Satz von Bertini - Theorem of Bertini

In der Mathematik ist der Satz von Bertini ein Existenz- und Generizitätssatz für glatt verbundene Hyperebenenabschnitte für glatte projektive Varietäten über algebraisch geschlossene Felder , eingeführt von Eugenio Bertini . Dies ist der einfachste und umfassendste der "Bertini-Theoreme", die für ein lineares Teilersystem gelten . am einfachsten, da die Charakteristik des zugrunde liegenden Feldes nicht eingeschränkt ist , während die Erweiterungen die Charakteristik 0 erfordern.

Aussage für Hyperebenenabschnitte glatter Sorten

Sei X eine glatte quasi-projektive Varietät über ein algebraisch geschlossenes Feld, eingebettet in einen projektiven Raum . Lassen Sie bezeichnen das komplette System von Hyper Teilern in . Denken Sie daran, dass es der duale Raum von und isomorph zu ist . ${\ displaystyle \ mathbf {P} ^ {n}}$ ${\ displaystyle | H |}$ ${\ displaystyle \ mathbf {P} ^ {n}}$ ${\ displaystyle (\ mathbf {P} ^ {n}) ^ {\ star}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {P} ^ {n}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {P} ^ {n}}$

Der Satz von Bertini besagt, dass die Menge der Hyperebenen, die kein X enthalten und einen glatten Schnittpunkt mit X haben, eine offene dichte Teilmenge des Gesamtsystems der Teiler enthält . Das Set selbst ist geöffnet, wenn X projektiv ist. Wenn , dann sind diese Schnittpunkte (Hyperebenenabschnitte von X genannt ) verbunden und daher nicht reduzierbar. ${\ displaystyle | H |}$ ${\ displaystyle \ dim (X) \ geq 2}$

Der Satz behauptet daher, dass ein allgemeiner Hyperebenenabschnitt, der nicht gleich X ist, glatt ist, das heißt: Die Eigenschaft der Glätte ist generisch.

Über einem beliebigen Feld k gibt es eine dichte offene Teilmenge des Doppelraums, deren rationale Punkte Hyperebenen definieren, die Hyperebenenabschnitte von X glätten . Wenn k unendlich ist, diese offene Teilmenge hat dann unendlich viele rationale Punkte und es gibt unendlich viele glatte Hyper Abschnitte in X . ${\ displaystyle (\ mathbf {P} ^ {n}) ^ {\ star}}$

Über ein endliches Feld, das oben offene Teilmenge enthalten kann nicht rational Punkte und im Allgemeinen ist es keine Hyperebene mit glattem Schnitt mit X . Wenn wir jedoch Hyperflächen von ausreichend hohem Grad nehmen, gilt der Satz von Bertini.

Umriss eines Beweises

Wir betrachten die Subfibrierung der Produktvielfalt mit Fasern über dem linearen System von Hyperebenen, die X bei x nicht transversal schneiden . ${\ displaystyle X \ times | H |}$ ${\ displaystyle x \ in X}$

Der Rang der Fibration im Produkt ist eins weniger als die Codimension von , so dass der gesamte Raum eine geringere Dimension hat als und seine Projektion in einem Teiler des Gesamtsystems enthalten ist . ${\ displaystyle X \ subset \ mathbf {P} ^ {n}}$ ${\ displaystyle n}$ ${\ displaystyle | H |}$

Allgemeine Äußerung

Über jedes unendliches Feld der Charakteristik 0, wenn X ein glatter quasi-projektive ist Variety, ein allgemeines Mitglied eines linearen Systems von Divisoren auf X ist von der glatten wegen Basis Locus des Systems. Zur Verdeutlichung bedeutet dies, dass bei einem linearen System das Vorbild einer Hyperebene H - außerhalb des Basisorts von f - für alle Hyperebenen H in einer dichten offenen Teilmenge des dualen projektiven Raums glatt ist . Dieser Satz gilt auch für die Charakteristik p> 0, wenn das lineare System f nicht verzweigt ist. ${\ displaystyle k}$ ${\ displaystyle k}$ ${\ displaystyle f: X \ rightarrow \ mathbf {P} ^ {n}}$ ${\ displaystyle f ^ {- 1} (H)}$ ${\ displaystyle (\ mathbf {P} ^ {n}) ^ {\ star}}$

Verallgemeinerungen

Der Satz von Bertini wurde auf verschiedene Weise verallgemeinert. Zum Beispiel behauptet ein Ergebnis von Steven Kleiman Folgendes (vgl. Kleimans Theorem ): Für eine verbundene algebraische Gruppe G und jede homogene G- Sorte X und zwei Sorten Y und Z, die auf X abgebildet sind , sei Y ^σ die Sorte erhalten, indem man σ ∈ G auf Y einwirken lässt . Dann gibt es ein offenes dichtes Unterschema H von G , so daß für σ ∈ H , entweder leer ist oder lediglich das (erwartete) Dimension dim Y + dim Z - dim X . Wenn zusätzlich, Y und Z sind glatt und die Basisfeldcharakteristik Null hat, dann H kann so getroffen werden , dass für alle glatt ist , wie auch. Der obige Satz von Bertini ist der Sonderfall, in dem der Quotient von SL _n durch die parabolische Untergruppe der oberen Dreiecksmatrizen ausgedrückt wird , Z eine Subvariante und Y eine Hyperebene ist. ${\ displaystyle Y ^ {\ sigma} \ times _ {X} Z}$ ${\ displaystyle Y ^ {\ sigma} \ times _ {X} Z}$ ${\ displaystyle \ sigma \ in H}$ ${\ displaystyle X = \ mathbb {P} ^ {n}}$