Torus - Torus

Ein Torus der Revolution
Mit abnehmendem Abstand von der Rotationsachse wird der Ringtorus zum Horntorus, dann zum Spindeltorus und degeneriert schließlich zu einer doppelt bedeckten Kugel.
Ein Torus mit Seitenverhältnis 3 als Produkt eines kleineren (rot) und eines größeren (magenta) Kreises.

In Geometrie , ein Torus (plural Tori , umgangssprachlich Donut ) ist eine Rotationsfläche , die durch einen umlaufende Kreis in einem dreidimensionalen Raum um eine Achse , die ist koplanar mit dem Kreis.

Berührt die Drehachse den Kreis nicht, hat die Fläche eine Ringform und wird als Drehtorus bezeichnet . Ist die Rotationsachse tangential zum Kreis, ist die Fläche ein Horntorus . Durchläuft die Drehachse zweimal den Kreis, ist die Fläche ein Spindeltorus . Geht die Drehachse durch den Kreismittelpunkt, ist die Fläche ein entarteter Torus, eine doppelt bedeckte Kugel . Wenn die gedrehte Kurve kein Kreis ist, ist die Fläche eine verwandte Form, ein Toroid .

Zu den realen Objekten, die sich einem Rotationstorus nähern, gehören Schwimmringe und Schläuche . Brillengläser, die sphärische und zylindrische Korrektur kombinieren, sind torische Linsen .

Ein Torus sollte nicht mit einem massiven Torus verwechselt werden , der durch Drehen einer Scheibe statt eines Kreises um eine Achse gebildet wird. Ein solider Torus ist ein Torus plus das Volumen innerhalb des Torus. Zu den realen Objekten, die einem festen Torus nahekommen , gehören O-Ringe , nicht aufblasbare Rettungsringe , Ring- Donuts und Bagels .

In der Topologie ist ein Ringtorus homöomorph zum kartesischen Produkt zweier Kreise : S 1  ×  S 1 , und letzteres wird in diesem Zusammenhang als Definition angesehen. Es ist eine kompakte 2-Mannigfaltigkeit der Gattung 1. Der Ringtorus ist eine Möglichkeit, diesen Raum in den euklidischen Raum einzubetten , aber eine andere Möglichkeit, dies zu tun, ist das kartesische Produkt der Einbettung von S 1 in die Ebene mit sich selbst. Dies erzeugt ein geometrisches Objekt namens Clifford Torus , eine Fläche im 4-Raum .

In der Topologie ist ein Torus jeder topologische Raum, der zu einem Torus homöomorph ist. Eine Kaffeetasse und ein Donut sind beide topologische Tori der Gattung eins.

Ein Beispiel für einen Torus kann konstruiert werden, indem man einen rechteckigen Streifen aus flexiblem Material, zum Beispiel eine Gummiplatte, nimmt und die Oberkante mit der Unterkante und die linke Kante mit der rechten Kante ohne Halbdrehungen verbindet (vgl Möbiusstreifen ).

Geometrie

Bodenhälften und
vertikale Querschnitte
Ring
R > r : Ringtorus oder Ankerring
Horn
R = r : Horntorus
Spindel
R < r : selbstschneidender Spindeltorus

Ein Torus kann parametrisch definiert werden durch:

wo

θ , φ sind Winkel, die einen Vollkreis bilden, also beginnen und enden ihre Werte am selben Punkt,
R ist der Abstand von der Mitte der Röhre zur Mitte des Torus,
r ist der Radius des Rohres.

Der Winkel θ repräsentiert die Drehung um das Rohr, während φ die Drehung um die Rotationsachse des Torus repräsentiert. R ist als "großer Radius" und r als "kleinerer Radius" bekannt. Das Verhältnis R geteilt durch r wird als „ Seitenverhältnis “ bezeichnet. Die typischen Donut-Süßwaren haben ein Seitenverhältnis von etwa 3 zu 2.

Eine implizite Gleichung in kartesischen Koordinaten für einen Torus radial symmetrisch um die z - Achse ist

oder die Lösung von f ( x , y , z ) = 0 , wobei

Die algebraische Eliminierung der Quadratwurzel ergibt eine quartische Gleichung ,

Die drei Klassen von Standard-Tori entsprechen den drei möglichen Seitenverhältnissen zwischen R und r :

  • Wenn R > r ist , ist die Oberfläche der bekannte Ringtorus oder Ankerring.
  • R = r entspricht dem Horntorus, der praktisch ein Torus ohne "Loch" ist.
  • R < r beschreibt den sich selbst schneidenden Spindeltorus; seine innere Schale ist eine Zitrone und seine äußere Schale ist ein Apfel
  • Bei R = 0 degeneriert der Torus zur Kugel.

Wenn Rr ist , ist das Innere

dieses Torus ist diffeomorph (und daher homöomorph) zu einem Produkt einer euklidischen offenen Scheibe und eines Kreises. Das Volumen dieses festen Torus und die Oberfläche seines Torus verwendete leicht berechnet Pappos des Schwerpunktsatz , so dass:

Diese Formeln sind die gleichen wie für einen Zylinder der Länge R und des Radius r , der durch das Schneiden des Rohres entlang der Ebene eines kleinen Kreises und das Abrollen durch Begradigen (Begradigen) der um den Mittelpunkt des Rohres verlaufenden Linie erhalten wird. Die Flächen- und Volumenverluste an der Rohrinnenseite heben die Gewinne an der Außenseite exakt auf.

Wenn man die Oberfläche und das Volumen durch den Abstand p eines äußersten Punktes auf der Oberfläche des Torus zum Zentrum und den Abstand q eines innersten Punktes zum Zentrum ausdrückt (so dass R = p + q/2und r =pq/2), ergibt

Poloidalrichtung (roter Pfeil) und
toroidale Richtung (blauer Pfeil)

Da ein Torus das Produkt zweier Kreise ist, wird manchmal eine modifizierte Version des Kugelkoordinatensystems verwendet. In traditionellen Kugelkoordinaten gibt es drei Maße, R , der Abstand vom Mittelpunkt des Koordinatensystems, und θ und φ , Winkel, die vom Mittelpunkt aus gemessen werden.

Da ein Torus effektiv zwei Mittelpunkte hat, werden die Mittelpunkte der Winkel verschoben; φ misst den gleichen Winkel wie im Kugelsystem, wird aber als "toroidale" Richtung bezeichnet. Der Mittelpunkt von θ wird zum Mittelpunkt von r verschoben und ist als "poloidale" Richtung bekannt. Diese Begriffe wurden erstmals in einer Diskussion über das Erdmagnetfeld verwendet, wobei "poloidal" verwendet wurde, um "die Richtung zu den Polen" zu bezeichnen.

In der modernen Verwendung werden Toroid und Poloidal häufiger verwendet, um Fusionsvorrichtungen mit magnetischem Einschluss zu diskutieren .

Topologie

Topologisch ist ein Torus eine geschlossene Fläche, die als Produkt zweier Kreise definiert ist : S 1  ×  S 1 . Diese kann als in C 2 liegend betrachtet werden und ist eine Teilmenge der 3-Sphäre S 3 mit Radius √2. Dieser topologische Torus wird oft auch Clifford-Torus genannt . In der Tat, S 3 wird ausgefüllt durch eine Familie von verschachtelten Tori in diese Weise (mit zwei degenerierten Kreisen), eine Tatsache , die in der Studie von Bedeutung ist S 3 als ein Faserbündel über S 2 (das Hopf Bündel ).

Die Oberfläche oben beschrieben, angesichts der relativen Topologie von R 3 ist homeomorphic auf eine topologische Torus, solange sie sich nicht schneiden seine eigene Achse macht. Ein besonderer Homöomorphismus ergibt sich durch stereographische Projektion des topologischen Torus in R 3 vom Nordpol von S 3 .

Der Torus lässt sich auch als Quotient der kartesischen Ebene unter den Bezeichnungen beschreiben

oder äquivalent als Quotient des Einheitsquadrats durch Zusammenfügen der gegenüberliegenden Kanten, beschrieben als Fundamentalpolygon ABA –1 B –1 .

Einen punktierten Torus von innen nach außen drehen

Die Fundamentalgruppe des Torus ist nur das direkte Produkt der Fundamentalgruppe des Kreises mit sich selbst:

Intuitiv gesprochen bedeutet dies, dass ein geschlossener Pfad , der das "Loch" des Torus umkreist (z. B. ein Kreis, der einen bestimmten Breitengrad nachzeichnet) und dann den "Körper" des Torus umkreist (z. kann zu einer Bahn verformt werden, die den Körper und dann das Loch umkreist. Streng 'Breiten-' und streng 'Längs'-Pfade pendeln also. Eine äquivalente Aussage kann man sich vorstellen, als würden zwei Schnürsenkel durcheinander gehen, sich dann abwickeln und dann wieder aufwickeln.

Wenn ein Torus punktiert und nach außen gedreht wird, entsteht ein anderer Torus, bei dem die Breiten- und Längengrade vertauscht sind. Dies entspricht dem Bau eines Torus aus einem Zylinder, indem die kreisförmigen Enden auf zwei Arten zusammengefügt werden: außen herum, wie zwei Enden eines Gartenschlauchs, oder durch die Innenseite, wie eine Socke gerollt (mit abgeschnittener Zehe). Wenn der Zylinder außerdem durch Zusammenkleben zweier gegenüberliegender Seiten eines Rechtecks ​​hergestellt wurde, führt die Wahl der anderen beiden Seiten stattdessen zur gleichen Umkehrung der Ausrichtung.

Die erste Homologiegruppe des Torus ist isomorph zur Fundamentalgruppe (dies folgt aus dem Satz von Hurewicz, da die Fundamentalgruppe abelsch ist ).

Zweiblattdeckel

Der 2-Torus überdeckt die 2-Sphäre doppelt mit vier Verzweigungspunkten . Jede konforme Struktur auf dem 2-Torus kann als zweischalige Abdeckung der 2-Kugel dargestellt werden. Die den Verzweigungspunkten entsprechenden Punkte auf dem Torus sind die Weierstraß-Punkte . Tatsächlich wird der konforme Typ des Torus durch das Kreuzverhältnis der vier Punkte bestimmt.

n- dimensionaler Torus

Eine stereographische Projektion eines Clifford-Torus in vier Dimensionen, die eine einfache Drehung durch die xz- Ebene durchführt

Der Torus hat eine Verallgemeinerung auf höhere Dimensionen, die n-dimensionaler Torus , oft als n- Torusoder kurzHypertorus bezeichnet. (Dies ist die typischere Bedeutung des Begriffs "n-Torus", die andere bezieht sich aufnLöcher oder die Gattungn.) In Erinnerung daran, dass der Torus der Produktraum zweier Kreise ist, ist dern-dimensionale Torus das Produkt vonnKreise. Das ist:

Der 1-Torus ist nur der Kreis: T 1  =  S 1 . Der oben diskutierte Torus ist der 2-Torus T 2 . Und ähnlich dem 2-Torus, dem n -Torus, kann T n als Quotient von R n unter ganzzahligen Verschiebungen in jeder Koordinate beschrieben werden. Das heißt, der n- Torus ist R n modulo der Wirkung des ganzzahligen Gitters Z n (wobei die Wirkung als Vektoraddition genommen wird). Äquivalent erhält man den n- Torus aus dem n- dimensionalen Hyperwürfel durch Zusammenkleben der gegenüberliegenden Flächen.

Ein n- Torus in diesem Sinne ist ein Beispiel für eine n- dimensionale kompakte Mannigfaltigkeit . Sie ist auch ein Beispiel für eine kompakte abelsche Lie-Gruppe . Dies folgt aus der Tatsache, dass der Einheitskreis eine kompakte abelsche Lie-Gruppe ist (wenn sie mit der Einheit komplexe Zahlen mit Multiplikation identifiziert wird ). Die Gruppenmultiplikation auf dem Torus wird dann durch koordinatenweise Multiplikation definiert.

In der Theorie der kompakten Lie-Gruppen spielen toroidale Gruppen eine wichtige Rolle . Dies liegt zum Teil daran, dass man in jeder kompakten Lie-Gruppe G immer einen maximalen Torus finden kann ; das heißt, eine geschlossene Untergruppe, die ein Torus der größtmöglichen Dimension ist. Solche maximalen Tori T spielen in der Theorie des zusammenhängenden G eine kontrollierende Rolle . Toroidale Gruppen sind Beispiele für Protori , die (wie Tori) kompakte verbundene abelsche Gruppen sind, die keine Mannigfaltigkeiten sein müssen .

Automorphismen von T lassen sich leicht aus Automorphismen des Gitters Z n konstruieren , die durch invertierbare ganzzahlige Matrizen der Größe n mit einer ganzzahligen Inversen klassifiziert werden ; dies sind nur die ganzzahligen Matrizen mit Determinante ±1. Wenn sie auf R n in der üblichen Weise wirken, ergibt sich der typische torale Automorphismus auf dem Quotienten.

Die Fundamentalgruppe eines n- Torus ist eine freie abelsche Gruppe vom Rang n . Die k - te Homologiegruppe eines n -Torus ist eine freie abelsche Gruppe von Rang n wählen k . Daraus folgt, dass die Euler-Charakteristik des n- Torus für alle n 0 ist . Der Kohomologiering H ( T nZ ) mit dem identifiziert werden Außen Algebra über die Z - Modul Z n , deren Generatoren sind die duals der n nicht triviale Zyklen.

Konfigurationsraum

Der Konfigurationsraum von 2 nicht unbedingt verschiedenen Punkten auf dem Kreis ist der Orbifold- Quotient des 2-Torus, T 2 / S 2 , der der Möbiusstreifen ist .
Das Tonnetz ist ein Beispiel für einen Torus in der Musiktheorie.
Das Tonnetz ist nur dann wirklich ein Torus, wenn enharmonische Äquivalenz angenommen wird, so dass das (F♯-A♯) -Segment der rechten Kante des wiederholten Parallelogramms mit dem (G♭-B♭) -Segment der linken Kante identifiziert wird .

Da der n- Torus das n- fache Produkt des Kreises ist, ist der n- Torus der Konfigurationsraum von n geordneten, nicht unbedingt verschiedenen Punkten auf dem Kreis. Symbolisch ist T n = ( S 1 ) n . Der Konfigurationsraum von ungeordneten , nicht unbedingt verschiedenen Punkten ist demnach die Orbifold T n / S n , also der Quotient des Torus durch die symmetrische Gruppe auf n Buchstaben (durch Permutation der Koordinaten).

Für n = 2 ist der Quotient der Möbiusstreifen , die Kante entspricht den Orbifold-Punkten, an denen die beiden Koordinaten zusammenfallen. Für n = 3 kann dieser Quotient als massiver Torus mit Querschnitt einem gleichseitigen Dreieck mit einer Verdrehung beschrieben werden ; äquivalent als dreieckiges Prisma, dessen Ober- und Unterseite mit einer 1/3-Verdrehung (120°) verbunden sind: das 3-dimensionale Innere entspricht den Punkten auf dem 3-Torus, an denen alle 3 Koordinaten verschieden sind, die 2-dimensionale Fläche entspricht Punkten mit 2 gleichen Koordinaten und der 3. unterschiedlich, während die 1-dimensionale Kante Punkten entspricht, bei denen alle 3 Koordinaten identisch sind.

Diese Orbifolds haben in der Arbeit von Dmitri Tymoczko und Mitarbeitern (Felipe Posada, Michael Kolinas, et al.) bedeutende Anwendung in der Musiktheorie gefunden und verwendet, um musikalische Dreiklänge zu modellieren .

Flacher Torus

In drei Dimensionen kann man ein Rechteck zu einem Torus biegen, aber dies dehnt normalerweise die Oberfläche, wie man an der Verzerrung des Schachbrettmusters sieht.
In stereographischer Projektion gesehen , kann ein 4D -Flachtorus in 3 Dimensionen projiziert und um eine feste Achse gedreht werden.
Die einfachste Kachelung eines flachen Torus ist {4,4} 1,0 , konstruiert auf der Oberfläche eines Duozylinders mit 1 Scheitelpunkt, 2 orthogonalen Kanten und einer quadratischen Fläche. Es ist hier stereographisch in den 3-Raum projiziert als Torus zu sehen.

Eine flache Torus ist ein Torus mit der Metrik aus seiner Darstellung als ererbt Quotienten , R 2 / L , wobei L eine diskrete Untergruppe ist R 2 isomorph Z 2 . Damit erhält der Quotient die Struktur einer Riemannschen Mannigfaltigkeit . Das vielleicht einfachste Beispiel dafür ist, wenn L = Z 2 : R 2 / Z 2 , was auch als kartesische Ebene unter den Bezeichnungen ( x , y ) ~ ( x + 1, y ) ~ ( x , y + ) beschrieben werden kann 1) . Dieser besondere flache Torus (und jede gleichmäßig skalierte Version davon) ist als "quadratischer" flacher Torus bekannt.

Diese Metrik des quadratischen flachen Torus kann auch durch spezielle Einbettungen des bekannten 2-Torus in den euklidischen 4-Raum oder höhere Dimensionen realisiert werden. Seine Oberfläche hat überall eine Gaußsche Krümmung von Null . Seine Oberfläche ist im gleichen Sinne flach wie die Oberfläche eines Zylinders. In 3 Dimensionen kann man ein flaches Blatt Papier zu einem Zylinder biegen, ohne das Papier zu dehnen, aber dieser Zylinder kann nicht zu einem Torus gebogen werden, ohne das Papier zu dehnen (es sei denn, es werden einige Regelmäßigkeits- und Unterscheidbarkeitsbedingungen aufgegeben, siehe unten).

Eine einfache 4-dimensionale euklidische Einbettung eines rechteckigen flachen Torus (allgemeiner als der quadratische) sieht wie folgt aus:

wobei R und P Konstanten sind, die das Seitenverhältnis bestimmen. Er ist diffeomorph zu einem regulären Torus, aber nicht isometrisch . Er kann nicht analytisch ( glatt der Klasse C k , 2 ≤ k ≤ ∞ ) in den euklidischen 3-Raum eingebettet werden. Um ihn in den 3- Raum abzubilden, muss man ihn strecken, in diesem Fall sieht er wie ein normaler Torus aus. Zum Beispiel in der folgenden Karte:

Wenn R und P in der obigen flachen Torus-Parametrisierung einen Einheitsvektor ( R , P ) = (cos( η ), sin( η )) bilden, dann parametrisieren u , v und η die Einheit 3-Sphäre als Hopf-Koordinaten . Insbesondere für bestimmte sehr spezifische Wahlen eines quadratischen flachen Torus in der 3-Sphäre S 3 , wobei η = π /4 oben, wird der Torus die 3-Sphäre in zwei kongruente feste Tori-Untermengen mit der oben genannten flachen Torusoberfläche als ihre gemeinsame Grenze . Ein Beispiel ist der Torus T definiert durch

Andere Tori in S 3 Diese Partitionierung Eigenschaft des Quadrat Tori des Formulars umfassen QT , wobei Q ist eine Drehung von 4-dimensionaler Raum R 4 , oder mit anderen Worten Q ist ein Mitglied der Lie Gruppe SO (4).

Es ist bekannt, dass es keine C 2 (zweimal stetig differenzierbare) Einbettung eines flachen Torus in den 3-Raum gibt. (Die Idee des Beweises besteht darin, eine große Kugel mit einem so flachen Torus in ihrem Inneren zu nehmen und den Radius der Kugel zu verkleinern, bis sie den Torus zum ersten Mal gerade berührt. Ein solcher Berührungspunkt muss eine Tangente sein. Aber das würde bedeuten, dass ein Teil des Torus, da er überall null Krümmung hat, strikt außerhalb der Kugel liegen muss, was ein Widerspruch ist.) Andererseits gilt nach dem Nash-Kuiper-Theorem , das in den 1950er Jahren bewiesen wurde, an isometrische C 1 Einbettung existiert. Dies ist lediglich ein Existenzbeweis und liefert keine expliziten Gleichungen für eine solche Einbettung.

Im April 2012 wurde eine explizite C 1 (stetig differenzierbare) Einbettung eines flachen Torus in den 3-dimensionalen euklidischen Raum R 3 gefunden. Es ähnelt in seiner Struktur einem Fraktal, da es durch wiederholtes Wellen eines gewöhnlichen Torus aufgebaut wird. Wie Fraktale hat es keine definierte Gaußsche Krümmung. Im Gegensatz zu Fraktalen hat es jedoch definierte Oberflächennormalen . Es ist ein flacher Torus in dem Sinne, dass er als metrische Räume isometrisch zu einem flachen quadratischen Torus ist. (Diese unendlich rekursiven Wellen werden nur zur Einbettung in drei Dimensionen verwendet; sie sind kein intrinsisches Merkmal des flachen Torus.) Dies ist das erste Mal, dass eine solche Einbettung durch explizite Gleichungen definiert oder durch Computergrafiken dargestellt wird.

Gattung g Oberfläche

In der Theorie der Flächen gibt es noch einen weiteren Gegenstand, die „ Gattungg- Fläche. Anstelle des Produkts von n Kreisen ist eine Gattung g- Fläche die zusammenhängende Summe von g zwei-Tori. Um eine zusammenhängende Summe zweier Flächen zu bilden, entfernen Sie jeweils das Innere einer Scheibe und "kleben" Sie die Flächen entlang der Begrenzungskreise zusammen. Um die zusammenhängende Summe von mehr als zwei Flächen zu bilden, summiere jeweils zwei von ihnen, bis sie alle verbunden sind. In diesem Sinne ähnelt eine g- Oberfläche der Oberfläche von nebeneinander geklebten g- Donuts oder einer 2-Kugel mit angebrachten g- Griffen.

Als Beispiel ist eine Fläche der Gattung Null (ohne Grenze) die Zweikugel, während eine Fläche der Gattung Eins (ohne Grenze) der gewöhnliche Torus ist. Die Oberflächen der höheren Gattung sind manchmal genannt n -holed Tori (oder selten n -fach Tori). Gelegentlich werden auch die Begriffe Doppeltorus und Dreifachtorus verwendet.

Der Klassifikationssatz für Flächen besagt, dass jede kompakte zusammenhängende Fläche topologisch entweder der Kugel oder der zusammenhängenden Summe einer Anzahl von Tori, Scheiben und reellen projektiven Ebenen entspricht .

Doppeltorus illustration.png
Gattung zwei
Dreifacher Torus illustration.png
Gattung drei

Ringförmige Polyeder

Ein Toroid Polyeder mit 6 × 4 = 24 Vierecks Gesichter

Polyeder mit dem topologischen Typ eines Torus werden toroidale Polyeder genannt und haben die Euler-Charakteristik VE + F = 0. Für eine beliebige Anzahl von Löchern verallgemeinert die Formel zu VE + F = 2 − 2 N , wobei N der Anzahl der Löcher.

Der Begriff "Toroidpolyeder" wird auch für Polyeder höherer Gattung und für Immersionen von Toroidpolyedern verwendet.

Automorphismen

Die Homöomorphismengruppe (oder die Untergruppe der Diffeomorphismen) des Torus wird in der geometrischen Topologie untersucht . Ihre Abbildungsklassengruppe (die zusammenhängenden Komponenten der Homöomorphismusgruppe) ist isomorph zur Gruppe GL( nZ ) der invertierbaren ganzzahligen Matrizen und kann als lineare Abbildungen auf dem universellen Überdeckungsraum R n realisiert werden , die das Standardgitter Z n . erhalten (dies entspricht ganzzahligen Koeffizienten) und damit auf den Quotienten absteigen.

Auf der Ebene der Homotopie und Homologie kann die Mapping-Klassengruppe als die Wirkung auf die erste Homologie identifiziert werden (oder äquivalent auf die erste Kohomologie oder auf die Fundamentalgruppe , da diese alle von Natur aus isomorph sind; auch die erste Kohomologiegruppe erzeugt die Kohomologie Algebra:

Da der Torus ein Eilenberg-MacLane-Raum K ( G , 1) ist, können seine Homotopieäquivalenzen bis auf die Homotopie mit Automorphismen der Fundamentalgruppe identifiziert werden; dass dies mit der Mapping-Klassengruppe übereinstimmt, spiegelt wider, dass alle Homotopie-Äquivalenzen durch Homöomorphismen realisiert werden können – jede Homotopie-Äquivalenz ist homotop zu einem Homöomorphismus – und dass homotope Homöomorphismen tatsächlich isotop sind (verbunden durch Homöomorphismen, nicht nur durch Homotopie-Äquivalenzen). Genauer gesagt ist die Abbildung Homeo( T n ) → SHE ( T n ) 1-zusammenhängend (isomorph auf Wegkomponenten , auf Fundamentalgruppe). Dies ist ein "Homöomorphismus reduziert auf Homotopie reduziert auf Algebra"-Ergebnis.

Somit teilt sich die kurze exakte Folge der Abbildungsklassengruppe auf (eine Identifizierung des Torus als Quotient von R n ergibt eine Aufspaltung über die linearen Abbildungen wie oben):

also ist die Homöomorphismusgruppe des Torus ein semidirektes Produkt ,

Die Kartierungsklassengruppe höherer Gattungsoberflächen ist viel komplizierter und ein Bereich aktiver Forschung.

Einen Torus färben

Die Heawood-Zahl des Torus ist sieben, was bedeutet, dass jeder Graph, der auf dem Torus eingebettet werden kann, eine chromatische Zahl von höchstens sieben hat. (Da der komplette Graph auf dem Torus eingebettet werden kann, und , ist die Obergrenze eng.) Entsprechend ist es bei einem in Regionen unterteilten Torus immer möglich, die Regionen mit nicht mehr als sieben Farben einzufärben, sodass keine benachbarten Regionen die gleiche Farbe. (Kontrast mit dem Vierfarbensatz für die Ebene .)

Diese Konstruktion zeigt den Torus unterteilt in sieben Regionen, von denen jede sich gegenseitig berührt, was bedeutet, dass jeder eine einzigartige Farbe zugewiesen bekommen muss.

de Bruijn torus

STL- Modell des de Bruijn Torus (16,32;3,3) 2 mit 1s als Panels und 0s als Löcher im Netz – bei gleichbleibender Ausrichtung kommt jede 3×3-Matrix genau einmal vor

In der kombinatorischen Mathematik ist ein de Bruijn-Torus ein Array von Symbolen aus einem Alphabet (oft nur 0 und 1), das jede m- mal- n- Matrix genau einmal enthält. Es handelt sich um einen Torus, da die Kanten zum Zweck der Matrizenfindung als umlaufend betrachtet werden. Sein Name stammt von der De Bruijn-Folge , die als Sonderfall angesehen werden kann, in dem n 1 (eine Dimension) ist.

Schneiden eines Torus

Ein massiver Rotationstorus kann durch n (> 0) Ebenen in maximal . geschnitten werden

Teile.

Die ersten 11 Teilezahlen für 0 ≤ n ≤ 10 (einschließlich des Falles von n = 0, der nicht von den obigen Formeln abgedeckt wird) lauten wie folgt:

1, 2, 6, 13, 24, 40, 62, 91, 128, 174, 230, ... (Sequenz A003600 im OEIS ).

Siehe auch

Anmerkungen

  • Nociones de Geometría Analítica y Álgebra Lineal , ISBN  978-970-10-6596-9 , Autor: Kozak Ana Maria, Pompeya Pastorelli Sonia, Verdanega Pedro Emilio, Editorial: McGraw-Hill, Ausgabe 2007, 744 Seiten, Sprache: Spanisch
  • Allen Hatcher. Algebraische Topologie . Cambridge University Press, 2002. ISBN  0-521-79540-0 .
  • VV Nikulin, IR Shafarevich. Geometrien und Gruppen . Springer, 1987. ISBN  3-540-15281-4 , ISBN  978-3-540-15281-1 .
  • "Tore (notion géométrique)" in der Encyclopédie des Formes Mathématiques Remarquables

Verweise

Externe Links