Ternäres Zahlensystem - Ternary numeral system

Ein ternäres / t ɜːr n ər i / Zahlensystem (auch als 3 - Basen ) hat drei als seine Basis . Analog zu einem Bit ist eine ternäre Ziffer ein trit ( tri nary dig it ). Ein Trit entspricht log ₂  3 (ca. 1.58496) Informationsbits .

Obwohl sich ternär meistens auf ein System bezieht, in dem die drei Ziffern alle nicht-negative Zahlen sind; insbesondere 0 , 1 und 2 , das Adjektiv verleiht auch dem ausgewogenen ternären System seinen Namen ; bestehend aus den Ziffern -1 , 0 und +1, verwendet in Vergleichslogik und ternären Computern .

Vergleich zu anderen Basen

Darstellungen von ganzen Zahlen in ternärer Form werden nicht so schnell unangenehm lang wie in binärer Form . Zum Beispiel dezimal 365 oder senary 1405 entspricht binär 101.101.101 (neun Ziffern) und ternären 111112 (sechs Ziffern). Sie sind jedoch immer noch weit weniger kompakt als die entsprechenden Darstellungen in Basen wie dezimal  – siehe unten für eine kompakte Möglichkeit, ternär mit nonary und septemvigesimal zu kodifizieren .

Bei rationalen Zahlen bietet ternär eine bequeme Möglichkeit, darzustellen1/3wie senary (im Gegensatz zu seiner umständlichen Darstellung als unendliche Folge von wiederkehrenden Ziffern im Dezimalformat); aber ein großer Nachteil ist, dass ternär wiederum keine endliche Darstellung für bietet1/2 (auch nicht für 1/4, 1/8, Etc.), da 2 nicht um eine prime Faktor der Basis; wie bei der Basis zwei, ein Zehntel (dezimal1/10, senär 1/14) ist nicht exakt darstellbar (dafür wäre zB dezimal erforderlich); noch ist ein Sechstel (senär1/10, Dezimal 1/6).

Summe der Ziffern ternär im Gegensatz zu binär

Der Wert einer Binärzahl mit n Bits, die alle 1 sind, ist 2 ⁿ  − 1 .

In ähnlicher Weise können wir für eine Zahl N ( b , d ) mit der Basis b und d Ziffern, die alle der maximale Ziffernwert b  − 1 sind , schreiben:

N ( b , d ) = ( b  − 1) b ^{d −1} + ( b  − 1) b ^{d −2} + … + ( b  − 1) b ¹ + ( b  − 1) b ⁰ ,

N ( b , d ) = ( b  − 1) ( b ^{d −1} + b ^{d −2} + … + b ¹ + 1),

N ( b , d ) = ( b  − 1) M .

bM = b ^d + b ^{d −1} + … + b ² + b ¹ und

− M = − b ^{d −1}  −  b ^{d −2}  − … − b ¹  − 1 , also

bM  −  M = b ^d  − 1 oder

M =b ^d  − 1/b  − 1.

Dann

N ( b , d ) = ( b  − 1) M ,

N ( b , d ) =( b  − 1)( b ^d  − 1)/b  − 1,

N ( b , d ) = b ^d  − 1.

Für eine dreistellige Ternärzahl gilt N (3, 3) = 3 ³  − 1 = 26 = 2 × 3 ² + 2 × 3 ¹ + 2 × 3 ⁰ = 18 + 6 + 2 .

Kompakte ternäre Darstellung: Basis 9 und 27

Nonär (Basis 9, jede Ziffer besteht aus zwei ternären Ziffern) oder septemvigesimal (Basis 27, jede Ziffer besteht aus drei ternären Ziffern) kann für eine kompakte Darstellung von ternär verwendet werden, ähnlich wie oktale und hexadezimale Systeme anstelle von binär verwendet werden .

Praktische Anwendung

Verwendung von Ternärzahlen, um ein unbekanntes ganzzahliges Gewicht von 1 bis 40 kg mit Gewichten von 1, 3, 9 und 27 kg auszugleichen (4 Ternärziffern ergeben tatsächlich 3 ⁴ = 81 mögliche Kombinationen: −40 bis +40, aber nur die positiven Werte sind nützlich)

In gewisser analoger Logik wird der Zustand der Schaltung oft ternär ausgedrückt. Dies wird am häufigsten in CMOS- Schaltungen und auch in Transistor-Transistor-Logik mit Totem-Pole-Ausgang beobachtet. Der Ausgang wird gesagt, entweder niedrig (geerdet ist ), hoch ist , oder offen ( High Z ). In dieser Konfiguration ist der Ausgang der Schaltung tatsächlich mit keiner Spannungsreferenz verbunden. Wo das Signal normalerweise an einer bestimmten Referenz oder auf einem bestimmten Spannungspegel geerdet ist, wird der Zustand als hochohmig bezeichnet, da er offen ist und seiner eigenen Referenz dient. Daher ist der tatsächliche Spannungspegel manchmal unvorhersehbar.

Ein selten verwendeter "Dreipunkt" ist für defensive Statistiken im amerikanischen Baseball (normalerweise nur für Pitcher), um Bruchteile eines Innings zu bezeichnen. Da dem Team in der Offense drei Outs erlaubt sind , gilt jedes Out als ein Drittel eines defensiven Innings und wird als .1 bezeichnet . Wenn ein Spieler zum Beispiel alle 4., 5. und 6. Innings gepitcht hat und im 7. Inning 2 Outs erzielt hat , wird seine Innings-Pitch- Spalte für dieses Spiel als 3.2 aufgeführt , was 3 . entspricht+2 ⁄ 3 (was manchmal von einigen Rekordhaltern alternativ verwendet wird). Bei dieser Verwendung wird nur der Bruchteil der Zahl in ternärer Form geschrieben.

Mit Ternärzahlen lassen sich selbstähnliche Strukturen wie das Sierpinski-Dreieck oder die Cantor-Menge bequem vermitteln. Darüber hinaus stellt sich heraus, dass die ternäre Darstellung aufgrund der Konstruktionsweise der Cantor-Menge nützlich ist, um die Cantor-Menge und zugehörige Punktmengen zu definieren. Die Cantor-Menge besteht aus den Punkten von 0 bis 1, die einen ternären Ausdruck haben, der keine Instanz der Ziffer 1 enthält. Jede abschließende Erweiterung im ternären System ist äquivalent zu dem Ausdruck, der bis zu dem Term vor dem letzten nicht identisch ist -null-Term gefolgt von dem Term um eins kleiner als der letzte von Null verschiedene Term des ersten Ausdrucks, gefolgt von einem unendlichen Ende von Zweien. Zum Beispiel: 0,1020 entspricht 0,1012222... da die Erweiterungen bis zu den "zwei" des ersten Ausdrucks gleich sind, wurden die beiden in der zweiten Erweiterung dekrementiert und nachgestellte Nullen wurden im zweiten Ausdruck durch nachgestellte Zweien ersetzt.

Ternär ist die ganzzahlige Basis mit der niedrigsten Radixökonomie , dicht gefolgt von Binär und Quartär . Dies liegt an der Nähe zu z . Es wurde wegen dieser Effizienz für einige Computersysteme verwendet. Es wird auch verwendet, um Bäume mit drei Optionen darzustellen , wie beispielsweise Telefonmenüsysteme, die einen einfachen Pfad zu jeder Verzweigung ermöglichen.

Eine Form der redundanten Binärdarstellung, die als binäres Zahlensystem mit Vorzeichen bezeichnet wird , wird manchmal in Software und Hardware auf niedriger Ebene verwendet, um eine schnelle Addition von ganzen Zahlen zu erreichen, da sie Überträge eliminieren kann.

Binärcodiertes Ternär

Die Simulation von ternären Computern unter Verwendung von Binärcomputern oder eine Schnittstelle zwischen ternären und binären Computern kann die Verwendung von binärcodierten ternären (BCT)-Zahlen beinhalten, wobei zwei Bits verwendet werden, um jeden Trit zu codieren. Die BCT-Kodierung ist analog zur binärkodierten Dezimalkodierung (BCD). Wenn die Trit-Werte 0, 1 und 2 mit 00, 01 und 10 kodiert sind, kann eine Umwandlung in beide Richtungen zwischen binär-kodiertem Ternär und Binär in logarithmischer Zeit erfolgen . Eine Bibliothek mit C-Code, die BCT-Arithmetik unterstützt, ist verfügbar.

Tryte

Einige ternäre Computer wie der Setun definiert ein Tryte als sechs Trits oder ungefähr 9,5 Bits (die mehr Informationen enthalten als das de facto binäre Byte ).

Siehe auch

• Ternäre Logik
• Tai Xuan Jing
• Setun , ein ternärer Computer
• Qutrit
• Ternäre Gleitkommazahl

Verweise

Weiterlesen

• Hayes, Brian (November–Dezember 2001). "Dritte Basis" (PDF) . Amerikanischer Wissenschaftler . Sigma Xi , die Gesellschaft für wissenschaftliche Forschung. 89 (6): 490–494. doi : 10.1511/2001.40.3268 . Archiviert (PDF) vom Original am 30.10.2019 . Abgerufen 2020-04-12 .

Externe Links

• Ternäre Arithmetik
• Die ternäre Rechenmaschine von Thomas Fowler
• Ternäre Basiskonvertierung  – enthält Bruchteile von Maths Is Fun
• Das ternäre Ersatzziffernsystem von Gideon Frieder