Oberflächengravitation - Surface gravity

Die Oberfläche der Schwerkraft , g , einer astronomischen Objekts ist die Erdbeschleunigung an seiner Oberfläche am Äquator erfahren, einschließlich der Effekte der Rotation. Die Oberflächengravitation kann man sich als die Beschleunigung aufgrund der Gravitation vorstellen, die von einem hypothetischen Testteilchen erfahren wird, das sich sehr nahe an der Oberfläche des Objekts befindet und das, um das System nicht zu stören, eine vernachlässigbare Masse hat. Bei Objekten, deren Oberfläche tief in der Atmosphäre liegt und deren Radius nicht bekannt ist, wird die Oberflächengravitation bei einem Druckniveau von 1 bar in der Atmosphäre angegeben.

Die Oberflächengravitation wird in Beschleunigungseinheiten gemessen, die im SI- System Meter pro Sekunde zum Quadrat sind . Es kann auch als ein Mehrfaches der ausgedrückt werden Erde ‚s Standardoberfläche der Schwerkraft , g  = 9,80665 m / s². In der Astrophysik kann die Oberflächengravitation als log g ausgedrückt werden  , was erhalten wird, indem man zuerst die Gravitation in cgs-Einheiten ausdrückt , wobei die Einheit der Beschleunigung Zentimeter pro Quadratsekunde ist, und dann den Logarithmus zur Basis 10 nimmt . Daher könnte die Oberflächengravitation der Erde in cgs-Einheiten als 980,665 cm/s² mit einem Basis-10-Logarithmus (log  g ) von 2,992 ausgedrückt werden.

Die Oberflächengravitation eines Weißen Zwergs ist sehr hoch, die eines Neutronensterns sogar noch höher. Die Oberflächenschwerkraft eines Weißen Zwergs beträgt etwa 100.000 g (9,84 × 10 5 m/s²), während die Kompaktheit des Neutronensterns ihm eine Oberflächenschwerkraft von bis zu 7 × 10 12 m/s² mit typischen Werten in der Größenordnung von 10 12  m/s² verleiht ist mehr als 10 11 mal so groß wie die Erde). Ein Maß für diese immense Gravitation ist, dass Neutronensterne eine Fluchtgeschwindigkeit von etwa 100.000 km/s haben , etwa ein Drittel der Lichtgeschwindigkeit . Für Schwarze Löcher muss die Oberflächengravitation relativistisch berechnet werden.

Verhältnis der Oberflächengravitation zu Masse und Radius

Oberflächengravitation verschiedener
Körper des Sonnensystems
(1 g = 9.80665 m/s 2 , die Oberflächengravitationsbeschleunigung auf der Erde)
Name Oberflächengravitation
Sonne 28,02 g
Quecksilber 0,377 g
Venus 0,905 g
Erde 1 g (mittlere Breiten)
Mond 0,165 7 g (Durchschnitt)
Mars 0,379 g (mittlere Breiten )
Phobos 0,000 581 g
Deimos 0,000 306 g
Ceres 0,029 g
Jupiter 2.528 g (mittlere Breiten )
Io 0,183 g
Europa 0,134 g
Ganymed 0,146 g
Kallisto 0,126 g
Saturn 1.065 g (mittlere Breiten)
Titan 0,138 g
Enceladus 0,012 g
Uranus 0,886 g (Äquator)
Neptun 1,137 g (mittlere Breiten)
Triton 0,08 g
Pluto 0,063 g
Eris 0,084 g
67P-CG 0,000 017 g

In der Newtonsche Theorie der Schwerkraft , die Schwerkraft durch ein Objekt ausgeübt wird , proportional zu seiner Masse: ein Objekt mit der doppelten Masse produziert doppelt so viel Kraft. Die Newtonsche Gravitation folgt auch einem inversen quadratischen Gesetz , so dass die doppelte Entfernung eines Objekts seine Gravitationskraft durch vier und eine zehnfache Entfernung durch 100 teilt. Dies ist ähnlich der Intensität des Lichts , die ebenfalls folgt ein umgekehrtes quadratisches Gesetz: Licht wird in Abhängigkeit von der Entfernung weniger sichtbar. Allgemein kann dies als geometrische Verdünnung entsprechend der Punktquellenstrahlung in den dreidimensionalen Raum verstanden werden.

Ein großes Objekt wie ein Planet oder Stern ist normalerweise ungefähr rund und nähert sich dem hydrostatischen Gleichgewicht (wo alle Punkte auf der Oberfläche die gleiche Menge an potentieller Gravitationsenergie haben ). In kleinem Maßstab werden höhere Geländeteile erodiert, wobei erodiertes Material in tieferen Geländeteilen abgelagert wird. Im großen Maßstab verformt sich der Planet oder Stern selbst, bis ein Gleichgewicht erreicht ist. Bei den meisten Himmelsobjekten ist das Ergebnis, dass der betreffende Planet oder Stern bei niedriger Rotationsrate als nahezu perfekte Kugel behandelt werden kann . Bei jungen, massereichen Sternen kann die äquatoriale azimutale Geschwindigkeit jedoch ziemlich hoch sein – bis zu 200 km/s oder mehr – und eine erhebliche äquatoriale Ausbuchtung verursachen . Beispiele für solche schnell rotierenden Sterne sind Achernar , Altair , Regulus A und Vega .

Die Tatsache, dass viele große Himmelsobjekte ungefähr Kugeln sind, erleichtert die Berechnung ihrer Oberflächengravitation. Die Gravitationskraft außerhalb eines kugelsymmetrischen Körpers ist dieselbe, als ob seine gesamte Masse im Zentrum konzentriert wäre, wie von Sir Isaac Newton festgestellt wurde . Daher ist die Oberflächengravitation eines Planeten oder Sterns mit einer gegebenen Masse ungefähr umgekehrt proportional zum Quadrat seines Radius , und die Oberflächengravitation eines Planeten oder Sterns mit einer gegebenen durchschnittlichen Dichte ist ungefähr proportional zu seinem Radius. Zum Beispiel sind die kürzlich entdeckten Planeten , Gliese 581 c , mindestens 5 - mal die Masse der Erde, ist aber unwahrscheinlich , 5 - facher Schwerkraft seiner Oberfläche haben. Wenn seine Masse nicht mehr als das 5-fache der Masse der Erde beträgt, wie erwartet, und wenn es sich um einen Gesteinsplaneten mit einem großen Eisenkern handelt, sollte er einen Radius haben, der etwa 50% größer ist als der der Erde. Die Schwerkraft auf der Oberfläche eines solchen Planeten wäre etwa 2,2-mal so stark wie auf der Erde. Wenn es sich um einen eisigen oder wässrigen Planeten handelt, kann sein Radius doppelt so groß sein wie der der Erde, in diesem Fall kann seine Oberflächengravitation nicht mehr als 1,25-mal so stark sein wie die der Erde.

Diese Proportionalitäten können durch die Formel ausgedrückt werden:

wobei g die Oberfläche der Schwerkraft eines Objekts ist, als ein Vielfaches des exprimierten Erde ‚s, m seine Masse, als ein Vielfaches der exprimierten Erde ‘ s Masse (5.976 · 10 24  kg) und r sein Radius, als A Vielfaches des (mittleren) Erdradius (6.371 km). Der Mars hat beispielsweise eine Masse von 6,4185·10 23  kg = 0,107 Erdmassen und einen mittleren Radius von 3,390 km = 0,532 Erdradien. Die Oberflächengravitation des Mars beträgt daher ungefähr

mal das der Erde. Ohne die Erde als Referenzkörper zu verwenden, kann die Oberflächengravitation auch direkt aus dem Newtonschen Gesetz der universellen Gravitation berechnet werden , das die Formel

wobei M die Masse des Objekts, r sein Radius und G die Gravitationskonstante ist . Wenn wir ρ = M / V die mittlere Dichte des Objekts bezeichnen, können wir dies auch schreiben als

so dass bei fester mittlerer Dichte die Flächenschwerkraft g proportional zum Radius  r ist .

Da die Gravitation umgekehrt proportional zum Quadrat der Entfernung ist, spürt eine Raumstation 400 km über der Erde fast die gleiche Gravitationskraft wie wir auf der Erdoberfläche. Eine Raumstation stürzt nicht auf den Boden, weil sie sich in einer Umlaufbahn im freien Fall befindet .

Gasriesen

Für Gasriesenplaneten wie Jupiter, Saturn, Uranus und Neptun, bei denen die Oberflächen tief in der Atmosphäre liegen und der Radius nicht bekannt ist, wird die Oberflächengravitation bei einem Druckniveau von 1 bar in der Atmosphäre angegeben.

Nicht kugelsymmetrische Objekte

Die meisten realen astronomischen Objekte sind nicht absolut kugelsymmetrisch. Ein Grund dafür ist, dass sie oft rotieren und somit von der kombinierten Wirkung von Gravitationskraft und Fliehkraft beeinflusst werden . Dies führt dazu, dass Sterne und Planeten abgeflacht sind , was bedeutet, dass ihre Oberflächengravitation am Äquator geringer ist als an den Polen. Dieser Effekt wurde von Hal Clement in seinem SF-Roman Mission of Gravity ausgenutzt , der sich mit einem massiven, sich schnell drehenden Planeten befasst, auf dem die Gravitation an den Polen viel höher war als am Äquator.

In dem Maße, in dem sich die interne Massenverteilung eines Objekts von einem symmetrischen Modell unterscheidet, können wir die gemessene Oberflächengravitation verwenden, um Aussagen über die interne Struktur des Objekts zu treffen. Diese Tatsache wird seit 1915-1916 praktisch genutzt, als Roland Eötvös ' Torsionswaage zur Ölsuche in der Nähe der Stadt Egbell (heute Gbely , Slowakei ) verwendet wurde , S. 1663; , P. 223. Im Jahr 1924 wurde die Torsionswaage verwendet, um die Ölfelder von Nash Dome in Texas zu lokalisieren . , P. 223.

Manchmal ist es nützlich, die Oberflächengravitation einfacher hypothetischer Objekte zu berechnen, die in der Natur nicht vorkommen. Die Oberflächengravitation von unendlichen Ebenen, Röhren, Linien, Hohlschalen, Kegeln und noch unrealistischeren Strukturen kann genutzt werden, um Einblicke in das Verhalten realer Strukturen zu gewinnen.

Schwarze Löcher

In der Relativitätstheorie erweist sich der Newtonsche Begriff der Beschleunigung als nicht eindeutig. Für ein relativistisch zu behandelndes Schwarzes Loch kann man eine Oberflächengravitation nicht als die Beschleunigung definieren, die ein Testkörper an der Oberfläche des Objekts erfährt, da es keine Oberfläche gibt. Dies liegt daran, dass die Beschleunigung eines Testkörpers am Ereignishorizont eines Schwarzen Lochs in der Relativität unendlich ist. Aus diesem Grund wird ein renormierter Wert verwendet, der dem Newtonschen Wert im nicht-relativistischen Grenzwert entspricht. Der verwendete Wert ist im Allgemeinen die lokale Eigenbeschleunigung (die am Ereignishorizont divergiert) multipliziert mit dem Gravitationszeitdilatationsfaktor (der am Ereignishorizont auf Null geht). Für den Schwarzschild-Fall verhält sich dieser Wert mathematisch gut für alle Nicht-Null-Werte von r und  M .

Wenn man von der Oberflächengravitation eines Schwarzen Lochs spricht, definiert man einen Begriff, der sich analog zur Newtonschen Oberflächengravitation verhält, aber nicht dasselbe ist. Tatsächlich ist die Oberflächengravitation eines allgemeinen Schwarzen Lochs nicht genau definiert. Man kann jedoch die Oberflächengravitation für ein Schwarzes Loch definieren, dessen Ereignishorizont ein Killing-Horizont ist.

Die Oberflächengravitation eines statischen Killing-Horizonts ist die Beschleunigung, die im Unendlichen ausgeübt wird, um ein Objekt am Horizont zu halten. Mathematisch , wenn ein in geeigneter Weise normiert ist Abtöten Vektor , dann wird die Oberfläche durch die Schwerkraft definiert

wobei die Gleichung am Horizont ausgewertet wird. Für eine statische und asymptotisch flache Raumzeit sollte die Normierung so gewählt werden, dass als , und damit . Für die Schwarzschild - Lösung, nehmen wir an , die seine Zeit Übersetzung Abtöten Vektor und allgemein für die Kerr-Newman - Lösung nehmen wir die lineare Kombination des Zeit Übersetzung und Axialsymmetrie Abtöten Vektoren , die null am Horizont ist, wo die Winkelgeschwindigkeit .

Schwarzschild-Lösung

Da ist ein Killing-Vektor impliziert . In Koordinaten . Wenn Sie eine Koordinatenänderung an den erweiterten Eddington-Finklestein-Koordinaten vornehmen, nimmt die Metrik die Form an

Bei einer allgemeinen Koordinatenänderung transformiert sich der Killing-Vektor in die Vektoren und

Betrachtet man den b  =  Eintrag für ergibt die Differentialgleichung

Daher ist die Oberfläche der Schwerkraft für die Schwarzschild - Lösung mit Masse ist in SI - Einheiten).

Kerr-Lösung

Die Oberflächengravitation für das ungeladene, rotierende Schwarze Loch ist einfach

wo ist die Schwerkraft der Schwarzschild-Oberfläche und die Federkonstante des rotierenden Schwarzen Lochs. ist die Winkelgeschwindigkeit am Ereignishorizont. Dieser Ausdruck ergibt eine einfache Hawking-Temperatur von .

Kerr-Newman-Lösung

Die Oberflächengravitation für die Kerr-Newman-Lösung ist

wo ist die elektrische Ladung, ist der Drehimpuls, definieren wir als die Orte der beiden Horizonte und .

Dynamische Schwarze Löcher

Die Oberflächengravitation für stationäre Schwarze Löcher ist gut definiert. Dies liegt daran, dass alle stationären Schwarzen Löcher einen Killing-Horizont haben. Vor kurzem gab es eine Verschiebung hin zur Definition der Oberflächengravitation dynamischer Schwarzer Löcher, deren Raumzeit keinen Killing-Vektor (Feld) zulässt . Im Laufe der Jahre wurden von verschiedenen Autoren mehrere Definitionen vorgeschlagen. Derzeit gibt es keinen Konsens oder eine Übereinstimmung darüber, welche Definition, falls vorhanden, richtig ist.

Verweise

Externe Links