Verkürztes Dodekaeder - Truncated dodecahedron

Abgeschnittenes Dodekaeder
Truncateddodecahedron.jpg
(Klicken Sie hier für rotierendes Modell)
Art Archimedisches festes
einheitliches Polyeder
Elemente F = 32, E = 90, V = 60 (χ = 2)
Gesichter von Seiten 20 {3} +12 {10}
Conway-Notation tD
Schläfli-Symbole t {5,3}
t 0,1 {5,3}
Wythoff-Symbol 2 3 | 5
Coxeter-Diagramm CDel-Knoten 1.pngCDel 5.pngCDel-Knoten 1.pngCDel 3.pngCDel node.png
Symmetriegruppe I h , H 3 , [5,3], (* 532), Ordnung 120
Rotationsgruppe I , [5,3] + , (532), Ordnung 60
Diederwinkel 10-10: 116,57 °
3-10: 142,62 °
Verweise U 26 , C 29 , W 10
Eigenschaften Semiregular konvex
Polyeder abgeschnitten 12 max.png
Farbige Gesichter
Abgeschnittenes Dodekaeder vertfig.png
3.10.10
( Scheitelpunktfigur )
Polyeder abgeschnitten 12 dual max.png
Triakis Ikosaeder
( Doppelpolyeder )
Polyeder abgeschnitten 12 net.svg
Netz
3D-Modell eines abgeschnittenen Dodekaeders

In der Geometrie ist das abgeschnittene Dodekaeder ein archimedischer Körper . Es hat 12 regelmäßige dekagonale Flächen, 20 regelmäßige dreieckige Flächen, 60 Eckpunkte und 90 Kanten.

Geometrische Beziehungen

Diese Polyeder können aus einer gebildet werden regelmäßigen Dodekaeder durch Verkürzen (Abschneiden) die Ecken so das Fünfeck werden Flächen Zehnecken und die Ecken werden Dreiecke .

Es wird in der zelltransitiven hyperbolischen raumfüllenden Tessellation, der bitrunkierten ikosaedrischen Wabe, verwendet .

Fläche und Volumen

Die Fläche A und das Volumen V eines abgeschnittenen Dodekaeders der Kantenlänge a sind:

Kartesischen Koordinaten

Die kartesischen Koordinaten für die Eckpunkte eines abgeschnittenen Dodekaeders mit einer Kantenlänge von 2 φ  - 2, zentriert am Ursprung, sind alle gerade Permutationen von:

(0, ±1/.φ± (2 +  φ ))
1/.φ, ± φ , ± 2 φ )
φ , ± 2, ± ( φ  + 1))

wo φ  = 1 + 5/.2ist der goldene Schnitt .

Orthogonale Projektionen

Das abgeschnittene Dodekaeder hat fünf spezielle orthogonale Projektionen , die auf einem Scheitelpunkt auf zwei Arten von Kanten und zwei Arten von Flächen zentriert sind: sechseckig und fünfeckig. Die letzten beiden entsprechen den Coxeter-Ebenen A 2 und H 2 .

Orthogonale Projektionen
Zentriert von Scheitel Kante
3-10
Kante
10-10
Gesicht
Triangle
Gesicht
Zehneck
Solide Polyeder abgeschnitten 12 von blau max.png Polyeder abgeschnitten 12 von gelb max.png Polyeder abgeschnitten 12 von rot max.png
Drahtmodell Dodekaeder t01 v.png Dodekaeder t01 e3x.png Dodekaeder t01 exx.png Dodekaeder t01 A2.png Dodekaeder t01 H3.png
Projektive
Symmetrie
[2] [2] [2] [6] [10]
Dual Dual Dodekaeder t12 v.png Dual Dodekaeder t12 e3x.png Dual Dodekaeder t12 exx.png Dual Dodekaeder t12 A2.png Dual Dodekaeder t12 H3.png

Sphärische Fliesen und Schlegel-Diagramme

Das abgeschnittene Dodekaeder kann auch als sphärische Kachelung dargestellt und über eine stereografische Projektion auf die Ebene projiziert werden . Diese Projektion ist konform und behält Winkel bei, jedoch keine Flächen oder Längen. Gerade Linien auf der Kugel werden als Kreisbögen auf die Ebene projiziert.

Schlegel-Diagramme sind ähnlich, mit einer perspektivischen Projektion und geraden Kanten.

Orthographische Projektion Stereografische Projektionen
Einheitliche Kacheln 532-t01.png Abgeschnittene Dodekaeder stereografische Projektion decagon.png
Zehneck- zentriert
Abgeschnittenes Dodekaeder stereographisches Projektionsdreieck.png
Triangle -zentrierten
Abgeschnittenes Dodekaeder ortho-color.png Dodekaeder abgeschnitten schlegel.png Abgeschnittenes Dodekaeder schlegel-tricenter.png

Scheitelpunktanordnung

Es teilt seine Scheitelpunktanordnung mit drei nicht konvexen einheitlichen Polyedern :

Abgeschnittenes dodecahedron.png
Abgeschnittenes Dodekaeder
Great icosicosidodecahedron.png
Großer Ikosikosidodekaeder
Great ditrigonal dodecicosidodecahedron.png
Großes ditrigonales Dodecicosidodekaeder
Großer dodecicosahedron.png
Großer Dodecicosaeder

Verwandte Polyeder und Fliesen

Es ist Teil eines Kürzungsprozesses zwischen einem Dodekaeder und einem Ikosaeder:

Dieses Polyeder ist topologisch verwandt als Teil einer Sequenz von einheitlichen abgeschnittenen Polyedern mit Scheitelpunktkonfigurationen (3,2 n, 2 n ) und [ n , 3] Coxeter-Gruppensymmetrie .

Abgeschnittener dodekaedrischer Graph

Abgeschnittener dodekaedrischer Graph
Abgeschnittene dodekaedrische graph.png
Schlegel-Diagramm mit 5-facher Symmetrie
Eckpunkte 60
Kanten 90
Automorphismen 120
Chromatische Zahl 2
Eigenschaften Kubisch , Hamilton , regelmäßig , nullsymmetrisch
Tabelle mit Grafiken und Parametern

Im mathematischen Bereich der Graphentheorie ist ein abgeschnittener dodekaedrischer Graph der Graph von Eckpunkten und Kanten des abgeschnittenen Dodekaeders , eines der archimedischen Körper . Es hat 60 Eckpunkte und 90 Kanten und ist ein kubischer archimedischer Graph .

Abgeschnittene Dodekaeder Graph.svg
Kreisförmig

Anmerkungen

Verweise

  • Williams, Robert (1979). Die geometrische Grundlage der natürlichen Struktur: Ein Quellbuch des Designs . Dover Publications, Inc. ISBN 0-486-23729-X. (Abschnitt 3-9)
  • Cromwell, P. (1997). Polyeder . Vereinigtes Königreich: Cambridge. S. 79–86 Archimedische Feststoffe . ISBN 0-521-55432-2.

Externe Links