Dreieckszahl - Triangular number

Die ersten sechs Dreieckszahlen

Eine Dreieckszahl oder Dreieckszahl zählt Objekte, die in einem gleichseitigen Dreieck angeordnet sind . Dreieckszahlen sind eine Art figurativer Zahl , andere Beispiele sind Quadratzahlen und Würfelzahlen . Die n- te Dreieckszahl ist die Anzahl der Punkte in der Dreiecksanordnung mit n Punkten auf einer Seite und ist gleich der Summe der n natürlichen Zahlen von 1 bis n . Die Folge der Dreieckszahlen, beginnend mit der 0. Dreieckszahl , ist

0, 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, 66, 78, 91, 105, 120, 136, 153, 171, 190, 210, 231, 253, 276, 300, 325, 351, 378, 406, 435, 465, 496, 528, 561, 595, 630, 666...

(Diese Sequenz ist in der Online -Enzyklopädie der Integer-Sequenzen enthalten (Sequenz A000217 im OEIS )).

Formel

Ableitung von Dreieckszahlen aus einem linksbündigen Pascal-Dreieck

Die Dreieckszahlen sind durch die folgenden expliziten Formeln gegeben:

wobei ein Binomialkoeffizient ist . Es stellt die Anzahl der verschiedenen Paare dar, die aus n + 1 Objekten ausgewählt werden können, und wird laut als " n plus eins wählen zwei" gelesen .

Die erste Gleichung kann mit einem visuellen Beweis veranschaulicht werden . Stellen Sie sich für jede Dreieckszahl eine "halbe Quadrat"-Anordnung von Objekten vor, die der Dreieckszahl entspricht, wie in der folgenden Abbildung. Wenn Sie diese Anordnung kopieren und drehen, um eine rechteckige Figur zu erstellen, wird die Anzahl der Objekte verdoppelt, wodurch ein Rechteck mit den Abmessungen erzeugt wird , das auch die Anzahl der Objekte im Rechteck ist. Offensichtlich ist die Dreieckszahl selbst immer genau die Hälfte der Anzahl der Objekte in einer solchen Figur, oder: . Das Beispiel folgt:

(grün plus gelb) impliziert, dass (grün). Illustration der Dreieckszahl T 4, die zu einem Rechteck führt.png    

Die erste Gleichung kann auch durch mathematische Induktion aufgestellt werden : Da gleich eins ist, wird ein Basisfall aufgestellt. Aus der Definition folgt, dass , wenn man also die Induktionshypothese für annimmt , die Addition auf beide Seiten sofort

Mit anderen Worten, da der Satz (d. h. die erste Gleichung oder die Induktionshypothese selbst) wahr ist, wenn , und da wahr zu sein impliziert, dass dies auch wahr ist, dann gilt die erste Gleichung für alle natürlichen Zahlen. Das obige Argument kann leicht geändert werden, um mit Null zu beginnen und diese einzuschließen.

Der deutsche Mathematiker und Naturwissenschaftler Carl Friedrich Gauß soll diese Beziehung in seiner frühen Jugend durch Multiplikation gefunden haben n/2Zahlenpaare in der Summe durch die Werte jedes Paares n + 1 . Ungeachtet der Wahrheit dieser Geschichte war Gauß jedoch nicht der erste, der diese Formel entdeckte, und einige halten es für wahrscheinlich, dass ihr Ursprung auf die Pythagoräer im 5. Jahrhundert v. Chr. zurückgeht. Die beiden Formeln wurden von dem irischen Mönch Dicuil um 816 in seinem Computus beschrieben .

Die Dreieckszahl T n löst das Handshake-Problem des Zählens der Handshakes, wenn jede Person in einem Raum mit n + 1 Personen jeder Person einmal die Hand schüttelt. Mit anderen Worten, die Lösung des Handshake-Problems von n Personen ist T n –1 . Die Funktion T ist das additive Analogon der Fakultätsfunktion , die das Produkt der ganzen Zahlen von 1 bis  n ist .

Die Anzahl der Liniensegmente zwischen den nächsten Punktpaaren im Dreieck kann durch die Anzahl der Punkte oder mit einer Wiederholungsbeziehung dargestellt werden :

Im Grenzfall ist das Verhältnis zwischen den beiden Zahlen, Punkten und Liniensegmenten

Beziehungen zu anderen figürlichen Zahlen

Dreieckszahlen haben eine Vielzahl von Beziehungen zu anderen figuralen Zahlen.

Am einfachsten ist die Summe zweier aufeinanderfolgender Dreieckszahlen eine Quadratzahl, wobei die Summe das Quadrat der Differenz zwischen den beiden ist (und somit die Differenz der beiden die Quadratwurzel der Summe ist). Algebraisch,

Diese Tatsache lässt sich grafisch demonstrieren, indem man die Dreiecke in entgegengesetzte Richtungen positioniert, um ein Quadrat zu bilden:

6 + 10 = 16 Quadratzahl 16 als Summe zweier Dreieckszahlen.svg    
10 + 15 = 25 Quadratzahl 25 als Summe zweier Dreieckszahlen.svg

Es gibt unendlich viele Dreieckszahlen, die auch Quadratzahlen sind; zB 1, 36, 1225. Einige von ihnen können durch eine einfache rekursive Formel erzeugt werden:

mit

Alle quadratischen Dreieckszahlen ergeben sich aus der Rekursion

mit und
Ein Quadrat, dessen Seitenlänge eine Dreieckszahl ist, kann in Quadrate und Halbquadrate unterteilt werden, deren Flächen sich zu Würfeln addieren. Dies zeigt, dass das Quadrat der n- ten Dreieckszahl gleich der Summe der ersten n Würfelzahlen ist.

Außerdem ist das Quadrat der n- ten Dreieckszahl gleich der Summe der Kuben der ganzen Zahlen 1 bis n . Dies kann auch ausgedrückt werden als

Die Summe der ersten n Dreieckszahlen ist die n- te Tetraederzahl :

Allgemeiner

ausgedrückt ist die Differenz zwischen der n- ten m- Eckzahl und der n- ten ( m + 1) -Eckzahl die ( n − 1) -te Dreieckszahl. Zum Beispiel ist die sechste Siebeneckzahl (81) minus die sechste Sechseckzahl (66) gleich der fünften Dreieckszahl 15. Jede andere Dreieckszahl ist eine Sechseckzahl. Wenn man die Dreieckszahlen kennt, kann man jede zentrierte polygonale Zahl berechnen ; die n- te zentrierte k -Eckzahl erhält man durch die Formel

wobei T eine Dreieckszahl ist.

Die positive Differenz zweier Dreieckszahlen ist eine Trapezzahl .

Andere Eigenschaften

Dreieckszahlen entsprechen dem Fall ersten Grades der Faulhaberschen Formel .

Abwechselnde Dreieckszahlen (1, 6, 15, 28, ...) sind auch Sechskantzahlen.

Jede gerade perfekte Zahl ist dreieckig (sowie sechseckig), gegeben durch die Formel

wobei M p eine Mersenne-Primzahl ist . Es sind keine ungeraden vollkommenen Zahlen bekannt; daher sind alle bekannten vollkommenen Zahlen dreieckig.

Zum Beispiel ist die dritte Dreieckszahl (3 × 2 =) 6, die siebte ist (7 × 4 =) 28, die 31. ist (31 × 16 =) 496 und die 127. ist (127 × 64 =) 8128.

In der Basis 10 ist die digitale Wurzel einer von Null verschiedenen Dreieckszahl immer 1, 3, 6 oder 9. Daher ist jede Dreieckszahl entweder durch drei teilbar oder hat einen Rest von 1, wenn sie durch 9 geteilt wird:

0 = 9 × 0

1 = 9 × 0 + 1

3 = 9 × 0 + 3

6 = 9 × 0 + 6

10 = 9 × 1 + 1

15 = 9 × 1 + 6

21 = 9 × 2 + 3

28 = 9 × 3 + 1

36 = 9 × 4

45 = 9 × 5

55 = 9 × 6 + 1

66 = 9 × 7 + 3

78 = 9 × 8 + 6

91 = 9 × 10 + 1

...

Es gibt eine spezifischere Eigenschaft der Dreieckszahlen, die nicht durch 3 teilbar sind; das heißt, sie haben entweder den Rest 1 oder 10, wenn sie durch 27 geteilt werden. Diejenigen, die 10 mod 27 entsprechen, sind auch gleich 10 mod 81.

Das digitale Wurzelmuster für Dreieckszahlen, das sich alle neun Terme wiederholt, wie oben gezeigt, ist "1, 3, 6, 1, 6, 3, 1, 9, 9".

Die Umkehrung der obigen Aussage ist jedoch nicht immer richtig. Zum Beispiel ist die digitale Wurzel von 12, die keine Dreieckszahl ist, 3 und durch drei teilbar.

Wenn x eine Dreieckszahl ist, dann ist ax + b auch eine Dreieckszahl, gegeben a ist ein ungerades Quadrat und b =a − 1/8. Beachten Sie, dass b immer eine Dreieckszahl sein wird, da 8 T n + 1 = (2 n + 1) 2 , was alle ungeraden Quadrate ergibt, durch Multiplizieren einer Dreieckszahl mit 8 und Addieren von 1 aufgedeckt wird und der Prozess für b gegeben ist a ist ein ungerades Quadrat ist die Umkehrung dieser Operation. Die ersten Paare dieser Form (ohne 1 x + 0 ) sind: 9 x + 1 , 25 x + 3 , 49 x + 6 , 81 x + 10 , 121 x + 15 , 169 x + 21 , … usw. Wenn x gleich T n ist , ergeben diese Formeln T 3 n + 1 , T 5 n + 2 , T 7 n + 3 , T 9 n + 4 und so weiter.

Die Summe der Kehrwerte aller von Null verschiedenen Dreieckszahlen ist

Dies lässt sich anhand der Grundsumme einer Teleskopreihe zeigen :

Zwei weitere Formeln zu Dreieckszahlen sind

und
beides kann leicht festgestellt werden, indem man sich Punktmuster ansieht (siehe oben) oder mit einfacher Algebra.

Im Jahr 1796 entdeckte Gauß, dass jede positive ganze Zahl als Summe von drei Dreieckszahlen (möglicherweise einschließlich T 0 = 0) darstellbar ist, und schrieb in sein Tagebuch seine berühmten Worte " ΕΥΡΗΚΑ! num = Δ + Δ + Δ ". Dieser Satz impliziert weder, dass die Dreieckszahlen verschieden sind (wie im Fall von 20 = 10 + 10 + 0), noch dass eine Lösung mit genau drei von Null verschiedenen Dreieckszahlen existieren muss. Dies ist ein Spezialfall des polygonalen Zahlensatzes von

Fermat .

Die größte Dreieckszahl der Form 2 k − 1 ist 4095 (siehe Ramanujan-Nagell-Gleichung ).

Wacław Franciszek Sierpiński stellte die Frage nach der Existenz von vier verschiedenen Dreieckszahlen in geometrischer Folge . Es wurde vom polnischen Mathematiker Kazimierz Szymiczek für unmöglich gehalten und später von Fang und Chen im Jahr 2007 bewiesen.

Formeln, bei denen eine ganze Zahl als Summe von Dreieckszahlen ausgedrückt wird, sind mit Theta-Funktionen , insbesondere der Ramanujan-Theta-Funktion, verbunden .

Anwendungen

Die maximale Stückzahl p , die mit n geraden Schnitten erhältlich ist, ist die n- te Dreieckszahl plus eins, die die faule Caterer-Reihenfolge bildet (OEIS A000124)

Ein vollständig verbundenes Netzwerk von n Computergeräten erfordert das Vorhandensein von T n − 1 Kabeln oder anderen Verbindungen; dies entspricht dem oben erwähnten Handshake-Problem.

In einem Turnierformat, das eine Round-Robin -Gruppenphase verwendet , ist die Anzahl der Spiele, die zwischen n Teams gespielt werden müssen, gleich der Dreieckszahl T n − 1 . Eine Gruppenphase mit 4 Teams erfordert beispielsweise 6 Spiele und eine Gruppenphase mit 8 Teams erfordert 28 Spiele. Dies ist auch gleichbedeutend mit dem Handshake-Problem und vollständig verbundenen Netzwerkproblemen.

Eine Methode zur Berechnung der Abschreibung eines Vermögenswerts ist die Methode der Jahressumme , bei der T n ermittelt wird , wobei n die Länge der Nutzungsdauer des Vermögenswerts in Jahren ist. Jedes Jahr verliert der Artikel ( bs ) ×ny/T nein, wobei b der Anfangswert des Artikels (in Währungseinheiten), s der endgültige Restwert, n die Gesamtzahl der Jahre, in denen der Artikel verwendbar ist, und y das aktuelle Jahr im Abschreibungsplan ist. Bei dieser Methode würde ein Artikel mit einer Nutzungsdauer von n = 4 Jahren verlieren4/10 seines "verlierbaren" Wertes im ersten Jahr, 3/10 in dieser Sekunde, 2/10 im dritten, und 1/10 im vierten, kumuliert eine Gesamtabschreibung von 10/10 (das Ganze) des verlierbaren Wertes.

Dreieckswurzeln und Tests für Dreieckszahlen

In Analogie zur Quadratwurzel von x kann man die (positive) Dreieckswurzel von x als Zahl n definieren, so dass T n = x :

was unmittelbar aus der quadratischen Formel folgt . Eine ganze Zahl x ist also genau dann dreieckig,

wenn 8 x + 1 ein Quadrat ist. Äquivalent ist x die n- te Dreieckszahl , wenn die positive Dreieckswurzel n von x eine ganze Zahl ist.

alternativer Name

Ein alternativer Name, der von Donald Knuth in Analogie zu Fakultäten vorgeschlagen wurde , ist "Termial", mit der Notation n ? für die n- te Dreieckszahl. Obwohl einige andere Quellen diesen Namen und diese Notation verwenden, sind sie jedoch nicht weit verbreitet.

Siehe auch

  • 1 + 2 + 3 + 4 +
  • Doppeldreieckszahl , eine Dreieckszahl, deren Position in der Folge der Dreieckszahlen auch eine Dreieckszahl ist
  • Tetractys , eine Anordnung von zehn Punkten in einem Dreieck, wichtig im Pythagoreismus

Verweise

Externe Links

Durchtrennen quadratisch sind
  • Weisstein, Eric W. "Dreieckszahl" . MathWorld .
  • Hypertetrahedral Polytopic Roots von Rob Hubbard, einschließlich der Verallgemeinerung auf dreieckige Kubikwurzeln , einige höhere Dimensionen und einige Näherungsformeln