Topologische Dynamik - Topological dynamics

In der Mathematik ist die topologische Dynamik ein Zweig der Theorie dynamischer Systeme, in dem qualitative, asymptotische Eigenschaften dynamischer Systeme unter dem Gesichtspunkt der allgemeinen Topologie untersucht werden .

Umfang

Das zentrale Untersuchungsobjekt in der topologischen Dynamik ist ein topologisches dynamisches System , dh ein topologischer Raum , zusammen mit einer kontinuierlichen Transformation , einem kontinuierlichen Fluss oder allgemeiner einer Halbgruppe kontinuierlicher Transformationen dieses Raums. Die Ursprünge der topologischen Dynamik liegen in der Untersuchung der asymptotischen Eigenschaften von Trajektorien von Systemen autonomer gewöhnlicher Differentialgleichungen , insbesondere des Verhaltens von Grenzwertsätzen und verschiedener Manifestationen der "Wiederholbarkeit" der Bewegung, wie periodische Trajektorien, Wiederholung und Minimalität. Stabilität, nicht wandernde Punkte . George Birkhoff gilt als der Gründer des Feldes. Ein Struktursatz für minimale distale Strömungen, der von Hillel Furstenberg in den frühen 1960er Jahren bewiesen wurde, inspirierte viele Arbeiten zur Klassifizierung minimaler Strömungen. In den 1970er und 1980er Jahren wurde viel über die topologische Dynamik eindimensionaler Karten geforscht, insbesondere über stückweise lineare Selbstkarten des Intervalls und des Kreises.

Im Gegensatz zur Theorie der glatten dynamischen Systeme, bei denen das Hauptziel der Untersuchung eine glatte Mannigfaltigkeit mit einem Diffeomorphismus oder einer glatten Strömung ist, sind in der topologischen Dynamik berücksichtigte Phasenräume allgemeine metrische Räume (normalerweise kompakt ). Dies erfordert die Entwicklung völlig anderer Techniken, ermöglicht jedoch auch in der glatten Umgebung ein zusätzliches Maß an Flexibilität, da invariante Teilmengen einer Mannigfaltigkeit topologisch häufig sehr kompliziert sind (vgl. Grenzzyklus , seltsamer Attraktor ); Darüber hinaus können Verschiebungsräume, die durch symbolische Darstellungen entstehen, mit geometrischeren Aktionen gleichgestellt werden. Die topologische Dynamik steht in engem Zusammenhang mit der ergodischen Theorie dynamischer Systeme, und viele grundlegende Konzepte der letzteren weisen topologische Analoga auf (vgl. Kolmogorov-Sinai-Entropie und topologische Entropie ).

Siehe auch

Verweise

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