Topologische Quantenfeldtheorie - Topological quantum field theory

In der Eichtheorie und der mathematischen Physik ist eine topologische Quantenfeldtheorie (oder topologische Feldtheorie oder TQFT ) eine Quantenfeldtheorie , die topologische Invarianten berechnet .

Obwohl TQFTs von Physikern erfunden wurden, sind sie auch von mathematischem Interesse, da sie unter anderem mit der Knotentheorie und der Theorie der Viermannigfaltigkeiten in der algebraischen Topologie sowie mit der Theorie der Modulräume in der algebraischen Geometrie verwandt sind . Donaldson , Jones , Witten und Kontsevich haben alle Fields-Medaillen für mathematische Arbeiten zur topologischen Feldtheorie gewonnen.

In der Physik kondensierter Materie , sind topologischen Quantenfeldtheorien der Niedrigenergie effektiv Theorien von topologisch geordneten Zuständen, wie fraktionierten Quanten - Hall - Staaten, String-net kondensierte Staaten und andere stark korrelierter Quantenflüssigkeit Staaten.

In der Dynamik sind alle zeitkontinuierlichen dynamischen Systeme mit und ohne Rauschen TQFTs vom Witten-Typ, und das Phänomen des spontanen Zusammenbruchs der entsprechenden topologischen Supersymmetrie umfasst etablierte Konzepte wie Chaos , Turbulenz , 1/f und Knistergeräusche , Selbst- organisierte Kritik usw.

Überblick

In einer topologischen Feldtheorie hängen die Korrelationsfunktionen nicht von der Metrik der Raumzeit ab . Dies bedeutet, dass die Theorie gegenüber Änderungen der Raumzeit nicht empfindlich ist; Wenn sich die Raumzeit verzieht oder zusammenzieht, ändern sich die Korrelationsfunktionen nicht. Folglich sind sie topologische Invarianten.

Topologische Feldtheorien sind für die flache Minkowski-Raumzeit, die in der Teilchenphysik verwendet wird, nicht sehr interessant . Der Minkowski-Raum kann auf einen Punkt kontrahiert werden , sodass eine auf den Minkowski-Raum angewendete TQFT triviale topologische Invarianten ergibt. Folglich werden TQFTs üblicherweise auf gekrümmte Raumzeiten wie beispielsweise Riemann-Flächen angewendet . Die meisten der bekannten topologischen Feldtheorien sind auf Raumzeiten mit einer Dimension von weniger als fünf definiert. Es scheint, dass es einige höherdimensionale Theorien gibt, aber sie sind nicht sehr gut verstanden.

Quantenschwerkraft wird angenommen , dass sein Hintergrundunabhängige (in einem geeigneten Sinne) und TQFTs liefert Beispiele für Hintergrund unabhängiger Quantenfeldtheorien. Dies hat zu laufenden theoretischen Untersuchungen dieser Modellklasse geführt.

(Vorbehalt: Es wird oft gesagt, dass TQFTs nur endlich viele Freiheitsgrade haben. Dies ist keine grundlegende Eigenschaft. Dies trifft zufällig auf die meisten Beispiele zu, die Physiker und Mathematiker untersuchen, aber es ist nicht notwendig. Ein topologisches Sigma-Modell zielt auf einen unendlichdimensionalen projektiven Raum ab, und wenn so etwas definiert werden könnte, hätte es abzählbar unendlich viele Freiheitsgrade.)

Spezifische Modelle

Die bekannten topologischen Feldtheorien lassen sich in zwei allgemeine Klassen einteilen: TQFTs vom Schwarz-Typ und TQFTs vom Witten-Typ. Wittener TQFTs werden manchmal auch als kohomologische Feldtheorien bezeichnet. Siehe ( Schwarz 2000 ).

TQFTs vom Schwarz-Typ

In TQFTs vom Schwarz-Typ werden die Korrelationsfunktionen oder Partitionsfunktionen des Systems durch das Pfadintegral von metrisch-unabhängigen Aktionsfunktionalen berechnet. Im BF-Modell ist die Raumzeit beispielsweise eine zweidimensionale Mannigfaltigkeit M, die Observablen werden aus einer Zweiform F, einem Hilfsskalar B und ihren Ableitungen konstruiert. Die Wirkung (die das Wegintegral bestimmt) ist

${\displaystyle S=\int _{M}BF}$

Die Raumzeitmetrik taucht nirgendwo in der Theorie auf, daher ist die Theorie explizit topologisch invariant. Das erste Exemplar erschien 1977 und geht auf A. Schwarz zurück ; sein Aktionsfunktional ist:

${\displaystyle \int _{M}A\keil dA.}$

Ein weiteres bekannteres Beispiel ist die Chern-Simons-Theorie , die auf Knoteninvarianten angewendet werden kann . Im Allgemeinen hängen Partitionsfunktionen von einer Metrik ab, aber die obigen Beispiele sind Metrik-unabhängig.

TQFTs vom Wittener Typ

Das erste Beispiel für TQFTs vom Witten-Typ erschien 1988 in Wittens Aufsatz ( Witten 1988a ), dh topologische Yang-Mills-Theorie in vier Dimensionen. Obwohl sein Wirkungsfunktional die Raumzeitmetrik g _{αβ enthält} , erweist es sich nach einer topologischen Drehung als metrisch unabhängig. Die Unabhängigkeit des Spannungs-Energie-Tensors T ^αβ des Systems von der Metrik hängt davon ab, ob der BRST-Operator abgeschlossen ist. Nach Wittens Beispiel finden sich viele weitere Beispiele in der Stringtheorie .

TQFTs vom Wittener Typ entstehen, wenn folgende Bedingungen erfüllt sind:

1. Die Wirkung der TQFT hat eine Symmetrie, dh wenn eine Symmetrietransformation (zB eine Lie-Ableitung ) bezeichnet wird, dann gilt.${\displaystyle S}$${\displaystyle\delta}$${\displaystyle \delta S=0}$
2. Die Symmetrietransformation ist exakt , dh${\displaystyle \delta ^{2}=0}$
3. Es gibt existierende Observables , die für alle befriedigen .${\displaystyle O_{1},\dots,O_{n}}$${\displaystyle \delta O_{i}=0}$${\displaystyle i\in\{1,\dots,n\}}$
4. Der Spannungs-Energie-Tensor (oder ähnliche physikalische Größen) hat die Form für einen beliebigen Tensor .${\displaystyle T^{\alpha\beta}=\delta G^{\alpha\beta}}$${\displaystyle G^{\alpha\beta}}$

Als Beispiel ( Linker 2015 ): Gegeben ein 2-Form-Feld mit dem Differentialoperator, der erfüllt , dann hat die Aktion eine Symmetrie, wenn da ${\displaystyle B}$${\displaystyle\delta}$${\displaystyle \delta ^{2}=0}$${\displaystyle S=\int_{M}B\keil \delta B}$${\displaystyle \delta B\keil \delta B=0}$

${\displaystyle \delta S=\int _{M}\delta (B\wedge \delta B)=\int _{M}\delta B\wedge \delta B+\int _{M}B\wedge\delta ^ {2}B=0}$.

Weiterhin gilt (unter der Bedingung, dass es unabhängig von einem funktionellen Derivat ist und sich ähnlich verhält wie dieses ): ${\displaystyle\delta}$${\displaystyle B}$

${\displaystyle {\frac {\delta }{\delta B^{\alpha\beta}}}S=\int _{M}{\frac {\delta }{\delta B^{\alpha\beta}} }B\Keil\delta B+\int_{M}B\Keil\delta {\frac{\delta}{\delta B^{\alpha\beta}}}B=\int_{M}{\frac{ \delta }{\delta B^{\alpha \beta}}}B\keil \delta B-\int_{M}\delta B\keil {\frac {\delta }{\delta B^{\alpha\ beta }}}B=-2\int_{M}\delta B\keil {\frac{\delta}{\delta B^{\alpha\beta}}}B}$.

Der Ausdruck ist proportional zu einer anderen 2-Form . ${\displaystyle {\frac {\delta }{\delta B^{\alpha\beta}}}S}$${\displaystyle \delta G}$${\displaystyle G}$

Nun sind alle Mittelwerte von Observablen für das entsprechende Haar-Maß unabhängig vom "geometrischen" Feld und daher topologisch: ${\displaystyle \left\langle O_{i}\right\rangle :=\int d\mu O_{i}e^{iS}}$ ${\displaystyle\mu}$${\displaystyle B}$

${\displaystyle {\frac {\delta }{\delta B}}\left\langle O_{i}\right\rangle =\int d\mu O_{i}i{\frac {\delta }{\delta B }}Se^{iS}\propto\int d\mu O_{i}\delta Ge^{iS}=\delta\left(\int d\mu O_{i}Ge^{iS}\right)=0 }$.

Die dritte Gleichheit nutzt die Tatsache, dass und die Invarianz des Haar-Maßes unter Symmetrietransformationen. Da es sich nur um eine Zahl handelt, verschwindet die Lie-Ableitung. ${\displaystyle \delta O_{i}=\delta S=0}$${\displaystyle \int d\mu O_{i}Ge^{iS}}$

Mathematische Formulierungen

Die ursprünglichen Atiyah-Segal-Axiome

Atiyah schlug eine Reihe von Axiomen für die topologische Quantenfeldtheorie vor, inspiriert von Segals vorgeschlagenen Axiomen für die konforme Feldtheorie (später wurde Segals Idee in Segal (2001) zusammengefasst ) und Wittens geometrischer Bedeutung der Supersymmetrie in Witten (1982) . Die Axiome von Atiyah werden konstruiert, indem die Grenze mit einer differenzierbaren (topologischen oder stetigen) Transformation verklebt wird, während die Axiome von Segal für konforme Transformationen sind. Diese Axiome waren relativ nützlich für die mathematische Behandlung von QFTs vom Schwarz-Typ, obwohl nicht klar ist, dass sie die gesamte Struktur von QFTs vom Witten-Typ erfassen. Die Grundidee ist, dass eine TQFT ein Funktor aus einer bestimmten Kategorie von Kobordismen in die Kategorie der Vektorräume ist .

Tatsächlich gibt es zwei verschiedene Sätze von Axiomen, die man vernünftigerweise als Atiyah-Axiome bezeichnen könnte. Diese Axiome unterscheiden sich grundsätzlich darin, ob sie für eine TQFT gelten, die auf einer einzigen festen n- dimensionalen Riemannschen / Lorentzschen Raumzeit M definiert ist oder nicht, oder eine TQFT, die auf allen n- dimensionalen Raumzeiten gleichzeitig definiert ist.

Sei Λ ein kommutativer Ring mit 1 (für fast alle realen Zwecke haben wir Λ = Z , R oder C ). Atiyah schlug ursprünglich die Axiome einer topologischen Quantenfeldtheorie (TQFT) in Dimension d definiert über einem Erdring Λ wie folgt vor:

• Ein endlich erzeugter Λ-Modul Z (Σ) zu jeder orientierten geschlossenen glatten d-dimensionalen Mannigfaltigkeit Σ (entsprechend dem Homotopie- Axiom),
• Ein Element Z ( M ) Z ( M ) assoziiert mit jeder orientierten glatten ( d + 1)-dimensionalen Mannigfaltigkeit (mit Rand) M (entsprechend einem additiven Axiom).

Diese Daten unterliegen den folgenden Axiomen (4 und 5 wurden von Atiyah hinzugefügt):

1. Z ist funktorial bezüglich der orientierungserhaltenden Diffeomorphismen von Σ und M ,
2. Z ist involutorisch , dh Z (Σ*) = Z (Σ)* wobei Σ* Σ mit entgegengesetzter Orientierung ist und Z (Σ)* das duale Modul bezeichnet,
3. Z ist multiplikativ .
4. Z ( ) = Λ für die d-dimensionale leere Mannigfaltigkeit und Z ( ) = 1 für die ( d + 1)-dimensionale leere Mannigfaltigkeit.${\displaystyle \emptyset}$${\displaystyle \emptyset}$
5. Z ( M* ) = Z ( M ) (das hermitesche Axiom). Wenn also Z ( M ) als lineare Transformation zwischen hermiteschen Vektorräumen angesehen werden kann, dann ist dies äquivalent dazu, dass Z ( M * ) die Adjungierte von Z ( M ) ist.${\displaystyle \partial M=\Sigma_{0}^{*}\cup \Sigma_{1}}$

Anmerkung. Betrachten wir für eine abgeschlossene Mannigfaltigkeit M Z ( M ) als numerische Invariante, dann sollten wir uns für eine Mannigfaltigkeit mit Rand Z ( M ) Z ( M ) als "relative" Invariante vorstellen. Sei f  : Σ → Σ ein orientierungserhaltender Diffeomorphismus und identifiziere entgegengesetzte Enden von Σ × I durch f . Dies ergibt eine Mannigfaltigkeit Σ _f und unsere Axiome implizieren

${\displaystyle Z(\Sigma_{f})=\operatorname {Spur} \ \Sigma (f)}$

wobei Σ( f ) der induzierte Automorphismus von Z (Σ) ist.

Anmerkung. Für eine Mannigfaltigkeit M mit Rand Σ können wir immer das Doppelte bilden, das eine abgeschlossene Mannigfaltigkeit ist. Das fünfte Axiom zeigt, dass ${\displaystyle M\cup _{\Sigma}M^{*}}$

${\displaystyle Z\left(M\cup_{\Sigma}M^{*}\right)=|Z(M)|^{2}}$

wobei wir rechts die Norm in der hermiteschen (möglicherweise unbestimmten) Metrik berechnen.

Der Bezug zur Physik

Physikalisch sind (2) + (4) mit relativistischer Invarianz verbunden, während (3) + (5) auf die Quantennatur der Theorie hinweisen.

Σ soll den physikalischen Raum angeben (normalerweise d = 3 für Standardphysik) und die zusätzliche Dimension in Σ × I ist "imaginäre" Zeit. Der Raum Z ( M ) ist der Hilbert-Raum der Quantentheorie und eine physikalische Theorie mit einem Hamilton-Operator H hat einen Zeitentwicklungsoperator e ^itH oder einen "imaginären Zeit"-Operator e ^−tH . Das Hauptmerkmal topologischer QFTs ist, dass H = 0, was bedeutet, dass es entlang des Zylinders Σ × I keine echte Dynamik oder Ausbreitung gibt . Es kann jedoch eine nicht-triviale "Ausbreitung" (oder Tunnelamplituden) von ₀ nach Σ ₁ durch eine dazwischenliegende Mannigfaltigkeit M mit geben ; dies spiegelt die Topologie von M wider . ${\displaystyle \partial M=\Sigma_{0}^{*}\cup \Sigma_{1}}$

Wenn ∂ M = Σ, dann wird der ausgezeichnete Vektor Z ( M ) im Hilbert-Raum Z (Σ) als der durch M definierte Vakuumzustand betrachtet . Für eine geschlossene Mannigfaltigkeit M ist die Zahl Z ( M ) der Vakuum-Erwartungswert . In Analogie zur statistischen Mechanik wird sie auch als Partitionsfunktion bezeichnet .

Der Grund, warum eine Theorie mit einem Hamilton-Operator von Null sinnvoll formuliert werden kann, liegt im Feynman-Pfad-Integral- Ansatz der QFT. Dies beinhaltet die relativistische Invarianz (die für allgemeine ( d + 1)-dimensionale "Raumzeiten" gilt) und die Theorie wird formal durch eine geeignete Lagrange- Funktion definiert – ein Funktional der klassischen Felder der Theorie. Ein Lagrange-Operator, der nur erste zeitliche Ableitungen beinhaltet, führt formal zu einem Null-Hamilton-Operator, aber der Lagrange-Operator selbst kann nicht-triviale Merkmale haben, die sich auf die Topologie von M beziehen .

Atiyahs Beispiele

1988 veröffentlichte M. Atiyah eine Arbeit, in der er viele neue Beispiele der topologischen Quantenfeldtheorie beschrieb, die damals in Betracht gezogen wurden ( Atiyah 1988 ) . Es enthält einige neue topologische Invarianten zusammen mit einigen neuen Ideen: Casson-Invariante , Donaldson-Invariante , Gromovs Theorie , Floer-Homologie und Jones-Witten-Theorie . Harv-Fehler: kein Ziel: CITEREFAtiyah1988 ( Hilfe )

d = 0

In diesem Fall besteht aus endlich vielen Punkten. Zu einem einzelnen Punkt assoziieren wir einen Vektorraum V = Z (Punkt) und zu n -Punkten das n- fache Tensorprodukt: V ^{⊗ n} = V  ⊗ … ⊗  V . Die symmetrische Gruppe S _n wirkt auf V ^{⊗ n} . Ein Standardweg, um den Quanten-Hilbert-Raum zu erhalten, besteht darin, mit einer klassischen symplektischen Mannigfaltigkeit (oder Phasenraum ) zu beginnen und sie dann zu quantisieren. Erweitern wir S _n zu einer kompakten Lie-Gruppe G und betrachten "integrierbare" Bahnen, für die die symplektische Struktur aus einem Linienbündel stammt , dann führt die Quantisierung zu den irreduziblen Darstellungen V von G . Dies ist die physikalische Interpretation des Borel-Weil-Satzes oder des Borel-Weil-Bott-Satzes . Der Lagrange-Operator dieser Theorien ist die klassische Handlung ( Holonomie des Linienbündels). Somit beziehen sich topologische QFTs mit d = 0 natürlich auf die klassische Darstellungstheorie der Lie-Gruppen und der Symmetriegruppe .

d = 1

Wir sollten periodische Randbedingungen betrachten, die durch geschlossene Schleifen in einer kompakten symplektischen Mannigfaltigkeit X gegeben sind . Zusammen mit der Holonomie von Witten (1982) werden dann solche Schleifen, wie sie im Fall von d = 0 als Lagrange-Operator verwendet werden, verwendet, um den Hamilton-Operator zu modifizieren. Für eine geschlossene Fläche M ist die Invariante Z ( M ) der Theorie die Anzahl der pseudoholomorphen Abbildungen f  : M → X im Sinne von Gromov (sie sind gewöhnliche holomorphe Abbildungen, wenn X eine Kähler-Mannigfaltigkeit ist ). Wird diese Zahl unendlich, dh gibt es "Moduli", dann müssen wir weitere Angaben zu M fixieren . Dies kann erreicht werden, indem man einige Punkte P _i auswählt und dann holomorphe Abbildungen f  : M → X betrachtet, wobei f ( P _i ) darauf beschränkt ist, auf einer festen Hyperebene zu liegen. Witten (1988b) hat den für diese Theorie relevanten Lagrange-Operator niedergeschrieben. Floer hat eine strenge Behandlung, dh Floer-Homologie , gegeben, die auf Wittens Morsetheorie- Ideen basiert ; für den Fall, dass die Randbedingungen über dem Intervall liegen, anstatt periodisch zu sein, liegen die Anfangs- und Endpunkte des Pfades auf zwei festen Lagrangeschen Untermannigfaltigkeiten . Diese Theorie wurde als Gromov-Witten-Invariantentheorie entwickelt.

Ein weiteres Beispiel ist die holomorphe konforme Feldtheorie . Dies wurde zu dieser Zeit möglicherweise nicht als streng topologische Quantenfeldtheorie angesehen, da Hilbert-Räume unendlichdimensional sind. Die konformen Feldtheorien beziehen sich auch auf die kompakte Lie-Gruppe G, bei der die klassische Phase aus einer zentralen Erweiterung der Schleifengruppe (LG) besteht . Deren Quantisierung erzeugt die Hilbert-Räume der Theorie der irreduziblen (projektiven) Darstellungen von LG . Die Gruppe Diff ₊ ( S ¹ ) ersetzt nun die symmetrische Gruppe und spielt eine wichtige Rolle. Infolgedessen hängt die Verteilungsfunktion in solchen Theorien von der komplexen Struktur ab , ist also nicht rein topologisch.

d = 2

Die Jones-Witten-Theorie ist in diesem Fall die wichtigste Theorie. Hier ist der klassische Phasenraum, verbunden mit einer geschlossenen Fläche Σ, der Modulraum eines flachen G- Bündels über Σ. Die Lagrange-Funktion ist ein ganzzahliges Vielfaches der Chern-Simons-Funktion einer G -Verbindung auf einer 3-Mannigfaltigkeit (die "eingerahmt" werden muss). Das ganzzahlige Vielfache k , Level genannt, ist ein Parameter der Theorie und k → ∞ gibt den klassischen Grenzwert an. Diese Theorie kann natürlich mit der d = 0-Theorie gekoppelt werden, um eine "relative" Theorie zu erzeugen. Die Details wurden von Witten beschrieben, der zeigt, dass die Partitionsfunktion für eine (gerahmte) Verbindung in der 3-Sphäre gerade der Wert des Jones-Polynoms für eine geeignete Einheitswurzel ist. Die Theorie kann über das relevante zyklotomische Feld definiert werden , siehe Atiyah (1988) . Indem wir eine Riemann-Fläche mit Rand betrachten, können wir sie an die d = 1-konforme Theorie koppeln, anstatt die d = 2-Theorie an d = 0 zu koppeln . Dies hat sich zur Jones-Witten-Theorie entwickelt und zur Entdeckung tiefer Verbindungen zwischen Knoten . geführt Theorie und Quantenfeldtheorie. harvtxt-Fehler: kein Ziel: CITEREFAtiyah1988 ( Hilfe )

d = 3

Donaldson hat die ganzzahlige Invariante glatter 4-Mannigfaltigkeiten unter Verwendung von Modulräumen von SU(2)-Instantons definiert. Diese Invarianten sind Polynome auf der zweiten Homologie. Daher sollten 4-Mannigfaltigkeiten zusätzliche Daten haben, die aus der symmetrischen Algebra von H _{2 bestehen} . Witten (1988a) hat einen supersymmetrischen Lagrange-Operator erstellt, der formal die Donaldson-Theorie reproduziert. Wittens Formel kann als unendlichdimensionales Analogon des Gauß-Bonnet-Theorems verstanden werden . Später wurde diese Theorie weiterentwickelt und wurde zur Seiberg-Witten-Eichtheorie , die SU(2) auf U(1) in N = 2, d = 4 Eichtheorie reduziert . Die Hamiltonsche Version der Theorie wurde von Floer im Hinblick auf den Verbindungsraum auf einer 3-Mannigfaltigkeit entwickelt. Floer verwendet die Chern-Simons-Funktion , die die Lagrange -Funktion der Jones-Witten-Theorie ist, um den Hamilton-Operator zu modifizieren. Für Einzelheiten siehe Atiyah (1988) . Witten (1988a) hat auch gezeigt, wie man die Theorien d = 3 und d = 1 miteinander koppeln kann : ganz analog zur Kopplung zwischen d = 2 und d = 0 in der Jones-Witten-Theorie. harvtxt-Fehler: kein Ziel: CITEREFAtiyah1988 ( Hilfe )

Nun wird die topologische Feldtheorie als Funktor betrachtet , nicht auf einer festen Dimension, sondern auf allen Dimensionen gleichzeitig.

Der Fall einer festen Raumzeit

Sei Bord _M die Kategorie, deren Morphismen n- dimensionale Untermannigfaltigkeiten von M und deren Objekte Zusammenhangskomponenten der Grenzen solcher Untermannigfaltigkeiten sind. Betrachten Sie zwei Morphismen als äquivalent, wenn sie über Untermannigfaltigkeiten von M homotop sind , und bilden Sie so die Quotientenkategorie hBord _M : Die Objekte in hBord _M sind die Objekte von Bord _M , und die Morphismen von hBord _M sind Homotopie-Äquivalenzklassen von Morphismen in Bord _M . Eine TQFT auf M ist ein symmetrischer monooidaler Funktor von hBord _M bis zur Kategorie der Vektorräume.

Beachten Sie, dass Kobordismen, wenn ihre Grenzen übereinstimmen, zusammengenäht werden können, um einen neuen Bordismus zu bilden. Dies ist das Kompositionsgesetz für Morphismen in der Kategorie des Kobordismus. Da Funktoren erforderlich sind, um die Zusammensetzung beizubehalten, bedeutet dies, dass die lineare Abbildung, die einem zusammengenähten Morphismus entspricht, nur die Zusammensetzung der linearen Abbildung für jedes Stück ist.

Es besteht eine Äquivalenz der Kategorien zwischen der Kategorie der 2-dimensionalen topologischen Quantenfeldtheorien und der Kategorie der kommutativen Frobenius-Algebren .

Alle n- dimensionalen Raumzeiten gleichzeitig

Die Hose ist ein (1+1)-dimensionaler Bordismus, der einem Produkt oder Kuppelprodukt in einer 2-dimensionalen TQFT entspricht.

Um alle Raumzeiten auf einmal zu betrachten, ist es notwendig, hBord _M durch eine größere Kategorie zu ersetzen . Sei also Bord _n die Kategorie der Bordismen, dh die Kategorie, deren Morphismen n- dimensionale Mannigfaltigkeiten mit Rand sind und deren Objekte die Zusammenhangskomponenten der Grenzen von n-dimensionalen Mannigfaltigkeiten sind. (Man beachte, dass jede ( n −1)-dimensionale Mannigfaltigkeit als Objekt in Bord _{n erscheinen kann} .) Betrachten Sie wie oben zwei Morphismen in Bord _n als äquivalent, wenn sie homotop sind, und bilden Sie die Quotientenkategorie hBord _n . Bord _n ist eine monoide Kategorie unter der Operation, die zwei Bordismen auf den Bordismus abbildet, der aus ihrer disjunkten Vereinigung gebildet wird. Eine TQFT auf n- dimensionalen Mannigfaltigkeiten ist dann ein Funktor von hBord _n zur Kategorie der Vektorräume, der disjunkte Vereinigungen von Bordismen auf ihr Tensorprodukt abbildet.

Zum Beispiel ergibt für (1 + 1)-dimensionale Bordismen (2-dimensionale Bordismen zwischen 1-dimensionalen Mannigfaltigkeiten) die mit einer Hose verbundene Abbildung ein Produkt oder Koprodukt, je nachdem, wie die Randkomponenten gruppiert sind – was kommutativ ist oder kokommutativ, während die mit einer Scheibe verbundene Abbildung eine Count (Spur) oder Einheit (Skalare) ergibt, abhängig von der Gruppierung der Randkomponenten, und somit entsprechen (1+1)-dimensionale TQFTs den Frobenius-Algebren .

Darüber hinaus können wir gleichzeitig 4-dimensionale, 3-dimensionale und 2-dimensionale Mannigfaltigkeiten betrachten, die durch die obigen Bordismen verbunden sind, und von ihnen können wir zahlreiche und wichtige Beispiele erhalten.

Entwicklung zu einem späteren Zeitpunkt

Betrachtet man die Entwicklung der topologischen Quantenfeldtheorie, sollten wir ihre vielen Anwendungen auf die Seiberg-Witten-Eichtheorie , die topologische Stringtheorie , die Beziehung zwischen Knotentheorie und Quantenfeldtheorie und Quantenknoteninvarianten betrachten . Darüber hinaus hat es Themen von großem Interesse sowohl in der Mathematik als auch in der Physik hervorgebracht. Ebenfalls von großem Interesse sind in letzter Zeit nicht-lokale Betreiber in TQFT ( Gukov & Kapustin (2013) ). Wenn die Stringtheorie als fundamental angesehen wird, können nicht-lokale TQFTs als nicht-physikalische Modelle angesehen werden, die eine recheneffiziente Annäherung an die lokale Stringtheorie bieten.

Wittener TQFTs und dynamische Systeme

Stochastische (partielle) Differentialgleichungen (SDE) sind die Grundlage für Modelle von allem in der Natur oberhalb der Skala der Quantenentartung und Kohärenz und sind im Wesentlichen TQFTs vom Witten-Typ. Alle SDEs besitzen topologische oder BRST-Supersymmetrie, , und in der Operatordarstellung der stochastischen Dynamik ist die äußere Ableitung , die mit dem stochastischen Evolutionsoperator kommutativ ist. Diese Supersymmetrie bewahrt die Kontinuität des Phasenraums durch kontinuierliche Flüsse, und das Phänomen des supersymmetrischen spontanen Zusammenbruchs durch einen globalen nicht-supersymmetrischen Grundzustand umfasst so gut etablierte physikalische Konzepte wie Chaos , Turbulenz , 1/f- und Knistergeräusche , selbstorganisierte Kritikalität usw. Der topologische Sektor der Theorie für jede SDE kann als TQFT vom Witten-Typ erkannt werden. ${\displaystyle\delta}$

Siehe auch

Verweise

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