  • Die Menge D = {1, 2, 3} ist eine Teilmenge (aber keine echte Teilmenge) von E = {1, 2, 3}, ist also wahr und nicht wahr (falsch).
  • Jede Menge ist eine Teilmenge von sich selbst, aber keine richtige Teilmenge. ( ist wahr und ist für jede Menge X falsch.)
  • Die Menge { x : x ist eine Primzahl größer als 10} ist eine echte Teilmenge von { x : x ist eine ungerade Zahl größer als 10}
  • Die Menge der natürlichen Zahlen ist eine echte Teilmenge der Menge der rationalen Zahlen ; ebenso ist die Menge von Punkten in einem Liniensegment eine echte Teilmenge der Menge von Punkten in einer Linie . Dies sind zwei Beispiele, in denen sowohl die Teilmenge als auch die Gesamtmenge unendlich sind und die Teilmenge dieselbe Kardinalität (das Konzept, das der Größe entspricht, dh der Anzahl der Elemente einer endlichen Menge) wie das Ganze hat; solche Fälle können der anfänglichen Intuition zuwiderlaufen.
  • Die Menge der rationalen Zahlen ist eine echte Teilmenge der Menge der reellen Zahlen . In diesem Beispiel sind beide Mengen unendlich, aber die letztere Menge hat eine größere Kardinalität (oder Potenz ) als die erstere Menge.

Ein weiteres Beispiel in einem Euler-Diagramm :

Andere Eigenschaften der Inklusion

und impliziert

Inklusion ist die kanonische partielle Ordnung , in dem Sinne, dass jede partiell geordnete Menge isomorph zu einer Sammlung von durch Inklusion geordneten Mengen ist . Die Ordnungszahlen sind ein einfaches Beispiel: Wenn jede Ordnungszahl n mit der Menge aller Ordnungszahlen kleiner oder gleich n identifiziert wird , dann genau dann, wenn

Für die Potenzmenge einer Menge S ist die Inklusionsteilordnung – bis auf einen Ordnungsisomorphismus – das kartesische Produkt von (der Kardinalität von S ) Kopien der Teilordnung auf für die Dies kann durch Aufzählen und Assoziieren mit jedem veranschaulicht werden Teilmenge (dh jedes Element von ) das k- Tupel dessen i- te Koordinate 1 ist, wenn und nur wenn ein Mitglied von T ist .

Siehe auch

Verweise

Literaturverzeichnis

Externe Links