Glossar der Topologie - Glossary of topology

Dies ist ein Glossar mit einigen Begriffen, die in dem als Topologie bekannten Zweig der Mathematik verwendet werden . Obwohl es keine absolute Unterscheidung zwischen verschiedenen Bereichen der Topologie gibt, liegt der Fokus hier auf der allgemeinen Topologie . Die folgenden Definitionen sind auch für die algebraische Topologie , die differentielle Topologie und die geometrische Topologie von grundlegender Bedeutung .

Es wird davon ausgegangen, dass alle Räume in diesem Glossar topologische Räume sind, sofern nicht anders angegeben.

EIN

Absolut geschlossen: Siehe H-geschlossen

Zugänglich: Siehe . $T_{1}$

Sammelpunkt: Siehe Grenzpunkt .

Alexandrov-Topologie: Die Topologie eines Raumes X ist eine Alexandrov-Topologie (oder wird endlich erzeugt ), wenn beliebige Schnittmengen offener Mengen in X offen sind, oder äquivalent, wenn beliebige Vereinigungen abgeschlossener Mengen abgeschlossen sind, oder äquivalent, wenn die offenen Mengen die obere Sätze eines Poset .

Fast diskret: Ein Raum ist fast diskret, wenn jede offene Menge abgeschlossen ist (daher clopen). Die fast diskreten Räume sind genau die endlich erzeugten nulldimensionalen Räume.

α-geschlossen, α-offen: Eine Teilmenge A eines topologischen Raums X ist α-offen, falls , und das Komplement einer solchen Menge ist α-abgeschlossen. $A\subseteq \operatorname {Int} _{X}\left(\operatorname {Cl} _{X}\left(\operatorname {Int} _{X}A\right)\right)$

Anfahrtsraum: Ein Annäherungsraum ist eine Verallgemeinerung des metrischen Raums basierend auf Punkt-zu-Satz-Abständen anstelle von Punkt-zu-Punkt.

B

Baire-Raum

Dies hat zwei verschiedene gemeinsame Bedeutungen:

Ein Raum ist ein Baire-Raum, wenn der Schnittpunkt einer abzählbaren Sammlung dichter offener Mengen dicht ist; siehe Baire-Raum .
Der Baire-Raum ist die Menge aller Funktionen von den natürlichen Zahlen bis zu den natürlichen Zahlen mit der Topologie der punktweisen Konvergenz; siehe Baire-Raum (Mengentheorie) .

Base: Eine Sammlung B offener Mengen ist eine Basis (oder Basis ) für eine Topologie, wenn jede offene Menge in eine Vereinigung von Mengen in ist . Die Topologie ist die kleinste Topologie auf enthaltend und wird von erzeugt . $\tau$ $\tau$ $B$ $\tau$ $X$ $B$ $B$

Basis: Siehe Basis .

β-offen: Siehe Semi-preopen .

b-offen, b-geschlossen: Eine Teilmenge eines topologischen Raums ist b-offen, wenn . Das Komplement einer b-offenen Menge ist b-geschlossen. $A$ $X$ $A\subseteq \operatorname {Int} _{X}\left(\operatorname {Cl} _{X}A\right)\cup \operatorname {Cl} _{X}\left(\operatorname {Int} _{X}A\rechts)$

Borel-Algebra: Die Borel-Algebra auf einem topologischen Raum ist die kleinste -Algebra, die alle offenen Mengen enthält. Es wird erhalten, indem man den Schnitt aller -Algebren auf enthält . $(X,\tau)$ $\sigma$ $\sigma$ $X$ $\tau$

Borel-Set: Eine Borel-Menge ist ein Element einer Borel-Algebra.

Grenze: Die Grenze (oder Grenze ) einer Menge ist der Abschluss der Menge abzüglich ihres Inneren. Äquivalent ist die Grenze einer Menge der Schnittpunkt ihres Abschlusses mit dem Abschluss seines Komplements. Die Grenze einer Menge wird mit oder bezeichnet . $A$ $\partial A$ $bd$ $A$

Begrenzt: Eine Menge in einem metrischen Raum ist beschränkt, wenn sie endlichen Durchmesser hat. Äquivalent ist eine Menge beschränkt, wenn sie in einer offenen Kugel mit endlichem Radius enthalten ist. Eine Funktion, die Werte in einem metrischen Raum annimmt, ist beschränkt, wenn ihr Bild eine beschränkte Menge ist.

C

Kategorie topologischer Räume: Die Kategorie Top hat topologische Räume als Objekte und stetige Karten als Morphismen .

Cauchy-Sequenz: Eine Folge { x _n } in einem metrischen Raum ( M , d ) ist eine Cauchy-Folge, wenn es für jede positive reelle Zahl r eine ganze Zahl N gibt, so dass für alle ganzen Zahlen m , n > N gilt d ( x _m , x _n ) < r .

Clopen-Set: Eine Menge ist clopen, wenn sie sowohl offen als auch geschlossen ist.

Geschlossene Kugel: Falls ( M , d ) ein metrischer Raum ist , ist eine abgeschlossene Kugel eine Menge der Form D ( x ; r ) := { y in M : d ( x , y ) ≤ r }, wobei x in M und r ist eine positive reelle Zahl , der Radius der Kugel. Eine geschlossene Kugel vom Radius r ist eine geschlossene r- Kugel . Jede abgeschlossene Kugel ist eine abgeschlossene Menge in der durch d auf M induzierten Topologie . Beachten Sie, dass die geschlossene Kugel D ( x ; r ) möglicherweise nicht gleich der Schließung der offenen Kugel B ( x ; r ) ist.

Geschlossenes Set: Eine Menge ist abgeschlossen, wenn ihr Komplement Teil der Topologie ist.

Geschlossene Funktion: Eine Funktion von einem Raum zum anderen ist abgeschlossen, wenn das Bild jeder abgeschlossenen Menge abgeschlossen ist.

Schließung: Der Abschluss einer Menge ist die kleinste abgeschlossene Menge, die die ursprüngliche Menge enthält. Sie ist gleich dem Durchschnitt aller abgeschlossenen Mengen, die sie enthalten. Ein Abschlusselement einer Menge S ist ein Abschlusspunkt von S .

Verschluss-Operator: Siehe Kuratowski-Abschluss-Axiome .

Gröbere Topologie: Wenn X ist eine Gruppe, und wenn T ₁ und T ₂ sind Topologien auf X , dann T ₁ ist gröber (oder kleiner , schwächer ) als T ₂ , wenn T ₁ in enthalten ist T ₂ . Vorsicht, einige Autoren, insbesondere Analysten , verwenden den Begriff stärker .

Comeagre: Eine Untergruppe A einen Raum X ist comeagre ( comeager ) , wenn sein Komplement X \ A ist mager . Auch Rest genannt .

Kompakt: Ein Raum ist kompakt, wenn jede offene Hülle eine endliche Teilhülle hat. Jeder kompakte Raum ist Lindelöf und parakompakt. Daher ist jeder kompakte Hausdorff-Raum normal. Siehe auch quasikompakt .

Kompakt-offene Topologie: Die kompakt-offene Topologie auf der Menge C ( X , Y ) aller stetigen Abbildungen zwischen zwei Räumen X und Y ist wie folgt definiert: Gegeben eine kompakte Teilmenge K von X und eine offene Teilmenge U von Y sei V ( K , U ) bezeichnen die Menge aller Abbildungen f in C ( X , Y ) so dass f ( K ) in U enthalten ist . Dann ist die Sammlung aller solcher V ( K , U ) eine Unterbasis für die kompakt-offene Topologie.

Vollständig: Ein metrischer Raum ist vollständig, wenn jede Cauchy-Folge konvergiert.

Vollständig metrisierbar/vollständig metrisierbar: Siehe Gesamtraum .

Ganz normal: Ein Raum ist völlig normal, wenn zwei beliebige getrennte Mengen disjunkte Nachbarschaften haben.

Ganz normales Hausdorff: Ein ganz normaler Hausdorff-Raum (oder T ₅ -Raum ) ist ein ganz normaler T ₁ -Raum. (Ein ganz normaler Raum ist genau dann Hausdorff, wenn er T _{1 ist} , also ist die Terminologie konsistent .) Jeder ganz normale Hausdorff-Raum ist normales Hausdorff.

Ganz regelmäßig: Ein Raum ist vollständig regelmäßig wenn immer dann, wenn C ist ein geschlossene Satz und x ist ein Punkt nicht in C , dann C und { x } sind funktionell voneinander getrennt.

Komplett T ₃: Siehe Tychonoff .

Komponente: Siehe Verbundene Komponente / Mit dem Pfad verbundene Komponente .

In Verbindung gebracht: Ein Raum ist zusammenhängend, wenn er nicht die Vereinigung eines Paares von disjunkten nichtleeren offenen Mengen ist. Äquivalent ist ein Raum zusammenhängend, wenn die einzigen clopen-Mengen der ganze Raum und die leere Menge sind.

Angeschlossene Komponente: Eine Zusammenhangskomponente eines Raumes ist ein maximaler nichtleerer zusammenhängender Unterraum. Jede verbundene Komponente ist geschlossen, und die Menge der verbundenen Komponenten eines Raums ist eine Partition dieses Raums.

Kontinuierlich: Eine Funktion von einem Raum zum anderen ist stetig, wenn das Urbild jeder offenen Menge offen ist.

Kontinuum: Ein Raum heißt Kontinuum, wenn er ein kompakter, zusammenhängender Hausdorff-Raum ist.

Kontrahierbar: Ein Raum X ist kontrahierbar, wenn die Identitätsabbildung auf X homotop zu einer konstanten Abbildung ist. Jeder kontrahierbare Raum ist einfach verbunden.

Kuppelprodukttopologie: Wenn { X _i } eine Sammlung von Räumen ist und X die (mengentheoretische) disjunkte Vereinigung von { X _i } ist, dann ist die Koprodukttopologie (oder disjunkte Vereinigungstopologie , topologische Summe der X _i ) auf X die feinste Topologie für die alle Einspritzkennfelder kontinuierlich sind.

Kosmischer Raum: Ein kontinuierliches Bild eines trennbaren metrischen Raums .

Abzählbarer Kettenzustand: Ein Raum X erfüllt die abzählbare Kettenbedingung, wenn jede Familie von nicht leeren, paarweise disjunkten offenen Mengen abzählbar ist.

Abzählbar kompakt: Ein Raum ist abzählbar kompakt, wenn jede abzählbare offene Hülle eine endliche Teilhülle hat. Jeder abzählbar kompakte Raum ist pseudokompakt und schwach abzählbar kompakt.

Abzählbar lokal endlich: Eine Menge von Teilmengen eines Raumes X ist abzählbar lokal endlich (oder σ-lokal endlich ), wenn sie die Vereinigung einer abzählbaren Menge von lokal endlichen Mengen von Teilmengen von X ist .

Abdeckung: Eine Sammlung von Teilmengen eines Raums ist eine Abdeckung (oder eine Abdeckung ) dieses Raums, wenn die Vereinigung der Sammlung den gesamten Raum ist.

Abdeckung: Siehe Abdeckung .

Schnittpunkt: Wenn X ein zusammenhängender Raum mit mehr als einem Punkt ist, dann ist ein Punkt x von X ein Schnittpunkt, wenn der Unterraum X − { x } getrennt ist.

D

δ-Clusterpunkt, δ-geschlossen, δ-offen: Ein Punkt x eines topologischen Raums X ist ein δ-Clusterpunkt einer Teilmenge A, wenn für jede offene Umgebung U von x in X . Die Teilmenge A ist -abgeschlossen, wenn sie gleich der Menge ihrer δ-Clusterpunkte ist, und δ-offen, wenn ihr Komplement δ-abgeschlossen ist. $A\cap \operatorname {Int} _{X}\left(\operatorname {Cl} _{X}(U)\right)\neq \emptyset$

Dichtes Set: Eine Menge ist dicht, wenn sie einen nichtleeren Schnitt mit jeder nichtleeren offenen Menge hat. Äquivalent ist eine Menge dicht, wenn ihr Abschluss der gesamte Raum ist.

In sich dichtes Set: Eine Menge ist an sich dicht, wenn sie keinen isolierten Punkt hat .

Dichte: die minimale Kardinalität einer dichten Teilmenge eines topologischen Raums. Eine Menge der Dichte ℵ ₀ ist ein separierbarer Raum .

Abgeleitete Menge: Wenn X ein Raum ist , und S ist eine Teilmenge von X , der abgeleitete Satz von S in X ist die Menge der Häufungspunkte von S in X .

Entwickelbarer Raum: Ein topologischer Raum mit einer Entwicklung .

Entwicklung: Eine abzählbare Sammlung offener Überdeckungen eines topologischen Raums, so dass für jede abgeschlossene Menge C und jeden Punkt p in ihrem Komplement eine Überdeckung in der Sammlung existiert, so dass jede Umgebung von p in der Überdeckung von C disjunkt ist .

Durchmesser: Wenn ( M , d ) ein metrischer Raum ist und S eine Teilmenge von M ist , ist der Durchmesser von S das Supremum der Abstände d ( x , y ), wobei x und y über S reichen .

Diskrete Metrik: Die diskrete Metrik auf einem Satz X ist die Funktion , d : X × X → R so dass für alle x , y in X , d ( x , x ) = 0 und d ( x , y ) = 1 , wenn x ≠ y . Die diskrete Metrik induziert die diskrete Topologie auf X .

Diskreter Raum: Ein Raum X ist diskret, wenn jede Teilmenge von X offen ist. Wir sagen, dass X die diskrete Topologie trägt .

Diskrete Topologie: Siehe diskreter Raum .

Disjunkte Unionstopologie: Siehe Koprodukttopologie .

Ausbreitungspunkt: Ist X ein zusammenhängender Raum mit mehr als einem Punkt, dann ist ein Punkt x von X ein Streupunkt, wenn der Unterraum X − { x } erblich getrennt ist (seine einzigen Zusammenhangskomponenten sind die Einpunktmengen).

Distanz: Siehe metrischer Raum .

Dummkopf (Topologie)

E

Gefolge: Siehe Einheitlicher Raum .

Außen: Das Äußere eines Sets ist das Innere seiner Ergänzung.

F

F _σ Satz: Eine F _σ Menge ist eine abzählbare Vereinigung abgeschlossener Mengen.

Filter

Siehe auch: Filter in der Topologie . Ein Filter auf einem Raum X ist eine nichtleere Familie F von Teilmengen von X , sodass die folgenden Bedingungen gelten:

Die leere Menge ist nicht in F .
Der Schnittpunkt einer endlichen Anzahl von Elementen von F liegt wieder in F .
Wenn A in ist F , und wenn B enthält , A , dann B ist in F .

Endgültige Topologie: Auf einer Menge X in Bezug auf eine Familie von Funktionen in ist die feinste Topologie auf X , die diese Funktionen stetig macht . $X$

Feintopologie (Potenzialtheorie): Auf dem euklidischen Raum die gröbste Topologie, die alle subharmonischen Funktionen (äquivalent alle superharmonischen Funktionen) stetig macht. $\mathbb{R} ^{n}$

Feinere Topologie: Wenn X eine Gruppe ist, und wenn T ₁ und T ₂ Topologien sind X , dann T ₂ ist eine feinere (oder größer , stärker ) als T ₁ , wenn T ₂ enthält T ₁ . Vorsicht, einige Autoren, insbesondere Analysten , verwenden den Begriff schwächer .

Endlich erzeugt: Siehe Alexandrov-Topologie .

Erste Kategorie: Siehe Mager .

Erstzählbar: Ein Raum ist zuerst abzählbar, wenn jeder Punkt eine abzählbare lokale Basis hat.

Frechet: Siehe T ₁ .

Grenze: Siehe Grenze .

Vollständiger Satz: Eine kompakte Teilmenge K der komplexen Ebene heißt voll, wenn ihr Komplement zusammenhängend ist. Zum Beispiel ist die geschlossene Einheitsscheibe voll, der Einheitskreis jedoch nicht.

Funktionell getrennt: Zwei Mengen A und B in einem Raum X sind funktional getrennt, wenn es eine stetige Abbildung f : X → [0, 1] mit f ( A ) = 0 und f ( B ) = 1 gibt.

g

G _δ Satz: Eine G _δ -Menge oder innere Grenzmenge ist ein abzählbarer Schnittpunkt offener Mengen.

G _δ Leerzeichen: Ein Raum, in dem jede abgeschlossene Menge eine G _δ -Menge ist.

Allgemeiner Punkt: Ein generischer Punkt für eine abgeschlossene Menge ist ein Punkt, für den die abgeschlossene Menge der Abschluss der Singleton-Menge ist, die diesen Punkt enthält.

h

Hausdorff: Ein Hausdorff-Raum (oder T ₂ -Raum ) ist einer, in dem alle zwei verschiedenen Punkte disjunkte Nachbarschaften haben. Jeder Hausdorff-Raum ist T ₁ .
H-geschlossen: Ein Raum ist H-abgeschlossen, oder Hausdorff-abgeschlossen oder absolut abgeschlossen , wenn er in jedem ihn enthaltenden Hausdorff-Raum abgeschlossen ist.
Erblich P: Ein Raum ist erblich P für eine Eigenschaft P, wenn jeder Unterraum auch P ist .
Erblich: Eine Eigenschaft von Räumen wird als erblich bezeichnet, wenn immer dann, wenn ein Raum diese Eigenschaft hat, auch jeder Unterraum von ihm diese Eigenschaft hat. Zum Beispiel ist die Zweitzählbarkeit eine erbliche Eigenschaft.
Homöomorphismus: Sind X und Y Räume, so ist ein Homöomorphismus von X nach Y eine bijektive Funktion f : X → Y, so dass f und f ⁻¹ stetig sind. Die Räume X und Y heißen dann homöomorph . Aus topologischer Sicht sind homöomorphe Räume identisch.
Homogen: Ein Raum X ist homogen , wenn für jeden x und y in X , es eine homeomorphism ist f : X → X derart , dass f ( x ) = y . Intuitiv sieht der Raum an jedem Punkt gleich aus. Jede topologische Gruppe ist homogen.
Homotope Karten: Zwei Dauerkarten f , g : X → Y sind homotope (in Y ) , wenn es eine stetige Abbildung H : X × [0, 1] → Y , so dass H ( x , 0) = f ( x ) und H ( x , 1) = g ( x ) für alle x in X . Hier ist X × [0, 1] die Produkttopologie gegeben. Die Funktion H heißt Homotopie (in Y ) zwischen f und g .
Homotopie: Siehe Homotope Karten .
Hyper-verbunden: Ein Raum ist hyperverknüpft, wenn keine zwei nicht-leeren offenen Mengen disjunkt sind Jeder hyperverknüpfte Raum ist zusammenhängend.

ich

Identifikationskarte: Siehe Quotientenkarte .
Identifikationsraum: Siehe Quotientenraum .
Indiskreter Raum: Siehe Triviale Topologie .
Unendlich-dimensionale Topologie: Siehe Hilbert-Mannigfaltigkeit und Q-Mannigfaltigkeiten , dh (verallgemeinerte) Mannigfaltigkeiten, die auf dem Hilbert-Raum bzw. auf dem Hilbert-Würfel modelliert sind.
Inneres Begrenzungsset: A G _δ Menge.
Innere: Das Innere eines Satzes ist der größte offene Satz, der im ursprünglichen Satz enthalten ist. Sie ist gleich der Vereinigung aller darin enthaltenen offenen Mengen. Ein Element des Inneren einer Menge S ist ein innerer Punkt von S .
Innenpunkt: Siehe Innenraum .
Isolierter Punkt: Ein Punkt x ist ein isolierter Punkt, wenn das Singleton { x } offen ist. Allgemeiner gesagt, wenn S eine Teilmenge eines Raums X ist und x ein Punkt von S ist , dann ist x ein isolierter Punkt von S, wenn { x } in der Teilraumtopologie auf S offen ist .
Isometrischer Isomorphismus: Wenn M ₁ und M ₂ metrische Räume sind, ist ein isometrischer Isomorphismus von M ₁ nach M ₂ eine bijektive Isometrie f : M ₁ → M ₂ . Die metrischen Räume heißen dann isometrisch isomorph . Vom Standpunkt der metrischen Raumtheorie sind isometrisch isomorphe Räume identisch.
Isometrie: Wenn ( M ₁ , D ₁ ) und ( M ₂ , D ₂ ) sind metrische Räume, eine Isometrie von M ₁ zu M ₂ wird eine Funktion f : M ₁ → M ₂ , so dass d ₂ ( f ( x ), f ( y )) = d ₁ ( x , y ) für alle x , y in M ₁ . Jede Isometrie ist injektiv , obwohl nicht jede Isometrie surjektiv ist .

K

Kolmogorov-Axiom: Siehe T ₀ .

Kuratowski-Abschluss-Axiome

Die Kuratowski-Abschluss-Axiome sind eine Menge von Axiomen, die von der Funktion erfüllt werden, die jede Teilmenge von X in ihren Abschluss bringt :

Isotonie : Jede Menge ist in ihrem Abschluss enthalten.
Idempotenz : Der Abschluss des Abschlusses einer Menge ist gleich dem Abschluss dieser Menge.
Erhaltung binärer Vereinigungen : Der Abschluss der Vereinigung zweier Mengen ist die Vereinigung ihrer Abschlüsse.
Erhaltung von nullären Vereinigungen : Der Abschluss der leeren Menge ist leer.

Wenn c eine Funktion aus der Potenzmenge von X zu sich selbst ist, dann ist c ein Abschlussoperator, wenn es die Kuratowski-Abschlussaxiome erfüllt. Die Kuratowski-Abschluss-Axiome können dann verwendet werden, um eine Topologie auf X zu definieren, indem die abgeschlossenen Mengen zu den Fixpunkten dieses Operators erklärt werden, dh eine Menge A ist genau dann abgeschlossen, wenn c ( A ) = A .

Kolmogorov-Topologie: T _Kol = {R, }∪{(a,∞): a ist reelle Zahl}; das Paar (R,T _Kol ) heißt Kolmogorov Straight . $\varnothing$

L

L-Raum: Ein L-Raum ist ein erblich bedingter Lindelöf-Raum, der nicht erblich trennbar ist . Eine Suslin-Linie wäre ein L-Raum.

Größere Topologie: Siehe Feinere Topologie .

Grenzpunkt: Ein Punkt x in einem Raum X ist ein Grenzpunkt einer Teilmenge S, wenn jede offene Menge, die x enthält, auch einen anderen Punkt von S als x selbst enthält. Dies ist äquivalent zu der Forderung, dass jede Umgebung von x einen anderen Punkt von S als x selbst enthält.

Grenzpunkt kompakt: Siehe Schwach abzählbar kompakt .

Lindelöf: Ein Leerzeichen ist Lindelöf, wenn jeder offene Deckel einen abzählbaren Teildeckel hat.

Lokale Basis: Eine Menge B von Umgebungen eines Punktes x eines Raumes X ist eine lokale Basis (oder lokale Basis , Nachbarschaftsbasis , Nachbarschaftsbasis ) in x, wenn jede Umgebung von x ein Mitglied von B enthält .

Lokale Basis: Siehe Lokale Basis .

Lokal (P) Raum: Es gibt zwei Definitionen dafür, dass ein Raum "lokal (P)" ist, wobei (P) eine topologische oder mengentheoretische Eigenschaft ist: dass jeder Punkt eine Umgebung mit der Eigenschaft (P) hat, oder dass jeder Punkt eine Nachbarbasis hat, für die jedes Mitglied hat Eigentum (P). Die erste Definition wird gewöhnlich für lokal kompakt, abzählbar kompakt, metrisierbar, separierbar, abzählbar genommen; die zweite für lokal verbunden.

Lokal geschlossene Teilmenge: Eine Teilmenge eines topologischen Raums, die der Schnittpunkt einer offenen und einer geschlossenen Teilmenge ist. Äquivalent ist es eine relativ offene Teilmenge seines Abschlusses.

Lokal kompakt: Ein Raum ist lokal kompakt, wenn jeder Punkt eine kompakte Umgebung hat: Manchmal wird die alternative Definition verwendet, dass jeder Punkt eine lokale Basis hat, die aus kompakten Umgebungen besteht: diese sind für Hausdorff-Räume äquivalent. Jeder lokal kompakte Hausdorff-Raum ist Tychonoff.

Lokal verbunden: Ein Raum ist lokal zusammenhängend, wenn jeder Punkt eine lokale Basis hat, die aus zusammenhängenden Umgebungen besteht.

Lokal dicht: siehe Voröffnen .

Lokal endlich: Eine Menge von Teilmengen eines Raumes ist lokal endlich, wenn jeder Punkt eine Umgebung hat, die einen nichtleeren Schnitt mit nur endlich vielen Teilmengen hat. Siehe auch abzählbar lokal endlich , punktend .

Lokal metrisierbar / Lokal metrisierbar: Ein Raum ist lokal metrisierbar, wenn jeder Punkt eine metrisierbare Umgebung hat.

Lokal pfadverbunden: Ein Raum ist lokal pfadbezogen, wenn jeder Punkt eine lokale Basis hat, die aus pfadverbundenen Umgebungen besteht. Ein lokal pfadverbundener Raum ist genau dann verbunden, wenn er pfadverbunden ist.

Lokal einfach verbunden: Ein Raum ist lokal einfach zusammenhängend, wenn jeder Punkt eine lokale Basis hat, die aus einfach zusammenhängenden Umgebungen besteht.

Schleife: Wenn x ein Punkt in einem Raum X ist , ist eine Schleife bei x in X (oder eine Schleife in X mit dem Basispunkt x ) ein Pfad f in X , so dass f (0) = f (1) = x . Äquivalent ist eine Schleife in X eine kontinuierliche Abbildung vom Einheitskreis S ¹ in X .

m

Mager: Wenn X ein Raum und A eine Teilmenge von X ist , dann ist A mager in X (oder der ersten Kategorie in X ), wenn es die abzählbare Vereinigung von nirgendwo dichten Mengen ist. Wenn A nicht mager in ist X , A ist der zweiten Kategorie in X .

Metakompakt: Ein Raum ist metakompakt, wenn jede offene Abdeckung eine punkt- endliche offene Verfeinerung besitzt.

Metrisch: Siehe metrischer Raum .

Messwertinvariante: Eine metrische Invariante ist eine Eigenschaft, die unter isometrischem Isomorphismus erhalten bleibt.

Metrische Karte: Wenn X und Y metrische Räume mit Metriken D _X und D _Y jeweils dann einem metrischen Karte ist eine Funktion f von X zu Y ist , so dass für alle Punkte x und y in X , d _Y ( f ( x ), f ( y )) ≤ d _x ( x , y ). Eine metrische Abbildung ist streng metrisch, wenn die obige Ungleichung für alle x und y in X streng ist .

metrischer Raum

Ein metrischer Raum ( M , d ) ist eine Menge M mit einer Funktion d : M × M → R , die die folgenden Axiome für alle x , y und z in M erfüllt :

d ( x , y ) 0
d ( x , x ) = 0
wenn d ( x , y ) = 0 dann x = y ( Identität der Ununterscheidbaren )
d ( x , y ) = d ( y , x ) ( Symmetrie )
d ( x , z ) ≤ d ( x , y ) + d ( y , z ) ( Dreiecksungleichung )

Die Funktion d ist eine Metrik auf M , und d ( x , y ) ist der Abstand zwischen x und y . Die Sammlung aller offenen Kugeln von M ist eine Basis für eine Topologie auf M ; dies ist die Topologie auf M durch induzierte d . Jeder metrische Raum ist Hausdorff und parakompakt (und damit normal und Tychonoff). Jeder metrische Raum ist zuerst abzählbar.

Metrisierbar / Metrisierbar: Ein Raum ist metrisierbar, wenn er zu einem metrischen Raum homöomorph ist. Jeder metrisierbare Raum ist Hausdorff und parakompakt (und damit normal und Tychonoff). Jeder metrisierbare Raum ist zuerst abzählbar.

Monolith: Jeder nicht-leere ultra-verbundene kompakte Raum X hat eine größte echte offene Teilmenge; diese Teilmenge wird als Monolith bezeichnet .

Moore-Raum: Ein Moore-Raum ist ein entwickelbarer regulärer Hausdorff-Raum .

n

Fast geöffnet: siehe voröffnen .

Nachbarschaft / Nachbarschaft: Eine Umgebung eines Punktes x ist eine Menge, die eine offene Menge enthält, die wiederum den Punkt x enthält . Allgemeiner gesagt ist eine Umgebung einer Menge S eine Menge, die eine offene Menge enthält, die wiederum die Menge S enthält . Eine Umgebung eines Punktes x ist somit eine Umgebung der Singleton- Menge { x }. (Beachten Sie, dass nach dieser Definition die Nachbarschaft selbst nicht offen sein muss. Viele Autoren verlangen, dass Nachbarschaften offen sind; beachten Sie dabei die Konventionen.)

Nachbarschaftsbasis /Basis: Siehe Lokale Basis .

Nachbarschaftssystem für einen Punkt x: Ein Nachbarschaftssystem an einem Punkt x in einem Raum ist die Sammlung aller Nachbarschaften von x .

Netz: Ein Netz in einem Raum X ist eine Abbildung von einer gerichteten Menge A auf X . Ein Netz von A zu X ist in der Regel bezeichnet ( x _α ), wobei α eine Indexvariable über im Bereich A . Jede Folge ist ein Netz, wobei A die gerichtete Menge der natürlichen Zahlen mit der üblichen Ordnung ist.

Normal: Ein Raum ist normal, wenn zwei beliebige disjunkte abgeschlossene Mengen disjunkte Nachbarschaften haben. Jeder normale Raum lässt eine Einheitspartition zu.

Normales Hausdorff: Ein normaler Hausdorff- Raum (oder T ₄ -Raum ) ist ein normaler T ₁ -Raum. (Ein normaler Raum ist genau dann Hausdorff-Raum, wenn er T _{1 ist} , daher ist die Terminologie konsistent.) Jeder normale Hausdorff-Raum ist Tychonoff.

Nirgendwo dicht: Eine nirgendwo dichte Menge ist eine Menge, deren Abschluss ein leeres Inneres hat.

Ö

Offene Abdeckung: Eine offene Abdeckung ist eine Abdeckung, die aus offenen Sätzen besteht.

Offener Ball: Wenn ( M , d ) ein metrischer Raum ist, ist eine offene Kugel eine Menge der Form B ( x ; r ) := { y in M : d ( x , y ) < r }, wobei x in M ist und r ist eine positive reelle Zahl , der Radius der Kugel. Eine offene Kugel mit Radius r ist eine offene r- Kugel . Jede offene Kugel eine offene Menge in der Topologie auf M durch induzierte d .
Offener Zustand: Siehe offene Eigenschaft .
Offenes Set: Eine offene Menge ist ein Mitglied der Topologie.
Öffnen-Funktion: Eine Funktion von einem Raum zum anderen ist offen, wenn das Bild jeder offenen Menge offen ist.
Immobilie öffnen: Eine Eigenschaft von Punkten in einem topologischen Raum heißt "offen", wenn die Punkte, die sie besitzen, eine offene Menge bilden . Solche Bedingungen nehmen oft eine allgemeine Form an, und diese Form kann als eine offene Bedingung bezeichnet werden ; in metrischen Räumen definiert man beispielsweise eine offene Kugel wie oben und sagt, dass "strenge Ungleichung eine offene Bedingung ist".

P

Parakompakt: Ein Raum ist parakompakt, wenn jede offene Hülle eine lokal endliche offene Verfeinerung besitzt. Parakompakt impliziert Metakompakt. Parakompakte Hausdorff-Räume sind normal.

Teilung der Einheit: Eine Einheitspartition eines Raumes X ist eine Menge stetiger Funktionen von X bis [0, 1], so dass jeder Punkt eine Umgebung hat, in der alle bis auf eine endliche Anzahl der Funktionen identisch Null sind und die Summe aller Funktionen auf der gesamte Raum ist identisch 1.

Weg: Ein Pfad in einem Raum X ist eine stetige Abbildung f von der geschlossenen Einheit Intervall [0, 1] in X . Der Punkt f (0) ist der Anfangspunkt von f ; der Punkt f (1) ist der Endpunkt von f .

Wegverbunden: Ein Raum X ist pfadzusammenhängend, wenn es zu je zwei Punkten x , y in X einen Pfad f von x nach y gibt , dh einen Pfad mit Anfangspunkt f (0) = x und Endpunkt f (1) = y . Jeder weggebundene Raum ist zusammenhängend.

Wegverbundene Komponente: Eine pfadbezogene Komponente eines Raumes ist ein maximaler nichtleerer pfadbezogener Unterraum. Die Menge der pfadbezogenen Komponenten eines Raums ist eine Aufteilung dieses Raums, die feiner ist als die Aufteilung in verbundene Komponenten. Die Menge der wegbezogenen Komponenten eines Raumes X wird mit π ₀ ( X ) bezeichnet .

Vollkommen normal: ein normaler Raum, der auch ein G _{δ ist} .

π-Basis: Eine Sammlung B nichtleerer offener Mengen ist eine π-Basis für eine Topologie τ, wenn jede nichtleere offene Menge in τ eine Menge aus B enthält .

Punkt: Ein Punkt ist ein Element eines topologischen Raums. Allgemeiner gesagt ist ein Punkt ein Element einer beliebigen Menge mit einer zugrunde liegenden topologischen Struktur; zB ist ein Element eines metrischen Raumes oder einer topologischen Gruppe auch ein "Punkt".

Verschlusspunkt: Siehe Schließung .

Polieren: Ein Raum ist polnisch, wenn er separierbar und vollständig metrisierbar ist, dh wenn er zu einem separierbaren und vollständigen metrischen Raum homöomorph ist.

Polyadisch: Ein Raum ist polyadisch, wenn er das stetige Abbild der Kraft einer Einpunktkompaktifizierung eines lokal kompakten, nicht kompakten Hausdorff-Raums ist.

P-Punkt: Ein Punkt eines topologischen Raums ist ein P-Punkt, wenn sein Nachbarschaftsfilter unter abzählbaren Schnittpunkten geschlossen ist.

Vorkompakt: Siehe Relativ kompakt .

Voröffnungsset: Eine Teilmenge A eines topologischen Raums X ist voroffen, wenn . $A\subseteq \operatorname {Int} _{X}\left(\operatorname {Cl} _{X}A\right)$

Prodiskrete Topologie: Die prodiskrete Topologie auf einem Produkt A ^G ist die Produkttopologie, wenn jedem Faktor A die diskrete Topologie gegeben ist.

Produkttopologie: Wenn eine Sammlung von Räumen und X das (mengentheoretische) kartesische Produkt von ist, dann ist die Produkttopologie auf X die gröbste Topologie, für die alle Projektionskarten stetig sind. $\left(X_{i}\right)$ $\left(X_{i}\right),$

Richtige Funktion/Zuordnung: Eine stetige Funktion f von einem Raum X zu einem Raum Y ist richtig, wenn eine kompakte Menge in X für jeden kompakten Unterraum C von Y ist . $f^{-1}(C)$

Nähe Raum: Ein Nahraum ( X , d ) ist eine Menge X, die mit einer binären Relation d zwischen Teilmengen von X ausgestattet ist, die die folgenden Eigenschaften erfüllen:

Für alle Teilmengen A , B und C von X gilt

A d B impliziert B d A
A d B impliziert, dass A nicht leer ist
Wenn A und B einen nicht leeren Durchschnitt haben, dann ist A d B
A d ( B C ) genau dann, wenn ( A d B oder A d C ) $\cup$
Wenn für alle Teilmengen E von X gilt ( A d E oder B d E ), dann muss A d ( X − B )

Pseudokompakt: Ein Raum ist pseudokompakt, wenn jede reellwertige stetige Funktion auf dem Raum beschränkt ist.

Pseudometrisch: Siehe Pseudometrischer Raum .

Pseudometrischer Raum: Ein pseudometrischer Raum ( M , D ) ist ein Satz M , ausgestattet mit einer realen -wertige Funktion all Bedingungen eines metrischen Raum entspricht, außer möglicherweise die Identität der Ununterscheidbaren. Das heißt, Punkte in einem pseudometrischen Raum können "unendlich nahe" sein, ohne identisch zu sein. Die Funktion d ist eine Pseudometrik auf M . Jede Metrik ist eine Pseudometrik. $d:M\times M\to\mathbb{R}$

Durchbohrte Nachbarschaft / Durchbohrte Nachbarschaft: Eine punktierte Umgebung eines Punktes x ist eine Umgebung von x , minus { x }. Zum Beispiel ist das Intervall (−1, 1) = { y : −1 < y < 1} eine Umgebung von x = 0 in der reellen Linie , also ist die Menge eine punktierte Umgebung von 0. $(-1,0)\cup (0,1)=(-1,1)-\{0\}$

Q

Quasikompakt: Siehe kompakt . Einige Autoren definieren "kompakt", um das Hausdorff- Trennungs-Axiom einzuschließen , und sie verwenden den Begriff quasikompakt , um das zu bezeichnen, was wir in diesem Glossar einfach "kompakt" nennen (ohne das Hausdorff-Axiom). Diese Konvention findet sich am häufigsten im Französischen und in Zweigen der Mathematik, die stark vom Französischen beeinflusst sind.

Quotientenkarte: Wenn X und Y Plätze sind, und wenn f a Surjektion von X zu Y , dann f ist eine Quotient Karte (oder Identifizierungskarte ) , wenn für jede Teilmenge U von Y , U ist offen in Y , wenn und nur wenn f ^-¹ ( U ) ist in X offen . Mit anderen Worten, Y hat die f- starke Topologie. Äquivalent ist eine Quotientenkarte genau dann, wenn es sich um die transfinite Zusammensetzung von Karten handelt , wobei eine Teilmenge ist. Beachten Sie, dass dies nicht bedeutet, dass f eine offene Funktion ist. $f$ $X\rightarrow X/Z$ $Z\Teilmenge X$

Quotientenraum: Ist X ein Raum, Y eine Menge und f : X → Y eine surjektive Funktion, dann ist die durch f induzierte Quotiententopologie auf Y die feinste Topologie, für die f stetig ist. Der Raum X ist ein Quotientenraum oder Identifikationsraum . f ist per Definition eine Quotientenabbildung. Das gängigste Beispiel hierfür ist die Betrachtung einer Äquivalenzrelation auf X , mit Y der Menge der Äquivalenzklassen und f der natürlichen Projektionskarte. Diese Konstruktion ist dual zur Konstruktion der Unterraumtopologie.

R

Raffinesse: Eine Überdeckung K ist eine Verfeinerung einer Überdeckung L, wenn jedes Mitglied von K eine Teilmenge eines Mitglieds von L ist .
Regulär: Ein Raum ist regulär , wenn immer dann, wenn C ein geschlossene gesetzt ist , und x ist ein Punkt nicht in C , dann C und x haben disjunkte Nachbarschaften.
Regelmäßige Hausdorff: Ein Raum ist regulärer Hausdorff (oder T ₃ ) wenn er ein regulärer T ₀ -Raum ist. (Ein regulärer Raum ist genau dann Hausdorff, wenn er T _{0 ist} , daher ist die Terminologie konsistent.)
Regulär geöffnet: Eine Teilmenge eines Raumes X ist regulär offen, wenn sie gleich dem Inneren ihres Abschlusses ist; dual ist eine reguläre geschlossene Menge gleich der Schließung ihres Inneren. Ein Beispiel für eine nichtreguläre offene Menge ist die Menge U = $(0,1)$ ∪ $(1,2)$ in R mit ihrer normalen Topologie, da 1 im Inneren des Abschlusses von U liegt , aber nicht in U . Die regulären offenen Teilmengen eines Raumes bilden eine vollständige Boolesche Algebra .
Relativ kompakt: Eine Teilmenge Y eines Raumes X ist in X relativ kompakt, wenn der Abschluss von Y in X kompakt ist.
Restwert: Wenn X ein Raum und A eine Teilmenge von X ist , dann ist A ein Rest in X, wenn das Komplement von A in X mager ist . Auch Comeagre oder Comeager genannt .
Auflösbar: Ein topologischer Raum heißt auflösbar, wenn er als Vereinigung zweier disjunkter dichter Teilmengen ausdrückbar ist .
Felgen-kompakt: Ein Raum ist randkompakt, wenn er eine Basis von offenen Mengen hat, deren Grenzen kompakt sind.

S

S-Raum: Ein S-Raum ist ein erblich trennbarer Raum, der nicht erblich Lindelöf ist .

Verstreut: Ein Raum X ist gestreut, wenn jede nichtleere Teilmenge A von X einen in A isolierten Punkt enthält .

Scott: Die Scott-Topologie auf einem Poset ist diejenige, in der die offenen Mengen die oberen Mengen sind, auf die durch gerichtete Verknüpfungen nicht zugegriffen werden kann .

Zweite Kategorie: Siehe Mager .

Sekundenzählbar: Ein Raum ist zweitzählbar oder perfekt separierbar, wenn er eine abzählbare Basis für seine Topologie hat. Jeder zweitzählbare Raum ist erstzählbar, trennbar und Lindelöf.

Semilokal einfach verbunden: Ein Raum X ist semilokal einfach zusammenhängend, wenn es für jeden Punkt x in X eine Umgebung U von x gibt, so dass jede Schleife an x in U in X homotop zur konstanten Schleife x ist . Jeder einfach zusammenhängende Raum und jeder lokal einfach zusammenhängende Raum ist semilokal einfach zusammenhängend. (Vergleiche mit lokal einfach zusammenhängend; hier darf die Homotopie in X leben , während in der Definition von lokal einfach zusammenhängend die Homotopie in U leben muss .)

Halboffen: Eine Teilmenge A eines topologischen Raums X heißt halboffen, wenn . $A\subseteq \operatorname {Cl} _{X}\left(\operatorname {Int} _{X}A\right)$

Halb-vorgeöffnet: Eine Teilmenge A eines topologischen Raums X heißt halbvoroffen, wenn $A\subseteq \operatorname {Cl} _{X}\left(\operatorname {Int} _{X}\left(\operatorname {Cl} _{X}A\right)\right)$

Halbregulär: Ein Raum ist semiregulär, wenn die regulären offenen Mengen eine Basis bilden.

Trennbar: Ein Raum ist separierbar, wenn er eine abzählbare dichte Teilmenge hat.

Getrennt: Zwei Mengen A und B werden getrennt, wenn jede von der Schließung der anderen disjunkt ist .

Sequentiell kompakt: Ein Raum ist sequentiell kompakt, wenn jede Folge eine konvergente Teilfolge hat. Jeder sequentiell kompakte Raum ist abzählbar kompakt, und jeder erst abzählbare abzählbar kompakte Raum ist sequentiell kompakt.

Kurze Karte: Siehe metrische Karte

Einfach verbunden: Ein Raum ist einfach zusammenhängend, wenn er pfadgebunden ist und jede Schleife homotop zu einer konstanten Abbildung ist.

Kleinere Topologie: Siehe Gröbere Topologie .

Nüchtern: In einem nüchternen Raum ist jede irreduzible abgeschlossene Teilmenge der Abschluss genau eines Punktes, hat also einen eindeutigen generischen Punkt .

Stern: Der Stern eines Punktes in einer gegebenen Hülle eines topologischen Raums ist die Vereinigung aller Mengen in der Hülle, die den Punkt enthalten. Siehe Sternveredelung .

$f$ -Starke Topologie: Sei eine Karte topologischer Räume. Wir sagen, dass hat die -starke Topologie, wenn für jede Teilmenge gilt , dass in genau dann offen ist, wenn offen in . ist $f\colon X\rightarrow Y$ $Y$ $f$ $U\subset Y$ $U$ $Y$ $f^{-1}(U)$ $X$

Stärkere Topologie: Siehe Feinere Topologie . Beachten Sie, dass einige Autoren, insbesondere Analysten , den Begriff schwächere Topologie verwenden .

Unterbau: Eine Sammlung offener Mengen ist eine Unterbasis (oder Unterbasis ) für eine Topologie, wenn jede nicht leere echte offene Menge in der Topologie eine Vereinigung endlicher Schnittmengen von Mengen in der Unterbasis ist. Wenn B ist eine beliebige Sammlung von Teilmengen einer Menge X , die Topologie auf X , die durch B ist die kleinste Topologie enthält B ; diese Topologie besteht aus der leeren Menge X und allen Vereinigungen endlicher Schnittmengen von Elementen von B .

Unterbasis: Siehe Unterbau .

Teilcover: Eine Hülle K ist eine Teilhülle (oder Teilhülle ) einer Hülle L, wenn jedes Mitglied von K ein Mitglied von L ist .

Unterdecken: Siehe Teilcover .
Submaximaler Raum: Ein topologischer Raum heißt submaximal, wenn jede Teilmenge von ihm lokal abgeschlossen ist, d. h. jede Teilmenge ist der Schnittpunkt einer offenen und einer abgeschlossenen Menge .

Hier einige Fakten zur Submaximalität als Eigenschaft topologischer Räume:

Jeder Türraum ist submaximal.
Jeder submaximale Raum ist schwach submaximal, dh jede endliche Menge ist lokal abgeschlossen.
Jeder submaximale Raum ist unauflösbar

Unterraum: Wenn T eine Topologie auf einen Raum X , und wenn A eine Teilmenge von ist X , dann ist die Unterraum - Topologie auf A durch induzierte T besteht aus allen Kreuzungen offener Mengen in T mit A . Diese Konstruktion ist dual zur Konstruktion der Quotiententopologie.

T

T ₀: Ein Raum ist T ₀ (oder Kolmogorov ), wenn es für jedes Paar von verschiedenen Punkten x und y im Raum entweder eine offene Menge gibt, die x aber nicht y enthält , oder es gibt eine offene Menge, die y, aber nicht x enthält .

T ₁: Ein Raum ist T ₁ (oder Fréchet oder zugänglich ), wenn es für jedes Paar verschiedener Punkte x und y im Raum eine offene Menge gibt, die x, aber nicht y enthält . (Vergleiche mit T ₀ ; hier dürfen wir angeben, welcher Punkt in der offenen Menge enthalten sein soll.) Äquivalent ist ein Raum T _{1 ,} wenn alle seine Singletons abgeschlossen sind. Jeder T ₁ -Raum ist T ₀ .

T ₂: Siehe Hausdorff-Raum .

T ₃: Siehe Regelmäßige Hausdorff .

T _3½: Siehe Tychonoff-Raum .

T ₄: Siehe Normal Hausdorff .

T ₅: Siehe Ganz normales Hausdorff .

Oberteil: Siehe Kategorie topologischer Räume .

θ-Clusterpunkt, θ-geschlossen, θ-offen: Ein Punkt x eines topologischen Raums X ist ein θ-Clusterpunkt einer Teilmenge A, wenn für jede offene Umgebung U von x in X . Die Teilmenge A ist -abgeschlossen, wenn sie gleich der Menge ihrer θ-Clusterpunkte ist, und θ-offen, wenn ihr Komplement θ-abgeschlossen ist. $A\cap \operatorname {Cl} _{X}(U)\neq \emptyset$

Topologische Invariante: Eine topologische Invariante ist eine Eigenschaft, die unter Homöomorphismus erhalten bleibt. Kompaktheit und Verbundenheit sind beispielsweise topologische Eigenschaften, Beschränktheit und Vollständigkeit hingegen nicht. Algebraische Topologie ist das Studium topologisch invarianten abstrakter algebraischer Konstruktionen auf topologischen Räumen.

Topologischer Raum: Ein topologischer Raum ( X , T ) ist eine Menge X, die mit einer Sammlung T von Teilmengen von X ausgestattet ist, die die folgenden Axiome erfüllen :

Die leere Menge und X sind in T .
Die Vereinigung jeder Menge von Mengen in T ist auch in T .
Der Schnittpunkt eines beliebigen Paars von Mengen in T ist auch in T .

Die Sammlung T ist eine Topologie auf X .

Topologische Summe: Siehe Koprodukttopologie .

Topologisch vollständig: Vollständig metrisierbare Räume (dh topologische Räume homöomorph zu vollständigen metrischen Räumen) werden oft topologisch vollständig genannt ; manchmal wird der Begriff auch für ech-vollständige Räume oder vollständig uniformisierbare Räume verwendet .

Topologie: Siehe Topologischer Raum .

Völlig begrenzt: Ein metrischer Raum M ist total beschränkt, wenn für jedes r > 0 eine endliche Überdeckung von M durch offene Kugeln vom Radius r existiert . Ein metrischer Raum ist genau dann kompakt, wenn er vollständig und total beschränkt ist.

Völlig getrennt: Ein Raum ist völlig unzusammenhängend, wenn er keine zusammenhängende Teilmenge mit mehr als einem Punkt hat.

Triviale Topologie: Die triviale Topologie (oder indiscrete Topologie ) auf einem Satz X besteht aus genau den leeren Satz und den gesamten Raum X .

Tychonoff: Ein Tychonoff-Raum (oder vollständig regulärer Hausdorff- Raum, vollständig T ₃ -Raum, T _3.5- Raum) ist ein vollständig regulärer T ₀ -Raum. (Ein vollständig regulärer Raum ist genau dann Hausdorff, wenn er T _{0 ist} , daher ist die Terminologie konsistent.) Jeder Tychonoff-Raum ist regulärer Hausdorff.

U

Ultra-verbunden: Ein Raum ist ultrazusammenhängend, wenn keine zwei nichtleeren abgeschlossenen Mengen disjunkt sind. Jeder ultra-verbundene Raum ist wegverbunden.

Ultrametrisch: Eine Metrik ist ultrametrisch, wenn sie die folgende stärkere Version der Dreiecksungleichung erfüllt : für alle x , y , z in M , d ( x , z ) ≤ max( d ( x , y ), d ( y , z )) .

Einheitlicher Isomorphismus: Wenn X und Y sind gleichförmige Räume , ein einheitlicher Isomorphismus von X zu Y ist eine bijektive Funktion f : X → Y , so dass f und f ^-1 sind gleichmäßig stetig . Die Räume heißen dann einheitlich isomorph und haben die gleichen einheitlichen Eigenschaften .

Uniformisierbar /Uniformisierbar: Ein Raum ist uniformisierbar, wenn er zu einem uniformen Raum homöomorph ist.

Einheitlicher Raum: Ein einheitlicher Raum ist eine Menge X, die mit einer nichtleeren Menge Φ von Teilmengen des kartesischen Produkts X × X ausgestattet ist, die die folgenden Axiome erfüllen :

wenn U in Φ ist, dann enthält U { ( x , x ) | x in X }.
wenn U in Φ ist, dann { ( y , x ) | ( x , y ) in U } ist auch in Φ
wenn U in Φ ist und V eine Teilmenge von X × X ist, die U enthält , dann ist V in Φ
wenn U und V in Φ sind, dann ist U ∩ V in Φ
wenn U in Φ ist, dann existiert V in Φ, so dass, wann immer ( x , y ) und ( y , z ) in V sind , ( x , z ) in U ist .

Die Elemente von Φ werden Entourages genannt , und Φ selbst wird eine gleichförmige Struktur auf X genannt . Die einheitliche Struktur induziert eine Topologie auf X, bei der die Basisumgebungen von x Mengen der Form { y : ( x , y )∈ U } für U ∈Φ sind.

Einheitliche Struktur: Siehe Einheitlicher Raum .

W

Schwache Topologie: Die schwache Topologie auf einer Menge in Bezug auf eine Sammlung von Funktionen aus dieser Menge in topologische Räume ist die gröbste Topologie auf der Menge, die alle Funktionen stetig macht.
Schwächere Topologie: Siehe Gröbere Topologie . Beachten Sie, dass einige Autoren, insbesondere Analysten , den Begriff stärkere Topologie verwenden .
Schwach abzählbar kompakt: Ein Raum ist schwach abzählbar kompakt (oder Grenzpunkt kompakt ), wenn jede unendliche Teilmenge einen Grenzpunkt hat.
Schwach erblich: Eine Eigenschaft von Räumen heißt schwach erblich, wenn immer dann, wenn ein Raum diese Eigenschaft hat, auch jeder abgeschlossene Unterraum von ihm diese Eigenschaft hat. Zum Beispiel sind Kompaktheit und die Lindelöf-Eigenschaft beide schwach erbliche Eigenschaften, obwohl keine erblich ist.
Gewicht: Das Gewicht eines Raumes X ist die kleinste Kardinalzahl κ, so dass X eine Basis von hat. (Beachten Sie, dass eine solche Kardinalzahl existiert, weil die gesamte Topologie eine Basis bildet und weil die Klasse der Kardinalzahlen wohlgeordnet ist .)
Gut vernetzt: Siehe Ultra-verbunden . (Einige Autoren verwenden diesen Begriff ausschließlich für ultra-verbundene kompakte Räume.)

Z

Nulldimensional: Ein Raum ist nulldimensional, wenn er eine Basis von Clopen-Mengen hat.

Siehe auch

Naive Mengenlehre , Axiomatische Mengenlehre und Funktion für Definitionen bezüglich Mengen und Funktionen.
Topologie für eine kurze Geschichte und Beschreibung des Fachgebiets
Topologische Räume für grundlegende Definitionen und Beispiele
Liste der allgemeinen Topologiethemen
Liste von Beispielen in der allgemeinen Topologie

Topologiespezifische Konzepte

Andere Glossare

Verweise

Hart, Klaas (2004). Enzyklopädie der allgemeinen Topologie . Amsterdam Boston: Elsevier/Nord-Holland. ISBN 0-444-50355-2. OCLC 162131277 .
Hart, Klaas Pieter; Nagata, Jun-iti; Vaughan, Jerry E. (2004). Enzyklopädie der allgemeinen Topologie . Sonst. ISBN 978-0-444-50355-8.
Kunen, Kenneth ; Vaughan, Jerry E., Hrsg. (1984). Handbuch der mengentheoretischen Topologie . Nordholland. ISBN 0-444-86580-2.
Nagata, Jun-iti (1985). Moderne allgemeine Topologie . Nordholländische Mathematische Bibliothek. 33 (2. überarbeitete Aufl.). Amsterdam-New York-Oxford: Nord-Holland. ISBN 0080933793. Zbl 0598.54001 .
Steen, Lynn Arthur ; Seebach, J. Arthur Jr. (1978). Counterexamples in Topology ( Dover Reprint von 1978 ed.). Berlin, New York: Springer-Verlag . ISBN 978-0-486-68735-3. MR 0.507.446 .
Vickers, Steven (1989). Topologie über Logik . Cambridge Tracts in Theoretischer Informatik. 5 . ISBN 0-521-36062-5. Zbl 0668.54001 .
Willard, Stephen (1970). Allgemeine Topologie . Addison-Wesley-Reihe in Mathematik. Reading, MA: Addison-Wesley. ISBN 978-0-201-08707-9. Zbl 0205.26601 . Auch als Dover-Nachdruck erhältlich.

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