Trapez -Trapezoid

Trapez (AmE) Trapez (BrE)
Trapez oder Trapez
Art	Viereck
Kanten und Ecken	4
Bereich	${\displaystyle {\tfrac {a+b}{2}}h}$
Eigenschaften	konvex

Im Englischen außerhalb Nordamerikas wird ein konvexes Viereck in der euklidischen Geometrie mit mindestens einem Paar paralleler Seiten als Trapez bezeichnet ( / t r ə ˈ p iː z i ə m / ); im amerikanischen und kanadischen Englisch wird dies normalerweise als Trapez bezeichnet ( / ˈ t r æ p ə z ɔɪ d / ). Die parallelen Seiten heißen Basendes Trapezes. Die anderen beiden Seiten werden Beine (oder Querseiten ) genannt, wenn sie nicht parallel sind; andernfalls ist das Trapez ein Parallelogramm, und es gibt zwei Basenpaare). Ein ungleichseitiges Trapez ist ein Trapez ohne gleiche Seiten, im Gegensatz zu den folgenden Spezialfällen .

Etymologie und Trapez vs. Trapez

Der altgriechische Mathematiker Euklid definierte fünf Arten von Vierecken, von denen vier zwei Sätze paralleler Seiten hatten (im Englischen als Quadrat, Rechteck, Rhombus und Rhomboid bekannt) und der letzte keine zwei Sätze paralleler Seiten hatte – ein τραπέζια ( wörtlich Trapez „ ein Tisch", selbst von τετράς ( tetrás ), "vier" + πέζα ( péza ), "ein Fuß; Ende, Rand, Kante").

Zwei Arten von Trapezen wurden von Proclus (412 bis 485 n. Chr.) In seinem Kommentar zum ersten Buch von Euklids Elementen eingeführt :

• ein Paar paralleler Seiten – ein Trapez (τραπέζιον), unterteilt in gleichschenklige (gleichschenklig) und ungleichseitige (ungleiche) Trapeze
• keine parallelen Seiten – Trapez (τραπεζοειδή, trapezoeidé , wörtlich trapezartig ( εἶδος bedeutet "ähnlich"), genauso wie Quader würfelartig und Rhomboid rhombusartig bedeutet )

Alle europäischen Sprachen folgen der Struktur von Proclus, ebenso wie Englisch bis zum Ende des 18. Jahrhunderts, bis ein einflussreiches mathematisches Wörterbuch, das 1795 von Charles Hutton veröffentlicht wurde , ohne Erklärung eine Umsetzung der Begriffe unterstützte. Dieser Fehler wurde um 1875 im britischen Englisch korrigiert, aber im amerikanischen Englisch bis heute beibehalten.

Art	Bild	Ursprüngliche Terminologie			Moderne Terminologie
		Euklid (Definition 22)	Proklos (Definitionen 30-34, Posidonius zitierend)	Euklid / Proklos-Definition	Britisches Englisch (und europäische Sprachen)	amerikanisches Englisch
Parallelogramm		ῥόμβος (Rauten)		gleichseitig aber nicht rechtwinklig	Rhombus		Trapezoid (inklusive )
		ῥομβοειδὲς (Rauten)		gegenüberliegende Seiten und Winkel sind einander gleich, aber nicht gleichseitig oder rechtwinklig	Rhomboid (umgangssprachlich Parallelogramm)
Nicht-Parallelogramm		τραπέζια (Trapez)	τραπέζιον ἰσοσκελὲς ( Trapezionen - Isoskelés)	Zwei parallele Seiten und eine Symmetrielinie	Trapez _	Trapezoid (exklusiv )
			τραπέζιον σκαληνὸν ( Trapezion skalinón )	Zwei parallele Seiten und keine Symmetrielinie
			τραπέζοειδὲς ( Trapezoide )	Keine parallelen Seiten	Trapezoid _	Trapez _

Dieser Artikel verwendet den Begriff Trapez in dem Sinne, wie er in den Vereinigten Staaten und Kanada gebräuchlich ist. Die Form wird oft als unregelmäßiges Viereck bezeichnet.

Inklusive vs. exklusive Definition

Es gibt einige Meinungsverschiedenheiten darüber, ob Parallelogramme , die zwei Paare paralleler Seiten haben, als Trapeze betrachtet werden sollten. Einige definieren ein Trapez als ein Viereck mit nur einem Paar paralleler Seiten (die ausschließliche Definition), wodurch Parallelogramme ausgeschlossen werden. Andere definieren ein Trapez als ein Viereck mit mindestens einem Paar paralleler Seiten (die inklusive Definition), was das Parallelogramm zu einer besonderen Art von Trapez macht. Die letztere Definition steht im Einklang mit ihrer Verwendung in der höheren Mathematik wie der Analysis . Dieser Artikel verwendet die inklusive Definition und betrachtet Parallelogramme als Sonderfälle eines Trapezes. Dies wird auch in der Taxonomie von Vierecken befürwortet .

Unter der inklusiven Definition sind alle Parallelogramme (einschließlich Rauten , Rechtecke und Quadrate ) Trapeze. Rechtecke haben Spiegelsymmetrie an den Mittelkanten; Rauten haben Spiegelsymmetrie an Scheitelpunkten, während Quadrate Spiegelsymmetrie sowohl an Mittelkanten als auch an Scheitelpunkten haben.

Sonderfälle

Ein gerades Trapez (auch rechtwinkliges Trapez genannt ) hat zwei benachbarte rechte Winkel . Rechte Trapeze werden in der Trapezregel zum Schätzen von Flächen unter einer Kurve verwendet.

Ein spitzes Trapez hat zwei benachbarte spitze Winkel an seiner längeren Basiskante , während ein stumpfes Trapez an jeder Basis einen spitzen und einen stumpfen Winkel hat .

Ein gleichschenkliges Trapez ist ein Trapez, bei dem die Basiswinkel das gleiche Maß haben. Dadurch sind auch die beiden Schenkel gleich lang und es ist spiegelsymmetrisch . Dies ist für spitze Trapeze oder gerade Trapeze (Rechtecke) möglich.

Ein Parallelogramm ist ein Trapez mit zwei parallelen Seitenpaaren. Ein Parallelogramm hat eine zentrale 2-fache Rotationssymmetrie (oder Punktreflexionssymmetrie ). Möglich sind stumpfe Trapeze oder gerade Trapeze (Rechtecke).

Ein tangentiales Trapez ist ein Trapez, das einen Inkreis hat .

Ein Saccheri-Viereck ähnelt einem Trapez in der hyperbolischen Ebene mit zwei benachbarten rechten Winkeln, während es in der euklidischen Ebene ein Rechteck ist. Ein Lambert-Viereck in der hyperbolischen Ebene hat 3 rechte Winkel.

Zustand der Existenz

Vier Längen a , c , b , d können die aufeinanderfolgenden Seiten eines nicht parallelogrammförmigen Trapezes bilden, wobei a und b nur dann parallel sind, wenn

${\displaystyle \displaystyle |dc|<|ba|<d+c.}$

Das Viereck ist ein Parallelogramm, wenn , aber es ist ein extangentiales Viereck (das kein Trapez ist), wenn . ${\displaystyle dc=ba=0}$${\displaystyle |dc|=|ba|\neq 0}$

Charakterisierungen

Bei einem konvexen Viereck sind die folgenden Eigenschaften äquivalent, und jede impliziert, dass das Viereck ein Trapez ist:

• Es hat zwei benachbarte Winkel , die sich ergänzen , das heißt, sie ergeben zusammen 180 Grad .
• Der Winkel zwischen einer Seite und einer Diagonale ist gleich dem Winkel zwischen der gegenüberliegenden Seite und derselben Diagonale.
• Die Diagonalen schneiden einander im gleichen Verhältnis (dieses Verhältnis ist das gleiche wie das zwischen den Längen der parallelen Seiten).
• Die Diagonalen teilen das Viereck in vier Dreiecke, von denen ein gegenüberliegendes Paar gleiche Fläche hat.
• Das Produkt der Flächen der beiden durch eine Diagonale gebildeten Dreiecke ist gleich dem Produkt der Flächen der beiden durch die andere Diagonale gebildeten Dreiecke.
• Die Flächen S und T von etwa zwei gegenüberliegenden Dreiecken der vier durch die Diagonalen gebildeten Dreiecke erfüllen die Gleichung

${\displaystyle {\sqrt {K}}={\sqrt {S}}+{\sqrt {T}},}$

wobei K die Fläche des Vierecks ist.

• Die Mittelpunkte zweier gegenüberliegender Seiten und der Schnittpunkt der Diagonalen sind kollinear .
• Die Winkel im Viereck ABCD erfüllen${\displaystyle \sin A\sin C=\sin B\sin D.}$
• Die Kosinuswerte zweier benachbarter Winkel summieren sich zu 0, ebenso wie die Kosinuswerte der anderen beiden Winkel.
• Die Kotangenten zweier benachbarter Winkel summieren sich zu 0, ebenso wie die Kotangens der anderen beiden benachbarten Winkel.
• Ein Bimedian teilt das Viereck in zwei Vierecke gleicher Fläche.
• Die doppelte Länge des Bimedians, der die Mittelpunkte zweier gegenüberliegender Seiten verbindet, ist gleich der Summe der Längen der anderen Seiten.

Darüber hinaus sind die folgenden Eigenschaften äquivalent, und jede impliziert, dass die gegenüberliegenden Seiten a und b parallel sind:

• Die aufeinanderfolgenden Seiten a , c , b , d und die Diagonalen p , q erfüllen die Gleichung

${\displaystyle p^{2}+q^{2}=c^{2}+d^{2}+2ab.}$

• Der Abstand v zwischen den Mittelpunkten der Diagonalen erfüllt die Gleichung

${\displaystyle v={\frac {|ab|}{2}}.}$

Mittelteil und Höhe

Das Mittelsegment (auch Median oder Mittellinie genannt) eines Trapezes ist das Segment, das die Mittelpunkte der Beine verbindet. Es ist parallel zu den Basen. Seine Länge m ist gleich dem Durchschnitt der Längen der Basen a und b des Trapezes,

${\displaystyle m={\frac {a+b}{2}}.}$

Das Mittelsegment eines Trapezes ist einer der beiden Bimediane (der andere Bimediane teilt das Trapez in gleiche Bereiche).

Die Höhe (oder Höhe) ist der senkrechte Abstand zwischen den Basen. Für den Fall, dass die beiden Basen unterschiedlich lang sind ( a ≠ b ), lässt sich die Höhe eines Trapezes h mit der Formel aus der Länge seiner vier Seiten bestimmen

${\displaystyle h={\frac {\sqrt {(-a+b+c+d)(a-b+c+d)(a-b+cd)(ab-c+d)}}{2| b|}}}$

wobei c und d die Beinlängen sind.

Bereich

Die Fläche K eines Trapezes ist gegeben durch

${\displaystyle K={\frac {a+b}{2}}\cdot h=mh}$

Dabei sind a und b die Längen der parallelen Seiten, h die Höhe (der senkrechte Abstand zwischen diesen Seiten) und m das arithmetische Mittel der Längen der beiden parallelen Seiten. 499 n . Chr. verwendete Aryabhata , ein großer Mathematiker - Astronom aus dem klassischen Zeitalter der indischen Mathematik und indischen Astronomie , diese Methode in der Aryabhatiya (Abschnitt 2.8). Daraus ergibt sich als Spezialfall die bekannte Formel für den Flächeninhalt eines Dreiecks , indem man ein Dreieck als entartetes Trapez betrachtet, bei dem eine der parallelen Seiten zu einem Punkt zusammengeschrumpft ist.

Der indische Mathematiker Bhāskara I aus dem 7. Jahrhundert leitete die folgende Formel für die Fläche eines Trapezes mit aufeinanderfolgenden Seiten a , c , b , d ab :

${\displaystyle K={\frac {1}{2}}(a+b){\sqrt {c^{2}-{\frac {1}{4}}\left((ba)+{\frac {c^{2}-d^{2}}{ba}}\right)^{2}}}}$

wobei a und b parallel sind und b > a . Diese Formel kann in eine symmetrischere Version umgewandelt werden

${\displaystyle K={\frac {a+b}{4|ba|}}{\sqrt {(-a+b+c+d)(a-b+c+d)(a-b+cd) (ab-c+d)}}.}$

Wenn eine der parallelen Seiten auf einen Punkt geschrumpft ist (sagen wir a = 0), reduziert sich diese Formel auf Herons Formel für die Fläche eines Dreiecks.

Eine andere äquivalente Formel für die Fläche, die der Formel von Heron ähnlicher ist, ist

${\displaystyle K={\frac {a+b}{|ba|}}{\sqrt {(sb)(sa)(sbc)(sbd)}},}$

wo ist der Halbumfang des Trapezes. (Diese Formel ist der Formel von Brahmagupta ähnlich, unterscheidet sich jedoch darin, dass ein Trapez möglicherweise nicht zyklisch (in einen Kreis eingeschrieben) ist. Die Formel ist auch ein Spezialfall von Bretschneiders Formel für ein allgemeines Viereck ). ${\displaystyle s={\tfrac {1}{2}}(a+b+c+d)}$

Aus Bretschneiders Formel folgt das

${\displaystyle K={\sqrt {{\frac {(ab^{2}-a^{2}b-ad^{2}+bc^{2})(ab^{2}-a^{2 }b-ac^{2}+bd^{2})}{4(ba)^{2}}}-\left({\frac {c^{2}+d^{2}-a^{ 2}-b^{2}}{4}}\right)^{2}}}.}$

Die Linie, die die Mittelpunkte der parallelen Seiten verbindet, halbiert die Fläche.

Diagonalen

Die Längen der Diagonalen sind

${\displaystyle p={\sqrt {\frac {ab^{2}-a^{2}b-ac^{2}+bd^{2}}{ba}}},}$

${\displaystyle q={\sqrt {\frac {ab^{2}-a^{2}b-ad^{2}+bc^{2}}{ba}}}}$

wobei a die kurze Basis ist, b die lange Basis ist und c und d die Trapezbeine sind.

Wenn das Trapez durch seine Diagonalen AC und BD (wie rechts gezeigt) in vier Dreiecke geteilt wird, die sich bei O schneiden , dann ist die Fläche von AOD gleich der von BOC und das Produkt der Flächen von AOD und BOC ist gleich zu dem von AOB und COD . Das Verhältnis der Flächen jedes Paares benachbarter Dreiecke ist dasselbe wie das zwischen den Längen der parallelen Seiten. ${\displaystyle\triangle}$ ${\displaystyle\triangle}$ ${\displaystyle\triangle}$ ${\displaystyle\triangle}$ ${\displaystyle\triangle}$ ${\displaystyle\triangle}$

Das Trapez soll die Scheitel A , B , C und D nacheinander haben und parallele Seiten AB und DC haben . Sei E der Schnittpunkt der Diagonalen, und sei F auf der Seite DA und G auf der Seite BC , so dass FEG parallel zu AB und CD ist . Dann ist FG das harmonische Mittel von AB und DC :

${\displaystyle {\frac {1}{FG}}={\frac {1}{2}}\left({\frac {1}{AB}}+{\frac {1}{DC}}\right ).}$

Die Linie, die sowohl durch den Schnittpunkt der verlängerten nicht parallelen Seiten als auch durch den Schnittpunkt der Diagonalen verläuft, halbiert jede Basis.

Andere Eigenschaften

Der Flächenschwerpunkt (Massenmittelpunkt bei einer gleichmäßigen Schicht ) liegt entlang der Verbindungslinie der Mittelpunkte der parallelen Seiten in einem senkrechten Abstand x von der durch gegebenen längeren Seite b

${\displaystyle x={\frac {h}{3}}\left({\frac {2a+b}{a+b}}\right).}$

Die Flächenmitte teilt dieses Segment im Verhältnis (von der kurzen zur langen Seite genommen)

${\displaystyle {\frac {a+2b}{2a+b}}.}$

Wenn sich die Winkelhalbierenden der Winkel A und B bei P schneiden und die Winkelhalbierenden der Winkel C und D sich bei Q schneiden , dann

${\displaystyle PQ={\frac {|AD+BC-AB-CD|}{2}}.}$

Anwendungen

Die Architektur

In der Architektur wird das Wort verwendet, um sich auf symmetrische Türen, Fenster und Gebäude zu beziehen, die im ägyptischen Stil an der Basis breiter gebaut sind und sich nach oben verjüngen. Wenn diese gerade Seiten und scharfkantige Ecken haben, sind ihre Formen normalerweise gleichschenklige Trapeze . Dies war der Standardstil für die Türen und Fenster der Inkas .

Geometrie

Das Problem der gekreuzten Leitern ist das Problem, den Abstand zwischen den parallelen Seiten eines rechten Trapezes zu finden, wenn die diagonalen Längen und der Abstand vom senkrechten Schenkel zum diagonalen Schnittpunkt gegeben sind.

Biologie

In der Morphologie , Taxonomie und anderen beschreibenden Disziplinen, in denen ein Begriff für solche Formen notwendig ist, sind Begriffe wie trapezförmig oder trapezförmig im Allgemeinen nützlich bei Beschreibungen bestimmter Organe oder Formen.

Technische Informatik

In der Computertechnik, insbesondere in der digitalen Logik und Computerarchitektur, werden Trapeze typischerweise verwendet, um Multiplexer zu symbolisieren . Multiplexer sind Logikelemente, die zwischen mehreren Elementen auswählen und basierend auf einem Auswahlsignal einen einzelnen Ausgang erzeugen. Typische Konstruktionen verwenden Trapeze, ohne ausdrücklich anzugeben, dass es sich um Multiplexer handelt, da sie universell äquivalent sind.

Siehe auch

• Höfliche Zahl , auch Trapezzahl genannt
• Keil , ein Polyeder, das durch zwei Dreiecke und drei Trapezflächen definiert ist.

Verweise

Weiterlesen

• D. Fraivert, A. Sigler und M. Stupel : Gemeinsame Eigenschaften von Trapezen und konvexen Vierecken

Externe Links

• Trapez in der Enzyklopädie der Mathematik .
• Weisstein, Eric W. "Rechtes Trapez" . MathWorld .
• Trapezdefinition   Fläche eines Trapezes   Median eines Trapezes Mit interaktiven Animationen
• Trapez (Nordamerika) bei elsy.at: Animierter Parcours (Bau, Umfang, Fläche)
• Trapezregel zu numerischen Methoden für Stem Undergraduate
• Autar Kaw und E. Eric Kalu, Numerische Methoden mit Anwendungen , (2008)