Syllogismus - Syllogism

Ein Syllogismus ( griechisch : συλλογισμός , syllogismos , Schlussfolgerung, Folgerung ') ist eine Art logischen Arguments , das gilt deduktiven zu einem kommen Schlussfolgerung auf zwei Basis Sätze , die geltend gemacht werden oder angenommen wahr zu sein.

"Sokrates" im Louvre

In seiner frühesten Form (definiert durch Aristoteles in sein 350 BCE Buch Prior Analytics ), ergibt sich ein Syllogismus , wenn zwei wahre Prämissen (Sätze oder Aussagen) gültig einen Abschluss oder die Hauptsache implizieren , dass die Argumentation Ziele zu vermitteln. Wenn wir zum Beispiel wissen, dass alle Menschen sterblich sind (große Prämisse) und dass Sokrates ein Mensch ist (kleine Prämisse), können wir gültig schlussfolgern, dass Sokrates sterblich ist. Syllogistische Argumente werden normalerweise in einer dreizeiligen Form dargestellt:

Alle Männer sind sterblich.
Sokrates ist ein Mann.
Daher ist Sokrates sterblich.

In der Antike gab es zwei rivalisierende syllogistische Theorien: den aristotelischen Syllogismus und den stoischen Syllogismus. Ab dem Mittelalter wurden Kategorischer Syllogismus und Syllogismus normalerweise synonym verwendet. Dieser Artikel befasst sich nur mit dieser historischen Verwendung. Der Syllogismus war der Kern des historischen deduktiven Denkens , bei dem Fakten durch die Kombination bestehender Aussagen bestimmt werden, im Gegensatz zum induktiven Denken, bei dem Fakten durch wiederholte Beobachtungen bestimmt werden.

Im akademischen Kontext wurde der Syllogismus nach dem Werk von Gottlob Frege , insbesondere seiner Begriffsschrift ( Concept Script ; 1879), durch die Prädikatenlogik erster Ordnung abgelöst . Syllogismen bleiben jedoch unter bestimmten Umständen und für allgemeine Einführungen in die Logik nützlich.

Frühe Geschichte

In der Antike gab es zwei rivalisierende syllogistische Theorien: den aristotelischen Syllogismus und den stoischen Syllogismus.

Aristoteles

Aristoteles definiert den Syllogismus als "einen Diskurs, in dem bestimmte (spezielle) Dinge angenommen werden, etwas anderes als die angenommenen Dinge ergibt sich aus der Notwendigkeit, weil diese Dinge so sind." Trotz dieser sehr allgemeinen Definition beschränkt sich Aristoteles in Prior Analytics auf kategoriale Syllogismen, die aus drei kategorialen Sätzen bestehen , einschließlich kategorialer modaler Syllogismen.

Die Verwendung von Syllogismen als Werkzeug zum Verstehen geht auf die Diskussionen über logische Argumente von Aristoteles zurück . Vor der Mitte des 12. Jahrhunderts waren mittelalterliche Logiker nur mit einem Teil der Werke von Aristoteles vertraut, darunter Titel wie Kategorien und Über Interpretation , Werke, die stark zur vorherrschenden Alten Logik oder Logica Vetus beitrugen . Der Beginn einer Neuen Logik oder Logica Nova entstand mit dem Wiederauftauchen von Prior Analytics , dem Werk, in dem Aristoteles seine Theorie des Syllogismus entwickelte.

Frühere Analytik wurde nach ihrer Wiederentdeckung von Logikern sofort als "geschlossene und vollständige Lehre" angesehen, die den Denkern der damaligen Zeit nur sehr wenig zur Debatte und Neuordnung ließ. Als besonders bemerkenswert galt die Theorie des Aristoteles über den Syllogismus für assertorische Sätze, wobei im Laufe der Zeit nur kleine systematische Änderungen am Konzept vorgenommen wurden. Diese Theorie des Syllogismus würde erst in den Kontext der umfassenderen Konsequenzlogik eintreten, bis die Logik Mitte des 14. Jahrhunderts von Leuten wie John Buridan allgemein überarbeitet wurde .

Aristoteles' Prior Analytics beinhaltete jedoch keine so umfassende Theorie über den modalen Syllogismus – einen Syllogismus, der mindestens eine modalisierte Prämisse hat, d. h. eine Prämisse, die die modalen Wörter „notwendig“, „möglicherweise“ oder „bedingt“ enthält. Die Terminologie von Aristoteles wurde in diesem Aspekt seiner Theorie als vage und in vielen Fällen als unklar angesehen, was sogar einigen seiner Aussagen aus On Interpretation widersprach . Seine ursprünglichen Behauptungen zu dieser spezifischen Komponente der Theorie wurden einer beträchtlichen Diskussion überlassen, was zu einer breiten Palette von Lösungen führte, die von den Kommentatoren der Zeit vorgebracht wurden. Das von Aristoteles aufgestellte System für modale Syllogismen würde letztlich als unbrauchbar erachtet und durch neue Unterscheidungen und neue Theorien insgesamt ersetzt.

Mittelalterlicher Syllogismus

Boethius

Boethius (ca. 475–526) trug dazu bei, die antike aristotelische Logik zugänglicher zu machen. Während seine lateinische Übersetzung von Prior Analytics vor dem 12. Boethius' logisches Erbe liegt nicht in irgendwelchen Ergänzungen, die er persönlich auf diesem Gebiet vorgenommen hat, in seiner effektiven Weitergabe früherer Theorien an spätere Logiker sowie in seinen klaren und vor allem genauen Darstellungen der Beiträge des Aristoteles.

Peter Abaelard

Ein weiterer der ersten Vertreter der mittelalterlichen Logik aus dem lateinischen Westen, Peter Abaelard (1079-1142), gab seine eigene gründliche Bewertung des Syllogismuskonzepts und der dazugehörigen Theorie in der Dialectica – einer Diskussion der Logik basierend auf Boethius' Kommentaren und Monographien. Seine Perspektive auf Syllogismen findet sich auch in anderen Werken wieder, beispielsweise in Logica Ingredientibus . Mit Hilfe von Abaelards Unterscheidung zwischen de dicto modalen Sätzen und de re modalen Sätzen begannen mittelalterliche Logiker, ein kohärenteres Konzept des modalen Syllogismus-Modells von Aristoteles zu formen.

Jean Buridan

Der französische Philosoph Jean Buridan (ca. 1300 – 1361), der von manchen als der bedeutendste Logiker des späteren Mittelalters angesehen wird, hat zwei bedeutende Werke beigesteuert: Abhandlung über die Konsequenz und Summulae de Dialectica , in denen er den Begriff des Syllogismus und seine Bestandteile erörterte und Unterscheidungen sowie Möglichkeiten zur Verwendung des Tools zur Erweiterung seiner logischen Fähigkeiten. 200 Jahre nach Buridans Diskussionen wurde wenig über syllogistische Logik gesprochen. Logikhistoriker haben festgestellt, dass die primären Veränderungen in der Ära nach dem Mittelalter Veränderungen in Bezug auf das Bewusstsein der Öffentlichkeit für Originalquellen, eine nachlassende Wertschätzung für die Ausgereiftheit und Komplexität der Logik und eine Zunahme der logischen Ignoranz waren – so dass Logiker von Anfang des 20. Jahrhunderts wurde das ganze System als lächerlich empfunden.

Die morderne Geschichte

Der aristotelische Syllogismus dominierte viele Jahrhunderte lang das westliche philosophische Denken. Beim Syllogismus selbst geht es darum, gültige Schlussfolgerungen aus Annahmen ( Axiomen ) zu ziehen, anstatt die Annahmen zu überprüfen. Im Laufe der Zeit konzentrierten sich die Menschen jedoch auf den logischen Aspekt und vergaßen die Bedeutung der Überprüfung der Annahmen.

Im 17. Jahrhundert betonte Francis Bacon , dass die experimentelle Überprüfung von Axiomen rigoros durchgeführt werden muss und den Syllogismus selbst nicht als den besten Weg betrachten kann, um Schlussfolgerungen in der Natur zu ziehen. Bacon schlug einen induktiveren Ansatz für die Naturbeobachtung vor, der Experimente beinhaltet und zur Entdeckung und zum Aufbau von Axiomen führt, um eine allgemeinere Schlussfolgerung zu ziehen. Eine vollständige Methode, Schlussfolgerungen in der Natur zu ziehen, ist jedoch nicht der Bereich der Logik oder des Syllogismus, und die induktive Methode wurde in Aristoteles späterer Abhandlung, der Posterior Analytics, behandelt .

Im 19. Jahrhundert wurden Modifikationen des Syllogismus eingebaut, um mit disjunktiven ("A oder B") und bedingten ("if A then B") Aussagen umzugehen . Immanuel Kant behauptete in der Logik (1800) bekanntlich , dass die Logik die einzige vollendete Wissenschaft sei und dass die aristotelische Logik mehr oder weniger alles über die Logik umfasste, was es zu wissen gab. (Diese Arbeit ist nicht unbedingt repräsentativ für Kants ausgereifte Philosophie, die oft als eine Neuerung der Logik selbst angesehen wird.) Obwohl es anderswo alternative Logiksysteme gab, wie die avicennische Logik oder die indische Logik , blieb Kants Meinung im Westen bis 1879 unangefochten wenn Gottlob Frege seine veröffentlichten Begriffsschrift ( Konzept Script ). Damit wurde ein Kalkül eingeführt, eine Methode zur Darstellung kategorialer Aussagen (und Aussagen, die auch im Syllogismus nicht vorgesehen sind) durch die Verwendung von Quantoren und Variablen.

Eine bemerkenswerte Ausnahme ist die Logik in der entwickelten Bernard Bolzano in seiner Arbeit Wissenschastslehre ( Theory of Science , 1837), deren Grundsätze als direkte Kritik an Kant angewandt wurden, in dem posthum veröffentlichten Werk New Anti-Kant (1850). Bis zum Ende des 20. Jahrhunderts wurde das Werk von Bozen unter anderem wegen des damaligen geistigen Umfelds im damals zum Kaiserreich Österreich gehörenden Böhmen weitgehend übersehen . In den letzten 20 Jahren ist Bozens Werk wieder aufgetaucht und Gegenstand sowohl der Übersetzung als auch der zeitgenössischen Studie.

Dies führte zur rasanten Entwicklung der Satzlogik und der Prädikatenlogik erster Ordnung , die das syllogistische Denken subsumierte, das daher nach 2000 Jahren von vielen plötzlich als veraltet angesehen wurde. Das aristotelische System wird in modernen akademischen Foren vor allem durch einführendes Material und historische Studien erläutert.

Eine bemerkenswerte Ausnahme von dieser modernen Relegation ist die fortgesetzte Anwendung der aristotelischen Logik durch Beamte der Kongregation für die Glaubenslehre und des Apostolischen Tribunals der Römischen Rota , die immer noch verlangen, dass alle Argumente der Anwälte in syllogistischer Form präsentiert werden.

Booles Annahme von Aristoteles

George Booles unerschütterliche Akzeptanz der Logik des Aristoteles wird von dem Logikhistoriker John Corcoran in einer zugänglichen Einführung zu Laws of Thought betont . Corcoran schrieb auch einen Punkt-für-Punkt-Vergleich von Prior Analytics und Laws of Thought . Laut Corcoran hat Boole die Logik des Aristoteles vollständig akzeptiert und unterstützt. Booles Ziele bestanden darin, die Logik von Aristoteles "unter, über und über" zu gehen, indem er:

  1. Bereitstellung mathematischer Grundlagen mit Gleichungen;
  2. Erweiterung der Klasse von Problemen, die behandelt werden konnten, da das Lösen von Gleichungen zur Bewertung der Validität hinzugefügt wurde ; und
  3. Erweitern des Anwendungsbereichs, den es behandeln könnte, wie zum Beispiel die Erweiterung von Sätzen mit nur zwei Termen auf solche mit beliebig vielen.

Genauer gesagt stimmte Boole dem zu, was Aristoteles sagte; Booles „Unstimmigkeiten“, wenn man sie so nennen darf, betreffen das, was Aristoteles nicht gesagt hat. Erstens reduzierte Boole im Bereich der Grundlagen die vier Aussagenformen des Aristoteles auf eine Form, die Form der Gleichungen, die an sich schon eine revolutionäre Idee war. Zweitens beinhaltete Booles Hinzufügung des Gleichungslösens zur Logik – eine weitere revolutionäre Idee – im Bereich der logischen Probleme Booles Doktrin, dass die Inferenzregeln des Aristoteles (die „perfekten Syllogismen“) durch Regeln zum Lösen von Gleichungen ergänzt werden müssen. Drittens konnte das Boolesche System im Bereich der Anwendungen Mehrterm-Propositionen und -Argumente verarbeiten, während Aristoteles nur zwei-Terminus-Subjekt-Prädikat-Sätze und -Argumente verarbeiten konnte. Zum Beispiel konnte das System von Aristoteles nicht ableiten: "Kein Quadrat, das ein Quadrat ist, ist ein Rechteck, das eine Raute ist" aus "Kein Quadrat, das ein Viereck ist, ist eine Raute, die ein Rechteck ist" oder aus "Keine Raute, die ein Rechteck ist, ist ein Quadrat, das ein Viereck ist."

Grundstruktur

Ein kategorialer Syllogismus besteht aus drei Teilen:

  1. Hauptprämisse
  2. Untersatz
  3. Abschluss

Jeder Teil ist ein kategorialer Satz , und jeder kategoriale Satz enthält zwei kategoriale Begriffe. Bei Aristoteles hat jede der Prämissen die Form "Alle A sind B", "Einige A sind B", "Keine A sind B" oder "Einige A sind nicht B", wobei "A" ein Begriff ist und "B " ist ein anderer:

Modernere Logiker erlauben einige Variationen. Jede der Prämissen hat einen gemeinsamen Begriff mit der Konklusion: In einer Hauptprämisse ist dies der Hauptterm (dh das Prädikat der Konklusion); in einer Nebenprämisse ist dies der Nebenbegriff (dh das Subjekt der Schlussfolgerung). Zum Beispiel:

Hauptprämisse : Alle Menschen sind sterblich.
Kleine Prämisse : Alle Griechen sind Menschen.
Fazit : Alle Griechen sind sterblich.

Jeder der drei verschiedenen Begriffe steht für eine Kategorie. Aus dem obigen Beispiel sind Menschen , Sterbliche und Griechen : Sterblich ist der Hauptbegriff und Griechen der Nebenbegriff. Die Prämissen haben auch einen gemeinsamen Begriff, den man als Mittelbegriff bezeichnet ; in diesem Beispiel Menschen . Beide Prämissen sind universell, ebenso wie die Konklusion.

Wichtigste Prämisse : Alle Sterblichen sterben.
Kleine Prämisse : Alle Menschen sind Sterbliche.
Fazit : Alle Männer sterben.

Hier ist der Hauptbegriff sterben , der Nebenbegriff Männer und der Mittelbegriff Sterbliche . Auch hier sind beide Prämissen universell, daher auch die Konklusion.

Polysyllogismus

Ein Polysyllogismus oder Sorites ist eine Argumentationsform, bei der eine Reihe unvollständiger Syllogismen so angeordnet ist, dass das Prädikat jeder Prämisse das Subjekt der nächsten bildet, bis das Subjekt des ersten mit dem Prädikat des letzten im verbunden wird Fazit. Zum Beispiel könnte man argumentieren, dass alle Löwen Großkatzen sind, alle Großkatzen Raubtiere und alle Raubtiere Fleischfresser. Zu dem Schluss zu kommen, dass alle Löwen Fleischfresser sind, ist ein sorites-Argument zu konstruieren.

Typen

Beziehungen zwischen den vier Arten von Aussagen im Oppositionsquadrat

(Schwarze Bereiche sind leer,
rote Bereiche sind nicht leer.)

Es gibt unendlich viele mögliche Syllogismen, aber nur 256 logisch verschiedene Typen und nur 24 gültige Typen (unten aufgezählt). Ein Syllogismus nimmt die Form an (Anmerkung: M – Mitte, S – Subjekt, P – Prädikat.):

Hauptprämisse : Alle M sind P.
Kleine Prämisse : Alle S sind M.
Fazit : Alle S sind P.

Die Prämissen und der Schluss eines Syllogismus können einer von vier Typen sein, die wie folgt mit Buchstaben gekennzeichnet sind. Die Bedeutung der Buchstaben ergibt sich aus der Tabelle:

Code Quantor Gegenstand Kopula Prädikat Typ Beispiel
EIN Alle S sind P universell bejahend Alle Menschen sind sterblich.
E Nein S sind P universell negativ Kein Mensch ist perfekt.
ich Etwas S sind P besonders bejahend Manche Menschen sind gesund.
Ö Etwas S sind nicht P besonders negativ Manche Menschen sind nicht schlau.

In Prior Analytics verwendet Aristoteles hauptsächlich die Buchstaben A, B und C (griechische Buchstaben alpha , beta und gamma ) als Platzhalter für Begriffe, anstatt konkrete Beispiele zu geben. Es ist traditionell , is statt are als Copula zu verwenden , daher ist All A B eher als All As are Bs . Es ist eine traditionelle und bequeme Praxis, a, e, i, o als Infixoperatoren zu verwenden, damit die kategorialen Aussagen prägnant geschrieben werden können. Die folgende Tabelle zeigt die längere Form, die prägnante Kurzform und äquivalente Ausdrücke in der Prädikatenlogik:

Form Kurzschrift Prädikatenlogik
Alles A ist B AaB   oder  
Kein A ist B AeB   oder  
Einiges A ist B AiB
Manches A ist nicht B AoB

Die Konvention hier ist, dass der Buchstabe S das Subjekt der Konklusion ist, P das Prädikat der Konklusion und M der Mittelterm ist. Die Hauptprämisse verknüpft M mit P und die Nebenprämisse verknüpft M mit S. Der mittlere Begriff kann jedoch entweder das Subjekt oder das Prädikat jeder Prämisse sein, in der er auftaucht. Die unterschiedlichen Positionen der Dur-, Moll- und Mittelbegriffe führen zu einer anderen Klassifizierung von Syllogismen, die als Figur bekannt ist . Da die Schlussfolgerung in jedem Fall SP lautet, sind die vier Zahlen:

Abbildung 1 Figur 2 Figur 3 Figur 4
Hauptprämisse M–P P–M M–P P–M
Untersatz S–M S–M FRAU FRAU

(Beachten Sie jedoch, dass einige Logiker – z. B. Peter Abaelard und Jean Buridan – nach der Behandlung der Figuren durch Aristoteles die vierte Figur als eine von der ersten abweichende Figur ablehnen.)

Alles in allem gibt es 256 mögliche Arten von Syllogismen (oder 512, wenn die Reihenfolge der Haupt- und Nebenprämissen geändert wird, obwohl dies logischerweise keinen Unterschied macht). Jede Prämisse und Schlussfolgerung kann vom Typ A, E, I oder O sein, und der Syllogismus kann eine der vier Zahlen sein. Ein Syllogismus kann kurz beschrieben werden, indem die Buchstaben für die Prämissen und den Schluss gefolgt von der Zahl für die Figur angegeben werden. Der unten stehende Syllogismus BARBARA ist beispielsweise AAA-1 oder "AAA in der ersten Zahl".

Die allermeisten der 256 möglichen Syllogismen sind ungültig (die Schlussfolgerung folgt nicht logisch aus den Prämissen). Die folgende Tabelle zeigt die gültigen Formulare. Sogar einige von ihnen werden manchmal als existenzieller Trugschluss angesehen , was bedeutet, dass sie ungültig sind, wenn sie eine leere Kategorie erwähnen. Diese umstrittenen Muster sind kursiv markiert . Alle bis auf vier kursiv gedruckten Muster (Felapton, Darapti, Fesapo und Bamalip) sind abgeschwächte Stimmungen, dh es ist möglich, einen stärkeren Schluss aus den Prämissen zu ziehen.

Abbildung 1 Figur 2 Figur 3 Figur 4
B a rb a r a C e s a r e D a t i s i C a l e m e s
C e l a r e nt C a m e str e s D i s a m i s D i m a t ich s
D a r ii F e st i n o F e r i s o n Fr e s i s o n
F e r io B a r o c o B o c a rd o C a l e m o s
B a rb a r i C e s a r o F e l a pt o n F e s a p o
C e l a r o nt C a m e str o s D a r a pt i B a m a l i p
e

Abb. 1, Violinschlüssel. „Die Buchstaben eines Syllogismus lassen sich am besten in der Musik darstellen – nehmen Sie zum Beispiel E.“ -Marilyn Damord

Die Buchstaben A, E, I und O werden seit den mittelalterlichen Schulen verwendet , um mnemonische Namen für die Formen wie folgt zu bilden: 'Barbara' steht für AAA, 'Celarent' für EAE usw.

Neben jeder Prämisse und Schlussfolgerung steht eine Kurzbeschreibung des Satzes. In AAI-3 wird die Prämisse "Alle Quadrate sind Rechtecke" also zu "MaP"; die Symbole bedeuten, dass der erste Term ("Quadrat") der mittlere Term ist, der zweite Term ("Rechteck") das Prädikat der Schlussfolgerung ist und die Beziehung zwischen den beiden Termen mit "a" bezeichnet ist (Alle M sind P) .

Die folgende Tabelle zeigt alle Syllogismen, die sich wesentlich unterscheiden. Die ähnlichen Syllogismen teilen die gleichen Prämissen, nur anders geschrieben. Zum Beispiel könnte "Some pets are kittens " (SiM in Darii ) auch als "Some kittens are pets" (MiS in Datisi) geschrieben werden.

In den Venn-Diagrammen zeigen die schwarzen Bereiche keine Elemente und die roten Bereiche mindestens ein Element an. In den prädikatenlogischen Ausdrücken bedeutet ein horizontaler Strich über einem Ausdruck, das Ergebnis dieses Ausdrucks zu negieren ("logisch nicht").

Es ist auch möglich, Graphen (bestehend aus Ecken und Kanten) zu verwenden, um Syllogismen auszuwerten.

Beispiele

Modus Barbara (Euler).svg Modus Barbara.svg
M: Männer
S: Griechen       P: Sterblich


Barbara (AAA-1)

   Alle Männer sind sterblich. (Karte)
   Alle Griechen sind Männer. (Sam)
Alle Griechen sind sterblich. (Saft)


Modus Celarent (Euler).svg Modus Celarent.svg
M: Reptil
S: Schlange       P: Fell


Celarent (EAE-1)

Ähnlich: Cesare (EAE-2)

   Kein Reptil hat Fell. (MeP)
   Alle Schlangen sind Reptilien. (Sam)
Keine Schlange hat Fell. (SeP)


Modus Darii (Euler).svg Modus Darii.svg
M: Kaninchen
S: Haustier       P: Fell


Darii (AII-1)

Ähnlich: Datisi (AII-3)

   Alle Kaninchen haben Fell. (Karte)
   Einige Haustiere sind Kaninchen. (SiM)
Manche Haustiere haben Fell. (Schluck)


Modus Ferio (Euler).svg Modus Ferio.svg
M: Hausaufgaben
S: Lesen       P: Spaß


Ferio (EIO-1)

Ähnlich: Festino (EIO-2), Ferison (EIO-3), Fresison (EIO-4)

   Keine Hausaufgaben machen Spaß. (MeP)
   Manches Lesen ist Hausaufgabe. (SiM)
Manches Lesen macht keinen Spaß. (SoP)


Modus Baroco (Euler).svg Modus Baroco.svg
M: Säugetier
S: Haustier       P: Katze


Barock (AOO-2)

   Alle Katzen sind Säugetiere. (PaM)
   Manche Haustiere sind keine Säugetiere. (So ​​M)
Manche Haustiere sind keine Katzen. (SoP)


Modus Bocardo (Euler).svg Modus Bocardo.svg
M: Katze
S: Säugetier       P: Haustier


Bocardo (OAO-3)

   Manche Katzen sind keine Haustiere. (Mopp)
   Alle Katzen sind Säugetiere. (MaS)
Einige Säugetiere sind keine Haustiere. (SoP)



Modus Barbari (Euler).svg Modus Barbari.svg
M: Mann
S: Griechisch       P: Sterblich


Barbari (AAI-1)

   Alle Männer sind sterblich. (Karte)
   Alle Griechen sind Männer. (Sam)
Manche Griechen sind sterblich. (Schluck)


Modus Celaront (Euler).svg Modus Celaront.svg
M: Reptil
S: Schlange       P: Fell


Celaront (EAO-1)

Ähnlich: Cesaro (EAO-2)

   Reptilien haben kein Fell. (MeP)
   Alle Schlangen sind Reptilien. (Sam)
Manche Schlangen haben kein Fell. (SoP)


Modus Camestros (Euler).svg Modus Camestros.svg
M: Hufe
S: Mensch       P: Pferd


Camestros (AEO-2)

Ähnlich: Calemos (AEO-4)

   Alle Pferde haben Hufe. (PaM)
   Kein Mensch hat Hufe. (SEM)
Manche Menschen sind keine Pferde. (SoP)


Modus Felapton (Euler).svg Modus Felapton.svg
M: Blume
S: Pflanze       P: Tier


Felapton (EAO-3)

Ähnlich: Fesapo (EAO-4)

   Keine Blumen sind Tiere. (MeP)
   Alle Blumen sind Pflanzen. (MaS)
Manche Pflanzen sind keine Tiere. (SoP)


Modus Darapti (Euler).svg Modus Darapti.svg
M: Quadrat
S: Raute       P: Rechteck


Darapti (AAI-3)

   Alle Quadrate sind Rechtecke . (Karte)
   Alle Quadrate sind Rauten . (MaS)
Manche Rauten sind Rechtecke. (Schluck)


Tabelle aller Syllogismen

Diese Tabelle zeigt alle 24 gültigen Syllogismen, dargestellt durch Venn-Diagramme . Spalten zeigen Ähnlichkeit an und sind nach Kombinationen von Prämissen gruppiert. Grenzen entsprechen Schlussfolgerungen. Diejenigen mit einer existenziellen Annahme sind zerschmettert.

Abbildung A ∧ A A ∧ E A ∧ ich A ∧ O E ∧ ich
1
Barbara
Barbari
Celarent
Celaront
Darii
Ferio
2
Kameras
Camestros
Cesare
Cesaro
Barock
Festino
3
Darapti
Felapton
Daten
Entlassung
Bocardo
Ferison
4
Bamalip
Calemes
Calemos
Fesapo
Dimatis
Fresison

Begriffe im Syllogismus

Bei Aristoteles können wir singuläre Begriffe wie Sokrates und allgemeine Begriffe wie Griechen unterscheiden . Aristoteles weitere unterschiedene Typen (a) und (b):

  1. Begriffe, die Gegenstand von Prädikationen sein könnten; und
  2. Begriffe, die durch die Verwendung der Kopula von anderen ausgesagt werden könnten ("ist a").

Eine solche Prädikation wird als distributiv bezeichnet , im Gegensatz zu nicht-distributiven, wie sie bei den Griechen zahlreich sind . Es ist klar, dass der Syllogismus des Aristoteles nur für die Verteilungsprädikation funktioniert, da wir nicht argumentieren können Alle Griechen sind Tiere, Tiere sind zahlreich, daher sind alle Griechen zahlreich . Nach Aristoteles Ansicht waren singuläre Begriffe vom Typ (a) und allgemeine Begriffe vom Typ (b). So können Menschen von Sokrates ausgesagt werden, aber Sokrates kann von nichts ausgesagt werden. Damit ein Begriff austauschbar ist – um entweder in der Subjekt- oder Prädikatsposition eines Satzes in einem Syllogismus zu stehen – müssen die Begriffe daher allgemeine Begriffe oder kategorische Begriffe sein, wie sie später genannt wurden. Folglich sollten die Sätze eines Syllogismus kategoriale Sätze sein (beide Begriffe allgemein) und Syllogismen, die nur kategoriale Begriffe verwenden, wurden kategoriale Syllogismen genannt .

Es ist klar, dass nichts einen singulären Begriff in einem Syllogismus verhindern würde – solange er immer in der Subjektposition war – aber ein solcher Syllogismus, selbst wenn er gültig ist, ist kein kategorialer Syllogismus. Ein Beispiel ist Sokrates ist ein Mensch, alle Menschen sind sterblich, also ist Sokrates sterblich. Intuitiv ist dies so gültig wie Alle Griechen sind Menschen, alle Menschen sind sterblich, daher sind alle Griechen sterblich . Um zu argumentieren, dass seine Gültigkeit durch die Theorie des Syllogismus erklärt werden kann, müssten wir zeigen, dass Sokrates ein Mensch ist, ist das Äquivalent eines kategorischen Satzes. Es kann argumentiert werden , Sokrates ist ein Mensch äquivalent ist Alles , was Sokrates identisch sind Männer sind , so dass unser nicht-kategorischer Syllogismus durch die Verwendung der Gleichwertigkeit gerechtfertigt werden kann oben und dann unter Berufung auf BARBARA.

Existenzieller Import

Wenn eine Aussage einen Begriff enthält, so dass die Aussage falsch ist, wenn der Begriff keine Instanzen hat, dann hat die Aussage in Bezug auf diesen Begriff existenzielle Bedeutung . Es ist mehrdeutig, ob eine universelle Aussage der Form All A is B als wahr, falsch oder sogar bedeutungslos anzusehen ist, wenn es kein As gibt. Wird sie in solchen Fällen als falsch angesehen, dann hat die Aussage All A is B existenzielle Bedeutung in Bezug auf A.

Es wird behauptet, dass das logische System des Aristoteles keine Fälle abdeckt, in denen es keine Instanzen gibt. Das Ziel von Aristoteles war es, "eine Gefährtenlogik für die Wissenschaft zu entwickeln. Er verbannt Fiktionen wie Meerjungfrauen und Einhörner in den Bereich der Poesie und Literatur. In seiner Vorstellung existieren sie außerhalb des Bereichs der Wissenschaft. Deshalb lässt er keinen Raum." für solche nicht-existenten Entitäten in seiner Logik. Dies ist eine wohlüberlegte Wahl, keine versehentliche Unterlassung. Technisch gesehen ist die aristotelische Wissenschaft eine Suche nach Definitionen, wobei eine Definition 'ein Ausdruck ist, der das Wesen einer Sache bezeichnet.'... existierende Wesenheiten können nichts sein, sie besitzen nach Aristoteles' Vorstellung keine Essenz... Deshalb lässt er keinen Platz für fiktive Wesenheiten wie Ziegenhirsche (oder Einhörner).“ Viele logische Systeme, die seitdem entwickelt wurden , berücksichtigen jedoch den Fall, in dem es möglicherweise keine Instanzen gibt.

Die Logiker des Mittelalters waren sich jedoch des Problems der existenziellen Bedeutung bewusst und behaupteten, dass negative Aussagen keine existenzielle Bedeutung haben und dass positive Aussagen mit Subjekten, die nicht voraussetzen, falsch sind.

Folgende Probleme treten auf:

  1. (a) Welche Aussagen der Formen, All A is B, No A is B, Some A is B, and Some A ist nicht B, haben in natürlicher Sprache und im normalen Gebrauch existenzielle Bedeutung und in Bezug auf welche Begriffe?
  2. Welche Aussagen der Form AaB, AeB, AiB und AoB haben in den vier im Syllogismus verwendeten kategorialen Aussagen existentielle Bedeutung und in Bezug auf welche Begriffe?
  3. Welche existenziellen Bedeutungen müssen die Formen AaB, AeB, AiB und AoB haben, damit das Oppositionsquadrat gültig ist?
  4. Welche existenziellen Bedeutungen müssen die Formen AaB, AeB, AiB und AoB haben, um die Gültigkeit der traditionell gültigen Syllogismenformen zu erhalten?
  5. Sind die existentiellen Importe, die erforderlich sind, um (d) oben zu erfüllen, so, dass die normalen Verwendungen in natürlichen Sprachen der Formen All A is B, No A is B, Some A is B und Some A is not B intuitiv und gerecht durch die kategorischen Erklärungen der Formulare AaB, AeB, AiB und AoB?

Wenn zum Beispiel akzeptiert wird, dass AiB falsch ist, wenn kein As vorhanden ist und AaB AiB mit sich bringt, dann hat AiB eine existenzielle Bedeutung in Bezug auf A, und ebenso AaB. Wenn weiterhin akzeptiert wird, dass AiB BiA mit sich bringt, dann haben AiB und AaB auch in Bezug auf B eine existenzielle Bedeutung. Wenn AoB falsch ist, wenn es keine As gibt, und AeB AoB mit sich bringt und AeB BeA mit sich bringt (was wiederum BoA nach sich zieht), dann haben sowohl AeB als auch AoB existenzielle Bedeutung in Bezug auf A und B. Daraus folgt sofort, dass alle universellen kategoriale Aussagen haben in Bezug auf beide Begriffe existenzielle Bedeutung. Wenn AaB und AeB eine angemessene Darstellung der Verwendung von Anweisungen in normaler natürlicher Sprache von All A is B bzw. No A is B sind, ergeben sich die folgenden beispielhaften Konsequenzen:

"Alle fliegenden Pferde sind mythisch" ist falsch, wenn es keine fliegenden Pferde gibt.
Wenn "Keine Männer sind feuerfressende Kaninchen" wahr ist, dann ist "Es gibt feuerfressende Kaninchen" wahr; und so weiter.

Wird entschieden, dass keine universelle Aussage existenzielle Bedeutung hat, dann versagt das Oppositionsquadrat in mehrfacher Hinsicht (zB AaB beinhaltet kein AiB) und einige Syllogismen sind nicht mehr gültig (zB BaC,AaB->AiC).

Diese Probleme und Paradoxien treten sowohl bei Aussagen in natürlicher Sprache als auch bei Aussagen in Syllogismusform aufgrund der Mehrdeutigkeit auf, insbesondere der Mehrdeutigkeit in Bezug auf Alle. Wenn "Fred behauptet, dass alle seine Bücher Pulitzer-Preisträger waren", behauptet Fred, dass er irgendwelche Bücher geschrieben hat? Wenn nicht, ist das, was er behauptet, wahr? Angenommen, Jane sagt, keiner ihrer Freunde sei arm; Stimmt das, wenn sie keine Freunde hat?

Der Prädikatenkalkül erster Ordnung vermeidet eine solche Mehrdeutigkeit, indem er Formeln verwendet, die in Bezug auf universelle Aussagen keine existenzielle Bedeutung haben. Existenzielle Ansprüche müssen ausdrücklich angegeben werden. Somit können natürlichsprachliche Aussagen – der Formen All A is B, No A is B , Some A is B , und Some A is not B – in der Prädikatenrechnung erster Ordnung dargestellt werden, in der jede existenzielle Bedeutung in Bezug auf die Terme A und /oder B ist entweder explizit oder gar nicht gemacht. Folglich können die vier Formen AaB, AeB, AiB und AoB in jeder Kombination von existenzieller Bedeutung als Prädikat erster Ordnung dargestellt werden – also feststellen, welche Konstruierung, wenn überhaupt, das Quadrat der Opposition und die Gültigkeit des traditionell gültigen Syllogismus bewahrt . Strawson behauptet, eine solche Auslegung sei möglich, aber die Ergebnisse sind seiner Ansicht nach die Antwort auf Frage (e) oben nein .

Andererseits können in der modernen mathematischen Logik Aussagen, die die Wörter „alle“, „einige“ und „nein“ enthalten, jedoch mengentheoretisch formuliert werden . Wenn die Menge aller A als und die Menge aller B als gekennzeichnet ist , dann:

  • "Alles A ist B" (AaB) entspricht " ist eine Teilmenge von " oder .
  • "Kein A ist B" (AeB) entspricht "Der Schnittpunkt von und ist leer " oder .
  • "Einige A ist B" (AiB) entspricht "Der Schnittpunkt von und ist nicht leer" oder .
  • „Some A is not B“ (AoB) entspricht „ ist not a subset of “ oder .

Die leere Menge ist per Definition eine Teilmenge aller Mengen. Daraus folgt, dass nach dieser mathematischen Konvention, wenn es keine A's gibt, die Aussagen "Alles A ist B" und "Kein A ist B" immer wahr sind, während die Aussagen "Einige A ist B" und "Einige A ist nicht B" sind immer falsch. Dies impliziert auch, dass AaB kein AiB beinhaltet und einige der oben erwähnten Syllogismen nicht gültig sind, wenn es keine A gibt ( ).

Syllogistische Trugschlüsse

Menschen machen oft Fehler, wenn sie syllogistisch denken.

Aus den Prämissen zum Beispiel einige A sind B, einige B sind C, neigen die Leute dazu, definitiv zu dem Schluss zu kommen, dass daher einige A C sind. Dies folgt jedoch nicht nach den Regeln der klassischen Logik. Während zum Beispiel einige Katzen (A) schwarze Dinger (B) und einige schwarze Dinger (B) Fernseher (C) sind, folgt aus den Parametern nicht, dass einige Katzen (A) Fernseher (C) sind. Dies liegt daran, dass in der Struktur des angerufenen Syllogismus (dh III-1) der mittlere Begriff weder in der Hauptprämisse noch in der Nebenprämisse verteilt ist, ein Muster, das als „ Trugschluss der unverteilten Mitte “ bezeichnet wird. Aus diesem Grund kann es schwierig sein, formaler Logik zu folgen, und es ist ein genaueres Auge erforderlich, um sicherzustellen, dass ein Argument tatsächlich gültig ist.

Die Bestimmung der Gültigkeit eines Syllogismus beinhaltet die Bestimmung der Verteilung jedes Begriffs in jeder Aussage, dh ob alle Mitglieder dieses Begriffs berücksichtigt werden.

In einfachen syllogistischen Mustern sind die Trugschlüsse ungültiger Muster:

Andere Arten von Syllogismen

Siehe auch

Verweise

Quellen

Externe Links