Knoten lösen - Unknot

Entknoten
Blue Unknot.png
Gemeinsamen Namen Kreis
Arf invariant 0
Geflecht Nr. 1
Brücke Nr. 0
Kreuzung Nr. 0
Gattung 0
Link Nr. 0
Stick Nr. 3
Tunnel Nr. 0
Entknoten nein. 0
Conway-Notation - -
AB-Notation 0 1
Dowker-Notation - -
Nächster 3 1
Andere
Torus , fibered , prime , slice , vollständig amphichiral
Zwei einfache Diagramme des Knotens

In der mathematischen Theorie der Knoten ist der Unknot oder Trivialknoten der am wenigsten verknotete aller Knoten. Intuitiv ist der Knoten eine geschlossene Seilschlaufe, in die kein Knoten gebunden ist. Für einen Knotentheoretiker ist ein Unknot ein eingebetteter topologischer Kreis in der 3-Kugel , der Umgebungsisotop (dh verformbar) zu einem geometrisch runden Kreis ist , dem Standard-Unknot .

Der Knoten ist der einzige Knoten, der die Grenze einer eingebetteten Scheibe darstellt , was die Charakterisierung ergibt, dass nur Knoten die Seifert-Gattung 0 haben. In ähnlicher Weise ist der Knoten das Identitätselement in Bezug auf die Knotensummenoperation .

Problem beim Entknoten

Hauptartikel: Problem beim Entknoten

Die Entscheidung, ob ein bestimmter Knoten der Knoten ist, war eine wichtige Triebkraft für Knoteninvarianten , da angenommen wurde, dass dieser Ansatz möglicherweise einen effizienten Algorithmus zum Erkennen des Knotens aus einer Darstellung wie einem Knotendiagramm ergibt . Es ist bekannt, dass die Erkennung von Knoten sowohl im NP als auch im Co-NP erfolgt .

Es ist bekannt, dass die Knoten-Floer-Homologie und die Khovanov-Homologie den Knoten erkennen, aber es ist nicht bekannt, dass diese für diesen Zweck effizient berechenbar sind. Es ist nicht bekannt, ob die Jones-Polynom- oder endlichen Invarianten den Unknot erkennen können.

Beispiele

Es kann schwierig sein, einen Weg zu finden, um die Saite zu entwirren, obwohl die Tatsache, dass sie entwirrt begann, beweist, dass die Aufgabe möglich ist. Thistlethwaite und Ochiai lieferten viele Beispiele für Diagramme von Unknoten, die nicht offensichtlich vereinfacht werden können, sodass die Kreuzungszahl des Diagramms vorübergehend erhöht werden muss .

Während das Seil im Allgemeinen nicht die Form einer geschlossenen Schleife hat, gibt es manchmal eine kanonische Möglichkeit, sich vorzustellen, wie die Enden miteinander verbunden werden. Unter diesem Gesichtspunkt sind viele nützliche praktische Knoten tatsächlich die Knoten, einschließlich derer, die in einer Bucht gebunden werden können .

Jeder Knoten kann als Verknüpfung dargestellt werden , bei der es sich um eine Ansammlung starrer Liniensegmente handelt, die an ihren Endpunkten durch Universalgelenke verbunden sind. Die Stick-Nummer ist die minimale Anzahl von Segmenten, die erforderlich sind, um einen Knoten als Verknüpfung darzustellen, und ein feststeckender Knoten ist eine bestimmte nicht verknotete Verknüpfung, die nicht in ein flaches konvexes Polygon umkonfiguriert werden kann. Wie bei der Kreuzungsnummer muss eine Verknüpfung möglicherweise komplexer gestaltet werden, indem ihre Segmente unterteilt werden, bevor sie vereinfacht werden kann.

Invarianten

Das Alexander-Conway-Polynom und das Jones-Polynom des Unknot sind trivial:

Kein anderer Knoten mit 10 oder weniger Kreuzungen hat ein triviales Alexander-Polynom, aber der Kinoshita-Terasaka-Knoten und der Conway-Knoten (beide haben 11 Kreuzungen) haben die gleichen Alexander- und Conway-Polynome wie der Unknot. Es ist ein offenes Problem, ob ein nicht trivialer Knoten das gleiche Jones-Polynom wie der Unknoten hat.

Der Knoten ist der einzige Knoten, dessen Knotengruppe eine unendliche zyklische Gruppe ist , und sein Knotenkomplement ist homöomorph zu einem festen Torus .

Siehe auch

Verweise

Externe Links