Topologie - Topology

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Möbius-Streifen , die nur eine Oberfläche und eine Kante haben, sind eine Art Objekt, das in der Topologie untersucht wird.

In der Mathematik befasst sich die Topologie (aus den griechischen Wörtern τόπος , 'Ort, Ort' und λόγος , 'Studie') mit den Eigenschaften eines geometrischen Objekts , die unter kontinuierlichen Verformungen wie Dehnen , Verdrehen , Zerknittern und Biegen erhalten bleiben ;; das heißt, ohne Löcher zu schließen, Löcher zu öffnen, zu reißen, zu kleben oder durch sich selbst zu gehen.

Ein topologischer Raum ist eine Menge, die mit einer Struktur ausgestattet ist, die als Topologie bezeichnet wird und die die Definition einer kontinuierlichen Verformung von Teilräumen und allgemein aller Arten von Kontinuität ermöglicht . Euklidische Räume und allgemein metrische Räume sind Beispiele für einen topologischen Raum, da jede Entfernung oder Metrik eine Topologie definiert. Die Deformationen, die in der Topologie berücksichtigt werden, sind Homöomorphismen und Homotopien . Eine Eigenschaft, die unter solchen Verformungen unveränderlich ist, ist eine topologische Eigenschaft . Grundlegende Beispiele für topologische Eigenschaften sind: die Dimension , mit der zwischen einer Linie und einer Oberfläche unterschieden werden kann ; Kompaktheit , die die Unterscheidung zwischen einer Linie und einem Kreis ermöglicht; Verbundenheit , die es ermöglicht, einen Kreis von zwei sich nicht überschneidenden Kreisen zu unterscheiden.

Die der Topologie zugrunde liegenden Ideen gehen auf Gottfried Leibniz zurück , der sich im 17. Jahrhundert den Geometria Situs und den Analyse Situs vorstellte . Leonhard Euler ‚s sieben Brücken von Königs Problem und Polyeder Formel sind wohl die ersten Sätze des Feldes. Der Begriff Topologie wurde von Johann Benedict Listing im 19. Jahrhundert eingeführt, obwohl erst in den ersten Jahrzehnten des 20. Jahrhunderts die Idee eines topologischen Raums entwickelt wurde.

Eine dreidimensionale Darstellung eines verdickten Kleeblattknotens , des einfachsten nicht trivialen Knotens

Motivation

Die motivierende Erkenntnis hinter der Topologie ist, dass einige geometrische Probleme nicht von der genauen Form der beteiligten Objekte abhängen, sondern von der Art und Weise, wie sie zusammengesetzt werden. Zum Beispiel haben das Quadrat und der Kreis viele Eigenschaften gemeinsam: Sie sind beide eindimensionale Objekte (aus topologischer Sicht) und trennen die Ebene in zwei Teile, den Teil innen und den Teil außen.

In einer der ersten Arbeiten zur Topologie hat Leonhard Euler gezeigt, dass es unmöglich ist, eine Route durch die Stadt Königsberg (heute Kaliningrad ) zu finden, die jede ihrer sieben Brücken genau einmal überquert. Dieses Ergebnis hing nicht von der Länge der Brücken oder ihrem Abstand voneinander ab, sondern nur von den Konnektivitätseigenschaften: Welche Brücken verbinden sich mit welchen Inseln oder Flussufern? Dieses Problem der sieben Brücken von Königsberg führte zu dem Zweig der Mathematik, der als Graphentheorie bekannt ist .

Eine kontinuierliche Verformung (eine Art Homöomorphismus) eines Bechers in einen Donut (Torus) und einer Kuh in eine Kugel

In ähnlicher Weise besagt der Satz über die haarige Kugel der algebraischen Topologie, dass "man die Haare nicht flach auf einer haarigen Kugel kämmen kann, ohne einen Cowlick zu erzeugen ". Diese Tatsache überzeugt die meisten Menschen sofort, auch wenn sie die formalere Aussage des Satzes möglicherweise nicht erkennen, dass es auf der Kugel kein nicht verschwindendes kontinuierliches Tangentenvektorfeld gibt . Wie bei den Brücken von Königsberg hängt das Ergebnis nicht von der Form der Kugel ab; Es gilt für jede Art von glattem Klecks, solange es keine Löcher hat.

Um mit diesen Problemen zu befassen , die über die genaue Form der Objekte beruhen nicht, muss man klar darüber sein, was Eigenschaften dieser Probleme nicht verlassen. Aus diesem Bedürfnis ergibt sich der Begriff des Homöomorphismus. Die Unmöglichkeit, jede Brücke nur einmal zu überqueren, gilt für jede Anordnung von Brücken, die homöomorph zu denen in Königsberg sind, und der Satz über haarige Kugeln gilt für jeden Raum, der homöomorph zu einer Kugel ist.

Intuitiv sind zwei Räume homöomorph, wenn einer ohne Schneiden oder Kleben in den anderen verformt werden kann. Ein traditioneller Witz ist, dass ein Topologe eine Kaffeetasse nicht von einem Donut unterscheiden kann, da ein ausreichend biegsamer Donut zu einer Kaffeetasse umgeformt werden kann, indem ein Grübchen erzeugt und schrittweise vergrößert wird, während das Loch in einen Griff geschrumpft wird.

Der Homöomorphismus kann als die grundlegendste topologische Äquivalenz angesehen werden . Ein weiterer Grund ist die Homotopieäquivalenz . Dies ist schwieriger zu beschreiben, ohne technisch zu werden, aber der wesentliche Gedanke ist, dass zwei Objekte homotopieäquivalent sind, wenn beide aus dem "Quetschen" eines größeren Objekts resultieren.

Äquivalenzklassen des lateinischen Alphabets in der serifenlosen Schrift
Homöomorphismus Homotopieäquivalenz
{A, R} {B} {C, G, I, J, L, M, N, S, U, V, W, Z}, {D, O} {E, F, T, Y} {H. , K}, {P, Q} {X} {A, R, D, O, P, Q} {B}, {C, E, F, G, H, I, J, K, L, M, N, S, T, U, V, W, X, Y, Z}

Eine einführende Übung ist es, die Großbuchstaben des zu klassifizieren englischen Alphabets nach homeomorphism und Homotopieäquivalenz. Das Ergebnis hängt von der verwendeten Schriftart ab und davon, ob die Striche, aus denen die Buchstaben bestehen, eine gewisse Dicke haben oder ideale Kurven ohne Dicke sind. Die Figuren hier verwenden die serifenlose Myriad- Schrift und bestehen vermutlich aus idealen Kurven ohne Dicke. Homotopieäquivalenz ist eine gröbere Beziehung als Homöomorphismus; Eine Homotopie-Äquivalenzklasse kann mehrere Homöomorphismusklassen enthalten. Der oben beschriebene einfache Fall der Homotopieäquivalenz kann hier verwendet werden, um zu zeigen, dass zwei Buchstaben homotopieäquivalent sind. Zum Beispiel passt O in P und der Schwanz des P kann auf den "Loch" -Teil gequetscht werden.

Homöomorphismusklassen sind:

  • keine Löcher, die C, G, I, J, L, M, N, S, U, V, W und Z entsprechen;
  • keine Löcher und drei Schwänze entsprechend E, F, T und Y;
  • keine Löcher und vier Schwänze entsprechend X;
  • ein Loch und kein Schwanz entsprechend D und O;
  • ein Loch und ein Schwanz entsprechend P und Q;
  • ein Loch und zwei Schwänze entsprechend A und R;
  • zwei Löcher und kein Schwanz entsprechend B; und
  • eine Stange mit vier Schwänzen, die H und K entsprechen; Die "Leiste" auf dem K ist fast zu kurz, um sie zu sehen.

Homotopieklassen sind größer, weil die Schwänze bis zu einem Punkt zusammengedrückt werden können. Sie sind:

  • ein Loch,
  • zwei Löcher und
  • keine Löcher.

Um die Buchstaben richtig zu klassifizieren, müssen wir zeigen, dass zwei Buchstaben in derselben Klasse gleichwertig sind und zwei Buchstaben in verschiedenen Klassen nicht gleichwertig sind. Im Fall von Homöomorphismus kann dies durch Auswählen von Punkten und Anzeigen ihrer Entfernung erfolgen, wodurch die Buchstaben unterschiedlich getrennt werden. Zum Beispiel sind X und Y nicht homöomorph, da durch Entfernen des Mittelpunkts des X vier Teile übrig bleiben. Unabhängig davon, welcher Punkt in Y diesem Punkt entspricht, kann seine Entfernung höchstens drei Teile hinterlassen. Der Fall der Homotopieäquivalenz ist schwieriger und erfordert ein ausführlicheres Argument, das zeigt, dass eine algebraische Invariante wie die Grundgruppe in den vermeintlich unterschiedlichen Klassen unterschiedlich ist.

Schreiben Topologie hat praktische Relevanz in Schablonen Typographie . Zum Beispiel bestehen Braggadocio- Schriftschablonen aus einem zusammenhängenden Materialstück.

Geschichte

Die sieben Brücken von Königsberg waren ein von Euler gelöstes Problem.

Die Topologie als genau definierte mathematische Disziplin stammt aus der frühen Hälfte des 20. Jahrhunderts, aber einige isolierte Ergebnisse lassen sich mehrere Jahrhunderte zurückverfolgen. Darunter befinden sich bestimmte Fragen der Geometrie, die von Leonhard Euler untersucht wurden . Seine Arbeit von 1736 über die sieben Brücken von Königsberg gilt als eine der ersten praktischen Anwendungen der Topologie. Am 14. November 1750 schrieb Euler an einen Freund, er habe die Bedeutung der Kanten eines Polyeders erkannt . Dies führte zu seiner Polyeder Formel , V - E + F = 2 (wobei V , E und F jeweils die Anzahl von Eckpunkten angeben, Kanten und Flächen des Polyeders). Einige Behörden betrachten diese Analyse als den ersten Satz, der die Geburt der Topologie signalisiert.

Weitere Beiträge leisteten Augustin-Louis Cauchy , Ludwig Schläfli , Johann Benedict Listing , Bernhard Riemann und Enrico Betti . Listing führte den Begriff "Topologie" in Vorstudien zur Topologie ein , der 1847 in seiner deutschen Muttersprache verfasst wurde, nachdem er das Wort zehn Jahre lang in der Korrespondenz verwendet hatte, bevor es zum ersten Mal in gedruckter Form erschien. Die englische Form "Topologie" wurde 1883 in Listings Nachruf in der Zeitschrift Nature verwendet , um "qualitative Geometrie von der gewöhnlichen Geometrie zu unterscheiden, in der hauptsächlich quantitative Beziehungen behandelt werden".

Ihre Arbeit wurde von Henri Poincaré korrigiert, konsolidiert und stark erweitert . 1895 veröffentlichte er seine bahnbrechende Arbeit über Analysis Situs , in der die heute als Homotopie und Homologie bekannten Konzepte vorgestellt wurden , die heute als Teil der algebraischen Topologie gelten .

Topologische Eigenschaften geschlossener 2-Verteiler
Verteiler Euler num Orientierbarkeit Betti Zahlen Torsionskoeffizient (1-dim)
b 0 b 1 b 2
Kugel 2 Orientierbar 1 0 1 keiner
Torus 0 Orientierbar 1 2 1 keiner
Torus mit zwei Löchern −2 Orientierbar 1 4 1 keiner
Torus mit g- Löchern ( Gattung g ) 2 - 2 g Orientierbar 1 2 g 1 keiner
Projektive Ebene 1 Nicht orientierbar 1 0 0 2
Klein Flasche 0 Nicht orientierbar 1 1 0 2
Kugel mit c Kreuzkappen ( c > 0 ) 2 - c Nicht orientierbar 1 c - 1 0 2
2-Verteiler mit g- Löchern
und c Kreuzkappen ( c > 0 )
2 - (2 g + c ) Nicht orientierbar 1 (2 g + c ) - 1 0 2

Maurice Fréchet vereinte die Arbeit an Funktionsräumen von Georg Cantor , Vito Volterra , Cesare Arzelà , Jacques Hadamard , Giulio Ascoli und anderen und führte den metrischen Raum 1906 ein. Ein metrischer Raum wird heute als Sonderfall eines allgemeinen topologischen Raums mit einem beliebigen Raum betrachtet gegebener topologischer Raum, der möglicherweise zu vielen unterschiedlichen metrischen Räumen führt. 1914 prägte Felix Hausdorff den Begriff "topologischer Raum" und definierte den heutigen Hausdorff-Raum . Derzeit ist ein topologischer Raum eine leichte Verallgemeinerung der Hausdorff-Räume, die Kazimierz Kuratowski 1922 gegeben hat .

Die moderne Topologie hängt stark von den Ideen der Mengenlehre ab, die Georg Cantor Ende des 19. Jahrhunderts entwickelt hat. Neben der Festlegung der Grundideen der Mengenlehre berücksichtigte Cantor im Rahmen seiner Untersuchung der Fourier-Reihen Punktmengen im euklidischen Raum . Weitere Entwicklungen finden Sie unter Punkt-Set-Topologie und algebraische Topologie.

Konzepte

Topologien auf Sets

Der Begriff Topologie bezieht sich auch auf eine bestimmte mathematische Idee, die für den Bereich der Mathematik von zentraler Bedeutung ist und als Topologie bezeichnet wird. Informell gibt eine Topologie an, wie sich Elemente einer Menge räumlich zueinander verhalten. Der gleiche Satz kann unterschiedliche Topologien haben. Beispielsweise können die reale Linie , die komplexe Ebene und die Cantor-Menge als dieselbe Menge mit unterschiedlichen Topologien betrachtet werden.

Formal läßt X eine Menge und τ eine seine Familie von Teilmengen von X . Dann heißt τ eine Topologie auf X, wenn:

  1. Sowohl die leere Menge als auch X sind Elemente von τ .
  2. Jede Vereinigung von Elementen von τ ist ein Element von τ .
  3. Jeder Schnittpunkt endlich vieler Elemente von τ ist ein Element von τ .

Wenn τ eine Topologie auf X ist , wird das Paar ( X , τ ) als topologischer Raum bezeichnet. Die Notation X & tgr; kann verwendet werden, um eine Menge X zu bezeichnen, die mit der bestimmten Topologie & tgr; ausgestattet ist . Per Definition ist jede Topologie ein π- System .

Die Mitglieder von τ genannt offenen Mengen in X . Eine Teilmenge von X wird als geschlossen bezeichnet, wenn ihr Komplement in τ liegt ( dh ihr Komplement ist offen). Eine Teilmenge von X kann offen, geschlossen, beides (eine offene Menge ) oder keine sein. Die leere Menge und X selbst sind immer geschlossen und offen. Eine offene Teilmenge von X, die einen Punkt x enthält, wird als Nachbarschaft von x bezeichnet .

Kontinuierliche Funktionen und Homöomorphismen

Eine Funktion oder Karte von einem topologischen Raum zu einem anderen wird als kontinuierlich bezeichnet, wenn das inverse Bild einer offenen Menge offen ist. Wenn die Funktion die reellen Zahlen den reellen Zahlen zuordnet (beide Räume mit der Standardtopologie), entspricht diese Definition von stetig der Definition von stetig im Kalkül . Wenn eine stetige Funktion ist , eine Eins-zu-eins und auf , und wenn die Inverse der Funktion auch stetig ist, dann ist die Funktion eine homeomorphism und die Domäne der Funktion aufgerufen wird gesagt, auf den Bereich sein homeomorphic. Eine andere Möglichkeit, dies zu sagen, besteht darin, dass die Funktion eine natürliche Erweiterung der Topologie aufweist. Wenn zwei Räume homöomorph sind, haben sie identische topologische Eigenschaften und werden als topologisch gleich angesehen. Der Würfel und die Kugel sind homöomorph, ebenso wie die Kaffeetasse und der Donut. Aber der Kreis ist nicht homöomorph zum Donut.

Verteiler

Während topologische Räume extrem vielfältig und exotisch sein können, konzentrieren sich viele Bereiche der Topologie auf die bekanntere Klasse von Räumen, die als Mannigfaltigkeiten bekannt sind. Eine Mannigfaltigkeit ist ein topologischer Raum, der dem euklidischen Raum in der Nähe jedes Punktes ähnelt. Genauer gesagt hat jeder Punkt einer n- dimensionalen Mannigfaltigkeit eine Nachbarschaft , die homöomorph zum euklidischen Raum der Dimension n ist . Linien und Kreise , aber keine Acht , sind eindimensionale Mannigfaltigkeiten. Zweidimensionale Verteiler werden auch als Oberflächen bezeichnet , obwohl nicht alle Oberflächen Verteiler sind. Beispiele hierfür sind die Ebene , die Kugel und der Torus, die alle ohne Selbstschnitt in drei Dimensionen realisiert werden können, sowie die Klein-Flasche und die reale projektive Ebene , die dies nicht können (dh alle ihre Realisierungen sind Oberflächen, die keine Mannigfaltigkeiten sind). .

Themen

Allgemeine Topologie

Die allgemeine Topologie ist der Zweig der Topologie, der sich mit den grundlegenden satztheoretischen Definitionen und Konstruktionen befasst, die in der Topologie verwendet werden. Es ist die Grundlage für die meisten anderen Zweige der Topologie, einschließlich der Differentialtopologie, der geometrischen Topologie und der algebraischen Topologie. Ein anderer Name für die allgemeine Topologie ist die Punktsatztopologie.

Das grundlegende Ziel der Studie ist es topologische Räume , die Sätze mit einem sind Topologie , die eine Familie von ist Teilmengen , die so genannte offene Mengen , die ist geschlossen unter endlichen Kreuzungen und (endlich oder unendlich) Gewerkschaften . Die grundlegenden Konzepte der Topologie wie Kontinuität , Kompaktheit und Verbundenheit können in Form offener Mengen definiert werden. Intuitive Funktionen führen intuitiv nahegelegene Punkte zu nahe gelegenen Punkten. Kompakte Sets sind solche, die von endlich vielen Sets beliebig kleiner Größe abgedeckt werden können. Verbundene Sets sind Sets, die nicht in zwei Teile unterteilt werden können, die weit voneinander entfernt sind. Die Wörter in der Nähe , beliebig klein und weit voneinander entfernt können alle mit offenen Mengen präzisiert werden. In einem bestimmten Bereich können mehrere Topologien definiert werden. Das Ändern einer Topologie besteht aus dem Ändern der Sammlung offener Sätze. Dies ändert, welche Funktionen kontinuierlich sind und welche Teilmengen kompakt oder verbunden sind.

Metrische Räume sind eine wichtige Klasse von topologischen Räumen, bei denen der Abstand zwischen zwei beliebigen Punkten durch eine Funktion definiert wird, die als Metrik bezeichnet wird . In einem metrischen Raum ist eine offene Menge eine Vereinigung offener Scheiben, wobei eine offene Scheibe mit dem bei x zentrierten Radius r die Menge aller Punkte ist, deren Abstand zu x kleiner als r ist . Viele gemeinsame Räume sind topologische Räume, deren Topologie durch eine Metrik definiert werden kann. Dies ist der Fall bei der realen Linie , der komplexen Ebene , den realen und komplexen Vektorräumen und den euklidischen Räumen . Eine Metrik vereinfacht viele Beweise.

Algebraische Topologie

Die algebraische Topologie ist ein Zweig der Mathematik, der Werkzeuge aus der Algebra verwendet , um topologische Räume zu untersuchen. Das grundlegende Ziel besteht darin, algebraische Invarianten zu finden, die topologische Räume bis zum Homöomorphismus klassifizieren, obwohl die meisten normalerweise bis zur Homotopieäquivalenz klassifizieren.

Die wichtigsten dieser Invarianten sind Homotopiegruppen , Homologie und Kohomologie .

Obwohl die algebraische Topologie hauptsächlich Algebra verwendet, um topologische Probleme zu untersuchen, ist manchmal auch die Verwendung der Topologie zur Lösung algebraischer Probleme möglich. Die algebraische Topologie ermöglicht beispielsweise einen bequemen Beweis dafür, dass jede Untergruppe einer freien Gruppe wieder eine freie Gruppe ist.

Differenzielle Topologie

Die Differentialtopologie ist das Gebiet, das sich mit differenzierbaren Funktionen auf differenzierbaren Mannigfaltigkeiten befasst . Es ist eng mit der Differentialgeometrie verbunden und zusammen bilden sie die geometrische Theorie differenzierbarer Mannigfaltigkeiten.

Insbesondere berücksichtigt die Differentialtopologie die Eigenschaften und Strukturen, für die nur eine glatte Struktur auf einem Verteiler definiert werden muss. Glatte Verteiler sind "weicher" als Verteiler mit zusätzlichen geometrischen Strukturen, die bestimmte Arten von Äquivalenzen und Verformungen , die in der Differentialtopologie existieren, behindern können . Zum Beispiel sind Volumen und Riemannsche Krümmung Invarianten, die unterschiedliche geometrische Strukturen auf demselben glatten Verteiler unterscheiden können - das heißt, man kann bestimmte Verteiler glatt "abflachen", aber es kann erforderlich sein, den Raum zu verzerren und die Krümmung oder das Volumen zu beeinflussen.

Geometrische Topologie

Die geometrische Topologie ist ein Zweig der Topologie, der sich hauptsächlich auf niedrigdimensionale Mannigfaltigkeiten (dh Räume mit den Dimensionen 2, 3 und 4) und deren Wechselwirkung mit der Geometrie konzentriert, aber auch eine höherdimensionale Topologie umfasst. Einige Beispiele für Themen in der geometrischen Topologie sind Orientierbarkeit , Handhabungszerlegungen , lokale Ebenheit , Zerknitterung und der planare und höherdimensionale Schönflies-Satz .

In der hochdimensionalen Topologie sind charakteristische Klassen eine grundlegende Invariante, und die Operationstheorie ist eine Schlüsseltheorie.

Die niedrigdimensionale Topologie ist stark geometrisch, was sich im Uniformisierungssatz in zwei Dimensionen widerspiegelt - jede Oberfläche lässt eine konstante Krümmungsmetrik zu; geometrisch hat es eine von 3 möglichen Geometrien: positive Krümmung / sphärisch, Nullkrümmung / flach und negative Krümmung / hyperbolisch - und die Geometrisierungsvermutung (jetzt Theorem) in 3 Dimensionen - jede 3-Mannigfaltigkeit kann in Stücke geschnitten werden, jede von welches eine von acht möglichen Geometrien hat.

Die zweidimensionale Topologie kann als komplexe Geometrie in einer Variablen untersucht werden ( Riemann- Oberflächen sind komplexe Kurven) - nach dem Uniformisierungssatz entspricht jede konforme Klasse von Metriken einer eindeutigen komplexen, und die vierdimensionale Topologie kann unter dem Gesichtspunkt von untersucht werden Ansicht der komplexen Geometrie in zwei Variablen (komplexe Oberflächen), obwohl nicht jede 4-Mannigfaltigkeit eine komplexe Struktur zulässt.

Verallgemeinerungen

Gelegentlich muss man die Werkzeuge der Topologie verwenden, aber eine "Menge von Punkten" ist nicht verfügbar. In der sinnlosen Topologie betrachtet man stattdessen das Gitter offener Mengen als Grundbegriff der Theorie, während Grothendieck-Topologien Strukturen sind, die in beliebigen Kategorien definiert sind , die die Definition von Garben in diesen Kategorien ermöglichen, und damit die Definition allgemeiner Kohomologietheorien.

Anwendungen

Biologie

Die Topologie wurde verwendet, um verschiedene biologische Systeme zu untersuchen, einschließlich Moleküle und Nanostruktur (z. B. Membranobjekte). Insbesondere die Schaltungstopologie und die Knotentheorie wurden ausgiebig angewendet, um die Topologie gefalteter Proteine ​​und Nukleinsäuren zu klassifizieren und zu vergleichen. Die Schaltungstopologie klassifiziert gefaltete Molekülketten basierend auf der paarweisen Anordnung ihrer Intra-Ketten-Kontakte und Kettenkreuzungen. Die Knotentheorie , ein Zweig der Topologie, wird in der Biologie verwendet, um die Auswirkungen bestimmter Enzyme auf die DNA zu untersuchen. Diese Enzyme schneiden, verdrehen und verbinden die DNA wieder und verursachen Knoten mit beobachtbaren Effekten wie einer langsameren Elektrophorese . Die Topologie wird auch in der Evolutionsbiologie verwendet , um die Beziehung zwischen Phänotyp und Genotyp darzustellen . Phänotypische Formen, die ganz anders aussehen, können durch nur wenige Mutationen getrennt werden, je nachdem, wie genetische Veränderungen auf phänotypische Veränderungen während der Entwicklung abgebildet werden. In den Neurowissenschaften wurden topologische Größen wie das Euler-Merkmal und die Betti-Zahl verwendet, um die Komplexität von Aktivitätsmustern in neuronalen Netzen zu messen.

Informatik

Bei der topologischen Datenanalyse werden Techniken aus der algebraischen Topologie verwendet, um die Struktur einer Menge im großen Maßstab zu bestimmen (z. B. um festzustellen, ob eine Punktwolke sphärisch oder toroidal ist ). Die Hauptmethode für die topologische Datenanalyse ist:

  1. Ersetzen Sie eine Reihe von Datenpunkten durch eine Familie einfacher Komplexe , die durch einen Näherungsparameter indiziert sind.
  2. Analysieren Sie diese topologischen Komplexe über die algebraische Topologie - insbesondere über die Theorie der persistenten Homologie .
  3. Codieren Sie die persistente Homologie eines Datensatzes in Form einer parametrisierten Version einer Betti-Nummer , die als Barcode bezeichnet wird.

Mehrere Zweige der Programmiersprachen-Semantik , wie beispielsweise die Domänentheorie , werden mithilfe der Topologie formalisiert. In diesem Zusammenhang charakterisiert Steve Vickers , der auf Arbeiten von Samson Abramsky und Michael B. Smyth aufbaut , topologische Räume als Boolesche oder Heyting-Algebren über offenen Mengen, die als semidecidable (äquivalent, endlich beobachtbare) Eigenschaften charakterisiert sind .

Physik

Die Topologie ist für die Physik in Bereichen wie der Physik der kondensierten Materie , der Quantenfeldtheorie und der physikalischen Kosmologie relevant .

Die topologische Abhängigkeit der mechanischen Eigenschaften in Festkörpern ist in Disziplinen des Maschinenbaus und der Materialwissenschaften von Interesse . Die elektrischen und mechanischen Eigenschaften hängen von der Anordnung und den Netzwerkstrukturen von Molekülen und Elementareinheiten in Materialien ab. Die Druckfestigkeit von zerknitterten Topologien wird untersucht, um die hohe Gewichtsfestigkeit solcher Strukturen zu verstehen, bei denen es sich größtenteils um leere Räume handelt. Die Topologie ist in der Kontaktmechanik von weiterer Bedeutung, wo die Abhängigkeit von Steifheit und Reibung von der Dimensionalität von Oberflächenstrukturen bei Anwendungen in der Mehrkörperphysik von Interesse ist.

Eine topologische Quantenfeldtheorie (oder topologische Feldtheorie oder TQFT) ist eine Quantenfeldtheorie, die topologische Invarianten berechnet .

Obwohl TQFTs von Physikern erfunden wurden, sind sie auch von mathematischem Interesse, da sie unter anderem mit der Knotentheorie , der Theorie der vier Mannigfaltigkeiten in der algebraischen Topologie und der Theorie der Modulräume in der algebraischen Geometrie zusammenhängen. Donaldson , Jones , Witten und Kontsevich haben alle Fields-Medaillen für Arbeiten im Zusammenhang mit der topologischen Feldtheorie gewonnen.

Die topologische Klassifizierung von Calabi-Yau-Mannigfaltigkeiten hat wichtige Auswirkungen auf die Stringtheorie , da verschiedene Mannigfaltigkeiten verschiedene Arten von Saiten tragen können.

In der Kosmologie kann die Topologie verwendet werden, um die Gesamtform des Universums zu beschreiben. Dieses Forschungsgebiet ist allgemein als Raumzeittopologie bekannt .

Robotik

Die möglichen Positionen eines Roboters können durch einen Verteiler beschrieben werden, der als Konfigurationsraum bezeichnet wird . Im Bereich der Bewegungsplanung findet man Pfade zwischen zwei Punkten im Konfigurationsraum. Diese Pfade repräsentieren eine Bewegung der Gelenke des Roboters und anderer Teile in die gewünschte Pose.

Spiele und Rätsel

Tanglement-Puzzles basieren auf topologischen Aspekten der Formen und Komponenten des Puzzles.

Faserkunst

Um eine kontinuierliche Verbindung von Teilen in einem modularen Aufbau zu erstellen, muss ein ununterbrochener Pfad in einer Reihenfolge erstellt werden, die jedes Teil umgibt und jede Kante nur einmal durchquert. Dieser Prozess ist eine Anwendung des Eulerschen Pfades .

Siehe auch

Verweise

Zitate

Literaturverzeichnis

Weiterführende Literatur

Externe Links