Operationstheorie - Surgery theory

In der Mathematik , insbesondere in der geometrischen Topologie , ist die Chirurgietheorie eine Sammlung von Techniken, die verwendet werden, um eine endlichdimensionale Mannigfaltigkeit aus einer anderen auf 'kontrollierte' Weise zu erzeugen , eingeführt von John Milnor  ( 1961 ). Milnor nannte diese Technik Chirurgie , während Andrew Wallace sie sphärische Modifikation nannte . Die "Operation" an einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit M der Dimension , könnte als Entfernen einer eingebetteten Kugel der Dimension p von M beschrieben werden . Ursprünglich für differenzierbare (oder glatte ) Mannigfaltigkeiten entwickelt, gelten Operationstechniken auch für stückweise lineare (PL-) und topologische Mannigfaltigkeiten. ${\displaystyle n=p+q+1}$

Chirurgie bezieht sich auf das Ausschneiden von Teilen des Verteilers und das Ersetzen durch einen Teil eines anderen Verteilers, der entlang des Schnitts oder der Grenze zusammenpasst. Dies ist eng verwandt, aber nicht identisch mit Handlebody- Zerlegungen.

Technisch gesehen besteht die Idee darin, mit einer wohlverstandenen Mannigfaltigkeit M zu beginnen und sie zu operieren, um eine Mannigfaltigkeit M ′ mit einer gewünschten Eigenschaft zu erzeugen , so dass die Auswirkungen auf die Homologie , Homotopiegruppen oder andere Invarianten der vielfältig sind bekannt. Ein relativ einfaches Argument mit der Morsetheorie zeigt, dass eine Mannigfaltigkeit durch eine Folge von sphärischen Modifikationen genau dann aus einer anderen erhalten werden kann, wenn diese beiden zu derselben Kobordismusklasse gehören .

Die Klassifizierung exotischer Sphären durch Michel Kervaire und Milnor  ( 1963 ) führte zur Entstehung der Chirurgietheorie als wichtiges Werkzeug in der hochdimensionalen Topologie.

Chirurgie an einem Verteiler

Sind X , Y Mannigfaltigkeiten mit Rand, dann ist der Rand der Produktmannigfaltigkeit

${\displaystyle \partial (X\times Y)=(\partial X\times Y)\cup (X\times \partial Y).}$

Die grundlegende Beobachtung, die eine Operation rechtfertigt, ist, dass der Raum entweder als Grenze von oder als Grenze von verstanden werden kann . Bei Symbolen, ${\displaystyle S^{p}\times S^{q-1}}$${\displaystyle D^{p+1}\times S^{q-1}}$${\displaystyle S^{p}\times D^{q}}$

${\displaystyle \partial \left(S^{p}\times D^{q}\right)=S^{p}\times S^{q-1}=\partial \left(D^{p+1 }\times S^{q-1}\right)}$,

wo ist die q- dimensionale Scheibe, dh die Menge von Punkten , die einen Abstand von eins oder weniger von einem gegebenen Fixpunkt (der Mitte der Scheibe) haben; beispielsweise dann, ist homeomorphic zu dem Einheitsintervall, während ein Kreis mit den Punkten in seinem Innern ist. ${\displaystyle D^{q}}$${\displaystyle \mathbb{R} ^{q}}$${\displaystyle D^{1}}$${\displaystyle D^{2}}$

Gegeben sei nun eine Mannigfaltigkeit M der Dimension und eine Einbettung , eine weitere n- dimensionale Mannigfaltigkeit sei ${\displaystyle n=p+q}$ ${\displaystyle \phi\colon S^{p}\times D^{q}\to M}$${\displaystyle M'}$

${\displaystyle M':=\left(M\setminus \operatorname {int} (\operatorname {im} (\phi ))\right)\;\cup _{\phi |_{S^{p}\times S^{q-1}}}\left(D^{p+1}\times S^{q-1}\right).}$

Man sagt , dass die Mannigfaltigkeit M durch eine Operation des Ausschneidens und Einklebens oder durch eine p - Operation erzeugt wird , wenn man die Zahl p angeben will . Streng genommen ist M ′ eine Mannigfaltigkeit mit Ecken, aber es gibt einen kanonischen Weg, diese zu glätten. Beachten Sie, dass die Untermannigfaltigkeit, die in M ersetzt wurde, dieselbe Dimension wie M hatte (sie hatte die Kodimension 0). ${\displaystyle S^{p}\times D^{q}}$${\displaystyle D^{p+1}\times S^{q-1}}$

Chirurgie ist eng verwandt (aber nicht gleich) mit dem Anbringen von Griffen . Gegeben sei eine ( n  + 1)-Mannigfaltigkeit mit Rand ( L , ∂ L ) und eine Einbettung : S ^p × D ^q → ∂ L , wobei n = p  +  q , definiere eine andere ( n  + 1)-Mannigfaltigkeit mit Rand L ′ von ${\displaystyle \phi}$

${\displaystyle L':=L\;\cup_{\phi}\left(D^{p+1}\times D^{q}\right).}$

Die Mannigfaltigkeit L ′ erhält man durch "Anbringen eines ( p  + 1)-Griffs", wobei ∂ L ′ aus ∂ L durch eine p -Operation gewonnen wird

${\displaystyle \partial L'=(\partial L-\operatorname {int~im} \phi )\;\cup _{\phi |_{S^{p}\times S^{q-1}}} \left(D^{p+1}\times S^{q-1}\right).}$

Eine Operation an M erzeugt nicht nur eine neue Mannigfaltigkeit M ′, sondern auch einen Kobordismus W zwischen M und M ′. Die Spur der Operation ist der Kobordismus ( W ; M , M ′), mit

${\displaystyle W:=(M\times I)\;\cup_{\phi\times\{1\}}\left(D^{p+1}\times D^{q}\right)}$

die ( n  + 1)-dimensionale Mannigfaltigkeit mit Rand ∂ W = M ∪ M ′ aus dem Produkt M × I durch Anhängen eines ( p  + 1)-Griffs D ^{p +1} × D ^q .

Die Chirurgie ist symmetrisch in dem Sinne, dass die Mannigfaltigkeit M aus M ′ durch eine ( q  − 1)-Operation, deren Spur mit der Spur der ursprünglichen Operation übereinstimmt, bis zur Orientierung zurückgewonnen werden kann.

In den meisten Anwendungen kommt die Mannigfaltigkeit M mit einer zusätzlichen geometrischen Struktur, wie einer Karte zu einem Referenzraum oder zusätzlichen Bündeldaten. Man möchte dann, dass der Operationsprozess M ′ mit der gleichen Art von zusätzlicher Struktur ausstattet . Ein Standardwerkzeug in der Chirurgietheorie ist zum Beispiel die Chirurgie an Normalkarten : Ein solcher Prozess ändert eine Normalkarte in eine andere Normalkarte innerhalb derselben Bordismusklasse.

Beispiele

Auswirkungen auf Homotopiegruppen und Vergleich mit Zellanhaftung

Intuitiv ist der chirurgische Vorgang das vielfältige Analogon zum Anheften einer Zelle an einen topologischen Raum, wobei die Einbettung φ an die Stelle der Anheftungskarte tritt. Eine einfache Anbringung einer ( q  + 1)-Zelle an eine n- Mannigfaltigkeit würde aus Dimensionsgründen die Mannigfaltigkeitsstruktur zerstören, so dass sie durch Kreuzung mit einer anderen Zelle verdickt werden muss.

Bis auf die Homotopie kann der Vorgang der Operation an einer Einbettung φ: S ^p × D ^q → M beschrieben werden als das Anheften einer ( p  + 1)-Zelle, was den Homotopietyp der Spur ergibt, und das Ablösen eines q -cell, um N zu erhalten . Die Notwendigkeit des Ablöseprozesses kann als Effekt der Poincaré-Dualität verstanden werden .

So wie eine Zelle an einen Raum angehängt werden kann, um ein Element in einer Homotopiegruppe des Raums zu töten , kann oft eine p- Operation an einer Mannigfaltigkeit M verwendet werden, um ein Element zu töten . Zwei Punkte sind jedoch wichtig: Erstens muss das Element durch eine Einbettung φ darstellbar sein: S ^p × D ^q → M (also die Einbettung der entsprechenden Kugel in ein triviales Normalenbündel ). Beispielsweise ist es nicht möglich, an einer Orientierungsumkehrschleife zu operieren. Zweitens muss der Effekt des Ablöseprozesses berücksichtigt werden, da dieser auch Auswirkungen auf die betrachtete Homotopiegruppe haben könnte. Grob gesagt ist dieser zweite Punkt nur wichtig, wenn p mindestens in der Größenordnung der halben Dimension von  M liegt . ${\displaystyle \alpha\in\pi_{p}(M)}$${\displaystyle \alpha\in\pi_{p}(M)}$

Anwendung auf die Klassifikation von Verteilern

Der Ursprung und die Hauptanwendung der Chirurgietheorie liegt in der Klassifikation von Mannigfaltigkeiten der Dimension größer als vier. Die organisatorischen Fragen der Operationstheorie lauten:

• Ist X eine Mannigfaltigkeit?
• Ist f ein Diffeomorphismus?

Formaler muss man fragen, ob bis zur Homotopie :

• Hat ein Raum X den Homotopietyp einer glatten Mannigfaltigkeit gleicher Dimension?
• Ist eine Homotopieäquivalenz f : M → N zwischen zwei glatten Mannigfaltigkeiten homotop zu einem Diffeomorphismus?

Es stellt sich heraus, dass die zweite Frage ("Einzigartigkeit") eine relative Version einer Frage des ersten Typs ("Existenz") ist; somit können beide Fragen mit den gleichen Methoden behandelt werden.

Hinweis Theorie , dass eine Operation nicht nicht einen geben vollständigen Satz von Invarianten auf diese Fragen. Stattdessen ist es obstruktionstheoretisch : Es gibt eine primäre Obstruktion und eine sekundäre Obstruktion, die als chirurgische Obstruktion bezeichnet wird und nur definiert wird, wenn die primäre Obstruktion verschwindet, und die von der Wahl abhängt, die bei der Überprüfung getroffen wurde, dass die primäre Obstruktion verschwindet.

Der chirurgische Ansatz

Beim klassischen Ansatz, wie er von William Browder , Sergei Novikov , Dennis Sullivan und CTC Wall entwickelt wurde , wird die Operation auf Normalkarten des ersten Grades durchgeführt. Die Frage "Ist die Normalabbildung f : M → X vom Grad eins kobordant zu einer Homotopieäquivalenz?" kann (in Dimensionen größer als vier) in eine algebraische Aussage über ein Element in einer L-Gruppe des Gruppenrings übersetzt werden . Genauer gesagt wird die Frage genau dann positiv beantwortet, wenn die Operationsobstruktion Null ist, wobei n die Dimension von M ist . ${\displaystyle \mathbf{Z} [\pi_{1}(X)]}$ ${\displaystyle \sigma(f)\in L_{n}(\mathbf{Z} [\pi_{1}(X)])}$

Betrachten Sie beispielsweise den Fall, dass die Dimension n = 4k ein Vielfaches von vier ist, und . Es ist bekannt, dass es zu den ganzen Zahlen isomorph ist ; unter diesem Isomorphismus bildet die Operationsbehinderung von f bis auf einen skalaren Faktor die Differenz der Signaturen von X und M ab . Daher ist eine Normalkarte vom Grad eins genau dann kobordant zu einer Homotopieäquivalenz, wenn die Signaturen von Domäne und Codomäne übereinstimmen. ${\displaystyle \pi_{1}(X)=0}$${\displaystyle L_{4k}(\mathbf{Z})}$${\displaystyle\mathbf{Z}}$ ${\displaystyle \sigma (X)-\sigma (M)}$

Wenn wir von oben auf die "Existenz"-Frage zurückkommen, sehen wir, dass ein Raum X genau dann den Homotopietyp einer glatten Mannigfaltigkeit hat, wenn er eine Normalabbildung vom Grad eins erhält, deren Operationshindernis verschwindet. Dies führt zu einem mehrstufigen Obstruktionsprozess: Um von Normal Maps zu sprechen, muss X eine entsprechende Version der Poincaré-Dualität erfüllen, die daraus einen Poincaré-Komplex macht . Unter der Annahme, dass X ein Poincaré-Komplex ist, zeigt die Pontryagin-Thom-Konstruktion , dass eine Normalabbildung vom Grad eins zu X genau dann existiert, wenn die Spivak-Normalfaser von X eine Reduktion auf ein stabiles Vektorbündel hat . Wenn Normalkarten vom Grad eins bis X existieren, werden ihre Bordismusklassen (genannt normale Invarianten ) durch die Menge der Homotopieklassen klassifiziert . Jede dieser normalen Invarianten weist eine Operationsobstruktion auf; X hat genau dann den Homotopietyp einer glatten Mannigfaltigkeit, wenn eines dieser Hindernisse null ist. Anders ausgedrückt bedeutet dies, dass unter der Operations-Obstruktionskarte eine Auswahl der normalen Invariante mit Nullbild besteht${\displaystyle [X,G/O]}$

${\displaystyle [X,G/O]\to L_{n}\left(\mathbf{Z}\left[\pi_{1}(X)\right]\right).}$

Struktursets und chirurgischer exakter Ablauf

Der Begriff der Strukturmenge ist der verbindende Rahmen für Fragen der Existenz und Einzigartigkeit. Grob gesagt besteht die Strukturmenge eines Raumes X aus Homotopieäquivalenzen M → X von einer Mannigfaltigkeit zu X , wobei zwei Abbildungen unter einer Bordismus-artigen Beziehung identifiziert werden. Eine notwendige (aber im Allgemeinen nicht hinreichende) Bedingung dafür, dass die Strukturmenge eines Raumes X nicht leer ist, ist, dass X ein n- dimensionaler Poincaré-Komplex ist, dh dass die Homologie- und Kohomologiegruppen durch Isomorphismen eines n- dimensionalen Mannigfaltigkeit, für eine ganze Zahl n . Abhängig von der genauen Definition und der Kategorie der Mannigfaltigkeiten ( glatt , PL oder topologisch ) gibt es verschiedene Versionen von Strukturmengen. Da nach dem s-Kobordismus-Theorem bestimmte Bordismen zwischen Mannigfaltigkeiten (in der jeweiligen Kategorie) zu Zylindern isomorph sind, erlaubt das Konzept der Strukturmenge eine Klassifikation bis hin zum Diffeomorphismus . ${\displaystyle H^{*}(X)\cong H_{n-*}(X)}$

Der Struktursatz und die OP-Obstruktionskarte werden in der OP-genauen Reihenfolge zusammengeführt . Diese Sequenz ermöglicht es, den Struktursatz eines Poincaré-Komplexes zu bestimmen, sobald die chirurgische Obstruktionskarte (und eine relative Version davon) verstanden ist. In wichtigen Fällen kann der glatte oder topologische Struktursatz anhand des chirurgischen exakten Ablaufs berechnet werden. Beispiele sind die Klassifikation exotischer Sphären und die Beweise der Borelschen Vermutung für negativ gekrümmte Mannigfaltigkeiten und Mannigfaltigkeiten mit hyperbolischer Fundamentalgruppe.

In der topologischen Kategorie ist die exakte Operationssequenz die lange exakte Sequenz, die durch eine Fibrationssequenz von Spektren induziert wird . Dies impliziert, dass alle an der Sequenz beteiligten Mengen tatsächlich abelsche Gruppen sind. Auf der Spektralebene ist die Operations-Obstruktions-Map eine Assembly-Map, deren Faser der Blockstrukturraum der entsprechenden Mannigfaltigkeit ist.

Siehe auch

• s-Kobordismus-Theorem
• h-Kobordismus-Theorem
• Whitehead-Torsion
• Dehn-Operation
• Vielfältige Zerlegung
• Orientierungscharakter
• Sanitär (Mathematik)

Zitate

Verweise

Externe Links

• Operationstheorie für Amateure
• Edinburgh Surgery Theory Study Group
• 2012 Oberwolfach Seminar zur Operationstheorie zum Manifold Atlas Project
• 2012 Regensburger Blockseminar Chirurgietheorie zum Manifold Atlas Project
• Jacob Luries Harvard-Chirurgiekurs 2011 Skript zur Vorlesung
• Homepage von Andrew Ranicki
• Homepage von Schmuel Weinberger