Lebesgue-Abdeckungsmaß - Lebesgue covering dimension

In der Mathematik ist die Lebesgue-Abdeckungsdimension oder topologische Dimension eines topologischen Raums eine von mehreren verschiedenen Möglichkeiten, die Dimension des Raums auf topologisch invariante Weise zu definieren.

Informelle Diskussion

Für gewöhnliche euklidische Räume ist die Lebesgue-Abdeckungsdimension nur die gewöhnliche euklidische Dimension: Null für Punkte, eine für Linien, zwei für Ebenen und so weiter. Allerdings haben nicht alle topologischen Räume diese Art von "offensichtlicher" Dimension , so dass in solchen Fällen eine genaue Definition erforderlich ist. Die Definition geht weiter, indem untersucht wird, was passiert, wenn der Raum von offenen Mengen bedeckt ist .

Im Allgemeinen ist ein topologischer Raum X kann durch offene Mengen bedeckt , dass man eine Sammlung von offenen Mengen , so dass findet X liegt innerhalb ihrer Vereinigung . Die Überdeckungsdimension ist die kleinste Zahl n, so dass es für jede Überdeckung eine Verfeinerung gibt, bei der jeder Punkt in X im Schnitt von höchstens n  + 1 überdeckenden Mengen liegt. Dies ist der Kern der folgenden formalen Definition. Das Ziel der Definition besteht darin, eine Zahl (eine ganze Zahl ) bereitzustellen , die den Raum beschreibt und sich nicht ändert, wenn der Raum kontinuierlich verformt wird; das heißt, eine Zahl, die unter Homöomorphismen invariant ist .

Die allgemeine Idee wird in den folgenden Diagrammen veranschaulicht, die eine Abdeckung und Verfeinerungen eines Kreises und eines Quadrats zeigen.

Verfeinerung der Abdeckung eines Kreises
Das linke Diagramm zeigt eine Verfeinerung (links) einer Abdeckung (rechts) einer Kreislinie (schwarz). Beachten Sie, dass in der Verfeinerung kein Punkt auf der Linie in mehr als zwei Sätzen enthalten ist. Beachten Sie auch, wie die Sets miteinander verbunden sind, um eine "Kette" zu bilden.
Verfeinerung der Abdeckung eines Quadrats
Unten links ist eine Verfeinerung einer Abdeckung (oben) einer planaren Form (dunkel), sodass alle Punkte der Form in maximal drei Mengen enthalten sind. Unten rechts ist ein Versuch, das Cover so zu verfeinern, dass kein Punkt in mehr als zwei Sätzen enthalten wäre. Dies scheitert am Schnittpunkt gesetzter Grenzen. Eine ebene Form ist also nicht "webby" oder kann nicht mit "Ketten" bedeckt werden, sondern ist in gewisser Weise dicker; dh seine topologische Dimension muss größer als eins sein.

Formale Definition

Die erste formale Definition der Überdeckungsdimension wurde von Eduard Čech gegeben , basierend auf einem früheren Ergebnis von Henri Lebesgue .

Eine moderne Definition lautet wie folgt. Eine offene Abdeckung eines topologischen Raums X ist eine Familie offener Mengen, deren Vereinigung X einschließt . Die Lage oder Ordnung einer Hülle ist die kleinste Zahl n (sofern vorhanden), so dass jeder Punkt des Raums höchstens zu n Mengen in der Hülle gehört. Eine Verfeinerung einer Hülle C ist eine andere Hülle, deren Mengen jeweils eine Teilmenge einer Menge in C sind . Die Überdeckungsdimension eines topologischen Raums X ist als der minimale Wert von n definiert , so dass jede offene Überdeckung C von X (unabhängig von der Lage) eine offene Verfeinerung mit Lage n  + 1 oder weniger hat. Existiert kein solches minimales n , so heißt der Raum unendlich überdeckend.

Als Sonderfall, ein topologischer Raum ist nulldimensionalen in Bezug auf die Abdeckung Dimension , wenn jede offene Abdeckung des Raumes eine Verfeinerung bestehend aus hat disjunkte offene Mengen , so dass jeder Punkt in dem Raum , in genau einem offenen Menge dieser Ausgestaltung enthalten ist .

Es ist oft bequem zu sagen, dass die überdeckende Dimension der leeren Menge –1 ist.

Beispiele

Jede gegebene offene Abdeckung des Einheitskreises hat eine Verfeinerung, die aus einer Sammlung offener Bögen besteht. Der Kreis hat nach dieser Definition die Dimension eins, weil jede solche Überdeckung weiter verfeinert werden kann, bis ein gegebener Punkt x des Kreises in höchstens zwei offenen Bögen enthalten ist. Das heißt, mit welcher Sammlung von Bögen wir auch immer beginnen, einige können verworfen oder verkleinert werden, sodass der Rest immer noch den Kreis bedeckt, jedoch mit einfachen Überlappungen.

In ähnlicher Weise kann jede offene Abdeckung der Einheitsscheibe in der zweidimensionalen Ebene so verfeinert werden, dass jeder Punkt der Scheibe in nicht mehr als drei offenen Sätzen enthalten ist, während zwei im Allgemeinen nicht ausreichen. Das Deckmaß der Scheibe beträgt somit zwei.

Allgemeiner gesagt hat der n- dimensionale euklidische Raum eine Überdeckungsdimension n .

Eigenschaften

  • Homöomorphe Räume haben die gleiche Überdeckungsdimension. Das heißt, die überdeckende Dimension ist eine topologische Invariante .
  • Die überdeckende Dimension von Lebesgue stimmt mit der affinen Dimension eines endlichen simplizialen Komplexes überein ; Dies ist der Lebesgue-Abdeckungssatz .
  • Das überdeckende Maß eines normalen Raumes ist kleiner oder gleich dem großen induktiven Maß .
  • Die überdeckende Dimension eines Normalraums X ist genau dann, wenn für jede abgeschlossene Teilmenge A von X , falls stetig ist, dann eine Erweiterung von zu existiert . Hier ist die n- dimensionale Kugel .
  • (Theorem von Ostrand über die farbige Dimension.) Ein normaler Raum erfüllt die Ungleichung genau dann, wenn für jede lokal endliche offene Hülle des Raums eine offene Hülle des Raumes existiert , die als Vereinigung von Familien dargestellt werden kann , wobei , so dass jede enthält disjunkte Mengen und für jedes und .
  • Die überdeckende Dimension eines parakompakten Hausdorff- Raumes ist größer oder gleich seiner kohomologischen Dimension (im Sinne von Garben ), dh man hat für jede Garbe abelsche Gruppen an und jede größer als die überdeckende Dimension von .

Siehe auch

Verweise

Weiterlesen

Historisch

  • Karl Menger , Allgemeine Räume und kartesische Räume , (1926) Mitteilungen an die Amsterdamer Akademie der Wissenschaften. Englische Übersetzung nachgedruckt in Classics on Fractals , Gerald A. Edgar, Herausgeber, Addison-Wesley (1993) ISBN  0-201-58701-7
  • Karl Menger , Dimensionstheorie , (1928) BG Teubner Verlag, Leipzig.
  • AR Pears, Dimension Theory of General Spaces , (1975) Cambridge University Press. ISBN  0-521-20515-8

Modern

  • VV Fedorchuk, The Fundamentals of Dimensions Theory , erschienen in Encyclopaedia of Mathematical Sciences, Volume 17, General Topology I , (1993) AV Arkhangel'skii and LS Pontryagin (Hrsg.), Springer-Verlag, Berlin ISBN  3-540-18178- 4 .

Externe Links