Topologische Geometrie - Topological geometry

Topologische Geometrie behandelt Einfall Strukturen , bestehend aus einer Punktmenge und eine Familie von Untermengen der genannten Linien oder Kreise usw. , so daß beide , und eine Übertrag - Topologie und alle geometrischen Operationen wie Punkte durch eine Linie Füge- oder Schnittlinien sind kontinuierlich. Wie bei topologischen Gruppen erfordern viele tiefere Ergebnisse, dass der Punktraum (lokal) kompakt und verbunden ist. Dies verallgemeinert die Beobachtung, dass die Linie, die zwei verschiedene Punkte in der euklidischen Ebene verbindet, kontinuierlich vom Punktpaar abhängt und der Schnittpunkt zweier Linien eine kontinuierliche Funktion dieser Linien ist. ${\ displaystyle P}$${\ displaystyle {\ mathfrak {L}}}$${\ displaystyle P}$${\ displaystyle P}$${\ displaystyle {\ mathfrak {L}}}$

Lineare Geometrien

Lineare Geometrien sind Einfallsstrukturen, in denen zwei beliebige Punkte vorhanden sind und die durch eine eindeutige Linie verbunden sind . Solche Geometrien werden als topologisch bezeichnet, wenn sie in Bezug auf gegebene Topologien auf der Punktmenge und der Linienmenge kontinuierlich vom Paar abhängen . Das Dual einer linearen Geometrie wird durch Vertauschen der Rollen von Punkten und Linien erhalten. Eine Übersicht über lineare topologische Geometrien finden Sie in Kapitel 23 des Handbuchs zur Inzidenzgeometrie . Die am intensivsten untersuchten topologischen linearen Geometrien sind solche, die auch duale topologische lineare Geometrien sind. Solche Geometrien sind als topologische Projektionsebenen bekannt . ${\ displaystyle x}$${\ displaystyle y}$${\ displaystyle xy}$${\ displaystyle xy}$${\ displaystyle (x, y)}$

Geschichte

Eine systematische Untersuchung dieser Flugzeuge begann 1954 mit einem Artikel von Skornyakov. Zuvor waren die topologischen Eigenschaften der realen Ebene über Ordnungsbeziehungen auf den affinen Linien eingeführt worden, siehe z. B. Hilbert , Coxeter und O. Wyler. Die Vollständigkeit der Reihenfolge entspricht der lokalen Kompaktheit und impliziert, dass die affinen Linien homöomorph sind und dass der Punktraum verbunden ist . Beachten Sie, dass die rationalen Zahlen nicht ausreichen, um unsere intuitiven Vorstellungen von Ebenengeometrie zu beschreiben, und dass eine gewisse Erweiterung des rationalen Feldes erforderlich ist. Tatsächlich hat die Gleichung für einen Kreis keine rationale Lösung. ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$${\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} = 3}$

Topologische Projektionsebenen

Die Annäherung an die topologischen Eigenschaften projektiver Ebenen über Ordnungsbeziehungen ist jedoch für die durch die komplexen Zahlen , die Quaternionen oder die Oktonionalgebra koordinierten Ebenen nicht möglich . Die Punkträume sowie die Linienräume dieser klassischen Ebenen (über den reellen Zahlen, den komplexen Zahlen, den Quaternionen und den Oktonionen) sind kompakte Mannigfaltigkeiten der Dimension . ${\ displaystyle 2 ^ {m}, \, 1 \ leq m \ leq 4}$

Topologische Dimension

Der Begriff der Dimension eines topologischen Raums spielt eine herausragende Rolle bei der Untersuchung topologischer, insbesondere kompakter verbundener Ebenen. Für einen normalen Raum kann die Abmessung wie folgt charakterisiert werden: ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle \ dim X}$

Wenn bezeichnet die -kugel, dann hat genau dann und nur dann für jeden geschlossenen Unterraum jede kontinuierliche Karte eine kontinuierliche Erweiterung . ${\ displaystyle \ mathbb {S} _ {n}}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle \ dim X \ leq n}$${\ displaystyle A \ subset X}$${\ displaystyle \ varphi: A \ to \ mathbb {S} _ {n}}$${\ displaystyle \ psi: X \ to \ mathbb {S} _ {n}}$

Für Details und andere Definitionen einer Dimension siehe und die dort angegebenen Referenzen, insbesondere Engelking oder Fedorchuk.

2-dimensionale Ebenen

Die Linien einer kompakten topologischen Ebene mit einem zweidimensionalen Punktraum bilden eine Familie von Kurven, die homöomorph zu einem Kreis sind, und diese Tatsache charakterisiert diese Ebenen unter den topologischen projektiven Ebenen. Entsprechend ist der Punktraum eine Oberfläche . Frühe Beispiele, die nicht klassisch zur klassischen realen Ebene sind, wurden von Hilbert und Moulton gegeben . Die Kontinuitätseigenschaften dieser Beispiele wurden zu diesem Zeitpunkt nicht explizit berücksichtigt, sie wurden möglicherweise als selbstverständlich angesehen. Hilberts Konstruktion kann modifiziert werden, um unzählige paarweise nicht isomorphe eindimensionale kompakte Ebenen zu erhalten. Die traditionelle Art, sich von den anderen eindimensionalen Ebenen zu unterscheiden , besteht in der Gültigkeit des Desargues-Theorems oder des Theorems von Pappos (siehe z. B. Pickert für eine Diskussion dieser beiden Konfigurationssätze). Letzteres impliziert bekanntermaßen Ersteres ( Hessenberg ). Der Satz von Desargues drückt eine Art Homogenität der Ebene aus. Im Allgemeinen gilt es in einer projektiven Ebene genau dann, wenn die Ebene durch ein (nicht unbedingt kommutatives) Feld koordiniert werden kann, was impliziert, dass die Gruppe der Automorphismen auf der Menge der Vierecke transitiv ist ( Punkte, von denen keine sind) kollinear). In der vorliegenden Situation charakterisiert eine viel schwächere Homogenitätsbedingung : ${\ displaystyle {\ mathcal {E}}}$${\ displaystyle 2}$${\ displaystyle {\ mathcal {E}}}$${\ displaystyle 2}$${\ displaystyle 4}$${\ displaystyle 3}$${\ displaystyle {\ mathcal {E}}}$

Satz. Wenn die Automorphismusgruppe einer eindimensionalen kompakten Ebene auf der Punktmenge (oder der Linienmenge) transitiv ist , hat sie eine kompakte Untergruppe, die auf der Menge der Flags${\ displaystyle \ Sigma}$${\ displaystyle 2}$${\ displaystyle {\ mathcal {P}}}$${\ displaystyle \ Sigma}$${\ displaystyle \ Phi}$ (= einfallende Punkt-Linien-Paare) sogar transitiv ist und klassisch ist ${\ displaystyle {\ mathcal {P}}}$ .

Die Automorphismusgruppe einer eindimensionalen kompakten Ebene , aufgenommen mit der Topologie der gleichmäßigen Konvergenz auf dem Punktraum, ist höchstens eine lokal kompakte Dimensionsgruppe , sogar eine Lie-Gruppe . Alle eindimensionalen Ebenen, die explizit beschrieben werden können; diejenigen mit sind genau die Moulton-Ebenen, die klassische Ebene ist die einzige eindimensionale Ebene mit ; siehe auch. ${\ displaystyle \ Sigma = \ operatorname {Aut} {\ mathcal {P}}}$${\ displaystyle 2}$${\ displaystyle {\ mathcal {P}}}$${\ displaystyle 8}$${\ displaystyle 2}$${\ displaystyle \ dim \ Sigma \ geq 3}$${\ displaystyle \ dim \ Sigma = 4}$${\ displaystyle {\ mathcal {E}}}$${\ displaystyle 2}$${\ displaystyle \ dim \ Sigma> 4}$

Kompakte verbundene Flugzeuge

Die Ergebnisse auf eindimensionalen Ebenen wurden auf kompakte Dimensionsebenen erweitert . Dies ist aufgrund des folgenden Grundsatzes möglich: ${\ displaystyle 2}$${\ displaystyle> 2}$

Topologie kompakter Flugzeuge. Wenn die Dimension des Punktraums einer kompakten verbundenen Projektionsebene endlich ist, dann mit . Darüber hinaus ist jede Linie eine Homotopiekugel der Dimension ${\ displaystyle P}$${\ displaystyle \ dim P = 2 ^ {m}}$${\ displaystyle m \ in \ {1,2,3,4 \}}$${\ displaystyle 2 ^ {m-1}}$ , siehe oder.

Spezielle Aspekte von 4-dimensionalen Ebenen werden behandelt, neuere Ergebnisse finden sich in. Die Linien einer eindimensionalen kompakten Ebene sind homöomorph zur Kugel; In den Fällen sind die Linien nicht als Mannigfaltigkeiten bekannt, aber in allen bisher gefundenen Beispielen sind die Linien Kugeln. Eine Unterebene einer projektiven Ebene wird als Baer- Unterebene bezeichnet, wenn jeder Punkt von auf eine Linie von fällt und jede Linie von einen Punkt von enthält . Eine geschlossene Unterebene ist genau dann eine Baer-Unterebene einer kompakten verbundenen Ebene , wenn der Punktraum und eine Linie dieselbe Dimension haben. Daher sind die Linien einer 8-dimensionalen Ebene homöomorph zu einer Kugel, wenn sie eine geschlossene Baer-Unterebene haben. ${\ displaystyle 4}$${\ displaystyle 2}$${\ displaystyle m> 2}$${\ displaystyle {\ mathcal {B}}}$${\ displaystyle {\ mathcal {P}}}$${\ displaystyle {\ mathcal {P}}}$${\ displaystyle {\ mathcal {B}}}$${\ displaystyle {\ mathcal {P}}}$${\ displaystyle {\ mathcal {B}}}$${\ displaystyle {\ mathcal {B}}}$${\ displaystyle {\ mathcal {P}}}$${\ displaystyle {\ mathcal {B}}}$${\ displaystyle {\ mathcal {P}}}$${\ displaystyle {\ mathcal {P}}}$${\ displaystyle \ mathbb {S} _ {4}}$${\ displaystyle {\ mathcal {P}}}$

Homogene Ebenen. Wenn es sich um eine kompakt verbundene Projektionsebene handelt und wenn es auf der Punktmenge von transitiv ist , dann hat es eine flag-transitive kompakte Untergruppe und ist klassisch ${\ displaystyle {\ mathcal {P}}}$${\ displaystyle \ Sigma = \ operatorname {Aut} {\ mathcal {P}}}$${\ displaystyle {\ mathcal {P}}}$${\ displaystyle \ Sigma}$${\ displaystyle \ Phi}$${\ displaystyle {\ mathcal {P}}}$ , siehe oder. In der Tat ist eine elliptische Bewegungsgruppe. ${\ displaystyle \ Phi}$

Sei eine kompakte Dimensionsebene und schreibe . Wenn , dann ist klassisch und ist jeweils eine einfache Lie- Dimensionsgruppe . Alle Flugzeuge mit sind explizit bekannt. Die Ebenen mit sind genau die projektiven Abschlüsse der affinen Ebenen, die durch eine sogenannte Mutation der Oktonionalgebra koordiniert werden , wobei die neue Multiplikation wie folgt definiert ist: Wählen Sie eine reelle Zahl mit und setzen Sie . Ausgehend von Annahmen über ihre Automorphismusgruppen wurden systematisch große Flugzeugfamilien mit einer Gruppe großer Dimensionen entdeckt, siehe z. Viele von ihnen sind projektive Verschlüsse von Translationsebenen (affine Ebenen, die eine scharf transitive Gruppe von Automorphismen zulassen, die jede Linie einer Parallele zuordnen), vgl.; siehe auch für neuere Ergebnisse im Fall und für . ${\ displaystyle {\ mathcal {P}}}$${\ displaystyle 2 ^ {m}, \; m = 2,3,4}$${\ displaystyle \ Sigma = \ operatorname {Aut} {\ mathcal {P}}}$${\ displaystyle \ dim \ Sigma> 8,18,40}$${\ displaystyle {\ mathcal {P}}}$${\ displaystyle \ operatorname {Aut} {\ mathcal {P}}}$${\ displaystyle 16,35,78}$${\ displaystyle {\ mathcal {P}}}$${\ displaystyle \ dim \ Sigma = 8,18,40}$${\ displaystyle \ dim \ Sigma = 40}$ ${\ displaystyle (\ mathbb {O}, +, \ circ)}$${\ displaystyle (\ mathbb {O}, +, \ \,)}$${\ displaystyle \ circ}$${\ displaystyle t}$${\ displaystyle 1/2 <t \ neq 1}$${\ displaystyle a \ circ b = t \ cdot ab + (1-t) \ cdot ba}$${\ displaystyle m = 3}$${\ displaystyle m = 4}$

Kompakte projektive Räume

Unterebenen von projektiven Räumen mit einer geometrischen Dimension von mindestens 3 sind notwendigerweise Desarguesian, siehe §1 oder §16 oder. Daher können alle kompakt verbundenen projektiven Räume durch die reellen oder komplexen Zahlen oder das Quaternionsfeld koordiniert werden.

Stabile Flugzeuge

Die klassische nichteuklidische hyperbolische Ebene kann durch die Schnittpunkte der Geraden in der realen Ebene mit einer offenen Kreisscheibe dargestellt werden. Im Allgemeinen sind offene (konvexe) Teile der klassischen affinen Ebenen typische stabile Ebenen. Eine Übersicht über diese Geometrien finden Sie in, für den eindimensionalen Fall siehe auch. ${\ displaystyle 2}$

Genau genommen ist eine stabile Ebene eine topologische lineare Geometrie, so dass ${\ displaystyle {\ mathcal {S}}}$${\ displaystyle (P, {\ mathfrak {L}})}$

1. ${\ displaystyle P}$ ist ein lokal kompakter Raum mit positiver endlicher Dimension,
2. Jede Zeile ist eine geschlossene Teilmenge von und ist ein Hausdorff-Raum. ${\ displaystyle L \ in {\ mathfrak {L}}}$${\ displaystyle P}$${\ displaystyle {\ mathfrak {L}}}$
3. das Set ist ein offener Unterraum ( Stabilität ), ${\ displaystyle \ {(K, L) \ mid K \ neq L, \; K \ cap L \ neq \ emptyyset \}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {O}} \ subset {\ mathfrak {L}} ^ {2}}$
4. Die Karte ist fortlaufend. ${\ displaystyle (K, L) \ mapsto K \ cap L: {\ mathfrak {O}} \ to P}$

Beachten Sie, dass die Stabilität Geometrien wie den eindimensionalen affinen Raum über oder ausschließt . ${\ displaystyle 3}$${\ displaystyle \ mathbb {R}}$${\ displaystyle \ mathbb {C}}$

Eine stabile Ebene ist genau dann eine projektive Ebene, wenn sie kompakt ist. ${\ displaystyle {\ mathcal {S}}}$${\ displaystyle P}$

Wie im Fall von projektiven Ebenen sind Linienstifte kompakt und homotopisch, was einer Dimensionskugel entspricht , und mit , siehe oder. Darüber hinaus ist der Punktraum lokal kontrahierbar. ${\ displaystyle 2 ^ {m-1}}$${\ displaystyle \ dim P = 2 ^ {m}}$${\ displaystyle m \ in \ {1,2,3,4 \}}$${\ displaystyle P}$

Kompakte Gruppen von (richtigen) stabilen Ebenen sind eher klein. Lassen Sie bezeichnen eine maximale kompakte Untergruppe der Automorphismengruppe der klassischen -dimensionalen projektiven Ebene . Dann gilt folgender Satz: Wenn eine eindimensionale stabile Ebene eine kompakte Gruppe von Automorphismen zulässt, so dass dann . ${\ displaystyle \ Phi _ {d}}$${\ displaystyle d}$${\ displaystyle {\ mathcal {P}} _ {d}}$
${\ displaystyle d}$${\ displaystyle {\ mathcal {S}}}$${\ displaystyle \ Gamma}$${\ displaystyle \ dim \ Gamma> \ dim \ Phi _ {d} -d}$${\ displaystyle {\ mathcal {S}} \ cong {\ mathcal {P}} _ {d}}$

Flaggenhomogene stabile Flugzeuge. Sei eine stabile Ebene. Wenn die Automorphismusgruppe flag-transitiv ist, dann ist sie eine klassische projektive oder affine Ebene oder isomorph zum Inneren der absoluten Sphäre der hyperbolischen Polarität einer klassischen Ebene ${\ displaystyle {\ mathcal {S}} = (P, {\ mathfrak {L}})}$${\ displaystyle \ operatorname {Aut} {\ mathcal {S}}}$${\ displaystyle {\ mathcal {S}}}$${\ displaystyle {\ mathcal {S}}}$ ; sehen.

Im Gegensatz zum projektiven Fall gibt es eine Fülle von punkthomogenen stabilen Ebenen, darunter riesige Klassen von Übersetzungsebenen, siehe und.

Symmetrische Ebenen

Affine Übersetzungsebenen haben die folgende Eigenschaft:

• Es gibt eine punkttransitive geschlossene Untergruppe der Automorphismusgruppe, die an einigen und damit an jedem Punkt eine eindeutige Reflexion enthält . ${\ displaystyle \ Delta}$

Allgemeiner ist eine symmetrische Ebene eine stabile Ebene, die die oben genannte Bedingung erfüllt; siehe vgl. für eine Übersicht über diese Geometrien. Nach Korollar 5.5 ist die Gruppe eine Lie-Gruppe und der Punktraum eine Mannigfaltigkeit. Daraus folgt, dass es sich um einen symmetrischen Raum handelt . Mit Hilfe der Lie-Theorie symmetrischer Räume wurden alle symmetrischen Ebenen mit einer Punktmenge von Dimensionen klassifiziert oder klassifiziert. Sie sind entweder Übersetzungsebenen oder werden durch eine hermitische Form bestimmt . Ein einfaches Beispiel ist die reale hyperbolische Ebene. ${\ displaystyle {\ mathcal {S}} = (P, {\ mathfrak {L}})}$${\ displaystyle \ Delta}$${\ displaystyle P}$${\ displaystyle {\ mathcal {S}}}$${\ displaystyle 2}$${\ displaystyle 4}$

Kreisgeometrien

Klassische Modelle sind durch die ebenen Abschnitte einer quadratischen Fläche im realen Projektionsraum gegeben ; Wenn es sich um eine Kugel handelt, wird die Geometrie als Möbius-Ebene bezeichnet . Die ebenen Abschnitte einer Regelfläche (einblättriges Hyperboloid) ergeben die klassische Minkowski-Ebene , vgl. für Verallgemeinerungen. Wenn es sich um einen elliptischen Kegel ohne Scheitelpunkt handelt, wird die Geometrie als Laguerre-Ebene bezeichnet . Zusammen werden diese Flugzeuge manchmal als Benz-Flugzeuge bezeichnet . Eine topologische Benz-Ebene ist klassisch, wenn jeder Punkt eine Nachbarschaft hat, die isomorph zu einem offenen Stück der entsprechenden klassischen Benz-Ebene ist . ${\ displaystyle S}$${\ displaystyle 3}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle S}$

Möbius Flugzeuge

Möbius-Ebenen bestehen aus einer Familie von Kreisen, die topologische 1-Kugeln auf der Kugel sind, so dass für jeden Punkt die abgeleitete Struktur eine topologische affine Ebene ist. Insbesondere werden bestimmte Punkte durch einen eindeutigen Kreis verbunden. Der Kreisraum ist dann homöomorph zum realen Projektionsraum, wobei ein Punkt gelöscht wird. Eine große Klasse von Beispielen sind die ebenen Abschnitte einer eiartigen Oberfläche im Realraum . ${\ displaystyle {\ mathfrak {C}}}$${\ displaystyle 2}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle (S \ setminus \ {p \}, \ {C \ setminus \ {p \} \ mid p \ in C \ in {\ mathfrak {C}} \})}$${\ displaystyle 3}$${\ displaystyle {\ mathfrak {C}}}$${\ displaystyle 3}$${\ displaystyle 3}$

Homogene Möbius-Flugzeuge

Wenn die Automorphismusgruppe einer Möbius-Ebene auf der Punktmenge oder auf der Kreismenge transitiv ist oder wenn , dann ist sie klassisch und ${\ displaystyle \ Sigma}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle {\ mathfrak {C}}}$${\ displaystyle \ dim \ Sigma \ geq 4}$${\ displaystyle (S, {\ mathfrak {C}})}$${\ displaystyle \ dim \ Sigma = 6}$ siehe.

Im Gegensatz zu kompakten projektiven Ebenen gibt es keine topologischen Möbius-Ebenen mit Dimensionskreisen , insbesondere keine kompakten Möbius-Ebenen mit einem eindimensionalen Punktraum. Alle zweidimensionalen Möbius-Ebenen, die explizit beschrieben werden können. ${\ displaystyle> 1}$${\ displaystyle 4}$${\ displaystyle \ dim \ Sigma \ geq 3}$

Laguerre Flugzeuge

Das klassische Modell einer Laguerre - Ebene besteht aus einer kreisförmigen , zylindrischen Oberfläche in Echt -Raum als Punktmenge und die kompakten ebenen Abschnitte als Kreise. Punktepaare, die nicht durch einen Kreis verbunden sind, werden als parallel bezeichnet . Lassen Sie eine Klasse von parallelen Punkte bezeichnen. Dann ist eine Ebene , die Kreise können in dieser Ebene durch Parabeln der Form dargestellt werden . ${\ displaystyle C}$${\ displaystyle 3}$${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}$${\ displaystyle C}$${\ displaystyle P}$${\ displaystyle C \ setminus P}$${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}}$${\ displaystyle y = ax ^ {2} + bx + c}$

In analoger Weise hängt die klassisch- dimensionale Laguerre-Ebene mit der Geometrie komplexer quadratischer Polynome zusammen. Im Allgemeinen erfordern die Axiome einer lokal kompakten verbundenen Laguerre-Ebene, dass die abgeleiteten Ebenen in kompakte projektive Ebenen endlicher Dimension eingebettet werden. Ein Kreis, der nicht durch den Ableitungspunkt verläuft, induziert ein Oval in der abgeleiteten Projektionsebene. Durch oder sind Kreise homöomorph zu Sphären der Dimension oder . Daher ist der Punktraum einer lokal kompakten verbundenen Laguerre-Ebene homöomorph zum Zylinder oder es handelt sich um eine eindimensionale Mannigfaltigkeit, vgl. Eine große Klasse von eindimensionalen Beispielen, die als ovale Laguerre-Ebenen bezeichnet werden, sind die ebenen Abschnitte eines Zylinders im realen 3-Raum, dessen Basis ein Oval in ist . ${\ displaystyle 4}$${\ displaystyle 1}$${\ displaystyle 2}$${\ displaystyle C}$${\ displaystyle 4}$${\ displaystyle 2}$${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}}$

Die Automorphismusgruppe einer eindimensionalen Laguerre-Ebene ( ) ist eine Lie-Gruppe in Bezug auf die Topologie der gleichmäßigen Konvergenz auf kompakten Teilmengen des Punktraums; Darüber hinaus hat diese Gruppe höchstens eine Dimension . Alle Automorphismen einer Laguerre-Ebene, die jede parallele Klasse fixieren, bilden eine normale Untergruppe, den Kern der vollständigen Automorphismusgruppe. Die eindimensionalen Laguerre-Ebenen mit sind genau die ovalen Ebenen über den richtigen Schrägparabeln. Die klassischdimensionalen Laguerre-Ebenen sind die einzigen, die , siehe vgl. ebenfalls. ${\ displaystyle 2d}$${\ displaystyle d = 1,2}$${\ displaystyle 7d}$${\ displaystyle 2}$${\ displaystyle \ dim \ Sigma = 5}$${\ displaystyle 2d}$${\ displaystyle \ dim \ Sigma> 5d}$

Homogene Laguerre-Flugzeuge

Wenn die Automorphismusgruppe einer eindimensionalen Laguerre-Ebene auf der Menge der parallelen Klassen transitiv ist und wenn der Kernel auf der Menge der Kreise transitiv ist, dann ist sie klassisch ${\ displaystyle \ Sigma}$${\ displaystyle 2d}$${\ displaystyle {\ mathcal {L}}}$${\ displaystyle T \ triangleleft \ Sigma}$${\ displaystyle {\ mathcal {L}}}$ , siehe 2.1,2.

Die Transitivität der Automorphismusgruppe auf der Menge der Kreise reicht jedoch nicht aus, um das klassische Modell unter den eindimensionalen Laguerre-Ebenen zu charakterisieren . ${\ displaystyle 2d}$

Minkowski Flugzeuge

Das klassische Modell einer Minkowski-Ebene hat den Torus als Punktraum, Kreise sind die Graphen realer gebrochener linearer Karten . Wie bei Laguerre-Ebenen ist der Punktraum einer lokal kompakten verbundenen Minkowski-Ebene - oder -dimensional; Der Punktraum ist dann homöomorph zu einem Torus oder zu sehen. ${\ displaystyle \ mathbb {S} _ {1} \ times \ mathbb {S} _ {1}}$${\ displaystyle \ mathbb {S} _ {1} = \ mathbb {R} \ cup \ {\ infty \}}$${\ displaystyle 1}$${\ displaystyle 2}$${\ displaystyle \ mathbb {S} _ {2} \ times \ mathbb {S} _ {2}}$

Homogene Minkowski-Flugzeuge

Wenn die Automorphismusgruppe einer Minkowski- Dimensionsebene flag-transitiv ist, dann ist sie klassisch ${\ displaystyle \ Sigma}$${\ displaystyle {\ mathcal {M}}}$${\ displaystyle 2d}$${\ displaystyle {\ mathcal {M}}}$ .

Die Automorphismusgruppe einer eindimensionalen Minkowski-Ebene ist höchstens eine Lie-Dimensionsgruppe . Alle eindimensionalen Minkowski-Ebenen, die explizit beschrieben werden können. Die klassisch- dimensionale Minkowski-Ebene ist die einzige mit , siehe. ${\ displaystyle 2d}$${\ displaystyle 6d}$${\ displaystyle 2}$${\ displaystyle \ dim \ Sigma \ geq 4}$${\ displaystyle 2d}$${\ displaystyle \ dim \ Sigma> 4d}$

Anmerkungen

Verweise

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