Topologische Ordnung

In der Physik ist topologische Ordnung eine Art Ordnung in der Null-Temperatur- Phase der Materie (auch bekannt als Quantenmaterie). Makroskopisch wird die topologische Ordnung durch robuste Grundzustandsentartung und quantisierte nicht-abelsche geometrische Phasen entarteter Grundzustände definiert und beschrieben . Mikroskopisch entsprechen topologische Ordnungen Mustern weitreichender Quantenverschränkung . Zustände mit unterschiedlichen topologischen Ordnungen (oder unterschiedlichen Mustern von weitreichenden Verschränkungen) können nicht ohne Phasenübergang ineinander übergehen.

Verschiedene topologisch geordnete Zustände haben interessante Eigenschaften, wie zum Beispiel (1) topologische Entartung und fraktionierte Statistik oder nicht-abelsche Statistik , die verwendet werden können, um einen topologischen Quantencomputer zu realisieren; (2) perfekt leitende Kantenzustände , die wichtige Geräteanwendungen haben können; (3) emergentes Eichfeld und Fermi-Statistik, die einen Quanteninformations-Ursprung von Elementarteilchen nahelegen; (4) topologische Verschränkungsentropie , die den Verschränkungsursprung der topologischen Ordnung aufdeckt usw. Die topologische Ordnung ist wichtig bei der Untersuchung mehrerer physikalischer Systeme wie Spinflüssigkeiten und des Quanten-Hall-Effekts , zusammen mit möglichen Anwendungen für fehlertolerante Quantenberechnungen .

Topologische Isolatoren und topologische Supraleiter (jenseits von 1D) haben keine topologische Ordnung wie oben definiert, ihre Verschränkungen sind nur kurzreichweitig.

Hintergrund

Obwohl alle Materie aus Atomen besteht , kann Materie unterschiedliche Eigenschaften haben und in verschiedenen Formen auftreten, wie fest , flüssig , suprafluid usw. Diese verschiedenen Formen der Materie werden oft als Aggregatzustände oder Phasen bezeichnet . Nach der Physik der kondensierten Materie und dem Emergenzprinzip ergeben sich die unterschiedlichen Eigenschaften von Materialien aus der unterschiedlichen Organisation der Atome in den Materialien. Diese unterschiedlichen Organisationen der Atome (oder anderer Teilchen) werden formal die Ordnungen in den Materialien genannt.

Atome können sich auf viele Arten organisieren, was zu vielen verschiedenen Ordnungen und vielen verschiedenen Arten von Materialien führt. Die Landau- Symmetriebrechungstheorie bietet ein allgemeines Verständnis dieser verschiedenen Ordnungen. Es weist darauf hin, dass unterschiedliche Ordnungen tatsächlich unterschiedlichen Symmetrien in der Organisation der konstituierenden Atome entsprechen. Wenn sich ein Material von einer Ordnung in eine andere ändert (dh wenn das Material einen Phasenübergang durchläuft ), ändert sich die Symmetrie der Organisation der Atome.

Zum Beispiel haben Atome in einer Flüssigkeit eine zufällige Verteilung , so dass eine Flüssigkeit gleich bleibt, wenn wir Atome um einen beliebigen Abstand verschieben. Wir sagen, dass eine Flüssigkeit eine stetige Translationssymmetrie hat . Nach einem Phasenübergang kann aus einer Flüssigkeit ein Kristall werden . In einem Kristall organisieren sich Atome in einer regelmäßigen Anordnung (einem Gitter ). Ein Gitter bleibt nur dann unverändert, wenn wir es um einen bestimmten Abstand verschieben (Ganzzahl mal Gitterkonstante ), also hat ein Kristall nur eine diskrete Translationssymmetrie . Der Phasenübergang zwischen einer Flüssigkeit und einem Kristall ist ein Übergang, der die kontinuierliche Translationssymmetrie der Flüssigkeit auf die diskrete Symmetrie des Kristalls reduziert. Eine solche Symmetrieänderung wird als Symmetriebrechung bezeichnet . Der wesentliche Unterschied zwischen Flüssigkeiten und Kristallen besteht daher darin, dass die Organisation der Atome in den beiden Phasen unterschiedliche Symmetrien aufweist.

Die Symmetriebrechungstheorie von Landau war eine sehr erfolgreiche Theorie. Lange Zeit glaubten Physiker, dass die Landau-Theorie alle möglichen Ordnungen in Materialien und alle möglichen (kontinuierlichen) Phasenübergänge beschreibe.

Entdeckung und Charakterisierung

Seit den späten 1980er Jahren hat sich jedoch allmählich herausgestellt, dass die Landau-Symmetriebrechungstheorie möglicherweise nicht alle möglichen Ordnungen beschreibt. Um die Hochtemperatur-Supraleitung zu erklären, wurde der chirale Spinzustand eingeführt. Zunächst wollten Physiker noch die Landau-Symmetriebrechungstheorie verwenden, um den chiralen Spinzustand zu beschreiben. Sie identifizierten den chiralen Spinzustand als einen Zustand, der die Zeitumkehr- und Paritätssymmetrien bricht, aber nicht die Spinrotationssymmetrie. Dies sollte laut Landaus symmetriebrechender Befehlsbeschreibung das Ende der Geschichte sein. Es wurde jedoch schnell erkannt, dass es viele verschiedene chirale Spinzustände gibt, die genau dieselbe Symmetrie aufweisen, sodass Symmetrie allein nicht ausreicht, um verschiedene chirale Spinzustände zu charakterisieren. Dies bedeutet, dass die chiralen Spinzustände eine neue Art von Ordnung enthalten, die jenseits der üblichen Symmetriebeschreibung liegt. Die vorgeschlagene neue Ordnungsart wurde "topologische Ordnung" genannt. Der Name "topologische Ordnung" wird durch die niederenergetische effektive Theorie der chiralen Spinzustände motiviert , die eine topologische Quantenfeldtheorie (TQFT) ist. Neue Quantenzahlen, wie die Entartung des Grundzustands (die auf einem geschlossenen Raum oder einem offenen Raum mit Lückengrenzen definiert werden kann, einschließlich sowohl abelscher topologischer Ordnungen als auch nicht-abelscher topologischer Ordnungen) und die nicht-abelsche geometrische Phase entarteter Grundzustände, wurden eingeführt, um die verschiedenen topologischen Ordnungen in chiralen Spinzuständen zu charakterisieren und zu definieren. In jüngerer Zeit wurde gezeigt, dass topologische Ordnungen auch durch topologische Entropie charakterisiert werden können .

Aber Experimente zeigten bald, dass chirale Spinzustände Hochtemperatur-Supraleiter nicht beschreiben, und die Theorie der topologischen Ordnung wurde zu einer Theorie ohne experimentelle Umsetzung. Die Ähnlichkeit zwischen chiralen Spinzuständen und Quanten-Hall- Zuständen erlaubt es jedoch, die Theorie der topologischen Ordnung zu verwenden, um verschiedene Quanten-Hall-Zustände zu beschreiben. Genau wie chirale Spinzustände haben verschiedene Quanten-Hall-Zustände alle die gleiche Symmetrie und liegen außerhalb der symmetriebrechenden Beschreibung von Landau. Man stellt fest, dass die verschiedenen Ordnungen in verschiedenen Quanten-Hall-Zuständen tatsächlich durch topologische Ordnungen beschrieben werden können, sodass die topologische Ordnung experimentelle Erkenntnisse hat.

Der fraktionierte Quanten-Hall- Zustand (FQH) wurde 1982 entdeckt, bevor 1989 das Konzept der topologischen Ordnung eingeführt wurde. Der FQH-Zustand ist jedoch nicht der erste experimentell entdeckte topologisch geordnete Zustand. Der 1911 entdeckte Supraleiter ist der erste experimentell entdeckte topologisch geordnete Zustand; es hat Z ₂ topologische Ordnung.

Obwohl topologisch geordnete Zustände normalerweise in stark wechselwirkenden Boson/Fermion-Systemen auftreten, kann eine einfache Art von topologischer Ordnung auch in freien Fermionen-Systemen auftreten. Diese Art von topologischer Ordnung entspricht einem ganzzahligen Quanten-Hall-Zustand, der durch die Chern-Zahl des gefüllten Energiebandes charakterisiert werden kann, wenn wir ganzzahligen Quanten-Hall-Zustand auf einem Gitter betrachten. Theoretische Berechnungen haben vorgeschlagen, dass solche Chern-Zahlen für ein freies Fermionsystem experimentell gemessen werden können. Es ist auch bekannt, dass eine solche Chern-Zahl (vielleicht indirekt) durch Kantenzustände gemessen werden kann.

Die wichtigste Charakterisierung topologischer Ordnungen wären die zugrunde liegenden fraktionierten Anregungen (wie Anyons ) und deren Fusionsstatistik und Flechtstatistik (die über die Quantenstatistik von Bosonen oder Fermionen hinausgehen kann ). Aktuelle Forschungsarbeiten zeigen, dass schleifen- und kettenähnliche Anregungen für topologische Ordnungen in der 3+1-dimensionalen Raumzeit existieren, und ihre Multi-Loop/String-Braiding-Statistiken sind die entscheidenden Signaturen zur Identifizierung von 3+1-dimensionalen topologischen Ordnungen. Die Multi-Loop/String-Braiding-Statistik von 3+1-dimensionalen topologischen Ordnungen kann durch die Link-Invarianten der bestimmten topologischen Quantenfeldtheorie in 4 Raumzeit-Dimensionen erfasst werden .

Mechanismus

Eine große Klasse topologischer 2+1D-Ordnungen wird durch einen Mechanismus namens String-Net-Kondensation realisiert . Diese Klasse topologischer Ordnungen kann eine mit Lücken versehene Kante haben und wird nach der Theorie der einheitlichen Fusionskategorie (oder der monoidalen Kategorie ) klassifiziert . Man stellt fest, dass die String-Netz-Kondensation unendlich viele verschiedene Arten von topologischen Ordnungen erzeugen kann, was darauf hindeuten könnte, dass es noch viele verschiedene neue Arten von Materialien zu entdecken gibt.

Die kollektiven Bewegungen verdichteter Saiten führen zu Erregungen über den verdichteten Saitennetzzuständen. Diese Erregungen erweisen sich als Eichbosonen . Die Enden von Saiten sind Defekte, die einer anderen Art von Erregungen entsprechen. Diese Anregungen sind die Eichladungen und können Fermi- oder Bruchstatistiken tragen .

Auch die Verdichtungen anderer ausgedehnter Objekte wie „ Membranen “, „Brane-Netze“ und Fraktale führen zu topologisch geordneten Phasen und „Quantenglasigkeit“.

Mathematische Formulierung

Wir wissen, dass die Gruppentheorie die mathematische Grundlage symmetriebrechender Ordnungen ist. Was ist die mathematische Grundlage der topologischen Ordnung? Es wurde festgestellt, dass eine Unterklasse von 2+1D-topologischen Ordnungen – abelsche topologische Ordnungen – durch einen K-Matrix-Ansatz klassifiziert werden kann. Die String-Net-Kondensation legt nahe, dass die Tensorkategorie (wie Fusionskategorie oder monoide Kategorie ) Teil der mathematischen Grundlage der topologischen Ordnung in 2+1D ist. Die neueren Forschungen legen nahe, dass (bis zu invertierbaren topologischen Ordnungen, die keine fraktionierten Anregungen haben):

2+1D-bosonische topologische Ordnungen werden durch unitäre modulare Tensorkategorien klassifiziert.
2+1D bosonische topologische Ordnungen mit Symmetrie G werden durch G-gekreuzte Tensorkategorien klassifiziert.
2+1D bosonische/fermionische topologische Ordnungen mit der Symmetrie G werden durch unitäre geflochtene Fusionskategorien gegenüber der symmetrischen Fusionskategorie klassifiziert, die modulare Erweiterungen hat. Die symmetrische Fusionskategorie Rep(G) für bosonische Systeme und sRep(G) für fermionische Systeme.

Topologische Ordnung in höheren Dimensionen kann mit der n-Kategorien-Theorie zusammenhängen. Quantum Operatoralgebra ist ein sehr wichtiges mathematisches Werkzeug in topologischen Aufträge zu studieren.

Einige schlagen auch vor, dass die topologische Ordnung mathematisch durch die erweiterte Quantensymmetrie beschrieben wird .

Anwendungen

Die Materialien, die von der Landauer Symmetriebrechungstheorie beschrieben wurden, hatten einen erheblichen Einfluss auf die Technologie. Beispielsweise können ferromagnetische Materialien, die die Spin- Rotations-Symmetrie brechen , als Medien zur digitalen Informationsspeicherung verwendet werden. Eine Festplatte aus ferromagnetischen Materialien kann Gigabyte an Informationen speichern . Flüssigkristalle , die die Rotationssymmetrie von Molekülen brechen , finden breite Anwendung in der Displaytechnologie. Kristalle , die die Translationssymmetrie brechen , führen zu gut definierten elektronischen Bändern , die es uns wiederum ermöglichen , halbleitende Bauelemente wie Transistoren herzustellen . Verschiedene Typen topologischer Ordnungen sind noch reicher als verschiedene Typen symmetriebrechender Ordnungen. Dies deutet auf ihr Potenzial für spannende, neuartige Anwendungen hin.

Eine theoretisierte Anwendung wäre die Verwendung topologisch geordneter Zustände als Medien für Quantencomputer in einer Technik, die als topologisches Quantencomputing bekannt ist . Ein topologisch geordneter Zustand ist ein Zustand mit komplizierter nicht-lokaler Quantenverschränkung . Die Nichtlokalität bedeutet, dass die Quantenverschränkung in einem topologisch geordneten Zustand auf viele verschiedene Teilchen verteilt ist. Als Ergebnis kann das Muster der Quantenverschränkung nicht durch lokale Störungen zerstört werden. Dadurch wird der Dekohärenzeffekt deutlich reduziert . Dies deutet darauf hin, dass die Informationen viel länger dauern können, wenn wir verschiedene Quantenverschränkungen in einem topologisch geordneten Zustand verwenden, um Quanteninformationen zu kodieren. Die von den topologischen Quantenverschränkungen kodierten Quanteninformationen können auch manipuliert werden, indem die topologischen Defekte umeinander gezogen werden. Dieser Prozess kann eine physikalische Vorrichtung zum Durchführen von Quantenberechnungen bereitstellen . Daher können topologisch geordnete Zustände natürliche Medien sowohl für den Quantenspeicher als auch für die Quantenberechnung bereitstellen . Solche Realisierungen von Quantenspeichern und Quantenberechnungen können möglicherweise fehlertolerant gemacht werden .

Topologisch geordnete Zustände haben im Allgemeinen die besondere Eigenschaft, dass sie nicht-triviale Randzustände enthalten. In vielen Fällen werden diese Grenzzustände zu einem perfekt leitenden Kanal, der Elektrizität leiten kann, ohne Wärme zu erzeugen. Dies kann eine weitere potenzielle Anwendung der topologischen Ordnung in elektronischen Geräten sein.

Ähnlich der topologischen Ordnung haben auch topologische Isolatoren lückenlose Randzustände. Die Randzustände topologischer Isolatoren spielen eine Schlüsselrolle bei der Erkennung und Anwendung topologischer Isolatoren. Diese Beobachtung führt natürlich zu einer Frage: Sind topologische Isolatoren Beispiele für topologisch geordnete Zustände? Tatsächlich unterscheiden sich topologische Isolatoren von den in diesem Artikel definierten topologisch geordneten Zuständen. Topologische Isolatoren weisen nur kurzreichweitige Verschränkungen und keine topologische Ordnung auf, während die in diesem Artikel definierte topologische Ordnung ein Muster einer weitreichenden Verschränkung ist. Die topologische Ordnung ist robust gegenüber jeglichen Störungen. Es hat eine aufstrebende Eichtheorie, eine auftauchende Bruchladung und eine Bruchstatistik. Im Gegensatz dazu sind topologische Isolatoren nur robust gegenüber Störungen, die Zeitumkehr und U(1)-Symmetrien respektieren. Ihre Quasi-Teilchen-Anregungen haben keine Fraktionsladung und keine Fraktionsstatistik. Streng genommen ist der topologische Isolator ein Beispiel für eine symmetriegeschützte topologische (SPT) Ordnung , wobei das erste Beispiel für eine SPT-Ordnung die Haldane-Phase der Spin-1-Kette ist. Aber die Haldane-Phase der Spin-2-Kette hat keine SPT-Ordnung.

Mögliche Auswirkungen

Die symmetriebrechende Theorie von Landau ist ein Eckpfeiler der Physik der kondensierten Materie . Es wird verwendet, um das Gebiet der Forschung an kondensierter Materie zu definieren. Die Existenz topologischer Ordnung scheint darauf hinzudeuten, dass die Natur viel reicher ist, als die Landauer Symmetriebrechungstheorie bisher gezeigt hat. Die topologische Ordnung eröffnet also eine neue Richtung in der Physik der kondensierten Materie – eine neue Richtung der stark verschränkten Quantenmaterie. Wir erkennen, dass Quantenphasen der Materie (dh die Nulltemperaturphasen der Materie) in zwei Klassen eingeteilt werden können: verschränkte Zustände mit großer Reichweite und verschränkte Zustände mit kurzer Reichweite. Topologische Ordnung ist der Begriff, der die weitreichenden verschränkten Zustände beschreibt: topologische Ordnung = Muster von weitreichenden Verschränkungen. Kurzreichweitige verschränkte Zustände sind insofern trivial, als sie alle zu einer Phase gehören. Bei Symmetrie sind jedoch auch kurzreichweitige verschränkte Zustände nicht trivial und können zu verschiedenen Phasen gehören. Diese Phasen sollen SPT-Order enthalten . Die SPT-Reihenfolge verallgemeinert den Begriff des topologischen Isolators auf interagierende Systeme.

Einige schlagen vor, dass die topologische Ordnung (oder genauer gesagt die String-Netz-Kondensation ) in lokalen bosonischen (Spin-)Modellen das Potenzial hat, einen einheitlichen Ursprung für Photonen , Elektronen und andere Elementarteilchen in unserem Universum bereitzustellen .

Siehe auch

Anmerkungen

Verweise

Referenzen nach Kategorien

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Eine Bibliographie für Kategorien und algebraische Topologieanwendungen in der theoretischen Physik
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