Oberfläche-zu-Volumen-Verhältnis - Surface-area-to-volume ratio

Diagramme der Oberfläche, A gegen Volumen, V der platonischen Körper und einer Kugel, die zeigen, dass die Oberfläche bei runderen Formen abnimmt und das Verhältnis von Oberfläche zu Volumen mit zunehmendem Volumen abnimmt. Ihre Schnittpunkte mit den gestrichelten Linien zeigen, dass bei 8 (2³)-facher Volumenzunahme die Oberfläche 4 (2²)-fach zunimmt.

Das Verhältnis von Oberfläche zu Volumen , auch als Verhältnis von Oberfläche zu Volumen bezeichnet und verschiedentlich als sa/vol oder SA:V bezeichnet , ist die Größe der Oberfläche pro Volumeneinheit eines Objekts oder einer Sammlung von Objekten.

SA:V ist ein wichtiges Konzept in Wissenschaft und Technik. Es wird verwendet, um den Zusammenhang zwischen Struktur und Funktion bei Prozessen zu erklären, die durch die Oberfläche UND das Volumen ablaufen. Gute Beispiele für solche Prozesse sind Prozesse, die von der Wärmegleichung beherrscht werden , dh Diffusion und Wärmeübertragung durch Leitung. SA:V wird verwendet, um die Diffusion kleiner Moleküle wie Sauerstoff und Kohlendioxid zwischen Luft, Blut und Zellen, Wasserverlust durch Tiere, bakterielle Morphogenese, Thermoregulation des Organismus , Design von künstlichem Knochengewebe, künstlicher Lunge und vielem mehr biologisch und biotechnologisch zu erklären Strukturen. Weitere Beispiele finden Sie unter Glaser.

Die Beziehung zwischen SA:V und Diffusions- oder Wärmeleitungsrate wird aus der Fluss- und Oberflächenperspektive erklärt, wobei der Fokus auf der Oberfläche eines Körpers als dem Ort liegt, an dem Diffusion oder Wärmeleitung stattfindet, dh je größer SA:V ist mehr Oberfläche pro Volumeneinheit, durch die Material diffundieren kann, daher ist die Diffusion oder Wärmeleitung schneller. Ähnliche Erklärungen finden sich in der Literatur: "Kleine Größe impliziert ein großes Verhältnis von Oberfläche zu Volumen, wodurch die Aufnahme von Nährstoffen durch die Plasmamembran maximiert wird" und anderswo.

Für ein gegebenes Volumen ist das Objekt mit der kleinsten Oberfläche (und damit mit dem kleinsten SA:V) eine Kugel , eine Folge der isoperimetrischen Ungleichung in 3 Dimensionen . Im Gegensatz dazu haben Objekte mit spitzwinkligen Spitzen für ein gegebenes Volumen eine sehr große Oberfläche.

SA:V für Bälle und N-Bälle

Ein Ball ist ein dreidimensionales Objekt, da es sich um die ausgefüllte Version einer Kugel handelt ("Kugel" bezieht sich eigentlich nur auf die Oberfläche und eine Kugel hat daher kein Volumen). Kugeln existieren in jeder Dimension und werden allgemein als n-Kugeln bezeichnet , wobei n die Anzahl der Dimensionen ist.

Auftragung des Oberflächen-Volumen-Verhältnisses (SA:V) für eine dreidimensionale Kugel, die die umgekehrte Abnahme des Verhältnisses mit zunehmendem Radius der Kugel zeigt.

Für einen gewöhnlichen dreidimensionalen Ball kann der SA:V unter Verwendung der Standardgleichungen für die Oberfläche und das Volumen berechnet werden, die jeweils und lauten . Für den Einheitsfall, in dem r = 1 ist, ist SA:V also 3. Das SA:V hat eine inverse Beziehung zum Radius - wird der Radius verdoppelt, halbiert sich SA:V (siehe Abbildung). $4\pi {r^{2}}$ $(4/3)\pi {r^{3}}$

Die gleiche Argumentation kann auf n-Kugeln verallgemeinert werden, indem die allgemeinen Gleichungen für Volumen und Oberfläche verwendet werden, die lauten:

Volumen = ; Oberfläche = $r^{n}\pi^{n/2} \over \Gamma (1+n/2)$ $nr^{n-1}\pi^{n/2} \over \Gamma (1+{n/2})$

Auftragung des Oberflächen-Volumen-Verhältnisses (SA:V) für n-Kugeln als Funktion der Anzahl der Dimensionen und der Radiusgröße. Beachten Sie die lineare Skalierung als Funktion der Dimensionalität und die inverse Skalierung als Funktion des Radius.

Das Verhältnis reduziert sich also auf . Somit gilt für beliebig viele Dimensionen der gleiche lineare Zusammenhang zwischen Fläche und Volumen (siehe Abbildung): Verdoppeln des Radius halbiert immer das Verhältnis. $nr^{-1}$

Abmessungen

Das Verhältnis von Oberfläche zu Volumen hat die physikalische Dimension L ^–1 (inverse Länge) und wird daher in Einheiten des inversen Abstands ausgedrückt. Ein Würfel mit einer Seitenlänge von 1 cm hat beispielsweise eine Oberfläche von 6 cm ² und ein Volumen von 1 cm ³ . Das Oberflächen-Volumen-Verhältnis für diesen Würfel ist somit

{\mbox{SA:V}}={\frac {6~{\mbox{cm}}^{2}}{1~{\mbox{cm}}^{3}}}=6~ {\mbox{cm}}^{-1}

.

Für eine gegebene Form ist SA:V umgekehrt proportional zur Größe. Ein Würfel mit 2 cm Seitenlänge hat ein Verhältnis von 3 cm ⁻¹ , halb so groß wie ein Würfel mit 1 cm Seitenlänge. Umgekehrt erfordert die Beibehaltung von SA:V mit zunehmender Größe den Wechsel zu einer weniger kompakten Form.

Physikalische Chemie

Materialien mit einem hohen Verhältnis von Oberfläche zu Volumen (zB sehr kleiner Durchmesser, sehr porös oder anderweitig nicht kompakt ) reagieren mit viel schnelleren Geschwindigkeiten als monolithische Materialien, da mehr Oberfläche zum Reagieren zur Verfügung steht. Ein Beispiel ist Getreidestaub: Während Getreide normalerweise nicht brennbar ist, ist Getreidestaub explosiv . Fein gemahlenes Salz löst sich viel schneller auf als grobes Salz.

Ein hohes Verhältnis von Oberfläche zu Volumen bietet eine starke "Antriebskraft", um thermodynamische Prozesse zu beschleunigen, die die freie Energie minimieren .

Biologie

Zellen, die den Dünndarm auskleiden, vergrößern die Oberfläche, über die sie Nährstoffe aufnehmen können, mit einem Teppich aus büschelartigen Mikrovilli .

Das Verhältnis zwischen Oberfläche und Volumen von Zellen und Organismen hat einen enormen Einfluss auf ihre Biologie , einschließlich ihrer Physiologie und ihres Verhaltens . Zum Beispiel haben viele aquatische Mikroorganismen eine vergrößerte Oberfläche, um ihren Widerstand im Wasser zu erhöhen. Dies reduziert ihre Sinkgeschwindigkeit und ermöglicht es ihnen, mit weniger Energieaufwand in der Nähe der Oberfläche zu bleiben.

Ein erhöhtes Verhältnis von Oberfläche zu Volumen bedeutet auch eine erhöhte Exposition gegenüber der Umwelt. Die fein verzweigten Anhängsel von Filtrierern wie Krill bieten eine große Oberfläche, um das Wasser nach Nahrung zu sichten.

Einzelne Organe wie die Lunge haben zahlreiche innere Verzweigungen, die die Oberfläche vergrößern; Bei der Lunge unterstützt die große Oberfläche den Gasaustausch, bringt Sauerstoff ins Blut und setzt Kohlendioxid aus dem Blut frei. Ebenso hat der Dünndarm eine fein faltige innere Oberfläche, die es dem Körper ermöglicht, Nährstoffe effizient aufzunehmen.

Zellen können mit einer aufwendig gewellten Oberfläche ein hohes Verhältnis von Oberfläche zu Volumen erreichen, wie die Mikrovilli, die den Dünndarm auskleiden .

Eine vergrößerte Oberfläche kann auch zu biologischen Problemen führen. Mehr Kontakt mit der Umwelt durch die Oberfläche einer Zelle oder eines Organs (im Verhältnis zum Volumen) erhöht den Verlust von Wasser und gelösten Stoffen. Hohe Verhältnisse von Oberfläche zu Volumen führen auch zu Problemen der Temperaturkontrolle in ungünstigen Umgebungen.

Das Oberflächen-Volumen-Verhältnis von Organismen unterschiedlicher Größe führt auch zu einigen biologischen Regeln wie der Allen-Regel , der Bergmann-Regel und der Gigantothermie .

Brandausbreitung

Im Zusammenhang mit Waldbränden ist das Verhältnis der Oberfläche eines festen Brennstoffs zu seinem Volumen ein wichtiges Maß. Das Brandausbreitungsverhalten korreliert häufig mit dem Oberflächen-Volumen-Verhältnis des Brennstoffs (zB Blätter und Äste). Je höher sein Wert, desto schneller reagiert ein Partikel auf Änderungen der Umgebungsbedingungen wie Temperatur oder Feuchtigkeit. Höhere Werte korrelieren auch mit kürzeren Brennstoffzündzeiten und damit schnelleren Feuerausbreitungsraten.

Planetenkühlung

Ein Körper aus eisigem oder felsigem Material im Weltraum kann, wenn er genügend Wärme aufbauen und speichern kann, ein differenziertes Inneres entwickeln und seine Oberfläche durch vulkanische oder tektonische Aktivität verändern. Die Zeitdauer, über die ein planetarischer Körper oberflächenverändernde Aktivität aufrechterhalten kann, hängt davon ab, wie gut er Wärme speichert, und dies wird durch sein Oberflächen-Volumen-Verhältnis bestimmt. Für Vesta (r = 263 km) ist das Verhältnis so hoch , dass Astronomen waren überrascht, dass es tut differenzierbare und haben kurze vulkanische Aktivität. Der Mond , Merkur und Mars haben Radien in den niedrigen Tausende von Kilometern; alle drei hielten die Wärme gut genug, um gründlich unterschieden zu werden, obwohl sie nach etwa einer Milliarde Jahren zu kühl wurden, um mehr als nur sehr lokalisierte und seltene vulkanische Aktivität zu zeigen. Mit Stand April 2019 hat die NASA jedoch die Entdeckung eines "Marsbebens" angekündigt, das am 6. April 2019 vom NASA-Lander InSight gemessen wurde. Venus und Erde (r>6.000 km) haben ein ausreichend niedriges Verhältnis von Oberfläche zu Volumen (ungefähr halb so groß wie das des Mars und viel niedriger als alle anderen bekannten Gesteinskörper), so dass ihr Wärmeverlust minimal ist.

Mathematische Beispiele

Form	Charakteristische Länge $a$	Oberfläche	Volumen	SA/V-Verhältnis	SA/V-Verhältnis für Einheitsvolumen
Tetraeder	Kante	${\sqrt {3}}a^{2}$	${\frac {{\sqrt {2}}a^{3}}{12}}$	${\frac {6{\sqrt {6}}}{a}}\approx {\frac {14.697}{a}}$	7,21
Würfel	Seite	$6a^{2}$	$a^{3}$	${\frac {6}{a}}$	6
Oktaeder	Seite	$2{\sqrt {3}}a^{2}$	${\frac {1}{3}}{\sqrt {2}}a^{3}$	${\frac {3{\sqrt {6}}}{a}}\approx {\frac {7,348}{a}}$	5,72
Dodekaeder	Seite	$3{\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}a^{2}$	${\frac {1}{4}}(15+7{\sqrt {5}})a^{3}$	${\frac {12{\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}}{(15+7{\sqrt {5}})a}}\approx {\frac {2.694}{ ein}}$	5,31
Kapsel	Radius (R)	$4\pi a^{2}+2\pi a\cdot 2a=8\pi a^{2}$	${\frac {4\pi a^{3}}{3}}+\pi a^{2}\cdot 2a={\frac {10\pi a^{3}}{3}}$	${\frac {12}{5a}}$	5.251
Ikosaeder	Seite	$5{\sqrt {3}}a^{2}$	${\frac {5}{12}}(3+{\sqrt {5}})a^{3}$	${\frac {12{\sqrt {3}}}{(3+{\sqrt {5}})a}}\approx {\frac {3.970}{a}}$	5.148
Kugel	Radius	$4\pi a^{2}$	${\frac {4\pi a^{3}}{3}}$	${\frac {3}{a}}$	4.83598

Beispiele für Würfel unterschiedlicher Größe
Seite des Würfels	Seite ²	Fläche eines einzelnen Gesichts	6 × Seite ²	Fläche des gesamten Würfels (6 Flächen)	Seite ³	Volumen	Verhältnis Oberfläche zu Volumen
2	2x2	4	6x2x2	24	2x2x2	8	3:1
4	4x4	16	6x4x4	96	4x4x4	64	3:2
6	6x6	36	6x6x6	216	6x6x6	216	3:3
8	8x8	64	6x8x8	384	8x8x8	512	3:4
12	12x12	144	6x12x12	864	12x12x12	1728	3:6
20	20x20	400	6x20x20	2400	20x20x20	8000	3:10
50	50x50	2500	6x50x50	15000	50x50x50	125000	3:25
1000	1000x1000	1000000	6x1000x1000	6000000	1000x1000x1000	1000000000	3:500

Siehe auch

Verweise

Schmidt-Nielsen, Knut (1984). Skalierung: Warum ist die Tiergröße so wichtig? . New York, NY: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-26657-4. OCLC 10697247 .
Vogel, Steven (1988). Die Geräte des Lebens: Die physische Welt der Tiere und Pflanzen . Princeton, NJ: Princeton University Press. ISBN 978-0-691-08504-3. OCLC 18070616 .

Spezifisch

Externe Links

Weiterlesen

Über die richtige Größe, JBS Haldane

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