Satz von Thales - Thales's theorem

Satz von Thales: Wenn AC ein Durchmesser und B ein Punkt auf dem Kreis des Durchmessers ist, ist der Winkel ABC ein rechter Winkel.

In Geometrie , Theorem Thales besagt , dass , wenn A, B, und C verschiedene Punkte auf einen sind Kreis , wo die Linie AC ist ein Durchmesser , der Winkel ist ABC ein rechter Winkel . Thales Theorem ist ein Sonderfall des Winkelsatz eingeschrieben und wird als Teil des 31. Satz im dritten Buch erwähnt und bewies Euklid ‚s Elemente . Es wird im Allgemeinen Thales von Milet zugeschrieben , aber manchmal wird es Pythagoras zugeschrieben .

Geschichte

o se del mezzo cerchio faru si puote triangol sì ch'un retto non avesse.

Oder wenn im Halbkreis gemacht werden kann
Dreieck, damit es keinen rechten Winkel hat.

Dantes Paradiso , Canto 13, Zeilen 101–102. Englische Übersetzung von Henry Wadsworth Longfellow .

Von Thales ist nichts erhalten geblieben ; Die im antiken Griechenland geleistete Arbeit wurde tendenziell Männern von Weisheit zugeschrieben, ohne Rücksicht auf alle Individuen, die an bestimmten intellektuellen Konstruktionen beteiligt waren – dies gilt insbesondere für Pythagoras. Die Zuschreibung erfolgte tendenziell zu einem späteren Zeitpunkt. Ein Hinweis auf Thales wurde von Proclus und von Diogenes Laërtius gemacht , der Pamphilas Aussage dokumentiert , dass Thales "der erste war, der in einen Kreis ein rechtwinkliges Dreieck einschrieb".

Indische und babylonische Mathematiker wussten dies für spezielle Fälle, bevor Thales es bewies. Es wird angenommen, dass Thales während seiner Reisen nach Babylon gelernt hat, dass ein in einen Halbkreis eingeschriebener Winkel ein rechter Winkel ist . Der Satz ist nach Thales benannt, weil er von alten Quellen gesagt wurde, er sei der erste gewesen, der den Satz unter Verwendung seiner eigenen Ergebnisse bewies, dass die Basiswinkel eines gleichschenkligen Dreiecks gleich sind und dass die Winkelsumme eines Dreiecks gleich ist 180°.

Dantes Paradiso (Gesang 13, Vers 101–102) bezieht sich im Verlauf einer Rede auf den Satz von Thales.

Nachweisen

Erster Beweis

Die folgenden Tatsachen werden verwendet: Die Summe der Winkel in einem Dreieck ist gleich 180 ° und die Basiswinkel eines gleichschenkligen Dreiecks sind gleich.

Da OA = OB = OC , sind ∆OBA und ∆OBC gleichschenklige Dreiecke, und aufgrund der Gleichheit der Basiswinkel eines gleichschenkligen Dreiecks gilt ∠OBC = ∠OCB und ∠OBA = ∠OAB.

Seien α = ∠BAO und β = ∠OBC. Die drei Innenwinkel des ∆ABC-Dreiecks sind α , ( α + β ) und β . Da die Winkelsumme eines Dreiecks 180° beträgt, gilt

QED

Zweiter Beweis

Der Satz kann auch mit Trigonometrie bewiesen werden : Seien , , und . Dann ist B ein Punkt auf dem Einheitskreis . Wir zeigen, dass ∆ABC einen rechten Winkel bildet, indem wir beweisen, dass AB und BC senkrecht sind , dh das Produkt ihrer Steigungen ist gleich −1. Wir berechnen die Steigungen für AB und BC :

und

Dann zeigen wir, dass ihr Produkt gleich −1 ist:

Beachten Sie die Verwendung der trigonometrischen Identität des Pythagoras .

Dritter Beweis

Theorem und Reflexionen von Thales

Sei ein Dreieck in einem Kreis, wobei ein Durchmesser in diesem Kreis ist. Konstruieren Sie dann ein neues Dreieck, indem Sie das Dreieck über der Linie spiegeln und es dann erneut über die Linie spiegeln, die senkrecht durch den Mittelpunkt des Kreises verläuft. Da Linien und sind parallel ebenfalls für und das Viereck ist ein Parallelogramm . Da die Geraden und , die Diagonalen des Parallelogramms, beide Durchmesser des Kreises sind und daher gleich lang sind, muss das Parallelogramm ein Rechteck sein. Alle Winkel in einem Rechteck sind rechte Winkel.

Umgekehrt

Für jedes Dreieck und insbesondere für jedes rechtwinklige Dreieck gibt es genau einen Kreis, der alle drei Eckpunkte des Dreiecks enthält. ( Beweisskizze . Der Ort der Punkte, die von zwei gegebenen Punkten gleich weit entfernt sind, ist eine Gerade, die als Mittelsenkrechte des Liniensegments bezeichnet wird, das die Punkte verbindet. Die Mittelsenkrechten zweier Seiten eines Dreiecks schneiden sich in genau einem Punkt. Dieser Punkt muss von den Eckpunkten des Dreiecks gleich weit entfernt sein.) Dieser Kreis wird als Umkreis des Dreiecks bezeichnet.

Eine Möglichkeit, den Satz von Thales zu formulieren, ist: Wenn der Umkreismittelpunkt eines Dreiecks auf dem Dreieck liegt, dann liegt das Dreieck gerade und der Umkreismittelpunkt liegt auf seiner Hypotenuse.

Die Umkehrung des Satzes von Thales lautet dann: Der Mittelpunkt des Umkreises eines rechtwinkligen Dreiecks liegt auf seiner Hypotenuse. (Äquivalent ist die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks ein Durchmesser seines Umkreises.)

Beweis der Umkehrung mit Geometrie

Abbildung zum Beweis der Umkehrung

Dieser Beweis besteht darin, das rechtwinklige Dreieck zu einem Rechteck zu 'vervollständigen' und zu bemerken, dass der Mittelpunkt dieses Rechtecks ​​gleich weit von den Scheitelpunkten entfernt ist, ebenso wie der Mittelpunkt des umschreibenden Kreises des ursprünglichen Dreiecks, er verwendet zwei Tatsachen:

  • benachbarte Winkel in einem Parallelogramm sind ergänzend (zu 180 ° addieren ) und,
  • die Diagonalen eines Rechtecks ​​sind gleich und kreuzen sich in ihrem Mittelpunkt.

Es gebe einen rechten Winkel ∠ABC, eine Gerade parallel zu BC geht an A und eine Gerade parallel zu AB an C vorbei. Sei D der Schnittpunkt der Geraden r und s (Beachte, dass D nicht bewiesen ist im Kreis)

Das Viereck ABCD bildet konstruktionsbedingt ein Parallelogramm (da gegenüberliegende Seiten parallel sind). Da in einem Parallelogramm benachbarte Winkel ergänzend sind (zu 180° addieren) und ∠ABC ein rechter Winkel (90°) ist, dann sind auch die Winkel ∠BAD, ∠BCD und ∠ADC rechts (90°); folglich ist ABCD ein Rechteck.

Sei O der Schnittpunkt der Diagonalen AC und BD . Dann ist der Punkt O durch die zweite Tatsache oben gleich weit von A, B und C entfernt. Also ist O der Mittelpunkt des umschreibenden Kreises, und die Hypotenuse des Dreiecks ( AC ) ist ein Durchmesser des Kreises.

Alternativer Beweis der Umkehrung mit Geometrie

Gegeben sei ein rechtwinkliges Dreieck ABC mit Hypotenuse AC , konstruiere einen Kreis Ω dessen Durchmesser AC ist . Sei O der Mittelpunkt von Ω. Sei D der Schnittpunkt von Ω und dem Strahl OB . Nach dem Satz von Thales hat ∠ ADC Recht. Aber dann muss D gleich B sein . (Wenn D innerhalb von ∆ ABC liegt , wäre ∠ ADC stumpf, und wenn D außerhalb von ∆ ABC liegt , wäre ∠ ADC akut.)

Beweis der Umkehrung mit linearer Algebra

Dieser Beweis verwendet zwei Tatsachen:

  • zwei Linien bilden einen rechten Winkel , wenn und nur wenn das Skalarprodukt der Richtungsvektoren gleich Null ist , und
  • das Quadrat der Länge eines Vektors ist durch das Skalarprodukt des Vektors mit sich selbst gegeben.

Es gebe einen rechten Winkel ∠ABC und einen Kreis M mit AC als Durchmesser. Lassen Sie das Zentrum von M auf dem Ursprung liegen, um die Berechnung zu erleichtern. Dann wissen wir

  • A = − C, weil der im Ursprung zentrierte Kreis AC als Durchmesser hat und
  • (A − B) · (B − C) = 0, weil ∠ABC ein rechter Winkel ist.

Es folgt

0 = (A − B) · (B − C) = (A − B) · (B + A) = |A| 2 − |B| 2 .

Somit:

|A| = |B|.

Das bedeutet, dass A und B gleich weit vom Ursprung, dh vom Zentrum von M entfernt sind . Da A auf M liegt , liegt auch B , und der Kreis M ist daher der Umkreis des Dreiecks.

Die obigen Berechnungen belegen in der Tat, dass beide Richtungen des Satzes von Thales in jedem inneren Produktraum gültig sind .

Verallgemeinerungen und zugehörige Ergebnisse

Der Satz von Thales ist ein Spezialfall des folgenden Satzes:

Bei drei Punkten A, B und C auf einem Kreis mit Mittelpunkt O ist der Winkel ∠AOC doppelt so groß wie der Winkel ∠ABC.

Siehe eingeschriebener Winkel , der Beweis dieses Satzes ist dem oben angegebenen Beweis des Satzes von Thales ziemlich ähnlich.

Ein verwandtes Ergebnis des Theorems von Thales ist das folgende:

  • Wenn AC ein Kreisdurchmesser ist, dann:
  • Wenn B innerhalb des Kreises liegt, dann ist ∠ABC > 90°
  • Wenn B auf dem Kreis liegt, dann gilt ∠ABC = 90°
  • Liegt B außerhalb des Kreises, dann ist ∠ABC < 90°.

Anwendung

Konstruieren einer Tangente mit dem Satz von Thales.

Der Satz von Thales kann verwendet werden, um die Tangente an einen bestimmten Kreis zu konstruieren, der durch einen bestimmten Punkt verläuft. In der Abbildung rechts, gegebener Kreis k mit Mittelpunkt O und Punkt P außerhalb von k , halbiere OP bei H und zeichne den Kreis mit Radius OH mit Mittelpunkt H. OP ist ein Durchmesser dieses Kreises, also die Dreiecke, die OP mit den Punkten verbinden T und T′, wo sich die Kreise schneiden, sind beide rechtwinklige Dreiecke.

Geometrische Methode zum Finden unter Verwendung des Satzes des geometrischen Mittels mit

Der Satz von Thales kann auch verwendet werden, um den Mittelpunkt eines Kreises zu finden, indem ein Objekt mit einem rechten Winkel verwendet wird, z. B. ein quadratisches oder rechteckiges Blatt Papier, das größer als der Kreis ist. Der Winkel wird an einer beliebigen Stelle seines Umfangs platziert (Abbildung 1). Die Schnittpunkte der beiden Seiten mit dem Umfang definieren einen Durchmesser (Abbildung 2). Wiederholt man dies mit einem anderen Satz von Schnittpunkten, erhält man einen anderen Durchmesser (Abbildung 3). Das Zentrum befindet sich im Schnittpunkt der Durchmesser.

Veranschaulichung der Verwendung des Satzes von Thales und eines rechten Winkels, um den Mittelpunkt eines Kreises zu finden

Siehe auch

Anmerkungen

Verweise

Externe Links