Thoralf Skolem - Thoralf Skolem

Thoralf Skolem
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Geboren ( 1887-05-23 )23. Mai 1887
Sandsvær , Norwegen
Ist gestorben 23. März 1963 (1963-03-23)(75 Jahre)
Oslo , Norwegen
Staatsangehörigkeit norwegisch
Alma Mater Universität Oslo
Bekannt für Satz von Skolem–Noether Satz von
Löwenheim–Skolem
Wissenschaftlicher Werdegang
Felder Mathematiker
Institutionen Universität Oslo
Chr. Michelsen-Institut
Doktoratsberater Axel Thue
Doktoranden Øystein-Erz

Thoralf Albert Skolem ( norwegisch:  [ˈtùːrɑɫf ˈskùːlɛm] ; 23. Mai 1887 – 23. März 1963) war ein norwegischer Mathematiker, der sich mit mathematischer Logik und Mengenlehre beschäftigte .

Leben

Obwohl Skolems Vater Grundschullehrer war, waren die meisten seiner Großfamilie Bauern. Skolem besuchte die Sekundarschule in Kristiania (später umbenannt in Oslo ) und bestand 1905 die Aufnahmeprüfung für die Universität. Anschließend trat er in die Det Kongelige Frederiks Universitet ein , um Mathematik zu studieren und belegte auch Kurse in Physik , Chemie , Zoologie und Botanik .

1909 begann er als Assistent des Physikers Kristian Birkeland zu arbeiten , der dafür bekannt ist, magnetisierte Kugeln mit Elektronen zu beschießen und Polarlicht- ähnliche Effekte zu erzielen; So waren Skolems erste Veröffentlichungen gemeinsam mit Birkeland verfasste physikalische Arbeiten. 1913 legte Skolem das Staatsexamen mit Auszeichnung ab und schloss eine Dissertation mit dem Titel Untersuchungen zur Algebra der Logik ab . Er reiste auch mit Birkeland in den Sudan, um das Tierkreislicht zu beobachten . Das Wintersemester 1915 verbrachte er an der Universität Göttingen , dem damals führenden Forschungszentrum für mathematische Logik , Metamathematik und abstrakte Algebra , auf denen Skolem schließlich herausragende Leistungen erbrachte. 1916 wurde er als wissenschaftlicher Mitarbeiter an die Det Kongelige Frederiks Universitet berufen. 1918 wurde er Dozent in Mathematik und wurde in die Norwegische Akademie der Wissenschaften gewählt .

Skolem schrieb sich zunächst nicht offiziell als Ph.D. ein. Kandidat, der glaubt, dass der Ph.D. war in Norwegen unnötig. Später änderte er seine Meinung und legte 1926 eine Dissertation mit dem Titel Einige Sätze über integrale Lösungen bestimmter algebraischer Gleichungen und Ungleichungen vor . Sein fiktiver Doktorvater war Axel Thue , obwohl Thue 1922 gestorben war.

1927 heiratete er Edith Wilhelmine Hasvold.

Skolem lehrte weiterhin an der Det kongelige Frederiks Universitet (umbenannt 1939 in Universität Oslo ), bis er 1930 wissenschaftlicher Mitarbeiter in Chr. wurde. Michelsen-Institut in Bergen . Diese leitende Position ermöglichte es Skolem, die Forschung frei von Verwaltungs- und Lehraufgaben zu betreiben. Die Position erforderte jedoch auch einen Wohnsitz in Bergen , einer Stadt, in der es damals noch keine Universität und damit keine Forschungsbibliothek gab, so dass er nicht in der Lage war, mit der mathematischen Literatur Schritt zu halten. 1938 kehrte er nach Oslo zurück, um die Professur für Mathematik an der Universität zu übernehmen. Dort unterrichtete er die Graduiertenkurse in Algebra und Zahlentheorie und nur vereinzelt in mathematischer Logik. Skolems Ph.D. Student Øystein Ore machte Karriere in den USA.

Skolem war Präsident der Norwegischen Mathematischen Gesellschaft und Herausgeber des Norsk Matematisk Tidsskrift ("Das Norwegische Mathematische Journal"). Er war auch Gründungsherausgeber von Mathematica Scandinavica .

Nach seiner Pensionierung 1957 unternahm er mehrere Reisen in die Vereinigten Staaten, wo er als Redner und Dozent an dortigen Universitäten tätig war. Er blieb bis zu seinem plötzlichen und unerwarteten Tod intellektuell aktiv.

Für mehr über Skolems akademisches Leben siehe Fenstad (1970).

Mathematik

Skolem veröffentlichte rund 180 Arbeiten über diophantische Gleichungen , Gruppentheorie , Gittertheorie und vor allem Mengenlehre und mathematische Logik . Er veröffentlichte hauptsächlich in norwegischen Zeitschriften mit begrenzter internationaler Auflage, so dass seine Ergebnisse gelegentlich von anderen wiederentdeckt wurden. Ein Beispiel ist der Satz von Skolem-Noether , der die Automorphismen einfacher Algebren charakterisiert . Skolem veröffentlichte 1927 einen Beweis, aber Emmy Noether entdeckte ihn einige Jahre später unabhängig wieder.

Skolem war einer der ersten, der über Gitter schrieb . 1912 beschrieb er als erster ein freies Verteilungsgitter, das aus n Elementen erzeugt wird . 1919 zeigte er, dass jedes implikative Gitter (heute auch Skolem-Gitter genannt ) distributiv ist und als partielle Umkehrung, dass jedes endliche Verteilungsgitter implizit ist. Nachdem diese Ergebnisse von anderen wiederentdeckt wurden, veröffentlichte Skolem 1936 einen Aufsatz auf Deutsch, "Über gewisse 'Verbände' oder 'Lattices'", in dem er seine früheren Arbeiten zur Gittertheorie überblickte.

Skolem war ein Pionier der Modelltheorie . 1920 vereinfachte er den Beweis eines Satzes, den Leopold Löwenheim erstmals 1915 bewies , stark , was zum Löwenheim-Skolem-Theorem führte , der besagt, dass eine abzählbare Theorie erster Ordnung ein unendliches Modell hat, dann hat sie ein abzählbares Modell. Sein Beweis von 1920 verwendete das Axiom der Wahl , aber er gab später (1922 und 1928) Beweise mit dem Lemma von König anstelle dieses Axioms. Es ist bemerkenswert, dass Skolem wie Löwenheim über mathematische Logik und Mengenlehre schrieb und die Notation seiner bahnbrechenden Modelltheoretiker Charles Sanders Peirce und Ernst Schröder verwendete , einschließlich Π, Σ als variablenbindende Quantoren, im Gegensatz zu den Notationen von Peano . Principia Mathematica und Prinzipien der mathematischen Logik . Skolem (1934) leistete Pionierarbeit bei der Konstruktion nicht standardisierter Modelle der Arithmetik und Mengenlehre.

Skolem (1922) verfeinerte Zermelos Axiome für die Mengenlehre, indem er Zermelos vage Vorstellung einer "bestimmten" Eigenschaft durch eine beliebige Eigenschaft ersetzte, die in der Logik erster Ordnung kodiert werden kann . Das resultierende Axiom ist nun Teil der Standardaxiome der Mengenlehre. Skolem wies auch darauf hin, dass eine Folge des Löwenheim-Skolem-Theorems das ist, was heute als Skolems Paradox bekannt ist : Wenn Zermelos Axiome konsistent sind, dann müssen sie innerhalb eines abzählbaren Bereichs erfüllbar sein, auch wenn sie die Existenz überabzählbarer Mengen beweisen.

Vollständigkeit

Die Vollständigkeit der Logik erster Ordnung ist eine Folge von Ergebnissen, die Skolem in den frühen 1920er Jahren bewiesen und in Skolem (1928) diskutiert hat, aber er hat diese Tatsache nicht beachtet, vielleicht weil Mathematiker und Logiker sich der Vollständigkeit als grundlegender Metamathematik nicht voll bewusst waren Problem, bis es 1928 in der Erstausgabe von Hilbert und Ackermanns Prinzipien der mathematischen Logik klar artikuliert wurde. Kurt Gödel hat diese Vollständigkeit jedenfalls erst 1930 bewiesen.

Skolem misstraute dem vollendeten Unendlichen und war einer der Begründer des Finitismus in der Mathematik. Skolem (1923) stellt seine primitive rekursive Arithmetik , einen sehr frühen Beitrag zur Theorie der berechenbaren Funktionen , dar, um die sogenannten Paradoxien des Unendlichen zu vermeiden. Hier entwickelte er die Arithmetik der natürlichen Zahlen, indem er zuerst Objekte durch primitive Rekursion definierte und dann ein anderes System entwickelte, um Eigenschaften der durch das erste System definierten Objekte zu beweisen. Diese beiden Systeme ermöglichten es ihm, Primzahlen zu definieren und einen beträchtlichen Teil der Zahlentheorie darzulegen. Wenn das erste dieser Systeme als Programmiersprache zum Definieren von Objekten und das zweite als Programmierlogik zum Beweisen von Eigenschaften von Objekten angesehen werden kann, kann Skolem als unwissender Pionier der theoretischen Informatik angesehen werden.

1929 bewies Presburger , dass die Peano-Arithmetik ohne Multiplikation konsistent , vollständig und entscheidbar ist . Im folgenden Jahr bewies Skolem, dass dies auch für die Peano-Arithmetik ohne Zusatz gilt, ein System, das ihm zu Ehren Skolem-Arithmetik genannt wurde. Gödels berühmtes Ergebnis von 1931 ist, dass die Peano-Arithmetik selbst (sowohl mit Addition als auch mit Multiplikation) unvollendet und daher a posteriori unentscheidbar ist.

Hao Wang lobte Skolems Arbeit wie folgt:

„Skolem tendiert dazu, allgemeine Probleme an konkreten Beispielen zu behandeln. Er schien oft Beweise in der gleichen Reihenfolge vorzulegen, in der er sie entdeckte. Daraus resultiert eine neue Ungezwungenheit sowie eine gewisse Unschlüssigkeit. Viele seiner Arbeiten wirken wie Erfahrungsberichte Doch seine Ideen sind oft prägnant und potentiell flächendeckend.Er war ein sehr „freier Geist“: er gehörte keiner Schule an, er gründete keine eigene Schule, er nutzte sie normalerweise nicht intensiv bekannte Ergebnisse... er war ein großer Innovator und die meisten seiner Aufsätze können von denen ohne große Fachkenntnisse gelesen und verstanden werden. Es scheint sehr wahrscheinlich, dass, wenn er heute jung wäre, Logik... ihn nicht angesprochen hätte. " (Skolem 1970: 17-18)

Für mehr über Skolems Leistungen siehe Hao Wang (1970).

Siehe auch

Verweise

Primär

  • Skolem, Thoralf (1934). "Über die Nichtcharakterisierbarkeit der Zahlenreihe mittels endlich oder abzählbar unendlich vieler Worte mit ausschließlich Zahlenvariablen" (PDF) . Fundamenta Mathematicae (auf Deutsch). 23 (1): 150–161. doi : 10.4064/fm-23-1-150-161 .
  • Skolem, TA, 1970. Ausgewählte Werke in Logik , Fenstad, JE, hrsg. Oslo: Skandinavische Universitätsbücher. Enthält 22 Artikel auf Deutsch, 26 auf Englisch, 2 auf Französisch, 1 englische Übersetzung eines ursprünglich auf Norwegisch erschienenen Artikels und eine vollständige Bibliographie.

Schriften in englischer Übersetzung

  • Jean van Heijenoort , 1967. Von Frege bis Gödel: Ein Quellenbuch in mathematischer Logik, 1879–1931 . Harvard-Uni. Drücken Sie.
    • 1920. „Logiko-kombinatorische Untersuchungen zur Erfüllbarkeit oder Beweisbarkeit mathematischer Sätze: Ein vereinfachter Beweis eines Satzes von Löwenheim“, 252–263.
    • 1922. "Einige Bemerkungen zur axiomatisierten Mengenlehre", 290-301.
    • 1923. "Die Grundlagen der elementaren Arithmetik", 302-33.
    • 1928. "Über mathematische Logik", 508-524.

Sekundär

  • Brady, Geraldine, 2000. Von Peirce zu Skolem . Nordholland.
  • Fenstad, Jens Erik, 1970, "Thoralf Albert Skolem in Memoriam" in Skolem (1970: 9-16).
  • Hao Wang, 1970, "Ein Überblick über Skolems Arbeit in der Logik" in Skolem (1970: 17-52).

Externe Links