Dreieck - Triangle

Gleichseitiges Dreieck
Regelmäßiges Polygon 3 annotated.svg
Ein regelmäßiges Dreieck
Typ Regelmäßiges Vieleck
Kanten und Scheitelpunkte 3
Schläfli-Symbol {3}
Coxeter-Diagramm CDel-Knoten 1.pngCDel 3.pngCDel-Knoten.png
Symmetriegruppe Dieder (D 3 ), Ordnung 2×3
Innenwinkel ( Grad ) 60°
Doppelpolygon Selbst
Eigenschaften Konvex , zyklisch , gleichseitig , isogonal , isotoxal
Dreieck
Dreieck illustration.svg
Ein Dreieck
Kanten und Scheitelpunkte 3
Schläfli-Symbol {3} (für gleichseitig)
Bereich verschiedene Methoden;
siehe unten
Innenwinkel ( Grad ) 60° (für gleichseitig)
Dreieck, Tri, Drei, Winkel
Dreieck = Tri (drei) + Winkel

Ein Dreieck ist ein Polygon mit drei Kanten und drei Ecken . Es ist eine der grundlegenden Formen in Geometrie . Ein Dreieck mit den Ecken A , B und C wird bezeichnet .

In der euklidischen Geometrie bestimmen alle drei Punkte, wenn sie nicht kollinear sind , ein einzigartiges Dreieck und gleichzeitig eine einzigartige Ebene (dh einen zweidimensionalen euklidischen Raum ). Mit anderen Worten, es gibt nur eine Ebene, die dieses Dreieck enthält, und jedes Dreieck ist in einer Ebene enthalten. Wenn die gesamte Geometrie nur die euklidische Ebene ist , gibt es nur eine Ebene und alle Dreiecke sind darin enthalten; in höherdimensionalen euklidischen Räumen ist dies jedoch nicht mehr der Fall. Dieser Artikel behandelt Dreiecke in der euklidischen Geometrie und insbesondere die euklidische Ebene, sofern nicht anders angegeben.

Arten von Dreiecken

Euler-Diagramm der Arten von Dreiecken, wobei die Definition verwendet wird, dass gleichschenklige Dreiecke mindestens 2 gleiche Seiten haben (dh gleichseitige Dreiecke sind gleichschenklig).

Die Terminologie zur Kategorisierung von Dreiecken ist mehr als zweitausend Jahre alt und wurde auf der allerersten Seite von Euklids Elementen definiert . Die für die moderne Klassifikation verwendeten Namen sind entweder eine direkte Transliteration des Griechischen von Euklid oder ihre lateinischen Übersetzungen.

Nach Seitenlängen

Der altgriechische Mathematiker Euklid definierte drei Arten von Dreiecken nach der Länge ihrer Seiten:

Griechisch : τῶν δὲ τριπλεύρων μάτων ἰσόπλευρον μὲν τρίγωνόν ἐστι τὸ τὰς τρεῖς ἴσας ἔχον πλευράς, ἰσοσκελὲς δὲ τὸ τὰς δύο μόνας ἴσας ἔχον πλευράς, σκαληνὸν δὲ τὸ τὰς τρεῖς ἀνίσους ἔχον πλευράς , lit. "Von den dreiseitigen Figuren ist ein Isopleuron [gleichseitiges] Dreieck dasjenige, dessen drei Seiten gleich sind, ein gleichschenkliges das , das nur zwei seiner Seiten gleich hat, und ein skalenförmiges das, dessen drei Seiten ungleich sind."

  • Ein gleichseitiges Dreieck ( griechisch : ἰσόπλευρον , romanisiertisópleuron , wörtlich „gleiche Seiten“) hat drei gleich lange Seiten. Ein gleichseitiges Dreieck ist auch ein regelmäßiges Vieleck mit allen Winkeln von 60°.
  • Ein gleichschenkliges Dreieck ( griechisch : ἰσοσκελὲς , romanisiertisoskelés , wörtlich „gleiche Beine“) hat zwei gleich lange Seiten. Ein gleichschenkliges Dreieck hat auch zwei Winkel gleichen Maßes, nämlich die Winkel gegenüber den beiden gleich langen Seiten. Diese Tatsache ist der Inhalt des Satzes über gleichschenklige Dreiecke , der von Euklid bekannt war . Einige Mathematiker definieren ein gleichschenkliges Dreieck mit genau zwei gleichen Seiten, während andere ein gleichschenkliges Dreieck als eines mit mindestens zwei gleichen Seiten definieren. Die letztere Definition würde alle gleichseitigen Dreiecke zu gleichschenkligen Dreiecken machen. Das rechtwinklige Dreieck 45–45–90, das in der Tetrakis-Quadrat-Kachelung erscheint , ist gleichschenklig.
  • Ein skalenförmiges Dreieck ( griechisch : σκαληνὸν , romanisiertskalinón , wörtlich „ungleich“) hat alle seine Seiten unterschiedlicher Länge. Äquivalent hat es alle Winkel unterschiedlichen Maßes.

Schraffuren , auch Teilstriche genannt, werden in Diagrammen von Dreiecken und anderen geometrischen Figuren verwendet, um Seiten gleicher Länge zu kennzeichnen. Eine Seite kann mit einem Muster von "Häkchen", kurzen Liniensegmenten in Form von Zählmarken markiert werden ; zwei Seiten sind gleich lang, wenn sie beide mit dem gleichen Muster gekennzeichnet sind. In einem Dreieck beträgt das Muster normalerweise nicht mehr als 3 Ticks. Ein gleichseitiges Dreieck hat auf allen 3 Seiten das gleiche Muster, ein gleichschenkliges Dreieck hat nur auf 2 Seiten das gleiche Muster und ein skalenförmiges Dreieck hat auf allen Seiten unterschiedliche Muster, da keine Seiten gleich sind.

In ähnlicher Weise werden Muster von 1, 2 oder 3 konzentrischen Bögen innerhalb der Winkel verwendet, um gleiche Winkel anzuzeigen: ein gleichseitiges Dreieck hat das gleiche Muster in allen 3 Winkeln, ein gleichschenkliges Dreieck hat das gleiche Muster in nur 2 Winkeln und ein skalenförmiges Dreieck hat in allen Winkeln unterschiedliche Muster, da keine Winkel gleich sind.

Nach Innenwinkeln

Die erste Seite von Euklids Elemente , aus der weltweit ersten gedruckten Version (1482), die den Abschnitt "Definitionen" von Buch I zeigt. Das rechtwinklige Dreieck ist mit " Orthogonius " beschriftet , und die beiden gezeigten Winkel sind "Acutus" und "Angulus obtusus". .

Dreiecke lassen sich auch nach ihren Innenwinkeln einteilen , die hier in Grad gemessen werden .

  • Ein rechtwinkliges Dreieck (oder rechtwinkliges Dreieck , früher genannt rectangled Dreieck ) ist mit einem seines Innenwinkel 90 ° (einem Mess rechten Winkels ). Die dem rechten Winkel gegenüberliegende Seite ist die Hypotenuse , die längste Seite des Dreiecks. Die anderen beiden Seiten werden die Beine oder Katheten (Singular: Kathet ) des Dreiecks genannt. Rechtwinklige Dreiecke gehorchen dem Satz des Pythagoras : Die Summe der Quadrate der Längen der beiden Beine ist gleich dem Quadrat der Länge der Hypotenuse: a 2 + b 2 = c 2 , wobei a und b die Längen der Beine sind und c ist die Länge der Hypotenuse. Spezielle rechtwinklige Dreiecke sind rechtwinklige Dreiecke mit zusätzlichen Eigenschaften, die Berechnungen mit ihnen erleichtern. Eines der beiden bekanntesten ist das rechtwinklige 3–4–5 Dreieck, wobei 3 2 + 4 2 = 5 2 . Das 3-4-5-Dreieck wird auch als ägyptisches Dreieck bezeichnet. In dieser Situation sind 3, 4 und 5 ein pythagoräisches Tripel . Das andere ist ein gleichschenkliges Dreieck mit 2 Winkeln von 45 Grad (45–45–90 Dreieck).
  • Ein Dreieck, bei dem alle Innenwinkel kleiner als 90° sind, ist ein spitzes Dreieck oder ein spitzwinkliges Dreieck . Wenn c die Länge der längsten Seite ist, dann a 2 + b 2 > c 2 , wobei a und b die Längen der anderen Seiten sind.
  • Ein Dreieck mit einem Innenwinkel von mehr als 90° ist ein stumpfes Dreieck oder ein stumpfwinkliges Dreieck . Wenn c die Länge der längsten Seite ist, dann ist a 2 + b 2 < c 2 , wobei a und b die Längen der anderen Seiten sind.
  • Ein Dreieck mit einem Innenwinkel von 180° (und kollinearen Eckpunkten) ist entartet . Ein rechtwinklig entartetes Dreieck hat kollineare Scheitelpunkte, von denen zwei zusammenfallen.

Ein Dreieck, das zwei Winkel mit dem gleichen Maß hat, hat auch zwei Seiten mit der gleichen Länge und ist daher ein gleichschenkliges Dreieck. Daraus folgt, dass in einem Dreieck, in dem alle Winkel das gleiche Maß haben, alle drei Seiten die gleiche Länge haben und daher gleichseitig sind.

Rechtwinkliges Dreieck Stumpfes Dreieck Spitzwinkliges Dreieck
Rechts Stumpf Akut
 
  Schräg

Grundfakten

Ein Dreieck, das den Außenwinkel d zeigt.

Dreiecke werden als zweidimensionale ebene Figuren angenommen , sofern der Kontext nichts anderes vorsieht (siehe Nicht-ebene Dreiecke unten). In strengen Behandlungen wird ein Dreieck daher als 2- Simplex bezeichnet (siehe auch Polytope ). Elementare Fakten über Dreiecke wurden von Euklid in den Büchern 1–4 seiner Elemente vorgestellt , die um 300 v. Chr. geschrieben wurden.

Die Maße der Innenwinkel des Dreiecks summieren sich immer auf 180 Grad (gleiche Farbe, um darauf hinzuweisen, dass sie gleich sind).

Die Summe der Maße der Innenwinkel eines Dreiecks im euklidischen Raum beträgt immer 180 Grad. Diese Tatsache entspricht dem Parallelpostulat von Euklid . Dies ermöglicht die Bestimmung des Maßes des dritten Winkels eines beliebigen Dreiecks, wenn das Maß von zwei Winkeln gegeben ist. Ein Außenwinkel eines Dreiecks ist ein Winkel, der ein lineares Paar (und daher ergänzend ) zu einem Innenwinkel ist. Das Maß eines Außenwinkels eines Dreiecks ist gleich der Summe der Maße der beiden nicht benachbarten Innenwinkel; Dies ist der Außenwinkelsatz . Die Summe der Maße der drei Außenwinkel (einer für jeden Scheitelpunkt) jedes Dreiecks beträgt 360 Grad.

Ähnlichkeit und Kongruenz

Zwei Dreiecke heißen ähnlich , wenn jeder Winkel eines Dreiecks das gleiche Maß hat wie der entsprechende Winkel im anderen Dreieck. Die entsprechenden Seiten ähnlicher Dreiecke haben Längen, die im gleichen Verhältnis stehen, und diese Eigenschaft reicht auch aus, um Ähnlichkeit herzustellen.

Einige grundlegende Sätze über ähnliche Dreiecke sind:

  • Genau dann, wenn ein Paar von Innenwinkeln zweier Dreiecke das gleiche Maß haben und ein anderes Paar ebenfalls das gleiche Maß haben, sind die Dreiecke ähnlich.
  • Wenn und nur wenn ein Paar korrespondierender Seiten zweier Dreiecke im gleichen Verhältnis wie ein anderes Paar korrespondierender Seiten sind und ihre eingeschlossenen Winkel das gleiche Maß haben, dann sind die Dreiecke ähnlich. (Der eingeschlossene Winkel für zwei beliebige Seiten eines Polygons ist der Innenwinkel zwischen diesen beiden Seiten.)
  • Wenn und nur wenn drei Paare entsprechender Seiten von zwei Dreiecken alle im gleichen Verhältnis sind, dann sind die Dreiecke ähnlich.

Zwei deckungsgleiche Dreiecke haben genau die gleiche Größe und Form: Alle Paare entsprechender Innenwinkel haben das gleiche Maß und alle Paare entsprechender Seiten haben die gleiche Länge. (Das sind insgesamt sechs Gleichheiten, aber oft reichen drei aus, um die Kongruenz zu beweisen.)

Einige individuell notwendige und hinreichende Bedingungen für die Kongruenz eines Dreieckspaares sind:

  • SAS-Postulat: Zwei Seiten in einem Dreieck haben die gleiche Länge wie zwei Seiten im anderen Dreieck, und die eingeschlossenen Winkel haben das gleiche Maß.
  • ASA: Zwei Innenwinkel und die eingeschlossene Seite in einem Dreieck haben das gleiche Maß bzw. die gleiche Länge wie die im anderen Dreieck. (Die mitgelieferte Seite für ein Winkelpaar ist die gemeinsame Seite.)
  • SSS: Jede Seite eines Dreiecks hat die gleiche Länge wie eine entsprechende Seite des anderen Dreiecks.
  • AAS: Zwei Winkel und eine entsprechende (nicht eingeschlossene) Seite in einem Dreieck haben das gleiche Maß bzw. die gleiche Länge wie die im anderen Dreieck. (Dies wird manchmal als AAcorrS bezeichnet und schließt dann oben ASA ein.)

Einige individuell ausreichende Bedingungen sind:

  • Hypotenuse-Bein (HL) Satz: Die Hypotenuse und ein Bein in einem rechtwinkligen Dreieck haben die gleiche Länge wie in einem anderen rechtwinkligen Dreieck. Dies wird auch als RHS (rechtwinklig, hypotenuse, side) bezeichnet.
  • Hypotenuse-Winkel-Satz: Die Hypotenuse und ein spitzer Winkel in einem rechtwinkligen Dreieck haben die gleiche Länge bzw. das gleiche Maß wie die im anderen rechtwinkligen Dreieck. Dies ist nur ein Sonderfall des AAS-Theorems.

Eine wichtige Bedingung ist:

  • Seite-Seite-Winkel (oder Winkel-Seite-Seite) Bedingung: Wenn zwei Seiten und ein entsprechender nicht-eingeschlossener Winkel eines Dreieck gleich lang und messen weisen jeweils wie die in einem anderen Dreieck, dann ist dies nicht ausreichend , um zu beweisen , Kongruenz; aber wenn der angegebene Winkel der längeren Seite der beiden Seiten entgegengesetzt ist, dann sind die Dreiecke deckungsgleich. Das Hypotenuse-Leg-Theorem ist ein Sonderfall dieses Kriteriums. Die Side-Side-Winkel-Bedingung allein garantiert nicht, dass die Dreiecke kongruent sind, da ein Dreieck stumpf und das andere spitzwinklig sein könnte.

Mit rechtwinkligen Dreiecken und dem Ähnlichkeitskonzept lassen sich die trigonometrischen Funktionen Sinus und Cosinus definieren. Dies sind Funktionen eines Winkels, die in der Trigonometrie untersucht werden .

Rechtwinklige Dreiecke

Der Satz des Pythagoras

Ein zentraler Satz ist der Satz des Pythagoras , der in jedem rechtwinkligen Dreieck besagt , dass das Quadrat der Länge der Hypotenuse gleich der Summe der Quadrate der Längen der beiden anderen Seiten ist. Wenn die Hypotenuse die Länge c hat und die Beine die Längen a und b haben , dann besagt der Satz, dass

Das Umgekehrte gilt: Wenn die Längen der Seiten eines Dreiecks die obige Gleichung erfüllen, dann hat das Dreieck einen rechten Winkel gegenüber der Seite c .

Einige andere Fakten über rechtwinklige Dreiecke:

  • Die spitzen Winkel eines rechtwinkligen Dreiecks sind komplementär .
  • Wenn die Schenkel eines rechtwinkligen Dreiecks die gleiche Länge haben, dann haben die Winkel gegenüber diesen Schenkeln das gleiche Maß. Da diese Winkel komplementär sind, misst jeder 45 Grad. Nach dem Satz des Pythagoras ist die Länge der Hypotenuse die Länge eines Beins mal 2 .
  • In einem rechtwinkligen Dreieck mit spitzen Winkeln von 30 und 60 Grad ist die Hypotenuse doppelt so lang wie die kürzere Seite, und die längere Seite ist gleich der Länge der kürzeren Seite mal 3 :

Für alle Dreiecken, Winkel und Seiten durch die Beziehung stehen Kosinussatz und Gesetz der sines (auch die angerufene Kosinussatz und Sinusregel ).

Existenz eines Dreiecks

Zustand an den Seiten

Die Dreiecksungleichung besagt, dass die Summe der Längen von zwei beliebigen Seiten eines Dreiecks größer oder gleich der Länge der dritten Seite sein muss. Diese Summe kann nur im Fall eines entarteten Dreiecks mit kollinearen Ecken gleich der Länge der dritten Seite sein. Diese Summe darf nicht kleiner sein als die Länge der dritten Seite. Ein Dreieck mit drei gegebenen positiven Seitenlängen existiert genau dann, wenn diese Seitenlängen die Dreiecksungleichung erfüllen.

Bedingungen an den Winkeln

Drei gegebene Winkel bilden ein nicht entartetes Dreieck (und zwar eine Unendlichkeit davon) genau dann, wenn diese beiden Bedingungen zutreffen: (a) jeder der Winkel ist positiv und (b) die Winkel summieren sich zu 180°. Wenn entartete Dreiecke zulässig sind, sind Winkel von 0° zulässig.

Trigonometrische Bedingungen

Drei positive Winkel α , β und γ , jeder kleiner als 180°, sind die Winkel eines Dreiecks genau dann, wenn eine der folgenden Bedingungen zutrifft:

die letzte Gleichheit gilt nur, wenn keiner der Winkel 90° beträgt (der Wert der Tangentenfunktion ist also immer endlich).

Mit einem Dreieck verknüpfte Punkte, Linien und Kreise

Es gibt Tausende von verschiedenen Konstruktionen, die einen speziellen Punkt finden, der mit einem Dreieck (und oft innerhalb) eines Dreiecks verbunden ist und eine einzigartige Eigenschaft erfüllt: siehe den Artikel Encyclopedia of Triangle Centers für einen Katalog davon. Oft werden sie konstruiert, indem man drei Linien findet, die symmetrisch mit den drei Seiten (oder Eckpunkten) verbunden sind, und dann beweist, dass sich die drei Linien in einem einzigen Punkt treffen: Ein wichtiges Werkzeug zum Beweis der Existenz dieser Linien ist der Satz von Ceva , der a Kriterium für die Bestimmung, wann drei solcher Zeilen gleichzeitig sind . In ähnlicher Weise werden mit einem Dreieck verbundene Geraden oft konstruiert, indem man beweist, dass drei symmetrisch konstruierte Punkte kollinear sind : hier gibt der Satz von Menelaos ein nützliches allgemeines Kriterium. In diesem Abschnitt werden nur einige der am häufigsten anzutreffenden Konstruktionen erläutert.

Der Umkreismittelpunkt ist der Mittelpunkt eines Kreises, der durch die drei Eckpunkte des Dreiecks verläuft.

Eine senkrechte Winkelhalbierende einer Seite eines Dreiecks ist eine Gerade, die durch den Mittelpunkt der Seite verläuft und senkrecht zu ihr steht, also mit ihr einen rechten Winkel bildet. Die drei senkrechten Winkelhalbierenden treffen sich in einem einzigen Punkt, dem Umkreismittelpunkt des Dreiecks , der normalerweise mit O bezeichnet wird ; dieser Punkt ist der Mittelpunkt des Umkreises , der Kreis durch alle drei Scheitelpunkten vorbei. Der Durchmesser dieses Kreises, der als Umkreisdurchmesser bezeichnet wird , kann aus dem oben genannten Sinusgesetz ermittelt werden. Der Radius des Umkreises wird die genannt circumradius .

Der Satz von Thales besagt, dass, wenn der Umkreismittelpunkt auf einer Seite des Dreiecks liegt, der entgegengesetzte Winkel ein rechter Winkel ist. Liegt der Umkreismittelpunkt innerhalb des Dreiecks, ist das Dreieck spitz; liegt der Umkreismittelpunkt außerhalb des Dreiecks, dann ist das Dreieck stumpf.

Der Schnittpunkt der Höhen ist das Orthozentrum .

Eine Höhe eines Dreiecks ist eine gerade Linie durch einen Scheitelpunkt und senkrecht zur (dh einen rechten Winkel mit) der gegenüberliegenden Seite. Diese gegenüberliegende Seite wird als Basis der Höhe bezeichnet, und der Punkt, an dem die Höhe die Basis (oder ihre Verlängerung) schneidet, wird als Fuß der Höhe bezeichnet. Die Länge der Höhe ist der Abstand zwischen der Basis und dem Scheitelpunkt. Die drei Höhen schneiden sich in einem einzigen Punkt, dem Orthozentrum des Dreiecks, das normalerweise mit H bezeichnet wird . Das Orthozentrum liegt genau dann innerhalb des Dreiecks, wenn das Dreieck spitz ist.

Der Schnittpunkt der Winkelhalbierenden ist der Mittelpunkt des Inkreises .

Eine Winkelhalbierende eines Dreiecks ist eine Gerade durch einen Scheitelpunkt, die den entsprechenden Winkel halbiert. Die drei Winkelhalbierenden schneiden sich in einem einzigen Punkt, dem Incenter , das normalerweise mit I bezeichnet wird , dem Mittelpunkt des Inkreises des Dreiecks . Der Inkreis ist der Kreis, der innerhalb des Dreiecks liegt und alle drei Seiten berührt. Sein Radius wird Inradius genannt . Es gibt noch drei andere wichtige Kreise, die Excircles ; sie liegen außerhalb des Dreiecks und berühren eine Seite sowie die Verlängerungen der anderen beiden. Die Zentren der In- und Exkreise bilden ein orthozentrisches System .

Der Schnittpunkt der Mediane ist der Schwerpunkt .

Ein Median eines Dreiecks ist eine gerade Linie durch einen Scheitelpunkt und den Mittelpunkt der gegenüberliegenden Seite und teilt das Dreieck in zwei gleiche Bereiche. Die drei Mediane schneiden sich in einem einzigen Punkt, dem Schwerpunkt oder geometrischen Schwerpunkt des Dreiecks , der normalerweise mit G bezeichnet wird . Der Schwerpunkt eines starren dreieckigen Objekts (aus einer dünnen Platte gleichmäßiger Dichte ausgeschnitten) ist auch sein Massenmittelpunkt : Das Objekt kann in einem gleichmäßigen Gravitationsfeld auf seinem Schwerpunkt ausbalanciert werden. Der Schwerpunkt schneidet jeden Median im Verhältnis 2:1, dh der Abstand zwischen einem Scheitelpunkt und dem Schwerpunkt ist doppelt so groß wie der Abstand zwischen dem Schwerpunkt und dem Mittelpunkt der gegenüberliegenden Seite.

Der Neun-Punkte-Kreis zeigt eine Symmetrie, bei der sechs Punkte am Rand des Dreiecks liegen.

Die Mittelpunkte der drei Seiten und die Füße der drei Höhen liegen alle auf einem einzigen Kreis, dem Neun-Punkte-Kreis des Dreiecks . Die verbleibenden drei Punkte, nach denen es benannt ist, sind die Mittelpunkte des Höhenanteils zwischen den Scheitelpunkten und dem Orthozentrum . Der Radius des Neun-Punkte-Kreises ist halb so groß wie der des Umkreises. Es berührt den Inkreis (am Feuerbachpunkt ) und die drei Exkreise .

Die Eulersche Linie ist eine gerade Linie durch das Orthozentrum (blau), das Zentrum des Neun-Punkte-Kreises (rot), den Schwerpunkt (orange) und den Umkreismittelpunkt (grün)

Orthozentrum (blauer Punkt), Mittelpunkt des Neun-Punkte-Kreises (rot), Schwerpunkt (orange) und Umkreismittelpunkt (grün) liegen alle auf einer einzigen Linie, der sogenannten Eulerschen Linie (rote Linie). Der Mittelpunkt des Neun-Punkte-Kreises liegt in der Mitte zwischen dem Orthozentrum und dem Umkreismittelpunkt, und der Abstand zwischen dem Schwerpunkt und dem Umkreismittelpunkt ist halb so groß wie zwischen dem Schwerpunkt und dem Orthozentrum.

Das Zentrum des Inkreises liegt im Allgemeinen nicht auf der Eulerschen Linie.

Spiegelt man einen Median in der Winkelhalbierenden, der durch denselben Scheitel geht, erhält man einen Symmedian . Die drei Symmediane schneiden sich in einem einzigen Punkt, dem Symmedianpunkt des Dreiecks.

Berechnen der Seiten und Winkel

Es gibt verschiedene Standardmethoden, um die Länge einer Seite oder das Maß eines Winkels zu berechnen. Bestimmte Methoden eignen sich zur Berechnung von Werten in einem rechtwinkligen Dreieck; In anderen Situationen können komplexere Methoden erforderlich sein.

Trigonometrische Verhältnisse in rechtwinkligen Dreiecken

Ein rechtwinkliges Dreieck enthält immer einen Winkel von 90° (π/2 Radiant), hier mit der Bezeichnung C. Die Winkel A und B können variieren. Trigonometrische Funktionen spezifizieren die Beziehungen zwischen Seitenlängen und Innenwinkeln eines rechtwinkligen Dreiecks.

In rechtwinkligen Dreiecken können die trigonometrischen Verhältnisse von Sinus, Cosinus und Tangens verwendet werden, um unbekannte Winkel und die Längen unbekannter Seiten zu finden. Die Seiten des Dreiecks sind wie folgt bekannt:

  • Die Hypotenuse ist die dem rechten Winkel gegenüberliegende Seite oder definiert als die längste Seite eines rechtwinkligen Dreiecks, in diesem Fall h .
  • Die gegenüberliegende Seite ist die Seite gegenüber dem Winkel, der uns interessiert, in diesem Fall a .
  • Die angrenzende Seite ist die Seite, die den Winkel berührt, der uns interessiert, und der rechte Winkel, daher der Name. In diesem Fall ist die angrenzende Seite b .

Sinus, Cosinus und Tangens

Der Sinus eines Winkels ist das Verhältnis der Länge der Gegenseite zur Länge der Hypotenuse. In unserem Fall

Dieses Verhältnis hängt nicht von dem ausgewählten rechtwinkligen Dreieck ab, solange es den Winkel A enthält , da alle diese Dreiecke ähnlich sind .

Der Kosinus eines Winkels ist das Verhältnis der Länge der angrenzenden Seite zur Länge der Hypotenuse. In unserem Fall

Die Tangente eines Winkels ist das Verhältnis der Länge der Gegenseite zur Länge der angrenzenden Seite. In unserem Fall

Das Akronym " SOH-CAH-TOA " ist ein nützliches Merkzeichen für diese Verhältnisse.

Umkehrfunktionen

Die inversen trigonometrischen Funktionen können verwendet werden, um die Innenwinkel für ein rechtwinkliges Dreieck mit der Länge von zwei beliebigen Seiten zu berechnen.

Arcsin kann verwendet werden, um einen Winkel aus der Länge der gegenüberliegenden Seite und der Länge der Hypotenuse zu berechnen.

Arccos kann verwendet werden, um einen Winkel aus der Länge der angrenzenden Seite und der Länge der Hypotenuse zu berechnen.

Arctan kann verwendet werden, um einen Winkel aus der Länge der Gegenseite und der Länge der angrenzenden Seite zu berechnen.

In Einführungskursen in Geometrie und Trigonometrie wird oft die Notation sin −1 , cos −1 usw. anstelle von arcsin, arccos usw. verwendet. Die Schreibweise arcsin, arccos usw. ist jedoch in der höheren Mathematik Standard, wo trigonometrisch Funktionen werden häufig potenziert, da dies eine Verwechslung zwischen multiplikativer Inverse und kompositorischer Inverse vermeidet .

Sinus-, Kosinus- und Tangensregeln

Ein Dreieck mit den Seitenlängen a, b und c und den Winkeln α, β bzw. γ.

Das Sinusgesetz oder die Sinusregel besagt, dass das Verhältnis der Länge einer Seite zum Sinus ihres entsprechenden Gegenwinkels konstant ist, d.h

Dieses Verhältnis ist gleich dem Durchmesser des umschriebenen Kreises des gegebenen Dreiecks. Eine andere Interpretation dieses Satzes ist, dass jedes Dreieck mit den Winkeln α, β und γ einem Dreieck mit Seitenlängen gleich sin α, sin β und sin ähnelt. Dieses Dreieck kann konstruiert werden, indem man zuerst einen Kreis mit dem Durchmesser 1 konstruiert und darin zwei der Winkel des Dreiecks einschreibt. Die Seitenlängen dieses Dreiecks sind sin α, sin β und sin . Die Seite, deren Länge sin α ist, ist dem Winkel entgegengesetzt, dessen Maß α ist usw.

Das Kosinusgesetz oder die Kosinusregel verbindet die Länge einer unbekannten Seite eines Dreiecks mit der Länge der anderen Seiten und dem Winkel gegenüber der unbekannten Seite. Laut Gesetz:

Für ein Dreieck mit der Seitenlänge a , b , c und Winkel α, β, γ jeweils zwei bekannte Längen eines Dreieck gegeben a und b und den Winkel zwischen den beiden bekannten Seiten γ (oder dem Winkel gegenüber dem unbekannten Seite c ), um die dritte Seite c zu berechnen , kann die folgende Formel verwendet werden:

Wenn die Längen aller drei Seiten eines Dreiecks bekannt sind, können die drei Winkel berechnet werden:

Das Tangentengesetz oder die Tangentenregel kann verwendet werden, um eine Seite oder einen Winkel zu finden, wenn zwei Seiten und ein Winkel oder zwei Winkel und eine Seite bekannt sind. Es sagt, dass:

Lösung von Dreiecken

"Lösung von Dreiecken" ist das trigonometrische Hauptproblem: fehlende Merkmale eines Dreiecks (drei Winkel, die Längen der drei Seiten usw.) zu finden, wenn mindestens drei dieser Merkmale gegeben sind. Das Dreieck kann auf einer Ebene oder auf einer Kugel liegen . Dieses Problem tritt häufig bei verschiedenen trigonometrischen Anwendungen auf, wie z. B. Geodäsie , Astronomie , Bauwesen , Navigation usw.

Berechnen der Fläche eines Dreiecks

Die Fläche eines Dreiecks lässt sich beispielsweise anhand der Kongruenz von Dreiecken als die Hälfte der Fläche eines Parallelogramms gleicher Basislänge und -höhe nachweisen.
Eine grafische Herleitung der Formel , die das übliche Verfahren vermeidet, die Fläche des Dreiecks zu verdoppeln und dann zu halbieren.

Die Berechnung der Fläche T eines Dreiecks ist ein elementares Problem, das in vielen verschiedenen Situationen häufig anzutreffen ist. Die bekannteste und einfachste Formel lautet:

wobei b die Länge der Basis des Dreiecks und h die Höhe oder Höhe des Dreiecks ist. Der Begriff "Basis" bezeichnet eine beliebige Seite und "Höhe" bezeichnet die Länge einer Senkrechten vom Scheitel gegenüber der Basis auf die Linie, die die Basis enthält. 499 n. Chr. verwendete Aryabhata diese illustrierte Methode in der Aryabhatiya (Abschnitt 2.6).

Obwohl einfach, ist diese Formel nur nützlich, wenn die Höhe leicht gefunden werden kann, was nicht immer der Fall ist. Zum Beispiel könnte es dem Vermesser eines dreieckigen Feldes relativ leicht fallen, die Länge jeder Seite zu messen, aber relativ schwierig, eine „Höhe“ zu konstruieren. Je nach Kenntnisstand über das Dreieck können in der Praxis verschiedene Methoden angewendet werden. Im Folgenden finden Sie eine Auswahl häufig verwendeter Formeln für die Fläche eines Dreiecks.

Trigonometrie verwenden

Anwenden von Trigonometrie, um die Höhe h zu finden .

Die Höhe eines Dreiecks kann durch Anwendung der Trigonometrie bestimmt werden .

SAS kennen : Mit den Beschriftungen im Bild rechts ist die Höhe h = a sin . Setzt man dies in die oben abgeleitete Formel ein , kann die Fläche des Dreiecks wie folgt ausgedrückt werden:

(wobei α ist der Innenwinkel bei A , β ist der Innenwinkel bei B , ist der Innenwinkel bei C und c ist die Linie AB ).

Da sin α = sin ( π − α) = sin (β + ) ist und analog für die anderen beiden Winkel gilt:

AAS kennen :

und analog, wenn die bekannte Seite a oder c ist .

ASA kennen :

und analog, wenn die bekannte Seite b oder c ist .

Mit der Formel von Heron

Die Form des Dreiecks wird durch die Seitenlängen bestimmt. Daher kann die Fläche auch aus den Längen der Seiten abgeleitet werden. Nach der Formel von Heron :

wo ist der Halbumfang oder die Hälfte des Umfangs des Dreiecks.

Drei andere äquivalente Arten, die Formel von Heron zu schreiben, sind

Verwenden von Vektoren

Die Fläche eines in einen dreidimensionalen euklidischen Raum eingebetteten Parallelogramms kann mit Hilfe von Vektoren berechnet werden . Lassen Sie die Vektoren AB und AC von A nach B bzw. von A nach C zeigen . Die Fläche des Parallelogramms ABDC ist dann

das ist der Betrag des Kreuzprodukts der Vektoren AB und AC . Die Fläche des Dreiecks ABC ist die Hälfte davon,

Die Fläche des Dreiecks ABC kann auch wie folgt in Punktprodukten ausgedrückt werden:

Im zweidimensionalen euklidischen Raum, der den Vektor AB als freien Vektor im kartesischen Raum gleich ( x 1 , y 1 ) und AC als ( x 2 , y 2 ) ausdrückt , kann dies umgeschrieben werden als:

Koordinaten verwenden

Befindet sich die Ecke A im Ursprung (0, 0) eines kartesischen Koordinatensystems und die Koordinaten der anderen beiden Ecken sind gegeben durch B = ( x B , y B ) und C = ( x C , y C ) , dann die Fläche kann als 12 mal der Absolutwert der Determinante berechnet werden

Für drei allgemeine Eckpunkte lautet die Gleichung:

was geschrieben werden kann als

Wenn die Punkte sequentiell gegen den Uhrzeigersinn beschriftet werden, sind die obigen Determinantenausdrücke positiv und die Absolutwertzeichen können weggelassen werden. Die obige Formel ist als Schnürsenkelformel oder Vermessungsformel bekannt.

Wenn wir die Knoten in der komplexen Ebene lokalisieren und sie gegen den Uhrzeigersinn als a = x A + y A i , b = x B + y B i und c = x C + y C i bezeichnen und ihre komplex Konjugierten als , , und , dann die Formel

entspricht der Schnürsenkelformel.

In drei Dimensionen ist die Fläche eines allgemeinen Dreiecks A = ( x A , y A , z A ) , B = ( x B , y B , z B ) und C = ( x C , y C , z C ) der Pythagoräische Summe der Flächen der jeweiligen Projektionen auf den drei Hauptebenen (dh x = 0, y = 0 und z = 0):

Verwenden von Linienintegralen

Die Fläche innerhalb einer geschlossenen Kurve, beispielsweise eines Dreiecks, ist durch das Linienintegral um die Kurve des algebraischen oder vorzeichenbehafteten Abstands eines Punktes auf der Kurve von einer beliebig orientierten Geraden L gegeben . Punkte rechts von L als orientiert werden als negativer Abstand von L angenommen , während das Gewicht für das Integral als Komponente der Bogenlänge parallel zu L und nicht als Bogenlänge selbst angenommen wird.

Dieses Verfahren ist gut geeignet, um die Fläche eines beliebigen Polygons zu berechnen . Nimmt man L als x- Achse, so ergibt sich das Linienintegral zwischen aufeinanderfolgenden Scheitelpunkten ( x i , y i ) und ( x i +1 , y i +1 ) aus der Basis mal der mittleren Höhe, nämlich ( x i +1x i )( y i + y i +1 )/2 . Das Vorzeichen des Bereichs ist ein allgemeiner Indikator für die Durchquerungsrichtung, wobei der negative Bereich eine Durchquerung gegen den Uhrzeigersinn anzeigt. Die Fläche eines Dreiecks fällt dann wie bei einem Polygon mit drei Seiten aus.

Während das Linienintegralverfahren mit anderen koordinatenbasierten Verfahren die willkürliche Wahl eines Koordinatensystems gemeinsam hat, trifft es im Gegensatz zu den anderen keine beliebige Wahl des Eckpunktes des Dreiecks als Ursprung oder der Seite als Basis. Darüber hinaus verpflichtet die Wahl des durch L definierten Koordinatensystems nur zu zwei Freiheitsgraden anstelle der üblichen drei, da das Gewicht ein lokaler Abstand ist (zB x i +1x i oben), weshalb das Verfahren keine Auswahl erfordert eine Achse senkrecht zu L .

Beim Arbeiten in Polarkoordinaten ist es nicht erforderlich, in kartesische Koordinaten umzuwandeln, um die Linienintegration zu verwenden, da das Linienintegral zwischen aufeinanderfolgenden Eckpunkten ( r ii ) und ( r i +1i +1 ) eines Polygons gegeben ist direkt durch r i r i +1 sin(θ i +1 − θ i )/2 . Dies gilt für alle Werte von θ, mit einer gewissen Abnahme der numerischen Genauigkeit, wenn |θ| ist um viele Größenordnungen größer als . Bei dieser Formulierung zeigt ein negativer Bereich eine Durchquerung im Uhrzeigersinn an, was beim Mischen von polaren und kartesischen Koordinaten beachtet werden sollte. So wie die Wahl der y- Achse ( x = 0 ) für die Linienintegration in kartesischen Koordinaten unerheblich ist, so ist auch die Wahl des Nullkurses ( θ = 0 ) hier unerheblich.

Formeln, die der Formel von Heron ähneln

Drei Formeln haben die gleiche Struktur wie die Heron-Formel, werden jedoch durch unterschiedliche Variablen ausgedrückt. Zunächst bezeichnen wir die Mediane der Seiten a , b und c jeweils als m a , m b und m c und ihre Halbsumme ( m a + m b + m c )/2 als , wir haben

Als nächstes bezeichnen wir die Höhen von den Seiten a , b bzw. c als h a , h b und h c und bezeichnen die Halbsumme der Kehrwerte der Höhen wie wir haben

Und wenn wir die Halbsumme der Winkelsine als S = [(sin α) + (sin β) + (sin γ)]/2 bezeichnen , gilt

wobei D der Durchmesser des Umkreises ist:

Verwendung des Satzes von Pick

Siehe den Satz von Pick für eine Technik zum Bestimmen der Fläche eines beliebigen Gitterpolygons (eines, das auf einem Gitter mit vertikal und horizontal benachbarten Gitterpunkten in gleichen Abständen und mit Scheitelpunkten auf Gitterpunkten gezeichnet ist).

Der Satz besagt:

wobei die Anzahl der inneren Gitterpunkte und B die Anzahl der Gitterpunkte ist, die auf der Polygongrenze liegen.

Andere Flächenformeln

Es existieren zahlreiche weitere Flächenformeln, wie z

wobei r der Innenradius und s der Halbumfang ist (tatsächlich gilt diese Formel für alle Tangentialpolygone ), und

wo sind die Radien der Exkreise tangential zu den Seiten a, b bzw. c .

Wir haben auch

und

für Umfang D ; und

für Winkel α ≠ 90°.

Die Fläche kann auch ausgedrückt werden als

Im Jahr 1885 gab Baker eine Sammlung von über hundert verschiedenen Flächenformeln für das Dreieck. Diese beinhalten:

für Umkreisradius (Radius des Umkreises) R , und

Obergrenze für das Gebiet

Die Fläche T eines Dreiecks mit Umfang p erfüllt

mit Gleichheit gilt genau dann, wenn das Dreieck gleichseitig ist.

Andere obere Schranken für die Fläche T sind gegeben durch

und

beide halten wiederum genau dann, wenn das Dreieck gleichseitig ist.

Halbieren des Bereichs

Es gibt unendlich viele Linien, die die Fläche eines Dreiecks halbieren . Drei davon sind die Mediane, die die einzigen Flächenhalbierenden sind, die durch den Schwerpunkt gehen. Drei weitere Flächenhalbierende sind parallel zu den Seiten des Dreiecks.

Jede Linie durch ein Dreieck, die sowohl die Fläche des Dreiecks als auch seinen Umfang in zwei Hälften teilt, geht durch den Mittelpunkt des Dreiecks. Es kann ein, zwei oder drei davon für jedes gegebene Dreieck geben.

Weitere Formeln für allgemeine euklidische Dreiecke

Die Formeln in diesem Abschnitt gelten für alle euklidischen Dreiecke.

Mediane, Winkelhalbierende, senkrechte Seitenhalbierende und Höhen

Die Mediane und die Seiten sind verbunden durch

und

,

und äquivalent für m b und m c .

Für Winkel A gegenüberliegende Seite a ist die Länge der inneren Winkelhalbierenden gegeben durch

für Semiperimeter s , wobei die Winkelhalbierende vom Scheitelpunkt bis zur gegenüberliegenden Seite gemessen wird.

Die inneren Mittelsenkrechten sind gegeben durch

wo die Seiten sind und die Fläche ist

Die Höhe von beispielsweise der Seite der Länge a ist

Umkreisradius und Innenradius

Die folgenden Formeln beinhalten den Umkreisradius R und den Innenradius r :

wobei h a usw. die Höhen zu den tiefgestellten Seiten sind;

und

.

Das Produkt zweier Seiten eines Dreiecks ist gleich der Höhe zur dritten Seite mal dem Durchmesser D des Umkreises:

Angrenzende Dreiecke

Angenommen, zwei benachbarte, aber nicht überlappende Dreiecke haben dieselbe Seite der Länge f und denselben Umkreis, so dass die Seite der Länge f eine Sehne des Umkreises ist und die Dreiecke die Seitenlängen ( a , b , f ) und ( c , d , f ), wobei die beiden Dreiecke zusammen ein zyklisches Viereck mit aufeinander folgenden Seitenlängen ( a , b , c , d ) bilden. Dann

Schwerpunkt

Sei G der Schwerpunkt eines Dreiecks mit den Ecken A , B und C und sei P ein beliebiger innerer Punkt. Dann hängen die Abstände zwischen den Punkten zusammen durch

Die Summe der Quadrate der Seiten des Dreiecks entspricht dem Dreifachen der Summe der quadrierten Abstände des Schwerpunkts von den Eckpunkten:

Seien q a , q b und q c die Abstände vom Schwerpunkt zu den Seiten der Längen a , b und c . Dann

und

für Bereich T .

Circumcenter, Incenter und Orthocenter

Der Satz von Carnot besagt, dass die Summe der Abstände vom Umkreismittelpunkt zu den drei Seiten gleich der Summe des Umkreisradius und des Innenradius ist. Hier wird die Länge eines Segments genau dann als negativ angesehen, wenn das Segment vollständig außerhalb des Dreiecks liegt. Diese Methode ist besonders nützlich, um die Eigenschaften abstrakterer Formen von Dreiecken abzuleiten, wie sie von Lie-Algebren induziert werden , die ansonsten die gleichen Eigenschaften wie gewöhnliche Dreiecke haben.

Der Satz von Euler besagt, dass der Abstand d zwischen dem Umkreismittelpunkt und dem Innenmittelpunkt gegeben ist durch

oder gleichwertig

wobei R der Umkreisradius und r der Innenradius ist. Also für alle Dreiecke R ≥ 2 r , mit Gleichheit für gleichseitige Dreiecke.

Wenn wir angeben, dass das Orthozentrum eine Höhe in Segmente der Längen u und v , eine andere Höhe in Segmentlängen w und x und die dritte Höhe in Segmentlängen y und z teilt , dann gilt uv = wx = yz .

Der Abstand von einer Seite zum Umkreismittelpunkt entspricht der Hälfte des Abstands vom gegenüberliegenden Scheitelpunkt zum Orthozentrum.

Die Summe der Quadrate der Abstände der Scheitelpunkte zum Orthozentrum H plus der Summe der Quadrate der Seiten beträgt das Zwölffache des Quadrats des Umkreisradius:

Winkel

Zusätzlich zum Sinusgesetz , dem Kosinusgesetz , dem Tangentengesetz und den zuvor angegebenen trigonometrischen Existenzbedingungen für jedes Dreieck

Der Dreisektorensatz von Morley

Das Morley-Dreieck, das sich aus der Dreiteilung jedes Innenwinkels ergibt. Dies ist ein Beispiel für eine endliche Unterteilungsregel .

Der Dreisektorensatz von Morley besagt, dass in jedem Dreieck die drei Schnittpunkte der benachbarten Winkeldreisektoren ein gleichseitiges Dreieck bilden, das Morley-Dreieck genannt wird.

In ein Dreieck eingeschriebene Figuren

Kegelschnitte

Wie oben besprochen, hat jedes Dreieck einen einzigartigen eingeschriebenen Kreis (Incircle), der sich im Inneren des Dreiecks befindet und alle drei Seiten tangiert.

Jedes Dreieck hat eine einzigartige Steiner-Inellipse, die sich im Inneren des Dreiecks befindet und an den Mittelpunkten der Seiten tangiert. Der Satz von Marden zeigt, wie man die Brennpunkte dieser Ellipse findet . Diese Ellipse hat die größte Fläche aller Ellipsen, die alle drei Seiten des Dreiecks tangieren.

Die Mandart-Inellipse eines Dreiecks ist die Ellipse, die innerhalb des Dreiecks tangential zu seinen Seiten an den Kontaktpunkten seiner Exkreise eingeschrieben ist.

Für jede Ellipse in einem Dreieck eingeschrieben ABC , lassen Sie die Brennpunkte sein P und Q . Dann

Konvexes Polygon

Jedes konvexe Polygon mit der Fläche T kann in ein Dreieck mit einer Fläche von höchstens 2 T eingeschrieben werden . Gleichheit gilt (ausschließlich) für ein Parallelogramm .

Hexagon

Das Lemoine-Sechseck ist ein zyklisches Sechseck mit Scheitelpunkten, die durch die sechs Schnittpunkte der Seiten eines Dreiecks mit den drei parallel zu den Seiten verlaufenden Linien, die durch seinen Symmedianpunkt verlaufen, gegeben sind . Entweder in seiner einfachen Form oder in seiner sich selbst schneidenden Form liegt das Lemoine-Sechseck im Inneren des Dreiecks mit zwei Scheitelpunkten auf jeder Seite des Dreiecks.

Quadrate

Jedes spitze Dreieck hat drei eingeschriebene Quadrate (Quadrate in seinem Inneren, so dass alle vier Eckpunkte eines Quadrats auf einer Seite des Dreiecks liegen, also zwei von ihnen auf derselben Seite liegen und daher eine Seite des Quadrats mit einem Teil einer Seite zusammenfällt des Dreiecks). In einem rechtwinkligen Dreieck fallen zwei der Quadrate zusammen und haben einen Scheitelpunkt im rechten Winkel des Dreiecks, so dass ein rechtwinkliges Dreieck nur zwei verschiedene eingeschriebene Quadrate hat. Ein stumpfes Dreieck hat nur ein eingeschriebenes Quadrat, wobei eine Seite mit einem Teil der längsten Seite des Dreiecks zusammenfällt. Innerhalb eines gegebenen Dreiecks ist eine längere gemeinsame Seite mit einem kleineren eingeschriebenen Quadrat verbunden. Wenn ein eingeschriebenes Quadrat eine Seite der Länge q a hat und das Dreieck eine Seite der Länge a hat , von der ein Teil mit einer Seite des Quadrats zusammenfällt, dann q a , a , die Höhe h a von der Seite a und die des Dreiecks Bereich T sind verwandt nach

Das größtmögliche Verhältnis der Fläche des einbeschriebenen Quadrats zur Fläche des Dreiecks ist 1/2, was auftritt, wenn a 2 = 2 T , q = a /2 und die Höhe des Dreiecks von der Basis der Länge a ist gleich a . Das kleinstmögliche Verhältnis der Seite eines einbeschriebenen Quadrats zur Seite eines anderen im gleichen nicht stumpfen Dreieck ist. Diese beiden Extremfälle treten für das gleichschenklige rechtwinklige Dreieck auf.

Dreiecke

Von einem inneren Punkt in einem Referenzdreieck aus dienen die nächsten Punkte auf den drei Seiten als Eckpunkte des Pedaldreiecks dieses Punktes. Wenn der innere Punkt der Umkreismittelpunkt des Bezugsdreiecks ist, sind die Scheitelpunkte des Pedaldreiecks die Mittelpunkte der Seiten des Bezugsdreiecks, und daher wird das Pedaldreieck Mittelpunktdreieck oder Mitteldreieck genannt. Das Mittelpunktdreieck unterteilt das Bezugsdreieck in vier kongruente Dreiecke, die dem Bezugsdreieck ähnlich sind.

Das Gergonne-Dreieck oder Berührungsdreieck eines Referenzdreiecks hat seine Eckpunkte an den drei Tangentialpunkten der Seiten des Referenzdreiecks mit seinem Inkreis. Das Extouchdreieck eines Referenzdreiecks hat seine Eckpunkte an den Tangentenpunkten der Exkreise des Referenzdreiecks mit seinen Seiten (nicht verlängert).

Figuren umschrieben um ein Dreieck

Das Tangentialdreieck eines Referenzdreiecks (anders als ein rechtwinkliges Dreieck) ist das Dreieck, dessen Seiten auf den Tangentiallinien zum Umkreis des Referenzdreiecks an seinen Scheitelpunkten liegen.

Wie oben erwähnt, hat jedes Dreieck einen einzigartigen Umkreis, einen Kreis, der durch alle drei Ecken geht, dessen Mittelpunkt der Schnittpunkt der senkrechten Winkelhalbierenden der Seiten des Dreiecks ist.

Außerdem hat jedes Dreieck eine einzigartige Steiner-Zirkelellipse , die durch die Eckpunkte des Dreiecks verläuft und ihren Mittelpunkt im Schwerpunkt des Dreiecks hat. Von allen Ellipsen, die durch die Eckpunkte des Dreiecks gehen, hat es die kleinste Fläche.

Die Kiepert-Hyperbel ist der einzigartige Kegelschnitt, der durch die drei Eckpunkte des Dreiecks, seinen Schwerpunkt und seinen Umkreismittelpunkt verläuft.

Von allen Dreiecken, die in einem gegebenen konvexen Polygon enthalten sind, existiert ein Dreieck mit maximaler Fläche, dessen Ecken alle Ecken des gegebenen Polygons sind.

Angeben der Position eines Punkts in einem Dreieck

Eine Möglichkeit, Punkte in (oder außerhalb) eines Dreiecks zu identifizieren, besteht darin, das Dreieck an einer beliebigen Position und Ausrichtung in der kartesischen Ebene zu platzieren und kartesische Koordinaten zu verwenden. Obwohl dieser Ansatz für viele Zwecke geeignet ist, hat er den Nachteil, dass die Koordinatenwerte aller Punkte von der willkürlichen Platzierung in der Ebene abhängen.

Zwei Systeme vermeiden dieses Merkmal, so dass die Koordinaten eines Punktes nicht beeinflusst werden, indem das Dreieck bewegt, gedreht oder wie in einem Spiegel reflektiert wird, die alle ein kongruentes Dreieck ergeben, oder sogar durch Neuskalierung, um ein ähnliches Dreieck zu erhalten :

  • Trilineare Koordinaten geben die relativen Abstände eines Punktes von den Seiten an, so dass Koordinaten angeben, dass das Verhältnis des Abstands des Punktes von der ersten Seite zu seinem Abstand von der zweiten Seite ist usw.
  • Baryzentrische Koordinaten der Form geben die Position des Punktes durch die relativen Gewichte an, die auf die drei Eckpunkte gelegt werden müssten, um das ansonsten schwerelose Dreieck auf dem gegebenen Punkt auszugleichen.

Nicht-ebene Dreiecke

Ein nicht-planares Dreieck ist ein Dreieck, das nicht in einer (ebenen) Ebene enthalten ist. Einige Beispiele für nicht-planare Dreiecke in nicht-euklidischen Geometrien sind sphärische Dreiecke in sphärischer Geometrie und hyperbolische Dreiecke in hyperbolischer Geometrie .

Während sich die Innenwinkelmaße in ebenen Dreiecken immer auf 180° summieren, hat ein hyperbolisches Dreieck Winkelmaße, die sich auf weniger als 180° summieren, und ein sphärisches Dreieck hat Winkelmaße, die sich auf mehr als 180° summieren. Ein hyperbolisches Dreieck kann durch Zeichnen auf einer negativ gekrümmten Oberfläche, wie beispielsweise einer Sattelfläche, erhalten werden , und ein sphärisches Dreieck kann durch Zeichnen auf einer positiv gekrümmten Oberfläche, wie beispielsweise einer Kugel, erhalten werden . Wenn man also ein riesiges Dreieck auf die Erdoberfläche zeichnet, wird man feststellen, dass die Summe seiner Winkelmaße größer als 180° ist; tatsächlich wird es zwischen 180° und 540° liegen. Insbesondere ist es möglich, ein Dreieck auf einer Kugel so zu zeichnen, dass das Maß jedes ihrer Innenwinkel gleich 90° ist, was insgesamt 270° ergibt.

Konkret ist auf einer Kugel die Summe der Winkel eines Dreiecks

180° × (1 + 4 f ),

wobei f der Anteil der Kugelfläche ist, der vom Dreieck eingeschlossen wird. Angenommen, wir zeichnen ein Dreieck auf der Erdoberfläche mit Scheitelpunkten am Nordpol, an einem Punkt auf dem Äquator bei 0° Länge und einem Punkt auf dem Äquator bei 90° westlicher Länge . Die Großkreislinie zwischen den beiden letztgenannten Punkten ist der Äquator, und die Großkreislinie zwischen diesen beiden Punkten und dem Nordpol ist eine Längengradlinie; also gibt es rechte Winkel an den beiden Punkten auf dem Äquator. Darüber hinaus beträgt der Winkel am Nordpol ebenfalls 90°, da sich die anderen beiden Eckpunkte um 90° der Länge unterscheiden. Die Summe der Winkel in diesem Dreieck ist also 90° + 90° + 90° = 270° . Das Dreieck umschließt 1/4 der Nordhalbkugel (90°/360° vom Nordpol aus gesehen) und damit 1/8 der Erdoberfläche, also in der Formel f = 1/8 ; daher gibt die Formel die Summe der Winkel des Dreiecks korrekt als 270° an.

Aus der obigen Winkelsummenformel können wir auch sehen, dass die Erdoberfläche lokal eben ist: Wenn wir in der Nähe eines Punktes auf der Erdoberfläche ein beliebig kleines Dreieck zeichnen , wird der vom Dreieck eingeschlossene Bruchteil f der Erdoberfläche beliebig nahe Null sein. In diesem Fall vereinfacht sich die Winkelsummenformel auf 180°, was uns die euklidische Geometrie für Dreiecke auf einer ebenen Fläche sagt.

Dreiecke im Bau

Das Flatiron Building in New York hat die Form eines dreieckigen Prismas

Rechtecke sind die beliebteste und gebräuchlichste geometrische Form für Gebäude, da die Form leicht zu stapeln und zu organisieren ist; Standardmäßig ist es einfach, Möbel und Einrichtungsgegenstände so zu gestalten, dass sie in rechteckige Gebäude passen. Aber Dreiecke sind zwar konzeptionell schwieriger zu verwenden, bieten jedoch eine große Stärke. Da die Computertechnologie Architekten beim Entwurf kreativer Neubauten unterstützt, werden dreieckige Formen immer häufiger als Gebäudeteile und als Hauptform für einige Arten von Wolkenkratzern sowie Baumaterialien verwendet. In Tokio hatten sich Architekten 1989 gefragt, ob es möglich sei, einen 500-stöckigen Turm zu bauen, um bezahlbare Büroflächen für diese dicht besiedelte Stadt zu schaffen, aber angesichts der Gefahr für Gebäude durch Erdbeben hielten die Architekten eine dreieckige Form für notwendig, wenn dies so ist ein Gebäude gebaut werden sollte.

In New York City , da der Broadway große Alleen kreuzt, werden die resultierenden Blöcke wie Dreiecke geschnitten, und Gebäude wurden auf diesen Formen gebaut; Ein solches Gebäude ist das dreieckig geformte Flatiron Building, von dem Immobilienleute zugeben, dass es ein "Warmhaus von unangenehmen Räumen hat, in denen moderne Büromöbel nicht leicht Platz finden", aber das hat das Gebäude nicht daran gehindert, zu einer Wahrzeichen-Ikone zu werden. Designer haben in Norwegen Häuser mit dreieckigen Themen gebaut. Dreiecksformen sind sowohl in Kirchen als auch in öffentlichen Gebäuden einschließlich Hochschulen sowie als Träger für innovative Wohndesigns aufgetaucht.

Dreiecke sind robust; Während ein Rechteck durch Druck auf einen seiner Punkte zu einem Parallelogramm zusammenfallen kann , haben Dreiecke eine natürliche Stärke, die Strukturen gegen seitlichen Druck stützt. Ein Dreieck ändert seine Form nicht, es sei denn, seine Seiten werden gebogen oder verlängert oder gebrochen oder wenn seine Gelenke brechen; im Wesentlichen unterstützt jede der drei Seiten die anderen beiden. Ein Rechteck hingegen ist im strukturellen Sinne stärker von der Festigkeit seiner Fugen abhängig. Einige innovative Designer haben vorgeschlagen, Ziegelsteine ​​nicht aus Rechtecken zu machen, sondern mit dreieckigen Formen, die in drei Dimensionen kombiniert werden können. Es ist wahrscheinlich, dass Dreiecke mit zunehmender Komplexität der Architektur zunehmend auf neue Weise verwendet werden. Es ist wichtig, sich daran zu erinnern, dass Dreiecke in Bezug auf die Steifigkeit stark sind, aber während Dreiecke in einer tessellierenden Anordnung gepackt sind, sind sie unter Druck nicht so stark wie Sechsecke (daher die Prävalenz von hexagonalen Formen in der Natur ). Tessellierte Dreiecke behalten jedoch immer noch eine überlegene Festigkeit für das Auskragen , und dies ist die Grundlage für eine der stärksten von Menschenhand geschaffenen Strukturen, das Tetraeder-Fachwerk .

Siehe auch

Anmerkungen

Verweise

Externe Links