Verkürztes Dodekaeder - Truncated dodecahedron
Abgeschnittenes Dodekaeder | |
---|---|
(Klicken Sie hier für rotierendes Modell) |
|
Art |
Archimedisches festes einheitliches Polyeder |
Elemente | F = 32, E = 90, V = 60 (χ = 2) |
Gesichter von Seiten | 20 {3} +12 {10} |
Conway-Notation | tD |
Schläfli-Symbole | t {5,3} |
t 0,1 {5,3} | |
Wythoff-Symbol | 2 3 | 5 |
Coxeter-Diagramm | |
Symmetriegruppe | I h , H 3 , [5,3], (* 532), Ordnung 120 |
Rotationsgruppe | I , [5,3] + , (532), Ordnung 60 |
Diederwinkel | 10-10: 116,57 ° 3-10: 142,62 ° |
Verweise | U 26 , C 29 , W 10 |
Eigenschaften | Semiregular konvex |
Farbige Gesichter |
3.10.10 ( Scheitelpunktfigur ) |
Triakis Ikosaeder ( Doppelpolyeder ) |
Netz |
In der Geometrie ist das abgeschnittene Dodekaeder ein archimedischer Körper . Es hat 12 regelmäßige dekagonale Flächen, 20 regelmäßige dreieckige Flächen, 60 Eckpunkte und 90 Kanten.
Geometrische Beziehungen
Diese Polyeder können aus einer gebildet werden regelmäßigen Dodekaeder durch Verkürzen (Abschneiden) die Ecken so das Fünfeck werden Flächen Zehnecken und die Ecken werden Dreiecke .
Es wird in der zelltransitiven hyperbolischen raumfüllenden Tessellation, der bitrunkierten ikosaedrischen Wabe, verwendet .
Fläche und Volumen
Die Fläche A und das Volumen V eines abgeschnittenen Dodekaeders der Kantenlänge a sind:
Kartesischen Koordinaten
Die kartesischen Koordinaten für die Eckpunkte eines abgeschnittenen Dodekaeders mit einer Kantenlänge von 2 φ - 2, zentriert am Ursprung, sind alle gerade Permutationen von:
- (0, ±1/.φ± (2 + φ ))
- (±1/.φ, ± φ , ± 2 φ )
- (± φ , ± 2, ± ( φ + 1))
wo φ = 1 + √ 5/.2ist der goldene Schnitt .
Orthogonale Projektionen
Das abgeschnittene Dodekaeder hat fünf spezielle orthogonale Projektionen , die auf einem Scheitelpunkt auf zwei Arten von Kanten und zwei Arten von Flächen zentriert sind: sechseckig und fünfeckig. Die letzten beiden entsprechen den Coxeter-Ebenen A 2 und H 2 .
Zentriert von | Scheitel | Kante 3-10 |
Kante 10-10 |
Gesicht Triangle |
Gesicht Zehneck |
---|---|---|---|---|---|
Solide | |||||
Drahtmodell | |||||
Projektive Symmetrie |
[2] | [2] | [2] | [6] | [10] |
Dual |
Sphärische Fliesen und Schlegel-Diagramme
Das abgeschnittene Dodekaeder kann auch als sphärische Kachelung dargestellt und über eine stereografische Projektion auf die Ebene projiziert werden . Diese Projektion ist konform und behält Winkel bei, jedoch keine Flächen oder Längen. Gerade Linien auf der Kugel werden als Kreisbögen auf die Ebene projiziert.
Schlegel-Diagramme sind ähnlich, mit einer perspektivischen Projektion und geraden Kanten.
Orthographische Projektion | Stereografische Projektionen | |
---|---|---|
Zehneck- zentriert |
Triangle -zentrierten |
|
Scheitelpunktanordnung
Es teilt seine Scheitelpunktanordnung mit drei nicht konvexen einheitlichen Polyedern :
Abgeschnittenes Dodekaeder |
Großer Ikosikosidodekaeder |
Großes ditrigonales Dodecicosidodekaeder |
Großer Dodecicosaeder |
Verwandte Polyeder und Fliesen
Es ist Teil eines Kürzungsprozesses zwischen einem Dodekaeder und einem Ikosaeder:
Familie einheitlicher ikosaedrischer Polyeder | |||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|
Symmetrie : [5,3] , (* 532) | [5,3] + , (532) | ||||||
{5,3} | t {5,3} | r {5,3} | t {3,5} | {3,5} | rr {5,3} | tr {5,3} | sr {5,3} |
Duale zu einheitlichen Polyedern | |||||||
V5.5.5 | V3.10.10 | V3.5.3.5 | V5.6.6 | V3.3.3.3.3 | V3.4.5.4 | V4.6.10 | V3.3.3.3.5 |
Dieses Polyeder ist topologisch verwandt als Teil einer Sequenz von einheitlichen abgeschnittenen Polyedern mit Scheitelpunktkonfigurationen (3,2 n, 2 n ) und [ n , 3] Coxeter-Gruppensymmetrie .
* n 32 Symmetriemutation von kugelförmigen Kacheln: t { n , 3} | |||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Symmetrie * n 32 [n, 3] |
Sphärisch | Euklid. | Kompaktes Hyperb. | Paraco. | |||||||
* 232 [2,3] |
* 332 [3,3] |
* 432 [4,3] |
* 532 [5,3] |
* 632 [6,3] |
* 732 [7,3] |
* 832 [8,3] ... |
* ∞32 [∞, 3] |
||||
Abgeschnittene Figuren |
|||||||||||
Symbol | t {2,3} | t {3,3} | t {4,3} | t {5,3} | t {6,3} | t {7,3} | t {8,3} | t {∞, 3} | |||
Triakis Figuren |
|||||||||||
Konfig. | V3.4.4 | V3.6.6 | V3.8.8 | V3.10.10 | V3.12.12 | V3.14.14 | V3.16.16 | V3.∞.∞ |
Abgeschnittener dodekaedrischer Graph
Abgeschnittener dodekaedrischer Graph | |
---|---|
Schlegel-Diagramm mit 5-facher Symmetrie
| |
Eckpunkte | 60 |
Kanten | 90 |
Automorphismen | 120 |
Chromatische Zahl | 2 |
Eigenschaften | Kubisch , Hamilton , regelmäßig , nullsymmetrisch |
Tabelle mit Grafiken und Parametern |
Im mathematischen Bereich der Graphentheorie ist ein abgeschnittener dodekaedrischer Graph der Graph von Eckpunkten und Kanten des abgeschnittenen Dodekaeders , eines der archimedischen Körper . Es hat 60 Eckpunkte und 90 Kanten und ist ein kubischer archimedischer Graph .
Kreisförmig |
Anmerkungen
Verweise
- Williams, Robert (1979). Die geometrische Grundlage der natürlichen Struktur: Ein Quellbuch des Designs . Dover Publications, Inc. ISBN 0-486-23729-X. (Abschnitt 3-9)
- Cromwell, P. (1997). Polyeder . Vereinigtes Königreich: Cambridge. S. 79–86 Archimedische Feststoffe . ISBN 0-521-55432-2.
Externe Links
- Eric W. Weisstein , abgeschnittenes Dodekaeder ( archimedischer Festkörper ) bei MathWorld .
- Klitzing, Richard. "3D konvexe gleichförmige Polyeder o3x5x - tid" .
- Bearbeitbares druckbares Netz eines abgeschnittenen Dodekaeders mit interaktiver 3D-Ansicht
- Die einheitlichen Polyeder
- Polyeder der virtuellen Realität Die Enzyklopädie der Polyeder