Summe - Summation

In der Mathematik , Summation ist die Addition einer Sequenz , jede Art von Zahlen , genannt Addenden oder Summanden ; das Ergebnis ist ihre Summe oder Summe . Neben Zahlen können auch andere Arten von Werten summiert werden: Funktionen , Vektoren , Matrizen , Polynome und im Allgemeinen Elemente jeder Art von mathematischen Objekten, für die eine mit "+" bezeichnete Operation definiert ist.

Summen unendlicher Folgen werden Reihen genannt . Sie beinhalten das Konzept der Grenze und werden in diesem Artikel nicht berücksichtigt.

Die Summation einer expliziten Sequenz wird als Folge von Additionen bezeichnet. Zum Beispiel wird die Summation von [1, 2, 4, 2] als 1 + 2 + 4 + 2 bezeichnet und ergibt 9, also 1 + 2 + 4 + 2 = 9 . Da die Addition assoziativ und kommutativ ist , sind keine Klammern erforderlich und das Ergebnis ist unabhängig von der Reihenfolge der Summanden gleich. Die Summation einer Folge von nur einem Element ergibt dieses Element selbst. Die Summation einer leeren Sequenz (einer Sequenz ohne Elemente) ergibt laut Konvention 0.

Sehr oft werden die Elemente einer Sequenz durch regelmäßige Muster als Funktion ihres Platzes in der Sequenz definiert. Für einfache Muster kann die Summation langer Folgen dargestellt werden, wobei die meisten Summanden durch Ellipsen ersetzt werden. Beispielsweise kann die Summation der ersten 100 natürlichen Zahlen als 1 + 2 + 3 + 4 + + 99 + 100 geschrieben werden . Andernfalls wird die Summation mit der Σ-Notation bezeichnet , wobei ein vergrößerter griechischer Großbuchstabe sigma ist . Zum Beispiel kann die Summe der ersten n natürlichen Zahlen bezeichnet werden als

Bei langen Summationen und Summationen variabler Länge (definiert mit Ellipsen oder -Notation) ist es ein häufiges Problem, geschlossene Ausdrücke für das Ergebnis zu finden. Zum Beispiel,

Obwohl solche Formeln nicht immer existieren, wurden viele Summenformeln entdeckt – einige der gebräuchlichsten und elementarsten werden im Rest dieses Artikels aufgeführt.

Notation

Groß-Sigma-Notation

Das Summensymbol

Die mathematische Notation verwendet ein Symbol, das die Summe vieler ähnlicher Begriffe kompakt darstellt: das Summensymbol , , eine vergrößerte Form des aufrechten griechischen Großbuchstabens Sigma . Dies ist definiert als

wo i ist der Index der Summation ; a i eine indizierte Variable ist, die jeden Term der Summe darstellt; m ist die untere Grenze der Summation und n ist die obere Grenze der Summation . Das " i = m " unter dem Summensymbol bedeutet , dass der Index i gleich m beginnt . Der Index i wird für jeden nachfolgenden Term um eins erhöht und endet, wenn i = n ist .

Dies wird als "Summe von a i , von i = m bis n " gelesen .

Hier ist ein Beispiel, das die Summation von Quadraten zeigt:

Im Allgemeinen kann jede Variable als Summationsindex verwendet werden (vorausgesetzt, dass keine Mehrdeutigkeit entsteht), einige der gebräuchlichsten sind jedoch Buchstaben wie , , , und ; letzteres wird auch oft für die obere Grenze einer Summation verwendet.

Alternativ werden Index und Summationsgrenzen manchmal aus der Definition der Summation weggelassen, wenn der Kontext hinreichend klar ist. Dies gilt insbesondere, wenn der Index von 1 bis n läuft . So könnte man zum Beispiel schreiben:

Man sieht oft Verallgemeinerungen dieser Notation, in denen eine beliebige logische Bedingung angegeben wird und die Summe über alle die Bedingung erfüllenden Werte übernommen werden soll. Zum Beispiel:

ist die Summe aller ( Ganzzahlen ) im angegebenen Bereich,

die Summe aller Elemente in der Menge ist und

ist die Summe aller positiven ganzen Zahlen, die dividieren .

Es gibt auch Möglichkeiten, die Verwendung vieler Sigma-Zeichen zu verallgemeinern. Zum Beispiel,

ist das gleiche wie

Eine ähnliche Notation wird verwendet, wenn es darum geht, das Produkt einer Folge zu bezeichnen , die ihrer Summation ähnlich ist, aber die Multiplikationsoperation anstelle der Addition verwendet (und für eine leere Folge 1 anstelle von 0 ergibt). Die gleiche Grundstruktur wird verwendet, wobei eine vergrößerte Form des griechischen Großbuchstabens pi anstelle des .

Sonderfälle

Es ist möglich, weniger als 2 Zahlen zu summieren:

  • Wenn die Summation einen Summanden hat , ist die ausgewertete Summe .
  • Wenn die Summation keine Summanden hat, ist die ausgewertete Summe null , da null die Identität für die Addition ist. Dies wird als leere Summe bezeichnet .

Diese entarteten Fälle werden normalerweise nur verwendet, wenn die Summationsnotation in einem speziellen Fall ein entartetes Ergebnis liefert. Wenn beispielsweise in der obigen Definition nur ein Term in der Summe enthalten ist; wenn , dann gibt es keine.

Formale Definition

Die Summe kann rekursiv wie folgt definiert werden:

, für b < a ;
, für ba .

Notation der Maßtheorie

In der Notation der Maß- und Integrationstheorie kann eine Summe als bestimmtes Integral ausgedrückt werden ,

wobei ist die Teilmenge der ganzen Zahlen von bis , und wo ist das Zählmaß .

Berechnung endlicher Differenzen

Gegeben eine Funktion f , die über den ganzen Zahlen im Intervall [ m , n ] definiert ist , gilt die folgende Gleichung:

Dies ist das Analogon des fundamentalen Theorems der Analysis in der Analysis der endlichen Differenzen , das besagt:

wo

ist die Ableitung von f .

Ein Anwendungsbeispiel der obigen Gleichung ist folgendes:

Unter Verwendung des Binomialsatzes kann dies wie folgt umgeschrieben werden:

Die obige Formel wird häufiger zum Invertieren des Differenzoperators verwendet , definiert durch:

wobei f eine Funktion ist, die auf den nichtnegativen ganzen Zahlen definiert ist. Somit ist eine solche Funktion gegeben f ist das Problem , das berechnen antidifference von f , eine Funktion , so dass . Das heißt, Diese Funktion ist bis zur Addition einer Konstanten definiert und kann gewählt werden als

Es gibt nicht immer einen geschlossenen Ausdruck für eine solche Summation, aber die Formel von Faulhaber liefert eine geschlossene Form für den Fall und, durch Linearität , für jede Polynomfunktion von n .

Approximation durch bestimmte Integrale

Viele solcher Näherungen können durch den folgenden Zusammenhang zwischen Summen und Integralen erhalten werden , der für jede wachsende Funktion f gilt :

und für jede abnehmende Funktion f :

Für allgemeinere Näherungen siehe die Euler-Maclaurin-Formel .

Bei Summationen, bei denen der Summand durch eine integrierbare Funktion des Index gegeben ist (oder interpoliert werden kann) , kann die Summation als Riemann-Summe interpretiert werden, die in der Definition des entsprechenden bestimmten Integrals auftritt. Man kann also erwarten, dass zum Beispiel

da die rechte Seite per Definition die Grenze für die linke Seite ist. Für eine gegebene Summation ist n jedoch fest, und ohne zusätzliche Annahmen über f kann wenig über den Fehler in der obigen Näherung gesagt werden : Es ist klar, dass die Riemann-Summe für wild oszillierende Funktionen beliebig weit vom Riemann-Integral entfernt sein kann.

Identitäten

Die folgenden Formeln beinhalten endliche Summen; für unendliche Summen oder endliche Summen von Ausdrücken, die trigonometrische Funktionen oder andere transzendente Funktionen beinhalten , siehe Liste der mathematischen Reihen .

Allgemeine Identitäten

( Verteilung )
( Kommutativität und Assoziativität )
(Indexverschiebung)
für eine Bijektion σ von einer endlichen Menge A auf eine Menge B (Indexänderung); dies verallgemeinert die obige Formel.
(Aufteilen einer Summe, unter Verwendung von Assoziativität )
(eine Variante der vorhergehenden Formel)
(die Summe vom ersten bis zum letzten Term ist gleich der Summe vom letzten bis zum ersten)
(ein Sonderfall der obigen Formel)
(wieder Kommutativität und Assoziativität)
(eine andere Anwendung von Kommutativität und Assoziativität)
(Aufteilen einer Summe in ihre ungeraden und geraden Teile, für gerade Indizes)
(Aufteilen einer Summe in ihre ungeraden und geraden Teile, für ungerade Indizes)
( Verteilung )
(Distributivität ermöglicht Faktorisierung)
(der Logarithmus eines Produkts ist die Summe der Logarithmen der Faktoren)
(der Exponentialwert einer Summe ist das Produkt des Exponentialwerts der Summanden)

Potenzen und Logarithmus arithmetischer Folgen

für jedes c , das nicht von i abhängt
(Summe der einfachsten arithmetischen Folge , bestehend aus den ersten n natürlichen Zahlen.)
(Summe der ersten ungeraden natürlichen Zahlen)
(Summe der ersten geraden natürlichen Zahlen)
(Eine Summe von Logarithmen ist der Logarithmus des Produkts)
(Summe der ersten Quadrate , siehe Quadratpyramide .)
( Satz von Nikomachus )

Allgemeiner gesagt hat man die Faulhaber-Formel für

wobei bezeichnet eine Bernoulli-Zahl und ist ein Binomialkoeffizient .

Summenindex in Exponenten

In den folgenden Summierungen, a wird davon ausgegangen von 1 unterscheidet.

(Summe einer geometrischen Progression )
(Sonderfall für a = 1/2 )
( a mal die Ableitung nach a des geometrischen Verlaufs)
(Summe einer arithmetisch-geometrischen Folge )

Binomialkoeffizienten und Fakultäten

Es gibt sehr viele Summationsidentitäten mit Binomialkoeffizienten (ein ganzes Kapitel der Konkreten Mathematik ist nur den grundlegenden Techniken gewidmet). Einige der grundlegendsten sind die folgenden.

Unter Einbeziehung des Binomialsatzes

der Binomialsatz
der Spezialfall a = b = 1
, der Spezialfall mit p = a = 1 − b , der die Summe der Binomialverteilung ausdrückt
der Wert bei a = b = 1 der Ableitung nach a des Binomialsatzes
der Wert bei a = b = 1 der Stammfunktion bezüglich a des Binomialsatzes

Mit Permutationszahlen

In den folgenden Summationen ist die Anzahl der k -Permutationen von n .

, wobei und die Bodenfunktion bezeichnet .

Andere

Harmonische Zahlen

(das ist die n- te harmonische Zahl )
(das ist eine verallgemeinerte harmonische Zahl )

Geburtsraten

Die folgenden sind nützliche Näherungen (mit Theta-Notation ):

für reelles c größer als −1
(Siehe harmonische Zahl )
für reelles c größer als 1
für nicht-negative reelle c
für nicht-negative reelle c , d
für nicht-negative reelle b > 1, c , d

Siehe auch

Anmerkungen

Quellen

Externe Links

  • Medien im Zusammenhang mit Summation bei Wikimedia Commons