Turán-Kubilius-Ungleichung - Turán–Kubilius inequality

Die Turán-Kubilius-Ungleichung ist ein mathematischer Satz in der Wahrscheinlichkeitszahlentheorie . Es ist nützlich, um Ergebnisse über die normale Reihenfolge einer arithmetischen Funktion zu beweisen . Der Satz wurde 1934 in einem Sonderfall von Pál Turán bewiesen und 1956 und 1964 von Jonas Kubilius verallgemeinert .

Aussage des Satzes

Diese Formulierung stammt von Tenenbaum . Andere Formulierungen sind in Narkiewicz und in Cojocaru & Murty.

Angenommen, f ist eine additive komplexwertige arithmetische Funktion und schreibe p für eine beliebige Primzahl und ν für eine beliebige positive ganze Zahl. Schreiben

${\ displaystyle A (x) = \ sum _ {p ^ {\ nu} \ leq x} f (p ^ {\ nu}) p ^ {- \ nu} (1-p ^ {- 1})}$

und

${\ displaystyle B (x) ^ {2} = \ sum _ {p ^ {\ nu} \ leq x} \ left | f (p ^ {\ nu}) \ right | ^ {2} p ^ {- \ nu}.}$

Dann gibt es eine Funktion ε ( x ), die auf Null geht, wenn x auf unendlich geht, und zwar so, dass wir für x ≥ 2 haben

${\ displaystyle {\ frac {1} {x}} \ sum _ {n \ leq x} | f (n) -A (x) | ^ {2} \ leq (2+ \ varepsilon (x)) B ( x) ^ {2}.}$

Anwendungen des Satzes

Turán entwickelte die Ungleichung, um einen einfacheren Beweis des Hardy-Ramanujan-Theorems über die normale Ordnung der Zahl ω ( n ) verschiedener Primteiler einer ganzen Zahl n zu liefern . Es gibt eine Darstellung von Turáns Beweis in Hardy & Wright, §22.11. Tenenbaum gibt einen Beweis für den Hardy-Ramanujan-Satz unter Verwendung der Turán-Kubilius-Ungleichung und gibt ohne Beweis mehrere andere Anwendungen an.

Anmerkungen