Zahnstocher-Sequenz - Toothpick sequence

Die ersten drei Schritte der Zahnstochersequenz und ihre Emulation durch einen zellularen Automaten mit der Margolus-Nachbarschaft
Die 89. Stufe der Sequenz, eine der Stufen, in denen T ( n ) / n 2 nahe ihrem Minimum liegt

In der Geometrie ist die Zahnstochersequenz eine Folge von zweidimensionalen Mustern, die durch wiederholtes Hinzufügen von Liniensegmenten ("Zahnstochern") zum vorherigen Muster in der Folge gebildet werden können.

Die erste Stufe des Entwurfs ist ein einzelner "Zahnstocher" oder ein Liniensegment. Jede Stufe nach der ersten wird gebildet, indem das vorherige Design verwendet wird und für jedes freiliegende Zahnstocherende ein weiterer Zahnstocher platziert wird, der in einem rechten Winkel an diesem Ende zentriert ist.

Dieser Prozess führt zu einem Wachstumsmuster, bei dem die Anzahl der Segmente im Stadium n mit einem fraktalen Muster zwischen 0,45 n 2 und 0,67 n 2 schwingt . Wenn T ( n ) die Anzahl der Segmente in Stufe n bezeichnet, treten Werte von n auf, für die T ( n ) / n 2 nahe seinem Maximum liegt, wenn n nahe einer Zweierpotenz liegt, während die Werte, für die es nahe seiner ist Minimum treten in der Nähe von Zahlen auf, die ungefähr das 1,43- fache einer Zweierpotenz sind. Die Struktur der Stadien in der Zahnstochersequenz ähnelt häufig dem T-Quadrat- Fraktal oder der Anordnung der Zellen im Ulam-Warburton- Zellautomaten .

Alle begrenzten Bereiche, die im Muster von Zahnstochern umgeben sind, aber selbst nicht von Zahnstochern gekreuzt werden, müssen Quadrate oder Rechtecke sein. Es wurde vermutet, dass jedes offene Rechteck im Zahnstochermuster (dh ein Rechteck, das vollständig von Zahnstochern umgeben ist, aber keinen Zahnstocher in seinem Inneren hat) Seitenlängen und Bereiche mit Zweierpotenzen aufweist , wobei eine der Seitenlängen höchstens zwei sein.

Verweise

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